重慶市烏江新高考協作體2025屆高考質量調研（二）

數學試題

（分數：150分，時間：120分鐘）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.由1,2,3抽出一部分或全部數字所組成的沒有重復數字的自然數集合有（）個元素

A.15B.16C.17D.18

【答案】A

【解析】

【分析】根據取出的數字個數進行分類，每一類中一一列舉出來計數即可.

【詳解】只取一個元素組成的沒有重復數字的自然數：共3個；

只取兩個元素組成的沒有重復數字的自然數：有12,21,13,31,23,32共6個；

取三個元素組成的沒有重復數字的自然數：有123,132,213,231,312,321共6個；

共有3+6+6=15種方法，即由1,2,3抽出一部分或全部數字所組成的沒有重復數字的自然數集合有15

個元素，

故選：A.

2.若直線y=2光是曲線/1）=小2,-4的切線，則”（）

A.-eB.-1C.1D.e

【答案】B

【解析】

【分析】利用導數，根據切點及切線的斜率求得正確答案.

【詳解】f(x)=x[^-aj,(x)=(1+2x)e2'-a,

依題意，直線y=2尤是曲線=x佇-a）的切線,

)=fe"=(2+a"

設切點為貝卜

,(l+2t)e2t=2+a

2t-a=2

通過對比系數可得+=二,2尸=01=0,則a=—1.

故選：B

1+cos2a

3.已知tana=2,則

sin2a

11

A.3B.-C.2D.-

32

【答案】D

【解析】

【分析】應用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式計算再結合同角三角函數關系求解.

，、*珈、1+cos2a2cos2a11

【詳解】---------=------------=-----=一.

sin2a2sinacosatana2

故選：D.

4.若A(l,0),B(O,b),C(—2,—2)三點共線，貝峰=()

2323

A——B.--C.-D.-

3232

【答案】A

【解析】

【分析】利用共線向量的性質，設AC=/L42且XwO,進而列方程求解.

【詳解】A&C三點共線，=且4/0，

2=3

-2-1=2(0-1)

得《解得L2

—2—0=〃?！?)b=——

I3

故選：A.

5.《九章算術》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步.問：勾中容方幾何？”魏晉時期數學家劉

徽在《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1,用對角線將長和寬分別為6

和a的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內接正方形(黃)和兩個小直角三角形(朱、

青)將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為。+)，寬為內接正方形的邊長d.由

劉徽構造的圖形可以得到許多重要的結論，如圖3,設。為斜邊5c的中點，作直角三角形ABC的內接正

方形對角線AE，過點A作AF13。于點足則下列推理正確的是()

圖1圖2圖3

。It由可得,[2：匕2

A.由圖1和圖2面積相等得d=一町B.AEAAF

a+b

片+/、2

C.由AD2AE可得1—2—―fD.由AD2AF可得。2+62Na+b

----1----

ab

【答案】C

【解析】

【分析】根據圖1,圖2面積相等,可求得1的表達式,可判斷A選項正誤，由題意可求得圖3中AD,AE,AF

的表達式，逐一分析B、C、D選項，即可得答案

【詳解】對于A,由圖1和圖2面積相等得a/?=(a+b)xd,所以d=g，故A錯誤；

對于B,因為所以LxaxbnLjTTFxAb,所以4/=-/孚〒，AE=Cd=^^，

22\la+ba+b

因為AENAF,所以叵或N疝,整理得忙工心，故B錯誤；

a+bJ".?V22

對于C,因為O為斜邊BC的中點，所以1r+"

2

/2?.2后人I。2+/、2

因為ADAAE,所以f2烏電,整理得21—T，故C正確;

2a+b"一+:

J/+/

對于D,因為AD2A/，所以之帥,整理得標十/7222ab，故D錯誤.

2

故選：C.

6.已知設z=x+yi(x,y￡R)，則1(%—設+(y+3)i|=2,則|z+l|的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】先求得復數z實部與虛部的關系，再去求|z+l|的最小值即可解決.

,c[x=2cosa+3

【詳解】由|(%—3)+(y+3)i|=2,可得(%—3)2+(y+3)2=4,可令。

y=2smi-3

則|z+11=J(x+1)2+/=^(2COS6Z+4)2+(2sin6Z-3)2

=j29+16cosa-12sina=,29+20sin(0—a)(9為銳角,且tan0=g)

由一lVsin(?！猘)Kl,可得3V)29+2Osin(0-a)W7

則Iz+11的最小值為3

故選：A

7.若數列｛4｝為正項等比數列，a3=l,數列彷,｝為公差為6,首項為1的等差數列，則數列｛4么｝前5

項和的最小值為()

187167147

A.-----B.-----C.-----D.65

444

【答案】A

【解析】

17,

【分析】由己知可得+。2°2+%4+。4°4+。5°5~~1-13+19^+25^,利用導數可求其最小值.

~~qq

【詳解】因為數列｛2｝為公差為6,首項為1的等差數列，

所以偽=1也=7也=13也=19,么=25,

若數列｛4｝為正項等比數列，%=1，設公比為4,

112

則=~7，%=—,/=%〃5=，

qq

[7

所以數列｛。屹/前5項和為+a力2+。3”3+。4“+a5b5-----1-13+19^+25^2,

設y=J+；+13+19q+25八求導可得；+19+50"J—7q+3+50q,

令g⑷=—2—7q+19/+50/,可得g，⑷=_7+57/+200/,

，/、*/八\,耳十Ui，「,/、__/3、2ccc/3、3—7000+5130+5400

8(4)在(0,+8)上r增函數，又g(q)=-7+57x(-)-+200x(一)3=-------------------->0,

10101000

33

當“2億時，g'(q)>Q,所以g(q)在［充,+oo)上為增函數，

Xg(1)=-2-7x1+19x(1)3+50x(1)4=0,

所以當qe(奈,；),y'<0,/>0,

,,一一01925187

所cr以ymin=4+14+13+-+—=^-,

31710070427187

當qw(0,—),y二節H----F13>------1------F13=-->--

“V10q2q9394

iX7

所以則數列｛anbn｝前5項和的最小值為十.

故選：A.

21一

8.設a=tan0.21,b=lnl.21c=一,則下列大小關系正確的是)

f22

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】

【分析】首先通過構造函數得到當0<尤時，tanx>x,再通過構造函數/(x)=x—ln(l+x),0<x(二

22

JT

進一步得到x>ln(l+x),xe0,-,由此即可比較進一步比較。力，由此即可得解.

JT

【詳解】設"(%)=tan九一元,0〈九，貝!J

，/、cosx-cosx-sinx)sinx1

h(x)=----------------7----------------］=----2----1>0,0<%<

cosxcosx

所以//(%)=tmx—x在上單調遞增，

兀

所以/z(%)=tanx-x>/i(0)=0,即tanx>x,0<%<',

7T1T

令/(犬)=%—In(1+%)，。<x<5‘貝!J(x)=1—----=----->0,

所以/(x)=x—ln(l+x)在［og］上單調遞增，

從而/(x)=x-ln(l+x)>〃0)=0,即x>ln(l+x),XE/'),

所以tanx>x>ln(l+x),

從而當％=0.21時，a=tan0.21>Z?=In1.21,

a=tan0.21<tan2比一=竺<國上

633666622

所以c>a>Z>.

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：在比較。涉的大小關系時，可以通過先放縮再構造函數求導，由此即可順利得解.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.

9.己知非零向量a/,c,則下列結論正確的是()

A.若。(61)=0,則匕1°B.若(a+6)，(a—為，貝/。|=|切

C.若=，則。=匕D.向量(ad)C-(aN)6與向量。垂直

【答案】ABD

【解析】

【分析】選項A,根據條件，利用數乘向量的定義得到64=0,即可判斷選項A的正誤；選項B,根據條

件，利用數量積的運算及模的定義，即可判斷選項B的正誤；選項C,根據條件，利用數量積的定義，得

至U|a|cos〈a,0=|Acosk，e),即可求解；選項D,根據條件，結合數量積的運算律，得到

[(a-b)c-(a-c)l)]-a-0,即可求解.

【詳解】對于選項A,因為。為非零向量，若90=0,則人工=0，故6Sc，所以選項A正確，

對于選項B,若(4+5).(4_5=舒—廬=|渥_防『=0,故⑷=|日所以選項B正確,

對于選項C,若則|&川。|85〈4,?=|切一|司85(6,日，

得到|&|85缶0=|切<：0$("，，不能確定a=6，所以選項C錯誤，

對于選項D,[(a-b)c-(a-c)b]-d-(d-i>)c-a-(d-c)l>-a-(d-l>)(c-d)-(d-l>)(c-d)-0,

故[(a?b)c-(a?c)Z?]_Ld,所以選項D正確,

故選：ABD.

10.已知利〃w(0,l)D(l,+8),若108〃,2=」一/08"2=二，則下列命題正確的是()

l-2aa

A.若a=2,則加〃=2B.若a>2,則加〃>2

C.若mn=1,則a=1D.若mn>1,貝Ua>1

【答案】ABC

【解析】

【分析】由對數運算的性質得加〃=2“"2。+1,通過代入。=2即可判斷A；由二次函數的性質即可判斷B；

代入=l即可求出〃的值，則可判斷C；由加〃>1可得/一2。+1=(。-1)2>0,可解得〃的取值范圍,

則可判斷D.

【詳解】由題意知log2m=]-2a,10g2〃=〃2,所以log2(77m)=-2〃+1,

所以加=242。+1.

對于A,若〃=2,則mn=2]=2，故A正確；

對于B,若〃〉2,則〃2—2〃+1=(〃—I)?>1,所以加z>21=2，故B正確；

對于C,若加=1,則〃2一2〃+1=0，解得。=1,故C正確；

對于D,若mn〉l,則a之一2〃+1=("-I)?>0,不能得到〃>1,故D錯誤.

故選：ABC.

11.已知{cosa,cos2a,cos3a}={sina,sin2a,sin3a},則a可以是()

【答案】AB

【解析】

【分析】利用積化和差和輔助角公式得到0sin（4+二）=0sin（K+P）,即可求解得到a=%或

24243

cc=---1—,kwZ,可求答案.

28

【詳解】{cosa,cos2a,cos3。}={sina,sin",sin3a},

coscr+cos2cr+cos3cr=sincr+sin2a+sin3cr,

/.sinx（sincif+sin2cr+sin3cr）=sinx（cosa+cos2cr+cos3df）,

ccccccccaa

sincrsin——Fsin2osin——Fsin3。sin一=cosasm——bcos2asin——bcos3crsin一，

222222

a3a3a5a5ala3a.a.5a.3a.7。.5a

cos---cos---Fcos----cos——+cos----cos——=sin——-sin——bsin----sin---Fsin----sin——

222222222222

a7a.la.a

cos---cos——=sin----sin—,

2222

.aa.la7。

/.sin——bcos—=sin---bcos——,

2222

：■4+；）—（C）=3a=2bi或［/+巳］+（^|+；］=4￡+5=（2左+1）兀，keZ,

2kjikn7i

keZ,或。二一+—keZ,

28

37r7i

???經檢驗，a=-三或士符合，其它都不符合.

88

故選：AB.

12.1843年，Hamilton在愛爾蘭發現四元數.當時他正研究擴展復數到更高的維次（復數可視為平面上的

點）.他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數.根據哈密頓記述，他于10月16日跟妻子在都柏

林的皇家運河上散步時突然想到的方程解.之后哈密頓立刻將此方程刻在BroughamBridge.對四元數

u=a+bi+cj+dk,a,Z?,c,deR的單位》,了,左，其運算滿足：i2=j2=k2=-1,ij=k,jk=i,ki=j,

ji=-k,kj=-i,ik=-j；-a-bi-q-dk,N（u^=uu=cr+b2+c2+d2,

|u|=yla~+b2+c2+d2,定義"T=L,記所有四元數構成的集合為V,則以下說法中正確的有（）

U

A.集合{l,i,j,k}的元素按乘法得到一個八元集合

l

B.若非零元〃,veV,則有：u-vu=v->

C.若〃,veV,則有：N（uv）=N（u）N（y）

_1u

若非零元〃則有：u

D.eV,=\uEI

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,利用已知條件求出所求集合為｛l,i,j,k,-1,—>j「k｝即可；對于B,直接給出反例”=1,

v=2即可；對于C,利用N（M）的定義計算即可；對于D,利用C選項的結果驗證即可.

【詳解】對于A,由于=j2=k2=-1,ji=-k,kj=-i,ik=-j,故集合｛l,i,j,k｝的元素按乘法可

以得到集合1,-i,-j,-k｝,容易驗證該集合中任意兩個元素的乘積還在該集合中，故集合

｛l,i,j,k｝的元素按乘法得到的集合是八元集合｛l,i,j,k,—1,—i,—j,—k｝,故A正確；

對于B,取a=l,v=2,則，）”=「1-2-1=1-2-1=2片工=2-1=「1,故B錯誤；

2

對于C,若以vwV,設沅=a+bi+qj+dk,v=x+）i+zj+wk,貝|

N（〃v）=N（（Q+Z?i+qj+dc）（x+yi+0+vvk））

=N｛^ax-by-cz-dyv）+^ay+bx+cw-dz^\+[az+cx+dy-by\^]+[aw+dx+bz-cy^V^

-｛ax—by—cz—dwf+^ay+bx+cw—dz^+^az+cx+dy—by\^+^aw+dx+bz—cyf

=a2x2+b2x2+c2x2+d2^+a2y2+b2y2-^-c2y2+d2y2-^-a2z2-^-b2z2-^-c2z2+d2z2+a2w2+Z?2w2+c2w2+d2w2

=（〃2+/+/+/）（12+y2+z2+M）

=N（Q+歷+@+dk）N（x+yi+才+wk）

=N（w）N（v）,故C正確；

對于D,根據題目中的定義有N（〃）=|〃「，從而

u_uu_uu_N（K）_N（"）_N（〃）_]

”,網一網一心“1a.）一網（〃.“）一的（“"（“）一?

_1ii

所以"=伺'故D正確.

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于對新定義的理解，只有理解了定義，方可求解所求的問題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

13.若函數”%）=%2—4以-3在區間（-4,口）上單調遞增，則實數。的取值范圍是

【答案】（f,-2]

【解析】

【分析】根據二次函數的對稱性得出對稱軸與-4的關系即可求解.

【詳解】因為函數/（X）=為2—4改—3的對稱軸為1=2a,圖象開口向上,

所以函數在[2a,+8）上單調遞增，

因為函數了（%）在區間（-4,+⑹上單調遞增，

所以2aWY,

解得a<-2.

故答案為：（一8,-2].

14.若/(x)=asin[x+F)+3sin[x+1)是偶函數，則實數a的值為.

【答案】-拒

【解析】

【分析】由函數了（耳是偶函數，則/[一=代入計算并驗證即可求出心

【詳解】函數是偶函數，則/

(兀、..r兀兀、3兀).(兀兀、0.(兀兀、.兀0

——|=3sin——+—\---T—1=asm—+—+3sm—+—|=asm—+3,

6J[63)2^66J^63)3

化簡可得a=-J，.

—y/3時，貝U/(%)=—^/3sinIx+—j+3sinIx+—

當Cl—

.兀.兀)

兀.71、

smxcos—+cosxsm—+3Jsm.xcos—+cosxsm—

66JI33；

cosx-A/3COSx

2

所以/(x)=A/3COSX,貝IJf(-J;)=A/3COS(-x)=A/3COSx=/(x),

所以函數是偶函數，則。=-百.

故答案為：Y

15.小澄玩一個游戲：一開始她在2個盒子A3中分別放入3顆糖，然后在游戲的每一輪她投擲一個質地

均勻的骰子，如果結果小于3她就將3中的1顆糖放入A中，否則將A中的1顆糖放入8中，直到無法繼

續游戲.那么游戲結束時3中沒有糖的概率是.

【答案】—

17

【解析】

【分析】設最初在A中有左顆糖，B中有6-左顆糖時，游戲結束時8中沒有糖的概率為以(4=0,1,-,6),

歸納找出遞推關系，利用方程得出為,再由遞推關系求生.

【詳解】設A中有/顆糖，B中有6—左顆糖，游戲結束時8中沒有糖的概率為/(左=0,1,,6).

12112

顯然。0=]〃1，“6=§%+§，以=§4+1+§/-1(1〈人《5),

可得%+1—%=2(%—以_1)，則。6—“5=2,(%—%)=26%,

4=%+2,4=%+%+2‘a。=q+2?%++2‘a。—^27-1)a。，

同理%=q+22ao++2,4=(—1)g,

二(2’T)%=|96—1)%+g，解得/=7^7=短

a,=(24—114=15x-----=—.

3v'°25517

故答案為：—

17

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于建立統一的一個6顆糖果放入2個盒子不同情況的模型，找到統一的

遞推關系，利用遞推關系建立方程求出劭，即可得出這一統一模型的答案.

16.已知a>0,如果有且僅有四個不同的復數z,同時滿足|(z—l)(z+l)2|=a和目=1,則。的取值范圍

是.

【答案】

【解析】

【分析】利用復數模的運算性質，再數形結合，轉化為三次函數來研究即可.

【詳解】由|(z—l)(z+l)2|=a可得J—1能+1「=「，

又由忖=1可得，復數z在復平面上對應的點在單位圓上,

設單位圓上動點尸，4(-1,0),5(1,0),則|z-1|表示pg長度，|z+l|表示叢長度,

即。=網?m2,又因為依2+叢2=4,所以a=PR(4—P4),

令PB=x,可設/(%)=尤?(4一％2)=一%3+4無，xe(0,2)

/'(%)=—3^+4,令/'(x)=0,可得彳=氈

fr(x)=-3x2+4>0,所以/(x)=-/+4x上單調遞增;

fr(x)=-3x2+4<0,所以/(x)=-%3+4x在

+4x竽/(2)=-23+4x2=0,/(0)=0,

X在(0.2)有兩解，即在X軸上方一定存在兩個復數Z對應的點滿足條件,

再利用圓關于X軸對稱，所以在X軸下方也一定存在兩個復數Z對應的點滿足條件,

綜上此時有四個不同的復數Z,

故答案為：.

【點睛】方法點睛：利用數形結合，把問題轉化為a=P5-PA2,再利用網2+如2=4消元，然后再利用

函數求導來研究值域，即可求得。的范圍.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數/'(%)=log,;——.

1+x

(1)判斷并證明八％)的奇偶性；

(2)若對任意xe,fe[-2,2],不等式/(x)2/+8一6恒成立，求實數。的取值范圍.

【答案】(1)奇函數，證明見解析；

(2)--<a<-.

22

【解析】

【分析】(1)利用奇偶性定義證明判斷即可；

⑵根據對數復合函數單調性確定"%)在xe-1,|上最小值，把問題化為產+成―5<0在/目―2,2]

上恒成立，即可求結果.

【小問1詳解】

"%)為奇函數，證明如下：

由解析式易知—>0=>(x—l)(x+1)<0=>—1<x<1,函數定義域為(-1,1),

1+X

1?Y1丫

而/(—x)=log,；——=-log2--=—/(x),故/(%)為奇函數.

l-x1+X

【小問2詳解】

[2]]

由根=——-=------1在上為減函數，而y=log2機在定義域上為增函數，

1+x1+xL33_

所以了(%)在xe上為減函數，故/⑴*=_/?(5=―1,

要使任意Xe一,，問—2,2],不等式/(x)>t2+at-6恒成立，

只需產+成―64—1在，￡[—2,2]上恒成立，即/+成一540在，￡[—2,2]上恒成立,

°4—2〃一5(011

由y=廠+。/一5開口向上，則L^--<a<—,

4+2〃—5<022

…11

綜上，—<a<一.

22

18.海水受日月引力會產生潮汐.以海底平面為基準，漲潮時水面升高，退潮時水面降低.現測得某港口某

天的時刻與水深的關系表如下所示：（3.1時即為凌晨3點06分）

時刻：X（時）03.16.29.312.415.518.621.724

水深：y（米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0

（1）根據以上數據，可以用函數y=Asin（ox+e）+00〉0,@|<|來近似描述這一天內港口水深與

時間的關系，求出這個函數的解析式；

（2）某條貨船的吃水深度（水面高于船底的距離）為4.2米.安全條例規定，在本港口進港和在港口?？?/p>

時，船底高于海底平面的安全間隙至少有2米，根據（1）中的解析式，求出這條貨船最早可行的進港時間

及這條貨船一天最多可以在港口中停靠的總時長.

【答案】（1）y=2.4sin首x+5,0<x<24

（2）最早可行的進港時間為1時2分，5時10分出港；這條貨船一天中最多可以在港口中?？康目倳r

長為8小時16分.

【解析】

【分析】（1）由公式A=max1nm力=max+min可求,由表格可得周期丁=12.4—0=12.4,進而求

22

代入最高點（3.1,7.4）可求。；

（2）由題意可知進港條件為y>6.2,解不等式即可.

【小問1詳解】

由表格可知y的最大值為7.4,最小值為2.6,

7.4-2.674+2.6

所以A==2A,b=二5，

2-2-

由表格可知T=12.4—0=12.4，

2兀_2兀—571

所以刃二

T-12.4—31

(

所以y=2.4sin131x+cp+5,

將點(3.1,7.4)代入可得：7.4=2.4sinx3.1+。J+5,

5117T

所以一x3.1+/=—+24兀,keZ,

312

解得0=0+2也左￡Z,

因為憫〈方，所以。=0,

5兀

所以y=2.4sin——%+5,0<%<24.

’31

【小問2詳解】

貨船需要的安全水深為4.2+2=6.2米,

所以進港條件為y>6.2.

5兀

令2.4sin—x+5>6.2,

31

.5兀1

即sin—%>—,

312

TT57rSir

所以+fxVf+2E,左eZ,

6316

3162k3162k

解得H--------<X<-------1--------，女eZ,

30565

因為0Wx<24,

3131

所以左=0時，—<%<—,

306

403527

k=1時,---<%<----

3030

3131

因為一（時）=1時2分，一（時）=5時10分.

306

403

---（時）=13時26分，（時）=17時34分.

30

因此，貨船可以在1時2分進港,早晨5時10分出港；或在下午13時26分進港，下午17時34分

出港.

則該貨船最早進港時間1時2分，?？靠倳r長為8小時16分鐘.

已知鴻

19.在VA3C中，角A5C的對邊分別為。，b,csinC+cosC.

（1）求角3；

BABDBDBC

（2）若。是VA5C邊AC上的一點，且滿足-------=--------9a+4c=25,求的最大值.

7T

【答案】（1）B=—

3

（2）73

【解析】

【分析】（1）根據題意可得a=lysine+匕cosC，利用正弦定理結合三角恒等變換可得tan§=6,

3

即可得結果；

（2）根據題意結合向量夾角公式可得NABD=CBD=巴，利用面積關系可得正=,+工，利用乘“1”

6BDac

法結合基本不等式運算求解.

【小問1詳解】

因為@=^-sinC+cosC，即。=^-bsinC+bcosC，

b33

由正弦定理可得sinA=^-sinBsinC+sinBcosC>

3

且sinA=sin（3+C）=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，可得cos^sinC=—sinBsinC，

33

且Ce(O,7i),則sinCwO,可得tan5=若,

71

又因為0<5<兀，所以3=

【小問2詳解】

BABD_BD-BCBABDBDBC

因為|BA|一|BC|‘即卜小卜⑷一

可得cosZABD=cosZCBD,即ZABD=NCBD,

JT

可知平分/ABC,則/ABD=CBD=—,

6

因為^AABC=^AABD+^ABCD'

即避^=’6。義"工+工瓦”。義工，整理可得^^=工+，,

222222BDac

又因為9Q+4c=25,

當且僅當4一c=J9a,即〃=5—,。=大5時取等號,

ac32

可得，所以BD的最大值為百.

20.某汽車公司最新研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程(理論上是

指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程)的測試.現對測試數據進行整理，得到

如下的頻率分布直方圖：

入頻率

TW

0.009--------------1~I

0.004-------------

0.00021—

匕+-十-士一上一-1~~?單次最大

O180230280330380430續航里程/千米

(1)估計這100輛汽車的單次最大續航里程的平均值元(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)；

(2)由頻率分布直方圖計算得樣本標準差s的近似值為49.75.根據大量的汽車測試數據，可以認為這款汽

車的單次最大續航里程X近似地服從正態分布N(〃,b2),其中〃近似為樣本平均數元，。近似為樣本標準

差￡

(i)利用該正態分布，求尸(250.25<X<399.5)；

(ii)假設某企業從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大續航

里程位于區間(250.25,399.5)的車輛數，求E(Z)；

參考數據：若隨機變量。服從正態分布N(〃,b2),則尸(〃—+

P(//-2cr<^</u+2cr)=0.9545,P(//-3cr<^<//+3cr)=0.99731.

(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋

擲硬幣的結果，操控微型遙控車在x軸上從原點。出發向右運動，已知硬幣出現正、反面的概率都上，客

2

戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動一次，若擲出正面，則遙控車向移動一個單位，若擲出反面，則遙控車

向右移動兩個單位，直到遙控車移到點(59,0)(勝利大本營)或點(60,0)(失敗大本營)時，游戲結

束，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優惠券.設遙控車移到點(凡0)的概率為60),

試證明數列｛5—｝是等比數列(2W〃W59),求出數列｛與｝(1W〃W60)的通項公式，并比較￡9和心)

的大小.

【答案】(1)300(2)(i)0.8186；(ii)16.372

21(1丫71“

-----——,l<n<59

(3)證明見解析，匕=36){2；J，匕八>八Eo

11MY0

〔—3H—6U—J,n=60

【解析】

【分析】(1)根據平均數的求法求得正確答案.

(2)(i)根據正態分布的對稱性求得正確答案.

(ii)根據二項分布的知識求得正確答案.

(3)根據已知條件構造等比數列，然后利用累加法求得只，利用差比較法比較己9和的大小?

【小問1詳解】

x?205x0.1+255x0.2+305x0.45+355x0.2+405x0.05=300.

【小問2詳解】

(i)P(250.25<X<399.5)=0.6827+0~9545"0-6827=0.8186.

(ii))服從二項分布5(20,0.8186),；.E(Z)=20x0.8186=16.372.

【小問3詳解】

當3<〃<59時，Pn=1^-i=-1■(匕T-七2)，

4=通-6=j

-

乙乙乙乙'r

，{匕—々t}(2<〃<59)是以:為首項，—;為公比的等比數列，

匕—與T=；]—g](2<?<59).

鳥-，月-2…'匕一嘮(2<H<59).

累加得：

58

(2<“<59)然。=44="；

236

>0,P59>P6Q.

注：比較匕和尸6。的另一個過程：/卜。?=1一4＜卜4.

21.已知VABC的三個角A,B,。的對邊分別是。，b,c,且tanC=3tanjB.

(1)若a=2b,求C；

(2)若。=痛，b+c=3,求VABC的面積.

71

【答案】(1)-

3

(2)

4

【解析】

【分析】(1)由正弦定理化邊為角，化切為弦，再利用內角和定理結合兩角和正弦公式化簡求值即可;

(2)法一，由sinA=4sin3cosC利用正、余弦定理化角為邊，聯立匕+c=3解方程組可得6,。，進而求

得cosCsinC,然后由面積公式可得；法二，作輔助線三角形的高，由tanC=3tanB利用直角三角形化

角為邊，再利用勾股定理建立關于高的方程求解可得，進而可求面積.

【小問1詳解】

因為tanC=3tan5,

?,sinC3sinB皿

所以-----=-------,貝UsinCcos5=3sin5cosC.

cosCcosB

因為a=2b,由正弦定理可得，

sinA=2sinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=4sinBcosC,

所以2sin5=4sin5cosC,由B為三角形內角，故sinBwO,

所以cos。二,，又OvCv兀，

2

故。=巴.

3

【小問2詳解】

法一：由(1)知，sinCeosB=3sinBcosC,

則sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cos5sinC=4sinBcosC,

由正弦定理可得a=4Z?cosC,

a2+b7-c-6+b2-c1

由4=&，且COSC=代入a=3cosC可得

2ab2病

〃2_26

瓜=4x———，化簡得