PAGE1-第2講概率與統(tǒng)計A級基礎通關一、選擇題1．(2024·全國卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7解析：依題意P＝1－(0.15＋0.45)＝0.4.答案：B2．在長為16cm的線段MN上任取一點P，以MP，NP的長為鄰邊的長作一矩形，則該矩形的面積大于60cm2的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D.eq\f(3,4)解析：設MP＝xcm，則NP＝(16－x)cm，0<x<16，由x(16－x)>60，得6<x<10.所以所求概率為P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).答案：A3．(2024·全國卷Ⅱ)生物試驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標．若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,5) C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：設5只兔子中測量過某項指標的3只為a1，a2，a3，未測量過這項指標的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機抽出3只的全部可能狀況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測量過該指標的狀況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能．故恰有2只測量過該指標的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：B4．博覽會支配了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機依次前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若其次輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：干脆乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則()A．P1·P2＝eq\f(1,4) B．P1＝P2＝eq\f(1,3)C．P1＋P2＝eq\f(5,6) D．P1<P2解析：三輛車的出車依次可能為：123、132、213、231、312、321，共6種．方案一坐到“3號”車的可能：132、213、231，所以P1＝eq\f(3,6)；方案二坐到“3號”車的可能：312、321，所以P2＝eq\f(2,6)；所以P1＋P2＝eq\f(5,6).答案：C5．(2024·廣東廣州綜合測試)劉徽是我國魏晉時期的數(shù)學家，在其撰寫的《九章算術注》中首創(chuàng)“割圓術”、所謂“割圓術”，是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限靠近圓面積并以此求取圓周率的方法，如圖所示，圓內(nèi)接正十二邊形的中心為圓心O，圓O的半徑為2，現(xiàn)隨機向圓O內(nèi)投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二邊形內(nèi)(a，b∈N*，b<a)，則圓周率的近似值為()A.eq\f(b,a) B.eq\f(a,b) C.eq\f(3a,b) D.eq\f(3b,a)解析：由題意可得eq\f(S正十二邊形,S圓)＝eq\f(b,a)，易求S正十二邊形＝12×eq\f(1,2)×2×2×sin30°＝12，S圓＝4π，所以eq\f(12,4π)＝eq\f(b,a)，即π＝eq\f(3a,b).答案：C二、填空題6．(2024·長郡中學模擬)已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采納隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為________．解析：三次投籃恰有兩次命中的事務有：191，271，932，812，393，所以該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率P＝eq\f(5,20)＝0.25.答案：0.257．(2024·安徽合肥一模)部分與整體以某種相像的方程呈現(xiàn)稱為分形．謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基1915年提出．詳細操作是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線，將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復上述過程逐次得到各個圖形，如圖．現(xiàn)在圖(3)中隨機選取一個點，則此點取自陰影部分的概率為________．解析：設題圖(3)中一個小陰影三角形的面積為S，則整個三角形的面積為16S，陰影部分的面積為9S，由幾何概型，在題圖(3)中隨機選取一個點，則此點取自陰影部分的概率為eq\f(9,16).答案：eq\f(9,16)8．(2024·江蘇卷)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參與志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是________．解析：法1：設3名男同學分別為A，B，C，2名女同學分別為a，b.則全部等可能事務分別為(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10個，選出的2名同學中至少有1名女同學包含的基本領件分別為(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7個．故所求事務的概率P＝eq\f(7,10).法2：同法1，得全部等可能事務共10個，選出的2名同學中沒有女同學包含的基本領件分別為(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3個．故所求概率為1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).答案：eq\f(7,10)三、解答題9．(2024·北京卷)電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；(3)電影公司為增加投資回報，擬變更投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變更．假設表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變更，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率削減0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大(只需寫出結論)?解：(1)設“從電影公司收集的電影中隨機選取1部，這部電影是獲得好評的第四類電影”為事務A.電影公司共收集電影140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000(部)．第四類電影中獲得好評的有200×0.25＝50(部)，故P(A)＝eq\f(50,2000)＝0.025.(2)設“隨機選取1部電影，這部電影沒有獲得好評”為事務B.沒有獲得好評的電影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部)，故P(B)＝eq\f(1628,2000)＝0.814.(3)增加第五類電影的好評率，削減其次類電影的好評率．10．(2024·湖南郴州第三次質(zhì)量檢測)某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類學問的網(wǎng)絡問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機會，通過隨機抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分(滿分：100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下表所示．組別[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關注者”，請完成下面的2×2列聯(lián)表，并推斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是不是“環(huán)保關注者”與性別有關；分類非“環(huán)保關注者”是“環(huán)保關注者”總計男女總計(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達人”．現(xiàn)在從本次調(diào)查的“環(huán)保達人”中利用分層抽樣的方法隨機抽取5名市民參與環(huán)保學問問答，再從這5名市民中抽取2人參與座談會，求抽取的2名市民中，既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率．附表及公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d，P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)2×2列聯(lián)表如下：分類非“環(huán)保關注者”是“環(huán)保關注者”合計男104555女153045合計2575100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得K2＝eq\f(100×（30×10－45×15）2,25×75×55×45)≈3.03<3.841，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，不能認為是不是“環(huán)保關注者”與性別有關．(2)由題可知，利用分層抽樣的方法抽得男“環(huán)保達人”3人，女“環(huán)保達人”2人．設3個男“環(huán)保達人”分別為A，B，C；2個女“環(huán)保達人”分別為D，E.從中抽取2人的全部狀況為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10種狀況．既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的情形有(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)共6種．所以所求事務的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).B級實力提升11．定義min(a，b)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≤b,b，a>b))，由集合{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}確定的區(qū)域記作Ω，由曲線C：y＝min{x，－2x＋3}和x軸圍成的封閉區(qū)域記作M，向區(qū)域Ω內(nèi)投擲12000個點，則落入?yún)^(qū)域M的點的個數(shù)為()A．4500 B．4000 C．3500 D．3000解：依題設(如圖)，區(qū)域Ω確定的面積SΩ＝S矩形＝2×1＝2.又曲線C和x軸圍成的封閉區(qū)域M的面積SM＝S△OAB＝eq\f(1,2)×1×eq\f(3,2)＝eq\f(3,4).所以落入?yún)^(qū)域M的概率為P＝eq\f(SM,SΩ)＝eq\f(\f(3,4),2)＝eq\f(3,8)，從而落入?yún)^(qū)域M的點的個數(shù)為12000×eq\f(3,8)＝4500.答案：A12．某書店為了了解銷售單價(單位：元)在[8，20)內(nèi)的圖書銷售狀況，從2024年上半年已經(jīng)銷售的圖書中隨機抽取100本，獲得的全部樣本數(shù)據(jù)依據(jù)[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20)分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知樣本中銷售單價在[14，16)內(nèi)的圖書數(shù)是銷售單價在[18，20]內(nèi)的圖書數(shù)的2倍．(1)求出x與y，再依據(jù)頻率分布直方圖估計這100本圖書銷售單價的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)用分層抽樣的方法從銷售單價在[8，20)內(nèi)的圖書中共抽取40本，分別求出單價在各組樣本數(shù)據(jù)中的圖書銷售的數(shù)量；(3)從(2)中價格低于12元的書中任取2本，求這2本書價格都不低于10元的概率．解：(1)樣本中圖書的銷售單價在[14，16]內(nèi)的圖書數(shù)是x×2×100＝200x，樣本中圖書的銷售單價在[18，20]內(nèi)的圖書數(shù)是y×2×100＝200y，依據(jù)題意，有200x＝2×200y，即x＝2y，①依據(jù)頻率分布直方圖可知(0.1×2＋0.025＋x＋0.05＋y)×2＝1，②由①②得x＝0.15，y＝0.075.依據(jù)頻率分布直方圖估計這100本圖書銷售單價的平均數(shù)為9×0.025×2＋11×0.05×2＋13×0.1×2＋15×0.15×2＋17×0.1×2＋19×0.075×2＝0.45＋1.1＋2.6＋4.5＋3.4＋2.85＝14.9(元)．(2)因為銷售單價在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20)的圖書的分層抽樣比為1∶2∶4∶6∶4∶3，故在抽取的40本圖書中，銷售單價在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20)內(nèi)的圖書分別為40×eq\f(1,20)＝2(本)，40×eq\f(2,20)＝4(本)，40×eq\f(4,20)＝8(本)，40×eq\f(6,20)＝12(本)，40×eq\f(4,20)＝8(本)，40×eq\f(3,20)＝6(本)．(3)這40本書中價格低于12元的共有6本，其