2023-2024學年北京市東城區名校中考數學四模試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.估計歷的值在（）

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

2.將1、正、J5、遙按如圖方式排列，若規定（m、n）表示第m排從左向右第n個數，則（6,5）與（13,6）

表示的兩數之積是（）

1第1排

4243第2排

乖1&第3排

非142第4排

461&43第5排

A.76B.6C.6D.G

3.某校在國學文化進校園活動中，隨機統計50名學生一周的課外閱讀時間如表所示，這組數據的眾數和中位數分別

是（）

學生數（人）5814194

時間（小時）678910

A.14,9B.9,9C.9,8D.8,9

4.若"（工-2尸+|3_y|=（）,則x?y的正確結果是（）

A.—1B.1C.-5D.5

5.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在BA的延長線上，點F在BC的延長線上，連接EF,分別交AD,CD

于點G,H,則下列結論錯誤的是（）

EAEGEGAG，AB_BC

==D里亞

^E~~EF*G/7-GD?AE-CF?EHAD

6.如圖，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,連接BD,NDBC的角平分線BE交DC于點E,現把△BCE繞點B逆時

針旋轉，記旋轉后的BCrE\當線段BE，和線段BU都與線段AD相交時，設交點分別為F,G.若△BFD

為等腰三角形，則線段DG長為（）

7,斤斤的化簡結果為（）

A.3B.-3C.±3D.9

8.下列說法：

①二一.0；

②數軸上的點與實數成一一對應關系;

③?2是Ji的平方根；

④任何實數不是有理數就是無理數；

⑤兩個無理數的和還是無理數；

⑥無理數都是無限小數，

其中正確的個數有（）

A.2個B.3個C.4個I).5個

9.在平面直角坐標系中，將拋物線），=/+2/+3繞著它與）'軸的交點旋轉180。，所得拋物線的解析式是（）.

A.y=-(x+l)2+2B.y=-(jr-l)2+4

C.y=-(J:-1)2+2D.y=-(x+l)2+4

10.計算(-3)-(-6)的結果等于()

A.3B.-3C.9D.18

11.左下圖是一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖.這個幾何體只能是（）

日小

主視圖片視圖俯視圖

A.品吼伊?。?曲

12.如圖是由幾個相同的小正方體搭成的一個幾何體，它的俯視圖是（）

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.如青，在正方形ABCD中，BC=2,E、F分別為射線BC,CD上兩個動點，且滿足BE=CF,設AE,BF交于點

G,連接DG,則DG的最小值為

14.當小________時，分式上三的值為零.

2x+3

15.已知矩形ABCD,AD>AB,以矩形ABCD的一邊為邊畫等腰三角形,使得它的第三個頂點在矩形ABCD的其他邊上,

則可以畫出的不同的等腰三角形的個數為.

16.如圖，將邊長為迷的正方形ABCD繞點A逆時針方向旋轉30。后得到正方形AGO,則圖中陰影部分面積為

平方單位.

IT

17.分解因式：x2—9=A.

18.計算（5ab3）2的結果等于.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）如圖，已知反比例函數y=三與一次函數y=k2x+b的圖象交于A（L8）,B（—4,m）.求跖，k2,b的值;

求△的面積；若（，）（）是反比例函數-的圖象上的兩點，且〈指出點各位

AOBMx1yf,NX2,yzy=匚xiX2,yWyz,M,N

于哪個象限，并簡要說明理由.

20.（6分）如圖,△ABC,ACDE均是等腰直角三角形,NACR=NDCE=90。,點E在AB上，求證:△CDAS^ACEB.

3

21.（6分）如圖，在AA8C中，BC=l2tanA=-,ZB=30°；求4C和A3的長.

f4

22.（8分）如圖，在矩形中，對角線AC,BO相交于點O.

（1）畫出AAOA平移后的三角形，其平移后的方向為射線AO的方向，平移的距離為A0的長.

（2）觀察平移后的圖形，除了矩形外，還有一種特殊的平行四邊形？請證明你的結論.

23.（8分）己知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB分別與x軸、y軸交于點B,A,與反比例函數的圖象

分別交于點C,D,CE_Lx軸于點E,tanNABO=L,OB=4,OE=1.

2

（1）求該反比例函數的解析式；

（1）求三角形CDE的面積.

24.（10分）先化簡，再求值：=-1-士，其中x二L

—一■?r/一?/一

6+1>2①

25.（10分）解不等式組、/

[3x-4W2②

請結合題意填空，完成本題的解答.

（1）解不等式①，得；

（2）解不等式②，得;

（3）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來;

（4）原不等式組的解集為.

0123456）

26.（12分）如圖，在口ABCD中，過點A作AE_LBC于點E,AF_LDC于點F,AE=AF.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若/EAF=60。，CF=2,求AF的長.

27.（12分）如圖，小巷左石兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離8c'為0.7米，梯子

頂端到地面的距離AC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離/V。為

1.5米，求小巷有多寬.

參考答案

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1、C

【解析】

V736<V4?<V49，

???6<向<7?

即向的值在6和7之間.

故選C.

2、B

【解析】

根據數的排列方法可知，第一排：1個數，第二排2個數.第三排3個數，第四排4個數，…第m?l排有(m?D個數,

從第一排到(m-D排共有：1+2+3+4+…+(m-1)個數，根據數的排列方法，每四個數一個輪回，根據題目意思找出

第m排第n個數到底是哪個數后再計算.

【詳解】

第一排1個數，第二排2個數.第三排3個數，第四排4個數，

…第排有(m-1)個數，從第一排到(m-1)排共有：1+2+3+4+...+(m-1)個數，

根據數的排列方法，每四個數一個輪回，

由此可知：(1,5)表示第1排從左向右第5個數是",

(13,I)表示第13排從左向右第1個數，可以看出奇數排最中間的一個數都是1,

第13排是奇數排，最中間的也就是這排的第7個數是1,那么第1個就是卡，

則(1,5)與(13,1)表示的兩數之積是1.

故選B.

3、C

【解析】

解:觀察、分析表格中的數據可得：

??,課外閱讀時間為1小時的人數最多為11人，

???眾數為1.

???將這組數據按照從小到大的順序排列，第25個和第26個數據的均為2,

，中位數為2.

故選C.

【點睛】

本題考查(1)眾數是一組數據中出現次數最多的數；(2)中位數的確定要分兩種情況：①當數據組中數據的總個數為

奇數時，把所有數據按從小到大的收序排列，中間的那個數就是中位數；②當數據組中數據的總個數為偶數時，把所

有數據按從小到大的順序排列，中間的兩個數的平均數是這組數據的中位數.

4、A

【解析】

由題意，得

x-2=0,l-y=O>

解得x=2,y=l.

x-y=2-l=-l,

故選：A.

5、C

【解析】

試題解析：??,四邊形48CD是平行四邊形，

:.AD\BF.BEDC,AD=BC,

.EAEGEGAGHFFCCF

"BE~~EF''GH~~DG'~EH~~BC~~AD'

故選c.

6、A

【解析】

257

先在RtAABD中利用勾股定理求出BD=5,在RtAABF中利用勾股定理求出BF=?,則AF=4?g=￡.再過G作

888

25

GH/7BF,交BD于H,證明GH=GD,BH=GH,設DG=GH=BH=x,貝ijFG=FD?GD=，x,HD=5-x,由GH/7FB,

8

FDBD

得出,即可求解.

GDHD

【詳解】

解：在RtAABD中，?.?NA=90。，AB=3,AD=4,

ABD=5,

在RtAABF中，VZA=90°,AB=3,AF=4?DF=4?BF,

/.BF2=3:+(4-BF)2,

25

解得BF=一，

8

.257

..AF=4.

88

過G作GH〃BF,交BD于H,

/.ZFBD=ZGHD,ZBGH=ZFBG,

VFB=FD,

/.ZFBD=ZFDB,

/.ZFDB=ZGHD,

AGH=GD,

VZFBG=ZEBC=-ZDBC=-ZADB=-ZFBD,

222

又?.?NFBG=NBGH,ZFBG=ZGBH,

/.BH=GH,

25

設DG=GH=BH=x,貝！JFG=FD?GD=--x,HD=5-x,

8

VGH/7FB,

25

FDBDan—5

:.---=----，即8=------，

GDHD—5-x

x

解得x=U.

13

故選A.

【點睛】

本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，平行線分線段成比例定理，準確作出輔助線是

解題關鍵.

7、A

【解析】

試題分析：根據二次根式的計算化簡可得：7(-3)2=79=3.故選A.

考點：二次根式的化簡

8、C

【解析】

根據平方根，數軸，有理數的分類逐一分析即可.

【詳解】

①:\三亍=.；0二、不礪=-?：是錯誤的；

②數軸上的點與實數成一一對應關系，故說法正確；

③故-2是、73的平方根，故說法正確；

④任何實數不是有理數就是無理數，故說法正確；

⑤兩個無理數的和還是無理數，如.二和一、：是錯誤的；

⑥無理數都是無限小數，故說法正確；

故正確的是②③④⑥共4個；

故選C.

【點睛】

本題考查了有理數的分類，數軸及平方根的概念，有理數都可以化為小數，其中整數可以看作小數點后面是零的小數，

分數可以化為有限小數或無限循環小數；無理數是無限不循環小數，其中有開方開不盡的數，如."\二J等，也有幾

這樣的數.

9、B

【解析】

把拋物線y=x2+2x+3整理成頂點式形式并求出頂點坐標，再求出與y軸的交點坐標，然后求出所得拋物線的頂點，再

利用頂點式形式寫出解析式即可.

【詳解】

解：Vy=x2+2x+3=(x+1)2+2,

???原拋物線的頂點坐標為(-1,2),

令x=0,則y=3,

，拋物線與y軸的交點坐標為(0,3),

???拋物線繞與y軸的交點旋轉180。，

，所得拋物線的頂點坐標為(1,4),

???所得推物線的解析式為：y=?、2+2x+3［或產?(x-l)2+也

故選：B.

【點睛】

本題考查了二次函數圖象與幾何變換，利用頂點的變化確定函數解析式的變化可以使求解更簡便.

10、A

【解析】

原式=-3+6=3,

故選A

11、A

【解析】

試題分析：根據幾何體的主視圖可判斷C不合題意；根據左視圖可得B、D不合題意，因此選項A正確，故選A.

考點：幾何體的三視圖

12、D

【解析】試題分析：俯視圖是從上面看到的圖形.

從上面看，左邊和中間都是2個正方形，右上角是1個正方形，

故選D.

考點：簡單組合體的三視圖

二、填空題：(本大題共6個小題，每小題4分，共24分.)

13、6-1

【解析】

先由圖形確定：當O、G、D共線時，DG最??；根據正方形的性質證明△ABEgZkBCF(SAS),可得NAGB=90。,

利用勾股定理可得OD的長，從而得DG的最小值.

【詳解】

在正方形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZBCD,

在^ABEBCF中，

AB=BC

-/ABC=/BCD,

BE=CF

/.△ABE^ABCF(SAS),

AZBAE=ZCBF,

VZCBF+ZABF=90°

AZBAE+ZABF=90°

AZAGB=90°

???點G在以AB為直徑的圓上，

由圖形可知：當O、G、D在同一直線上時，DG有最小值，如圖所示：

;正方形ABCD,BC=2,

AAO=I=OG

，OD=q5，

???DG=V5T,

故答案為逐T.

【點睛】

本題考查了正方形的性質與全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練的掌握正方形的性質與全等三角形的判定與

性質.

14、2

【解析】

根據若分式的值為零，需同時具備兩個條件：(1)分子為1;(2)分母不為1計算

即可.

【詳解】

解：依題意得：2?x=l且2x+2#l.

解得x=2,

故答案為2.

【點睛】

本題考查的是分式為1的條件和一元二次方程的解法，掌握若分式的值為零，需同時具備兩個條件：(1)分子為1;(2)

分母不為1是解題的關鍵.

15、8

【解析】

根據題意作出圖形即可得出答案，

【詳解】

如圖，AD>AB,△CDEi,△ABE2,AABE3,△BCE4,△CDEs,AABE6,△ADE7,△CDEs,為等腰三角形，故

有8個滿足題意得點.

E6E7E8

【點睛】

此題主要考查矩形的對稱性，解題的關鍵是根據題意作出圖形.

16、6?26

【解析】

由旋轉角NBAB，=30。，可知NDAB，=90O-30"=60"：設和CD的交點是O,連接OA,構造全等三角形，用S陰影

部分=S正方形-S四邊形ABrOD>計算面積即可.

【詳解】

解：設&C和CD的交點是O,連接0A,

VAD=ABSAO=AO,ND=NB'=90。，

/.RtAADO^RtAAB'O,

AZOAD=ZOABr=30°,

AOD=OBr=V2，

S四邊形AB'OD=2SAAOD=2X|V2X./6=2X/3

**?s陰影部分=s正方形-

【點睛】

此題的重點是能夠計算出四邊形的面積.注意發現全等三角形.

17、(x+3)(x—3)

【解析】

x2-9=(x+3)(x-3),

故答案為(x+3)(x?3).

18、25a%、

【解析】

代數式內每項因式均平方即可.

【詳解】

解：原式=25a2bl.

【點睛】

本題考查了代數式的乘方.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(l)ki=l,b=6(l)15(3)點M在第三象限,點N在第一象限

【解析】

試題分析：(1)把A(1,8)代入二=壓求得二產8,把B(-4,m)代入二=*求得m=-L把A(1,8)、B(-4,-1)

代入二二二；二一二求得二/、b的值；(1)設直線y=lx+6與x軸的交點為C,可求得OC的長，根據SAABC=SAAOC+SABOC

即可求得AAOB的面積；(3)由二;〈二;可知有三種情況，①點M、N在第三象限的分支上，②點M、N在第一象限

的分支上，③M在第三象限，點N在第一象限，分類討論把不合題意的舍去即可.

試題解析：解：⑴把A(1,8),B(-4,m)分別代入二得口尸8,m=?L

VA(1,8)、B(-4,-1)在二=口；二?二圖象上，

?［二；+二=8

二;+二

解得，

(1)設直線y=lx+6與x軸的交點為C,當y=0時，x=?3,

AOC=3

**?SABC=SAAOC+SABOC=~x二xS'*：xjx1一=

A.?

(3)點M在第三象限，點N在第一象限.

①若二［V二.V0,點M、N在第三象限的分支上，則二〉二.，不合題意；

②若0〈二〈二；，點M、N在第一象限的分支上，則二二:，不合題意；

③若二;VOV二；，M在第三象限，點N在第一象限，則二VOV二;，符合題意.

考點：反比例函數與一次函數的交點坐標；用待定系數法求函數表達式；反比例函數的性質.

20、見解析.

【解析】

試題分析：根據等腰直角三角形的性質得出CE=CD,BC=AC,再利用全等三角形的判定證明即可.

試題解析：證明：???△ABC、ACDE均為等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,

ACE=CD,BC=AC,

/.ZACB-ZACE=ZDCE-ZACE,

/.ZECB=ZDCA,

，*■?■-PM-

匚匚=匚J

在ACDA與ACEB中，二二二二=二二二二，

,rr-rn

AACDA^ACEB.

考點：全等三角形的判定；等腰直角三角形.

21、8+65

【解析】

如圖作C〃_L4〃于〃.在RtA〃〃C求出C〃、BH,在RSAC”中求出4"、AC即可解決問題；

【詳解】

解：如醫作于，.

c

；?CH=；BC=6,1^=癡2_陋=65

*43CH

在RtAAC”中，tanA=—=-----,

4AH

?"〃=8,

???AC=JAH2+CH?=10,

【點睛】

本題考查解直角三角形，銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于

中考常考題型.

22、(1)如圖所示見解析；(2)四邊形OCED是菱形.理由見解析.

【解析】

(1)根據圖形平移的性質畫出平移后的△DEC即可；

(2)根據圖形平移的性質得出AC:〃DE,OA=DE,故四邊形OCED是平行四邊形，再由矩形的性質可知OA=OB,

故DE=CE,由此可得出結論.

【詳解】

理由：VADEC由乙AOB平移而成，

AAC/7DE,BD〃CE,OA=DE,OB=CE,

???四邊形OCED是平行四邊形.

???四邊形ABCD是矩形，

，OA=OB,

ADE=CE,

???四邊形OCED是菱形.

【點睛】

本題考查了作圖與矩形的性質，解題的關鍵是熟練的掌握矩形的性質與根據題意作圖.

23、（1）y=——；（1）11.

x

【解析】

（1）根據正切的定義求出OA,證明ABAOs^BEC,根據相似三角形的性質計算；

（D求出直線AB的解析式，解方程組求出點D的坐標，根據三角形CDE的面積=三角形CBE的面積+三角形BED

的面積計算即可.

【詳解】

解：（1）VtanZABO=-,OB=4,

2

AOA=1,

VOE=1.

.*.BE=6,

VAOZ^CE,

/.△BAO^ABEC,

.OABOan24

.?木瓦’即？TE'

解得，CE=3,即點C的坐標為（-1,3）,

，反比例函數的解析式為：y=--；

x

（1）設直線AB的解析式為：y=kx+b,

則產加0,

lb=2

解得，J2,

b=2

則直線AB的解析式為：y=Jx+2，

產得什2

X］二-2X2=6

???當D?的坐標為（6,1）,

??.三角形CDE的面積=三角形CBE的面積十三角形BED的面積

【點睛】

此題考查的是反比例函數與一次函數的交點問題，掌握待定系數法求函數解析式的一般步驟、求反比例函數與一次函

數的交點的方法是解題的關鍵.

24、;

.

【解析】

這道求代數式值的題目，不應考慮把X的值直接代入，通常做法是先化簡，然后再代入求值.

【詳解】

(x+1)(X-1)11

解:原式二/1、2?一