Page1第十二章全等三角形12.3角的平分線的性質(zhì)12.3角的平分線的性質(zhì)(第1課時(shí))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過探究理解角平分線的性質(zhì)并會(huì)運(yùn)用.2.駕馭尺規(guī)作圖作角的平分線.學(xué)習(xí)過程一、自主學(xué)習(xí)如圖,將一個(gè)角的兩邊對(duì)折,再折個(gè)直角三角形(以第一條折痕為斜邊),然后綻開,視察兩次折疊形成的三條折痕,你能得到什么結(jié)論?你能利用所學(xué)過的學(xué)問,說明你的結(jié)論的正確性嗎?二、深化探究1.對(duì)這種可以折疊的角能用折疊的方法確定其平分線,對(duì)不能折疊的角怎樣得到其平分線?有一個(gè)簡(jiǎn)易平分角的儀器(如圖),其中AB=AD,BC=DC,將A點(diǎn)放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿角的兩邊放下,過AC畫一條射線AE,AE就是∠BAD的平分線,為什么?2.從上面的探究中,可以得出作已知角的平分線的方法.已知什么?求作什么?把簡(jiǎn)易平分角的儀器放在角的兩邊,且平分角的儀器兩邊相等,從幾何角度怎么畫?簡(jiǎn)易平分角的儀器BC=DC,從幾何角度如何畫?如圖,已知∠AOB,用尺規(guī)作圖的方法作出∠AOB的角平分線OC,寫出作法,并說明這種作法的依據(jù).3.(1)在已畫好的角的平分線OC上隨意找一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別作OA,OB的垂線交OA,OB于點(diǎn)D,E.PE,PD的長(zhǎng)度是∠AOB的平分線上一點(diǎn)到∠AOB兩邊的距離.量出它們的長(zhǎng)度,你發(fā)覺了什么?(2)你能歸納角的平分線的性質(zhì)嗎?三、練習(xí)鞏固【例題】如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于一點(diǎn)P,求證:點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等.四、深化提高1.如圖所示,OP平分∠AOB,PC⊥OA于點(diǎn)C,PD⊥OB于點(diǎn)D,則PC與PD的大小關(guān)系是()A.PC>PD B.PC=PDC.PC<PD D.不能確定2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分線,若BC=10,BD∶CD=3∶2,則點(diǎn)D到AB的距離是()A.4 B.6C.8 D.103.在△ABC中,∠C=90°,E是AB邊的中點(diǎn),BD是角平分線,且DE⊥AB,則()A.BC>AE B.BC=AEC.BC<AE D.以上都有可能4.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF,求證:CF=EB.五、反思小結(jié)請(qǐng)同學(xué)們想一想:本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些學(xué)問內(nèi)容?你有哪些收獲?怎樣利用角平分線的性質(zhì)證明線段相等?1.如圖所示,點(diǎn)P是∠CAB的平分線上一點(diǎn),PF⊥AB于點(diǎn)F,PE⊥AC于點(diǎn)E,假如PF=3cm,那么PE=.

2.如圖所示,P在∠AOB的平分線上,在利用角平分線的性質(zhì)推證PD=PE時(shí),必需滿意的條件是.

3.如圖所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D.(1)若BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是.

(2)若BD∶DC=3∶2,點(diǎn)D到AB的距離為6,則BC的長(zhǎng)為.

4.如圖,∠1=∠2,AE⊥OB于點(diǎn)E,BD⊥OA于點(diǎn)D,AE與BD相交于點(diǎn)C.求證:AC=BC.參考答案一、自主學(xué)習(xí)從重合的角度得到角的平分線.二、深化探究1.AE是∠BAD的平分線.因?yàn)锳B所以△ABC≌△ADC(SSS).所以∠CAD=∠CAB,即射線AC就是∠DAB的平分線.2.已知∠AOB,求作∠AOB的平分線.作法:(1)以O(shè)為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧,分別交OA,OB于點(diǎn)M,N.(2)分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于12MN的長(zhǎng)為半徑作弧.兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)(3)作射線OC,射線OC即為所求.3.發(fā)覺PD=PE文字語(yǔ)言敘述:角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.符號(hào)語(yǔ)言:∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.三、練習(xí)鞏固例題解答證明:過點(diǎn)P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足為D,E,F.∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上.∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.故點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等.四、深化提高1.B2.A3.B4.證明:∵AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB,∠C=90°,∴△CDF和△EBD都是直角三角形,DC=DE.∵BD=DF,∴△CDF≌△EBD.∴CF=EB.五、反思小結(jié)答案:1.3cm2.PD⊥OA,PE⊥OB3.(1)3(2)154.證明:∵∠1=∠2,AE⊥OB于點(diǎn)E,BD⊥OA于點(diǎn)D,∴CD=CE,∠ADC=∠BEC=90°.∵∠ACD=∠BCE,∴△ACD≌△BCE.∴AC=BC.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.駕馭用尺規(guī)作已知角的平分線的方法;理解角的平分線的性質(zhì)并能初步運(yùn)用.2.經(jīng)驗(yàn)視察演示,動(dòng)手操作,合作溝通,自主探究等過程,培育用數(shù)學(xué)學(xué)問解決問題的實(shí)力.學(xué)習(xí)過程一、自主學(xué)習(xí)要探討角的平分線的性質(zhì)我們必需會(huì)畫角的平分線,工人師傅常用如圖所示的簡(jiǎn)易平分角的儀器來(lái)畫角的平分線.出示儀器模型,介紹儀器特點(diǎn)(有兩對(duì)邊相等),將A點(diǎn)放在角的頂點(diǎn)處,AB和AD沿角的兩邊放下,過AC畫一條射線AE,AE即為∠BAD的平分線.二、深化探究1.把簡(jiǎn)易平分角的儀器放在角的兩邊時(shí),平分角的儀器兩邊相等,從幾何作圖角度怎么畫?BC=DC,從幾何作圖角度怎么畫?2.讓學(xué)生用紙剪一個(gè)角,把紙片對(duì)折,使角的兩邊疊合在一起,把對(duì)折后的紙片接著折一次,折出一個(gè)直角三角形(使第一次的折痕為斜邊),然后綻開,視察兩次折疊形成的三條折痕.(1)第一次的折痕和角有什么關(guān)系?為什么?(2)其次次折疊形成的兩條折痕與角的兩邊有何關(guān)系,它們的長(zhǎng)度有何關(guān)系?3.依據(jù)折紙的依次畫出角及折紙形成的三條折痕.先分組探討、溝通,再利用幾何畫板軟件驗(yàn)證結(jié)論,并用文字語(yǔ)言闡述得到的性質(zhì).(角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)推斷正誤,并說明理由:(1)如圖1,點(diǎn)P在射線OC上,PE⊥OA,PF⊥OB,則PE=PF.(2)如圖2,點(diǎn)P是∠AOB的平分線OC上的一點(diǎn),E,F分別在OA,OB上,則PE=PF.圖1圖2(3)如圖3,在∠AOB的平分線OC上任取一點(diǎn)P,若P到OA的距離為3cm,則P到OB的距離也為3cm.圖3三、練習(xí)鞏固【例1】如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.【例2】已知:如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P.求證:點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等.四、深化提高1.已知△ABC中,∠B=90°,∠A,∠C的平分線交于點(diǎn)O,則∠AOC的度數(shù)為.

2.角平分線上的點(diǎn)到距離相等.

3.∠AOB的平分線上一點(diǎn)M,M到OA的距離為1.5cm,則M到OB的距離為.

4.在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分線,DE⊥AB于E,且DE=3cm,BD=5cm,則BC=cm.

五、反思小結(jié)這節(jié)課你有哪些收獲,還有什么困惑?通過本節(jié)課你了解了哪些思索問題的方法?1.三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到相等.

2.在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,則D到AB的距離為.

3.如圖,∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.PD=PEB.OD=OEC.∠DPO=∠EPOD.PD=OD4.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于點(diǎn)D,假如AC=3cm,那么AE+DE等于()A.2cm B.3cmC.4cm D.5cm5.如圖,已知△ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),求證:D到AB,AC的距離相等.參考答案一、自主學(xué)習(xí)見課件二、深化探究1、2見課件3.推斷正誤:(1)正確;(2)錯(cuò)誤;(3)正確.三、練習(xí)鞏固例1:證明:∵AD是它的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.又∵BD=CD,∴Rt△CDF≌Rt△BDE.∴EB=FC.例2: