專題06相似三角形（分層訓(xùn)練）

分層訓(xùn)練

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023上?上海奉賢?九年級(jí)校考期中）如圖，能推出。EII8C的比例式是（）

AADCEADDE-ABAC「ADAE

A.-=—B.—=—C.—=—D.—=一

BDAEABBCADAEABEC

【答案】c

【分析】根據(jù)兩邊成比例夾角相等證明△力DEABC,進(jìn)而證明乙4DE=N4BC,即可得到OEIIBC

【詳解】??譚=親

AB_AD

''AC=AE

又〃ME=4BAC,

???△ADEABC

:.Z.ADE=Z-ABC

:.DE\\BC

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2022上?廣東梅州九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知AAOE?△ABC,相似比為2：5,貝山尸：46為（）

A.2：5B.5：2C.5：1D.1.-5

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：fflAADE-AABC,相似比為2：5,AF1DE,AG1BC,

EL4F：AG=2:5,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵.

3.（2023上?河北石家莊?九年級(jí)統(tǒng)考期中）兩個(gè)相似三角形的面積之比為2:1,則這兩個(gè)三角形的周長比為

（）

A.1:2B.2:1C.V2:lD.4:1

【答案】C

【分析】利用兩個(gè)相似三角形的性質(zhì)面積的比等于相似比的平方，求出相似比，利用性質(zhì)即可求出

【詳解】解：國兩個(gè)相似三角形的面積之比為2：1,

回兩個(gè)相似三角形的相似比為混：1,

回這兩個(gè)三角形的周長比為VL1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)解題關(guān)鍵.

4.（2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在團(tuán)4BCD中，點(diǎn)E是2B上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF〃BC交CD于

點(diǎn)F,連接2F并延長交BC的延長線于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

An

Ei

BG

AAECGBCAF_AFDF一CFCG

A.—BE=—EFB.—BG=—AGC.—FG=—CFD.—AE=—EF

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形性質(zhì)與判定即可求出答案.

【詳解】解：團(tuán)在DABCD中，AB0CD,且EF團(tuán)BC,

團(tuán)四邊形EBCF是平行四邊形，

團(tuán)EB二CF,

A、在平行四邊形EFCB中，

團(tuán)EB=CF,

團(tuán)EF團(tuán)CG

團(tuán)團(tuán)AFE二團(tuán)G,

RIRIFCG二團(tuán)B二團(tuán)AEF,

回回AFEIM1FGC,

0BE=CF,

嚷=喋=去故A錯(cuò)誤；

DCCrCG

B、團(tuán)CF回AB,

噂=啜，故B正確；

DGA（J

C、［3AD0BC,

噴=給故C正確；

FGCF

D、幽FGC國AFE,

畤5=黑，故D正確；

AEEF

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定,本題屬于基礎(chǔ)題型.

5.（2022?重慶?模擬預(yù)測）如圖，已知AABC和ADEF位似，位似中心為點(diǎn)O,且二=|,若AABC的周長為

9,則ADEF的周長為（）

A

A.4B.6C.12D.13.5

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得△ABC回△DEF,且相似比為I，根據(jù)題意和相似三角形的性質(zhì)即可得△DEF的周長.

【詳解】解：回AaBC和ADEF位似，位似中心為點(diǎn)。，且母=|，

^ABC^DEF,且相似比為去

I3A4BC的周長為9,

0ADEF的周長為9x1=6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握相似三角形的判定與性質(zhì).

6.（2023上?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知△ABCEBDEF,AABC與ADEF面積之比為1：4.若BC=L則EF的長是

（）

A.V2B.2C.4D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

【詳解】REABCEHDEF,EIABC與I3DEF面積之比為1：4,

B3ABC與國DEF相似比為1：2,即些=工，0BC=1,

EF2

0EF=2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）如圖，將△28C沿BC邊向右平移得到△￡）屐,DE交4C于點(diǎn)G.若BC:EC=

3：LSMOG=16.則%CEG的值為（）

AD

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得且/。妨￡,故可得回CEG酮4OG,由相似三角形的性質(zhì)及已知條件

即可求得團(tuán)CEG的面積.

【詳解】由平移的性質(zhì)可得：AD=BE,且4。勖￡

^\CEG^ADG

喏H3

即SACEG=（赤）xS^ADG

⑦BC:EC=3:1

^BE\EC=2:1

^\AD\EC=2:1

團(tuán)SMDG=16

回^SCEG=（Jx16=4

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

8.（2023上?河北保定?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，不能保證4ACD麗ABC的條件是（）

A.AB:BC=AC:CDB.CD:AD=BC:ACC.CD2=AD-DCD.AC2=AB-AD

【答案】D

【分析】對(duì)應(yīng)邊成比例，且對(duì)應(yīng)角相等，是證明三角形相似的一種方法.團(tuán)ACD和E1ABC有個(gè)公共的回A,只

需要再證明對(duì)應(yīng)邊成比例即滿足相似，否則就不是相似.

【詳解】解：圖中有個(gè)鼬是公共角，只需要證明對(duì)應(yīng)邊成比例即可，

E1ACD中三條邊AC、AD、DC分另U對(duì)應(yīng)的EIABC中的AB、AC、BC.

A、B、C都滿足對(duì)應(yīng)邊成比例，

只有D選項(xiàng)不符合.

故本題答案選擇D

【點(diǎn)睛】掌握相似三角形的判定是解決本題的關(guān)鍵.

9.（2023上,廣東深圳,九年級(jí)深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）校考期中）如圖，在此EL48c中，EL4c8=90。，AC=3,

EL8/O30。，把此048。沿48翻折得至（JR/EL48,過點(diǎn)8作8E05C,交/。于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是線段上一點(diǎn),

且EL1D尸=45。.則下列結(jié)論：①AE=BE；②ELBEDEEUBC；（3）BD2=ADDE；@AF=y/6,其中正確的有（）

A.①④B.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】D

【分析】由折疊的性質(zhì)可求回員4￡>=皿。=30。，AD=AC=3,BD=BC=^3,0C=EL4Z>5=9O°,可得I3R4E=E1￡R4=3O。，

可證5E=4E,故①正確，由外角的性質(zhì)可得回8M=EUBC,可證回8EDEEU3C,故②正確；由相似三角形的

性質(zhì)，可得BL?2=4D?DE,故③正確；過點(diǎn)尸作FM4D于"，尸誣。于G,由面積法求出FH,DL的長，

由勾股定理可求/尸=傷，故④正確，即可求解.

【詳解】解：aa4c2=90°,ZC=3,血1C=3O°,

0EL45C=6O°,BC=V3,AB=2BC=2V3,

ES￡HBC,

EE￡B/=30°,

國把RtfMBC沿AB翻折得到Rt^ABD,

^\BAD=^\BAC=30°,AD=AC=3,BD=BC=小,0C=EL4D5=9O",

EEA4￡=EIEA4=30°,

SBE=AE,故①正確，

^BED^3\ABE+WAE^0°,

^\BED=^ABC,

又甌C=EAD8,

^EBEIXEABC,故②正確；

「BDDE

0---=----,

ACBC

^BD=BC,AD=AC,

^BD2=AD^DE,故③正確；

如圖，過點(diǎn)尸作77迥40于H尸G血)于G,

mDBE=90°-^BED=30°,姐。￡=90°,

05Z)=V3Z)￡^=V3,BE-2DE,

配)E=1,BE=2,

團(tuán)的。尸=45°=勖DRFH^AD,FG^BD,

由FH二FG,

iii

國S』BDE寺DxDE$DExHF+爭BDxGF,

07^=—,

2

幽40b二45。，^DHF=90°,

2

^AH=AD-DH=—,

2

^AF=\/AH2+HF2=46,故④正確，

綜上，①②③④均正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角

形的面積公式，勾股定理等知識(shí)，求出的長是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?山東泰安?統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，尸為4B邊上一點(diǎn).若M為CP的中點(diǎn)，NP8M=AACP,AB=

3,AC=2,則BP的長為（）

A.1B.2C.V5D.3

【答案】C

【分析】取4P中點(diǎn)G,連接MG,設(shè)/G=x,則尸G=x,BG^-x,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到MG\\AC,

由平行線的性質(zhì)得到NBGM="；接下來再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到"=等將相關(guān)數(shù)據(jù)代入得到方程,

GMBG

解方程得到/G的長，由力出3可得結(jié)果.

【詳解】如圖所示，取4P中點(diǎn)G,連接MG,

設(shè)貝！JPG=x,BG=3-xf

團(tuán)M為CP的中點(diǎn)，

回MG||AC,

回4BGM=Z-A,

0ZPBM=Z-ACP,

0AAPCfGMB,

解得：%=竽

EL4B=3,

EL4P=3-V5,

S\BP=V5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，準(zhǔn)確做出輔助線，找到相似三角形是關(guān)鍵.

11.（2023上?山東濰坊?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在AABC.與/C4D中，AD//BC,CD交AB于點(diǎn)E,且

AE-.EB=1:2,EF//BC交AC于點(diǎn)、F,則四邊形2DEF與/BEC的面積比為（）

【答案】A

2222

【分析】首先證明團(tuán)ADE麗BCE得SAADE：SABCE=AE：BE=1：4,再證明SAAEF：SAABC=AE：AB=1：9,求出S四邊.泣尸

即可得出結(jié)論?

【詳解】解：0DA//BC

釀DAE二團(tuán)EBC,回D二團(tuán)ECB,

釀ADE團(tuán)團(tuán)BCE,

0AE：EB=1:2,

團(tuán)SAADE：SABCE=AE2：BE2=1：4

SSAABC：SABCE=AB：BE=3：2,

又團(tuán)EF〃BC

回回AEF回回ABC

團(tuán)AE：AB=1：3,

0SAAEF：SAABC=AE2：AB2=1：9

113i

SSAAEF=-SAABC=-x-SABCE=-SABCE,

115

S四邊形ADEF=^^ADE+^AAEF=^ABCE+^ABCE=石2BCE

回四邊形ADEF與E1BEC的面積比為*

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理以及兩個(gè)三角形相似時(shí)，它們的面積比等于對(duì)應(yīng)線段比

的平方，即相似比的平方.

12.（2023上,上海青浦?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在AABC中，點(diǎn)D、E分別是4B、47上的點(diǎn)，下列比

例式中不能判定DEIIBC的是（）

ADAEADAE_BDCE一ADDE

AA.—=—B.—=—C.—=—D.—=—

ABACBDECABACABBC

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，證明△ZDEsZkZBC,進(jìn)而得出40=乙8,即可證明。EIIBC,即可求解.

【詳解】解：人.曜=^^EAD=Z.CAB

0AADE~>ABC,

回NO=Z-B,

SDEIIBC,故A選項(xiàng)不符合題意；

B?喘若，則冷條又聞D=

[?]△ADE?XABC,

團(tuán)乙。=乙B,

WEWBC,故B選項(xiàng)不符合題意；

C.—=—,則一=—,又4E/O=/.CAB

ABACABAC

0AADE-LABC,

國乙D=乙B,

WEWBC,故C選項(xiàng)不符合題意;

D?第=學(xué)，不能判斷AaDEsAABC，則不能證明CEIIBC,故D錯(cuò)誤，符合題意；

ABBC

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

13.（2023,陜西商洛?統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，E是CD邊的中點(diǎn)，且BEa4c于點(diǎn)尸，連接。尸,

則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

DEC

A.^ADCS^CFBB.AD=DF

BC_^3

D.

AC2S^ABF4

【答案】c

【分析】依據(jù)EIADC=EIBCD=90°,ECAD=EBCF,即可得到△ADCEBCFB；過D作DMEIBE交AC于N,交AB于M,

得出DM垂直平分AF,即可得至I]DF=DA；設(shè)CE=a,AD=b,則CD=2a,由△ADCH3CFB,可得±=2,可得

b2a

b=V^a,依據(jù)即可得出翌=￡根據(jù)E是CD邊的中點(diǎn)，可得CE：AB=1：2,再根據(jù)ACEFBaABF,

AB2AC3

即可得到學(xué)生=<1；2=1

%ABF24

【詳解】團(tuán)BE回AC,?ADC二團(tuán)BCD=90°,

回團(tuán)BCF+回ACD=回CAD+回ACD,

加CAD二回BCF,

麗ADC加CFB,故A選項(xiàng)正確；

如圖，過D作DM回BE交AC于N,交AB于M,

0DE0BM,BE團(tuán)DM,

DEC

回四邊形BMDE是平行四邊形,

0BM=DE=-DC,

2

0BM=AM,

團(tuán)AN=NF,

團(tuán)BE團(tuán)AC于點(diǎn)F,DM團(tuán)BE,

團(tuán)DN回AF,

0DM垂直平分AF,

團(tuán)DF二DA,故B選項(xiàng)正確；

設(shè)CE=a,AD=b,貝！JCD=2a,

[?]0ADC=0BCD=9OO,AADCfflCFB

加CBE二回DCA,

盟DAC二團(tuán)CEB,

0AADC00ECB,

由AADC回團(tuán)ECB,可得巴=2,

b2a

即b=V2a,

解=之，

AB2

AC=J(V2)2+22=V6,

嗤=?，故c選項(xiàng)錯(cuò)誤；

EIE是CD邊的中點(diǎn)，

0CE：AB=1：2,

又EICEEIAB,

EECEFEBABF,

碎包=C-)2=-,故選D選項(xiàng)正確;

SxABF24

故選：c.

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造平行四邊形

是解題的關(guān)鍵.

14.（2023上?浙江杭州?九年級(jí)校考期末）如圖，D,E分別是△48C的邊AB、上的點(diǎn)，DE//AC,若

SABDE：SACDE=1：2,則SADOE：SAAEC的值為（）

A

【答案】c

【分析】先根據(jù)等高三角形的面積證明BE：EC=1：2,進(jìn)而可得BE：BC=1：3；根據(jù)DE//AC可得△DOEEIA

COA,△SPE0ABAC,得到爺=ff=^=；,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到工。”：S“℃=02=［，再根

/1CDctzZi<5/icy

據(jù)等高三角形的面積計(jì)算得到S“℃：S&AEC=；=總即可得答案.

【詳解】回S^CDE=1：2,△和△OE等iWj,

團(tuán)BE：EC=1：2；

團(tuán)BE：BC=1：3；

WE//AC,

??.△DOE回△C04,△BDE^\LBAC,

.DE_BE_EQ_1

??AC~BC~OA~3’

曜=|'SADOE：SAA℃=（,）2=$

ISA4。。和4/EC等IWJ,

回S—oc：S-EC=^=：=*

回SADOE：S—EC=1：12.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)平行得出兩組相似三角形并熟練掌握相似三角形

的面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵.

15.（2022?山東濟(jì)寧?二模）已知。。是△ABC的外接圓，。。半徑為R,4。是△ABC的高，E是眈的中點(diǎn)，

EF與。。切于E,交4c的延長線于F,則下列結(jié)論：①AC?4B=2R?4D；②￡7迥5C；③CF-AC=EF-CM；

④黑=空!?其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】①連接/。并延長交回。于G點(diǎn)，連接CG,則BGC4=134）3=90。，EIG=EIS,證明EL4CG034D3,利

用相似比證明結(jié)論；②連接由跖為回。的切線可知O50ER由E是此的中點(diǎn)可知。￡05C,故結(jié)

論成立；③連接CE,證明a4cA顧EFC,禾！J用相似比證明結(jié)論；④過河點(diǎn)分別作〃PEL4C,MQSL4B,由

E是阮的中點(diǎn)可知NE平分勖/C,由角平分線的性質(zhì)得而El尸=回尸。”,在RZ0PCM和M33A①中，

分別表示sinELS,sinELPCAf,再求比即可.

【詳解】解：①如圖1,連接4。并延長交。。于G點(diǎn)，連接CG,

E

圖1

???4G為直徑,/.^GCA=/.ADB=90°,又乙G=(B,

???△ACGs匕ADB,

AC-AB=2R-AD,①正確；

②如圖1,連接。E,

???EF為。。的切線，E為切點(diǎn)，,0E1EF,

又E是品'的中點(diǎn)，，OELBC,

EF//BC,②正確；

③如圖2,連接CE,BE,

圖2

EF//BC.BE=CE,

???Z-ACM=Z.F,Z.ECB=Z.EAC=乙EBC,而NCAE=Z-EBC,

???/-CAE=Z-FEC,

ACM~AEFC,

.?.竺=生，即=③正確；

EFCF

④如圖2,過時(shí)點(diǎn)分別作MP_LAC,MQA.AB,垂足為P,Q,

E是阮的中點(diǎn)，

AE平分NB4C,MP=MQ,

又乙F=乙PCM,

.?.在Rt△PCM中，sin乙PCM=sinF=—,

CM

在RtzXBMQ中，sinB=黑

.??陋=也，④正確.

sinFBM7

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分

線的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義.關(guān)鍵是通過作輔助線，將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解.

二、填空題

16.（2023?浙江寧波?校聯(lián)考一模）如圖，將矩形/5CD沿直線NE折疊，頂點(diǎn)。恰好落在邊上的點(diǎn)尸處,

若DE=5,AB=8,則尸：SAFCE=.

【答案】4

【分析】由矩形的性質(zhì)可得NB=/C=ND=90。，AB=CD=8,由折疊的性質(zhì)可得DE=EF=5,ND=

ZAFE=90°,由勾股定理可求FC=4,由相似三角形的性質(zhì)可求〃ABF：S^CE的值.

【詳解】解：???四邊形ABCD是矩形

??.Z.B=Z.C=Z.D=90°,AB=CD=8

???DE=5,

???EC=3,

???折疊

DE=EF=5,ZD=ZAFE=90°

在心△EFC中，F(xiàn)C=VEF2-EC2=4

vZAFE=90°,4c=90°

??.ZAFB+Z.EFC=90°,ZEFC+ZFEC=90°

??.ZAFB=ZFEC,且NB=ZC=90°

???△ABF0AFCE

???寒=爆）2=5=生

故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是證△ABFEIAFCE.

17.（2023?湖南長沙?校考二模）若I3ABCEBDEF,且相似比為3：1,0ABC的面積為54,則EIDEF的面積為.

【答案】6

【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：00ABCEEDEF,相似比為3：1,

0^必生=32,即金-=9,

S^DEFS^DEF

解得，0DEF的面積=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方

這一定理.

18.（2023?云南曲靖,統(tǒng)考一模）已知，如圖，直線a||b||c,直線切，〃分別與直線a,b,c交于點(diǎn)/、B、C、

D、E、F,若4B:8C=4:7,DE=2.8cm,貝l]EF=cm.

【答案】4.9

【分析】根據(jù)平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例直接求解即可得到答案.

【詳解】解:Sa\\b\\c,

我="，

BCEF

^\AB\BC=4:7,DE=2.8cm,

7

0EF=2.8x-=4.9,

4

故答案為：4.9；

【點(diǎn)睛】本題考查平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例，解題的關(guān)鍵是熟練掌握此知識(shí)點(diǎn).

19.（2023上,貴州銅仁?九年級(jí)校考階段練習(xí)）若44C，，且篇=：，若及48c的面積為27cm2,則

△ABC的面積為.

【答案】48cm2/48平方厘米

【分析】由m且券=￡根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方，可得幽火與△4BC的

面積比，進(jìn)而可求得答案

【詳解】解：EEL4SC13AA'B'C,且*=三，

A'B'4

^^二2,

S^A'B,C,16

169

回SU'B'C'=S^ABCxm=48cm,

故答案為48cm2

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

20.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）在△4BC中，AB=6fAC=5,點(diǎn)D、3分別在邊AB,4c上,當(dāng)4D=4,乙4OE=

4c時(shí)，—=.

BC-------------

【答案】1/0.8

【分析】根據(jù)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似可證明AdBC?△4ED,再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可

得黃=黃，代入求解即可.

【詳解】在A4BC中，=^A,^ADE=zC,

0AABC-AAED,

SAD=4,AC=5,

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

21.（2023?廣東深圳?校考模擬預(yù)測）已知矩形2BCD中，AB=6,2。=8,P為CD邊上動(dòng)點(diǎn)，連接4P,過P作

PMLAP,在4P上截取PM=?PN,過P作PH_LMN于H,連接DH,貝爐”的最小值為

4

【答案】g

【分析】連接4C,求出4c=10,根據(jù)空=以證明△ADCNPM,得到乙4CD=4NMP,由NPHM=

Z.PCM=90。,得點(diǎn)尸、C、M、〃四點(diǎn)共圓，證得/PC"="MH="CD,即4C與HC共線，進(jìn)而得到當(dāng)QH1AC

時(shí)，DH的值最小，利用面積法求出答案.

【詳解】解：如圖，連接AC,DH,

EL4B=6,AD=8.Z.ADC=90°,

EL4C=10,

回PM=±3PN,CD=3-AD,

44

型=0

PNPM

^ADC=乙NPM=90°,

0AADC八NPM

回4/CD=乙NMP

團(tuán)匕PHM=APCM=90°,

團(tuán)點(diǎn)尸、C、M、8四點(diǎn)共圓，

^PCH=乙PMH=/-ACD,

西C與”C共線，

團(tuán)當(dāng)OH1AC時(shí)，DH的值最小，此時(shí)DH=

故答案為：g

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，垂線段最短，正確理解四點(diǎn)共圓得

到/C與HC共線是解題的關(guān)鍵.

22.（2022上?遼寧沈陽?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在RtZkABC中，ZC=9O°,是角平分線，點(diǎn)E在邊4C

上.AB=9,4。=6,AE=4,Z^C=50°.則4CDE的度數(shù)是.

【答案】25。

【分析】根據(jù)邊長及4。是角平分線，m^EAD-LDAB,則NEZX4=NB=90。—48"=40。，

^BAD=lNB4C=25。，利用三角形一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得答案.

【詳解】解：:人。是角平分線，

???Z-EAD=Z-DAB,

???AB=9,AD=6,AE=4,且62=4x9,

2

AD=AE-AB,BP—AE=AD

???LEAD?LDAB,

???Z-EDA=Z-B,

vZ.C=90°,Z^C=50°,

???乙B=400=乙EDA,AEAD=^BAD=25°,

Z-CDA=Z-DAB+Z-B=6S°,

???乙CDE=（CDA-^EDA=65°-40°=25°.

故答案為：25。.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用已知條件證明A"。SADAB,利用相似

三角形的角相等解題.

23.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考一模）正方形/BCD,WEC=90°,EC=6,則陰影EICBE面積是.

DC

【答案】18

【分析】過點(diǎn)E作8c邊的垂線，構(gòu)造相似三角形，得到陰影部分的高EN=^,再代入三角形面積公式可

得解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作瓦V0SC于點(diǎn)N,則ffl￡NC=90。，

團(tuán)四邊形ABCD是正方形，

團(tuán)；CB=CD,WCB=90°.

甑。￡。=90°,

^\CDE+^DCE=^DCE^BCE=90°,

^CDE=^BCE,

又回匕ENC=90。，

???乙DEC=乙ENC=90。,

團(tuán)團(tuán)。研團(tuán)國。CE,

回SABCE^BLEN=坪。噌噌=18.

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積問題，掌握構(gòu)建相似三角

形求解三角形的邊長是解題的關(guān)鍵.

24.（2023下?山東青島?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一乜"型紙片是由5個(gè)邊長都是10cm的正方形拼接而成，

過點(diǎn)/的直線分別與網(wǎng)交于點(diǎn)尸，Q,且乜"型紙片被直線尸。分成面積相等的上下兩部分，將該紙片

沿BG,CH,DI,。折成一個(gè)無蓋的正方體盒子后，點(diǎn)尸，。之間的距離為cm.

【答案】10

【分析】首先證明必+。/=10,在立體圖形中，證明四邊形3Gop為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：平面圖形中，SIJSPE,

^QIJWQPE,

..."=旦，即竺=坐』，

PEQEPEEQ

^\10EQ+10PE=PE^EQf

團(tuán)圖1被直線尸。分成面積相等的上、下兩部分,

???1xPE-EQ=|X5X100=250,

^\PE?QE=5OO,BPPE+QE=5O(cm),

^\PB+JQ=50-40=10(cm),

立體圖形中，連接MM

^\PB+JQ=W,JQ+QG=W,

SPB=QG,

回四邊形3G。尸為矩形，

^\PQ=BG=W(cm),

故答案為10.

B

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、幾何體的展開圖，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定

理是解題的關(guān)鍵.

25.（2023?廣西防城港?統(tǒng)考一模）如圖,將等腰RfflGAE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得至IJlSDAB,其中回GAE=EIDAB=90。,

GE與AD交于點(diǎn)M,過點(diǎn)D作DCI3AB交AE于點(diǎn)C.已知AF平分EIGAM,EHI3AE交DC于點(diǎn)H,連接FH交

DM于點(diǎn)N,若AC=2V3,則MN的值為.

【答案】9-5技

【分析】作MKEIAC,FTI3AD垂足分別為K,T,證明（SAGFEHAEM,SIAFTEEIAMK得至！JAF=AM,FT=MK=EK=DM,

在RT3ADC中根據(jù)已知條件求出CD,AD,設(shè)MK=EK=x,根據(jù)AE=AK+EK列出方程求出X,在RT3HEC中求出

HC,進(jìn)而求出DH,再根據(jù)一=——，求出DN,利用MN=AD-AM-DN求出MN.

FTNT

【詳解】解：作MK回AC,FT回AD垂足分別為K,T,

團(tuán)Rt團(tuán)GAE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到回DAB,

回回GAD=回CAB=60°,

團(tuán)團(tuán)GAE二團(tuán)DAB=90°,AG=AE=AD=AB,

團(tuán)團(tuán)DAC=30°,團(tuán)G=團(tuán)AEG=45°,

回AF平分回GAD,

團(tuán)團(tuán)GAF二團(tuán)FAT=30°,

（4G=4AEM,

在團(tuán)AGF和團(tuán)AEM中，（AG=4瓦

[z.GAF=/.MAE.

團(tuán)團(tuán)AGFRH1AEM,

團(tuán)AF=AM

ZFAT=乙MAK,

在回AFT和回AMK中，乙FTA=LMKA,

、AF=AM,

回回AFT回回AMK,

團(tuán)AT=AK,

團(tuán)AD=AE,

0DT=EK,

回回KME二團(tuán)KEM=45°,

回MK二EK=DT=FT,

設(shè)MK=KE=x,則AK=V3x,

團(tuán)AC=2遍，0DAC=3O°,

回DC=V5,AD=3,回AE=AD=3,

取+V^x=3

3（V3-1）

X—,

2

BDT=DM=FH=MK=EK=3（^-1\AM=3（V3-1）,EC=2A/3-3,

在RTEJHEC中，EEC=60°,EC=2V3-3,

EJHC=2EC=4V3-6,DH=DC-HC=V3-（4舊-6）=6-3痔

設(shè)DN=y,0DH0FT,

心”

FTNT

0y=2V3-3,

E1MN=AD-AM-DN=3-3（V3-1）-（2百-3）=9-5日

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行成比例等知識(shí)，靈活運(yùn)用全等三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

26.（2023?福建南平?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AC邊上的一點(diǎn).

⑴過點(diǎn)D作直線DEIIBC,交線段于點(diǎn)EE.

（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）;

⑵在⑴所作的圖形中，若券=3,求祭的值.

【答案】⑴作圖見解析

⑵]

【分析】（1）作4WE=”,DE交AB于點(diǎn)E,

（2）利用平行線分線段比例定理即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖，作乙4DE=4C,DE交線段4B于點(diǎn)E,

0￡）￡||BC,

則直線DE即為所作；

A

[2L4E=3EB

喘的值為|.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，考查了平行線的判定，平行線分線段成比例定理.掌握基本作圖

和平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵.

27.（2023上?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約1500年前，其中

有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標(biāo)桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？意思

是：如圖，有一根竹竿。8不知道有多長，量得它在太陽下的影子B4長一丈五尺，同時(shí)立一根一尺五寸的小

標(biāo)桿0'十，它的影子94長五寸，問竹竿0B的長度為多少尺？（注：工丈=10尺，1尺=10寸）

【答案】竹竿OB的長度為45尺.

【分析】根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長成正比可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)竹竿的長度為x尺，

團(tuán)竹竿的影長=一丈五尺=15尺，標(biāo)桿長=一尺五寸=1.5尺，影長五寸=0.5尺,

,.,x_—1.5，

150.5

解得％=45（尺），

答：竹竿OB的長度為45尺.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時(shí)刻物高與影長成正比是解答此題的關(guān)鍵.

28.(2022下?福建福州?九年級(jí)福建省福州屏東中學(xué)校考期中)如圖，四邊形/3C。內(nèi)接于回O,對(duì)角線NC

為回。的直徑，過點(diǎn)C作/C的垂線交的延長線于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為CE的中點(diǎn)，連接D3,DC,DF.

(1)求證：。尸是回。的切線；

⑵若AC=2yj3DE,求tan^ABD的值.

【答案】⑴見解析

(2)tanEL4j5Z)=V3.

【分析】(1)直接利用直角三角形的性質(zhì)得出。尸=CF=ER再求出0FDO=MCO=9O。，得出結(jié)論即可；

(2)利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理表示出0c的長，再利用圓周角定理得出tana4BD的值.

【詳解】(1)證明：連接OD

SOD=CO,

SSODC^OCD,

a4c為國。的直徑，

^EADC=^EDC=90°,

回點(diǎn)戶為CE的中點(diǎn)，

S\DF=CF=EF,

^EFDC=^\FCD,

W'DO^FCO,

又EL4C0CE,

EBFZ)O=MCO=90°,

回OZ)是半徑，

M)廠是回。的切線;

(2)解：回回E+R1C4￡=9O°,團(tuán)C/O+RL4cz)=90°,

盟DC4=HE,

又能⑷)0豳C￡=90°,

^\ACE^\ADC,

^AC2=ADXAE,

設(shè)DE=a,則AC=2y/3af

^112a2=ADCAD+a）,

^\AD=3a或-4a（舍去）,

WC2=AC2-AD2,

^\DC=V3a,

0tanEL4SD=tanEL4CD=—=萼S.

CDy/3a

【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題

意表示出4。，OC的長是解題關(guān)鍵.

29.（2023,陜西西安?三模）大唐不夜城位于陜西省西安市雁塔區(qū)的大雁塔腳下，以盛唐文化為背景，以唐

風(fēng)元素為主線，是西安唐文化展示和體驗(yàn)的首選之地.爸爸和貝貝來到大唐不夜城游玩，被漂亮的燈光夜

景吸引，貝貝想利用所學(xué)知識(shí)來測量路燈的高度.如圖，他們共同站在路燈下，爸爸的身高EF=1.8m,貝

貝的身高M(jìn)N=1.5m,他們的影子恰巧等于自己的身高，即BF=1.8m,CN=1.5m,兩人相距FN=4.7m,

求路燈4。的高度.

【答案】路燈4。的高度是4m.

【分析】由EF〃4￡）,得ABEF表示出DF；由用可〃4。,得4CMN八C4D,表示出DN,DF+DN=FN,

求得x的值.

【詳解】設(shè)路燈的高度為“m.

SEF//AD,IHABEF*-△BAD,

「EFBF

[21--=—

ADBD

l.81.8

即nn一=-----

x1.8+DF

解得DF=x-1.8.

SMN//AD,E1ACMNCAD,

「MNCN

0-=—

ADCD

即泮忌

解得0N=K—1.5.

回兩人相距4.7m,

SFD+ND=4.7,

0%—1.8+%—1.5=4.7,

解得久=4.

答：路燈40的高度是4m.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，利用平行確定相似三角形并表示出線段長度，是解題的關(guān)鍵

30.（2022上?廣西貴港?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知正方形4BC0,點(diǎn)E在邊BC上，連接4E.利用尺規(guī)在

4E上求作一點(diǎn)R使得AABEs^DFA.（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見解析

【分析】過點(diǎn)。作DFLAE于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸即為所求.

【詳解】如圖，點(diǎn)尸即為所求.

0DFLAE,

^ADF+ADAF=90°,4BAE+/.DAF=90°,

國乙4OF=/.BAE,

SAABE=AFD=90°,

0AABEDFA.

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知

識(shí)解決問題，屬于中考常考題型.

31.(2023?浙江?模擬預(yù)測)如圖，正方形4BCD的邊長為2后，E,尸分別是4B,的中點(diǎn)，AF與DE,DB

分別交于點(diǎn)V，N.請(qǐng)你回答下列問題：

⑴求證：AF1DE.

⑵直接寫出4M的長.

(3)求4DMN的面積.

【答案】⑴證明見解析

(2)273

(3)8

【分析】(1)只需要利用SAS證明△4EDSAB凡4得至IU4ED=ABFA,由NB4F+乙BFA=90。推出NAME+

Z.MEA=90°,即可證明4月1DE-,

(2)先利用勾股定理求出DE的長，再利用三角形面積法求出4M的長即可；

(3)先利用勾股定理求出DM的長,利用全等三角形的性質(zhì)得到4F的長，再證明△ADN八FBN,得到黑=

FN1

求出42=警，則MN=￡l即可利用三角形面積公式求得答案.

【詳解】(])證明：回四邊形4BCD是正方形,

0XB=AD=BC,乙DAE=AABF=90°,

回E、F分別是48,BC的中點(diǎn),

11

^AE=BF=-AB=-BC,

22

0AAED三AB凡4(SAS),

回乙4E。=乙BFA,

國乙BAF+^BFA=90°,

^Z-MAE+Z.MEA=90°,

^Z.AME=90°,

EL4F1DE；

(2)解：團(tuán)正方形4BCD的邊長為2危，3為4B的中點(diǎn),

EL4F=V15,AD=2V15,

0￡)￡=\lAE2+AD2=5V3,

團(tuán)S“DE=,/E=14M-DE,

—...AD-AE—rr

EL4M=------=2V3；

DE

(3)解：在Rt△4DM中，由勾股定理得￡W=<AD2-AM2=4次,

[?]△AED=△BFA,

^AF=DE=5V3,

回四邊形/BCD是正方形,

EL4DIIBC,

0AADN~AFBN,

^ANAD2

0—=—=-

FNBF1

m4N2AL10V3

MN=-AF=—

33

回M-AM4

*MN=迦.MN=*百x竽=8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定

等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

32.(2022?黑龍江綏化,校考一模)如圖，BD是圓。的直徑交BC于點(diǎn)E,延長DB到F,使BF=BO,

連接尸人

⑴求證：AB2=AD-AE-,

(2)若4E=4,ED=8,求48的長；

⑶在(2)的條件下，直線凡4為。。相切嗎？為什么？

【答案】⑴證明見詳解

(2)473

⑶直線凡4為。。相切，理由見詳解

【分析】(1)由4B=AC,得乙ABE=4ADB,證ABAE?即可求解；

(2)AE=4,￡7)=8,由48?=4D?4E=48,即可求解；

222

(3)連接。4由BD=y/AB+AD=J(4⑹2+l2=8A得。B=4B=。4=4A/3,AOBA=AOAB=

60°,進(jìn)而即可求解；

【詳解】(1)證明：血48=ac,

0AB=AC,

SAABE=/-ADB,

EINBAE=/.DAB,

0ABAE-△DAB,

^ABAE

?=—,

ADAB

^AB2=AD^AE.

(2)BAE=4,ED=8,

^AD=12,

^AB2=AD-AE=48,

EL4B=4V3.

(3)連接04

0BZ)=\/AB2+AD2=J(4V3)2+122=8A/3,

HOB=AB=OA=4V3,

E1N0B4=/.OAB=60°,

0BO=BF,

E1BF=AB,

^Z.BAF=30°,

國匕FAO=Z.BAF+Z.OAB=90°,

回直線F4為。。相切.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合應(yīng)用，相似三角形綜合，勾股定理，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

33.（2023?陜西西安?高新一中校考二模）新型冠狀病毒感染引發(fā)"疫情就是命令，現(xiàn)場就是戰(zhàn)場"家住武漢火

神山醫(yī)院旁的小華，目睹這與時(shí)間賽跑的建設(shè)場面，在家里的小華從離窗臺(tái)A水平距離2m的M點(diǎn)望去，

通過窗臺(tái)A處剛好俯瞰到遠(yuǎn)處醫(yī)院箱式板房頂部遠(yuǎn)端E點(diǎn)，小華又向窗戶方向前進(jìn)0.8m到Q點(diǎn)，恰好通過

窗臺(tái)A處看到板房頂部近處D點(diǎn)，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC,N、F在直線BC上，MQ、DE

都平行于地面BC,BC長300m,請(qǐng)你幫助小華計(jì)算DE的長度.

【答案】500m

【分析】延長ED交AB于H,延長MQ交BA的延長線于T,利用平行線分線段成比例定理解決問題即可.

【詳解】如圖，延長ED交AB于H,延長MQ交BA的延長線于T,

NBCF

由題意MT=2m,MQ=0.8m,

回QT=MT-MQ=2-0.8=1.2(m),

團(tuán)四邊形BCDH是矩形，

團(tuán)DH=BC=300(m),

團(tuán)QmDH,

^TA_QT_1,2_1

AH~DH-300-250’

0MT121DE,

「MTAT

0-=—，

DEAH

DE250

0DE=5OO(m).

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決

問題.

34.(2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丫=自尤+b的圖象分別與x軸、

y軸交于Z,2兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=件的圖象在第二象限交于C,￡>(一6,2)兩點(diǎn)，DE〃OC交x軸于點(diǎn)E,

妾絲—1

AC~3'

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式.

(2)求四邊形OCQE的面積.

D/7\

/A~Ed|x~

【答案】(1)y=x+8,y=——；(2)稱

JJx3

【分析】(工)先利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，然后結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)求得C點(diǎn)坐標(biāo)，

再利用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征并結(jié)合待定系數(shù)法求得/點(diǎn)和E點(diǎn)坐標(biāo)，然后用AZOC的面積減去

△力ED的面積求解.

【詳解】解：⑴將。(—6,2)代入y=件中，

—

fc2—6x2——12,

???反比例函數(shù)的解析式為y=--

過點(diǎn)D作DM1x軸，過點(diǎn)C作CN1x軸，

??.AADE?△4C。，

.AD_AE_DM_1

“AC~AO~CN~3’

??.CN=3DM=6,

將y=6代入y=一苫中，

解得：x=-2,

??.c點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,6),

將C(—2,6),0(—6,2)代入y=七％+b中,

可得「2七+b=6

，你（一6七+5=2'

解得:｛憶》

???一次函數(shù)的解析式為y=%+8；

（2）設(shè)直線。。的解析式為y=/n%,

將C（—2,6）代入，得：-2血=6,

解得：m=-3,

???直線0C的解析式為y=-3%,

由DE〃0C,設(shè)直線的解析式為y=—3%+幾,

將。（一6,2）代入可得：—3X（—6）+xi—2,

解得：幾=-16,

?,?直線DE的解析式為y=-3%-16,

當(dāng)y=0時(shí)，一3%—16=0,

解得：、=—三，

.加點(diǎn)坐標(biāo)為（-三,0）,

??.0E=—,

3

在y=%+8中，當(dāng)y=0時(shí)，％+8=0,

解得：％=-8,

???/點(diǎn)坐標(biāo)為（一8,0）,

。4=8,

“LC168

AE-8---=一,

33

S四邊形OCDE一$△4。。-S&AED

11

=-OA-CN--AE-DM

22

11