PAGEPAGE6第4講直線與圓、圓與圓的位置關系[基礎達標]1．已知集合A＝{(x，y)|x，y為實數，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y為實數，且x＋y＝1}，則A∩B的元素個數為()A．4 B．3C．2 D．1解析：選C.(干脆法)集合A表示圓，集合B表示一條直線，又圓心(0，0)到直線x＋y＝1的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<1＝r，所以直線與圓相交．2．直線l：x－y＋m＝0與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共點，則m的取值范圍是()A．[－eq\r(2)，eq\r(2)] B．[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]C．[－eq\r(2)－1，eq\r(2)－1] D．[－2eq\r(2)－1，2eq\r(2)－1]解析：選D.圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心為(2，1)，半徑為2，圓心到直線的距離d＝eq\f(|2－1＋m|,\r(2))＝eq\f(|m＋1|,\r(2))，若直線l與圓C恒有公共點，則eq\f(|m＋1|,\r(2))≤2，解得－2eq\r(2)－1≤m≤2eq\r(2)－1，故選D.3．若圓x2＋y2＝a2與圓x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦長為2eq\r(3)，則a的值為()A．±2 B．2C．－2 D．無解解析：選A.圓x2＋y2＝a2的圓心為原點O，半徑r＝|a|.將x2＋y2＝a2與x2＋y2＋ay－6＝0左右分別相減，可得a2＋ay－6＝0，即得兩圓的公共弦所在直線的方程為a2＋ay－6＝0.原點O到直線a2＋ay－6＝0的距離d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,a)－a))，依據勾股定理可得a2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,a)－a))eq\s\up12(2)，所以a2＝4，所以a＝±2.故選A.4．(2024·臺州中學高三月考)若直線y＝kx＋4＋2k與曲線y＝eq\r(4－x2)有兩個交點，則k的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D．(－∞，－1]解析：選B.曲線y＝eq\r(4－x2)即x2＋y2＝4(y≥0)，表示一個以(0，0)為圓心，以2為半徑的位于x軸上方的半圓，如圖所示．直線y＝kx＋4＋2k即y＝k(x＋2)＋4，表示恒過點(－2，4)，斜率為k的直線，結合圖形可得kAB＝eq\f(4,－4)＝－1，因為eq\f(|4＋2k|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq\f(3,4)，即kAT＝－eq\f(3,4)，所以要使直線與半圓有兩個不同的交點，k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4))).5．圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0(D<0，E為整數)的圓心C到直線4x－3y＋3＝0的距離為1，且圓C被截x軸所得的弦長|MN|＝4，則E的值為()A．－4 B．4C．－8 D．8解析：選C.圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).由題意得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))＋3)),\r(42＋（－3）2))＝1，即|4D－3E－6|＝10，①在圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0中，令y＝0得x2＋Dx－3＝0.設M(x1，0)，N(x2，0)，則x1＋x2＝－D，x1x2＝－3.由|MN|＝4得|x1－x2|＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝16，(－D)2－4×(－3)＝16.因為D<0，所以D＝－2.將D＝－2代入①得|3E＋14|＝10，所以E＝－8或E＝－eq\f(4,3)(舍去)．6．已知圓C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1和兩點A(－t，0)，B(t，0)，(t>0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則當t取得最大值時，點P的坐標是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))解析：選D.設P(a，b)為圓上一點，由題意知，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，即(a＋t)(a－t)＋b2＝0，a2－t2＋b2＝0，所以t2＝a2＋b2＝|OP|2，|OP|max＝2＋1＝3，即t的最大值為3，此時kOP＝eq\f(\r(3),3)，OP所在直線的傾斜角為30°，所以點P的縱坐標為eq\f(3,2)，橫坐標為3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2))).7．(2024·浙江中學學科基礎測試)由直線3x－4y＋5＝0上的一動點P向圓x2＋y2－4x＋2y＋4＝0引切線，則切線長的最小值為________．解析：當直線上的點到圓心(2，－1)的距離最短時，切線長最小．此時，圓心到直線的距離d＝eq\f(|3×2－4×（－1）＋5|,\r(32＋（－4）2))＝3，r＝1，所以切線長為2eq\r(2).答案：2eq\r(2)8．(2024·杭州七校聯考)已知圓C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，直線l過圓心且交圓C于A，B兩點，交y軸于P點，若2eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，則直線l的斜率k＝________．解析：依題意得，點A是線段PB的中點，|PC|＝|PA|＋|AC|＝3eq\r(5)，過圓心C(3，5)作y軸的垂線，垂足為C1，則|CC1|＝3，|PC1|＝eq\r(（3\r(5)）2－32)＝6.記直線l的傾斜角為θ，則有|tanθ|＝eq\f(|PC1|,|CC1|)＝2，即k＝±2.答案：±29．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，若等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則|PC|的最大值為________．解析：已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，所以圓心為C(1，2)，半徑r＝eq\r(2)，若等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則PC⊥AB.在△PAC中，∠APC＝30°，由正弦定理得eq\f(|AC|,sin30°)＝eq\f(|PC|,sin∠PAC)，所以|PC|＝2eq\r(2)sin∠PAC≤2eq\r(2)，故|PC|的最大值為2eq\r(2).答案：2eq\r(2)10．(2024·紹興柯橋區高三下學期考試)已知圓O1和圓O2都經過點(0，1)，若兩圓與直線4x－3y＋5＝0及y＋1＝0均相切，則|O1O2|＝________．解析：如圖，因為原點O到直線4x－3y＋5＝0的距離d＝eq\f(|5|,\r(42＋（－3）2))＝1，到直線y＝－1的距離為1，且到(0，1)的距離為1，所以圓O1和圓O2的一個圓心為原點O，不妨看作是圓O1，設O2(a，b)，則由題意：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋1＝\r(a2＋（b－1）2),b＋1＝\f(|4a－3b＋5|,\r(42＋（－3）2))))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝1)).所以|O1O2|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).答案：eq\r(5)11．(2024·浙江省名校協作體高三聯考)已知圓C：(x－1)2＋y2＝9內有一點P(2，2)，過點P作直線l交圓C于A，B兩點．(1)當l經過圓心C時，求直線l的方程；(2)當直線l的傾斜角為45°時，求弦AB的長．解：(1)已知圓C：(x－1)2＋y2＝9的圓心為C(1，0)，因為直線過點P，C，所以kPC＝eq\f(2－0,2－1)＝2，直線l的方程為y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)當直線l的傾斜角為45°時，斜率為1，直線l的方程為y－2＝x－2，即x－y＝0，圓心C到直線l的距離為eq\f(1,\r(2))，又因為圓的半徑為3，所以弦AB的長為eq\r(34).12．圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心坐標為(2，1)．(1)若圓O1與圓O2外切，求圓O2的方程；(2)若圓O1與圓O2相交于A，B兩點，且|AB|＝2eq\r(2)，求圓O2的方程．解：(1)因為圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓心O1(0，－1)，半徑r1＝2.設圓O2的半徑為r2，由兩圓外切知|O1O2|＝r1＋r2.又|O1O2|＝eq\r(（2－0）2＋（1＋1）2)＝2eq\r(2)，所以r2＝|O1O2|－r1＝2eq\r(2)－2.所以圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝12－8eq\r(2).(2)設圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝req\o\al(2,2)，又圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，相減得AB所在的直線方程為4x＋4y＋req\o\al(2,2)－8＝0.設線段AB的中點為H，因為r1＝2，所以|O1H|＝eq\r(req\o\al(2,1)－|AH|2)＝eq\r(2).又|O1H|＝eq\f(|4×0＋4×（－1）＋req\o\al(2,2)－8|,\r(42＋42))＝eq\f(|req\o\al(2,2)－12|,4\r(2))，所以eq\f(|req\o\al(2,2)－12|,4\r(2))＝eq\r(2)，解得req\o\al(2,2)＝4或req\o\al(2,2)＝20.所以圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.[實力提升]1．兩圓x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三條公切線，若a∈R且ab≠0，則eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值為()A．1 B．3C．eq\f(1,9) D．eq\f(4,9)解析：選A.由題意知兩圓的標準方程為(x＋a)2＋y2＝4和x2＋(y－2b)2＝1，圓心分別為(－a，0)和(0，2b)，半徑分別為2和1，因為兩圓恰有三條公切線，所以兩圓外切，故有eq\r(a2＋4b2)＝3，即a2＋4b2＝9，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)＋\f(9,b2)))＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4b2,a2)＋\f(a2,b2)＋4))≥eq\f(1,9)×(1＋4＋4)＝1.當且僅當eq\f(4b2,a2)＝eq\f(a2,b2)，即|a|＝eq\r(2)|b|時取等號，故選A.2．在平面直角坐標系xOy中，點A(0，3)，直線l：y＝2x－4，設圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點M，使MA＝2MO，則圓心C的橫坐標a的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5))) B．[0，1]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(12,5))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5)))解析：選A.因為圓心在直線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.設點M(x，y)，因為MA＝2MO，所以eq\r(x2＋（y－3）2)＝2eq\r(x2＋y2)，化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上．由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤eq\r(a2＋（2a－3）2)≤3.由eq\r(a2＋（2a－3）2)≥1得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；由eq\r(a2＋（2a－3）2)≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤eq\f(12,5).所以點C的橫坐標a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5))).故選A.3．(2024·浙江省鎮海中學高三模擬)已知點P(a，b)關于直線l的對稱點為P′(b＋1，a－1)，則圓C：x2＋y2－6x－2y＝0關于直線l對稱的圓C′的方程為______________；圓C與圓C′的公共弦的長度為________．解析：由題設將圓C：x2＋y2－6x－2y＝0中的x，y換為y＋1，x－1可得圓C′的方程為(y＋1)2＋(x－1)2－6(y＋1)－2(x－1)＝0，即x2＋y2－4x－4y－2＝0，也即(x－2)2＋(y－2)2＝10；將兩圓的方程兩邊相減可得公共弦的直線方程為x－y－1＝0，圓心C′(2，2)到該直線的距離d＝eq\f(1,\r(2))，半徑r＝eq\r(10)，故弦長L＝2eq\r(10－\f(1,2))＝eq\r(38).答案：(x－2)2＋(y－2)2＝10eq\r(38)4．(2024·高考全國卷Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x，過點(2，0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．(1)證明：坐標原點O在圓M上；(2)設圓M過點P(4，－2)，求直線l與圓M的方程．解：(1)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋2，,y2＝2x))可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝－4.又x1＝eq\f(yeq\o\al(2,1),2)，x2＝eq\f(yeq\o\al(2,2),2)，故x1x2＝eq\f(（y1y2）2,4)＝4.因此OA的斜率與OB的斜率之積為eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(－4,4)＝－1，所以OA⊥OB.故坐標原點O在圓M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.故圓心M的坐標為(m2＋2，m)，圓M的半徑r＝eq\r(（m2＋2）2＋m2).由于圓M過點P(4，－2)，因此eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－eq\f(1,2).當m＝1時，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標為(3，1)，圓M的半徑為eq\r(10)，圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.當m＝－eq\f(1,2)時，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，－\f(1,2)))，圓M的半徑為eq\f(\r(85),4)，圓M的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al