第08講有理數除法（7種題型）

3【知識梳理】

一、有理數的除法

1.倒數的意義：乘積是1的兩個數互為倒數.

要點詮釋：

⑴“互為倒數”的兩個數是互相依存的.如-2的倒數是-'，-2和-,是互相依存的；

22

（2）0和任何數相乘都不等于1,因此0沒有倒數；

（3）倒數的結果必須化成最簡形式，使分母中不含小數和分數；

（4）互為倒數的兩個數必定同號（同為正數或同為負數）.

2.有理數除法法則：

法則一：除以一個不等于o的數，等于乘這個數的倒數，即。十萬=4?工3/0）.

b

法則二：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數，都得0.

要點詮釋：

（1）一般在不能整除的情況下應用法則一，在能整除時應用法則二方便些.

（2）因為0沒有倒數，所以0不能當除數.

（3）法則二與有理數乘法法則相似，兩數相除時先確定商的符號，再確定商的絕對值.

二、有理數的乘除混合運算

由于乘除是同一級運算，應按從左往右的順序計算，一般先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后算出

結果.

三、有理數的加減乘除混合運算

有理數的加減乘除混合運算，如無括號，則按照“先乘除，后加減”的順序進行，如有括號，則先算括號里

面的.

'T【考點剖析】

題型一：直接判定商的符號和絕對值進行除法運算

例1.計算：⑴（-15）+（—3）；（2）12+（一；）；（3）（-0.75）4-（0.25）.

解析：采用有理數的除法：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除解答.

解：(1)(—15)4-(—3)=+(154-3)=5；

⑵124-(―5=—(12+；)=—48；

(3)(-0.75)4-(0.25)=-(0.754-0.25)=-3.

方法總結：注意先確定運算的符號.根據“同號得正，異號得負”的法則進行計算.本題屬于基礎題，考查

對有理數的除法運算法則掌握的程度.

題型二：倒數的概念

例2.—3的倒數是()

'11C

A.--B.—C.—3D.3

33

【答案】A

【解析】

互為倒數的兩個數乘積為1,(-3)x(-g)=l.故選A.

23

【變式】-(--)的相反數與--的倒數的積為_________.

54

Q

【答案

【解析】

22

解：-(-彳)的相反數是-彳，

34

--的倒數是-一，

43

93948

-(-二)的相反數與-一的倒數的積是--x(-一)=二，

545315

Q

故答案為：—.

題型三：分數的化簡

例3.化簡下列分數：

16

.,/、-21—7X3/、-3-(-0.3)X20/、28

2-O3

斛析：(1)『==^=3；(2)工.—=20；⑷』

284X74

=49=7X7=7,

14

解：(1)3；(2)(3)20；(4)-

方法總結：化簡分數時要注意分子、分母的符號，同號結果為正，異號結果為負.

【變式1］已知a、b、c為不等于零的有理數，你能求出回+回+皿的值嗎？

abc

【思路點撥】先分別確定a、b、c的取值，再代入求值.

【答案與解析】

解：分四種情況:

(1)當a、b、c三個數都為正數時，回+回+回=0+2+￡=1+1+1=3；

abcabc

(2)當a、b、c三個數中有兩個為正數，一個為負數時，不妨設a為負數，b、c為正數，

\a\\b\\c\-abc....

'~L+-~~L+—=—+-+-=-14-1+1=1；

abcabc

(3)當a、b、c三個數中有一個為正數，兩個為負數時，不妨設a為正數，b、c為負數，

\a\\b\\c\a-b-c....

'-―L+—=—+—+—=1-1-1=-1；

abcabc

(4)當a、b、c三個數都為負數時，+皿■=，■+/+，=(-1)+(-1)+(-1)=-3

abcabc

綜上，回+回+1￡1的值為：3,-3,1,-1

abc

【總結升華】在含有絕對值的式子中，當不知道絕對值里面的數的正負時，需分類討論.

nnhGChe

【變式2】已知a,b,c為非零的實數，則L+E+L+T71的可能值的個數為()

\a\\ab\\ac\\bc\

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】解：①。、b、c三個數都是正數時，a>0,afa>0,ac>0,bc>0,原式=1+1+1+1=4；

②。、b、c中有兩個正數時，設為o>0,b>0,c<0,貝!Jab>0,ac<0,bc<0,原式=1+1-1-1=0

設為o>0,b<Q,c>0,則abVO,ac>Q,bc<Q,原式=1-1+1-1=0；

設為。VO,b>0,c>0,貝!JobVO,ac<0,bc>0,原式二-1-1-1+1=-2；

③o、b、c有一個正數時，設為。>0,b<0,c<0,則ab<0,ac<0,bc>Of原式=1-1-1+1=0；

設為oVO,b>0,c<0,則abVO,ac>0,bc<0,原式=-1-1+1-1=-2；

設為oVO,b<0,c>0,貝!Job>0,ac<0,bc<0,原式二-1+1-1-1=-2；

④o、b、c三個數都是負數時，即o<0,b<0,c<0,則ob>0,ac>0,bc>0,原式=-1+1+1+1=2.

綜上所述：］—r+i~~~r+?r+-r~j"的可能值的個數為4.

\a\\ab\\ac\\bc\

故選A.

\a\b

【變式3】計算□+占的取值.

a\b\

【答案】(1)當a>0、b>0時，M^=-+-=l+l=2；

ab

一nh

(2)當a<0、b<0時，原式=----1---=—1—1=—2；

a-b

_ab

(3)當a>0,bVO時，原式二—I---=1—1=0；

a-b

一ah

(4)當aVO,b>0時，原式=---1——=—1+1=0.

ab

綜上，-~~■的值為：2,—2,0

a\b\

題型四：將除法轉化為乘法進行計算

例4.計算：

2

(1)(—18)4-(―-)；

O

49

(2)164-(—―)4-(―-).

OO

解析：本題可采用有理數的除法：除以一個數就等于乘以這個數的倒數解答.

9QQ

解：(1)(-18)+(--)=(-18)X(--)=18X-=27；

O乙乙

/\/4\/9、/3\/8、3832

⑵164-(―-)4-(―-)=16義(―T)X(―-)=16X-X-=—

jo4y4yo

方法總結：此題考查了有理數的除法運算，有理數的除法運算通常利用除以一個數等于乘以這個數的倒數化

為乘法運算來求.

【變式1】計算：(-49)+§+

【思路點撥】對于乘除混合運算，首先由負數的個數確定結果的符號，同時應將小數化成分數，帶分數化成

假分數，算式化成連乘積的形式，再進行約分.但要注意除法沒有分配律.

【答案與解析】

(一49)+2}.3)=(-49)x[-|jx|x[-1j=-[49x|x|x|j

解:=-3

【總結升華】進行乘除混合運算時，往往先將除法轉化為乘法，再確定積的符號，最后求出結果.

【變式2】計算：(―3g)X—2g)+(—日)

【答案】原式=(—>1)0><(—32)x(—5二)=—2上5

37621

【變式3](1上2_*+*2)+(_25)

67342

1225

[答案](------1—)+(----)

67342

12242

=(-----1--)x(---)

6735

142242242

=—X(------)——X(------)+—X(------)

657535

_23

一一二

1313

【變式4][1----(—I-----)x24]4-(—5)；.

24864

1313

【答案】[1——(-+——-)x24]<-(-5)

24864

—-9-4+18)x

(1-

24

-tI

1

【變式5】—5一x(----)x--?(1—)

232114

I

【答案】

3

12_J_1_2

例5.計算:-+-

303TO65

【答案與解析】

方法1：〔一《〉［3+3T+奸1°一

2__J_J__2\2

方法2：x(-30)=-10

§一m+彳一二廠「13廠店—歷+%—5

【總結升華】除法沒有分配律，在進行有理數的除法運算時，若除數是和的形式，一般先算括號內的，然后

再進行除法運算，也可以仿照方法2利用倒數關系巧妙解決，如果按a+(b+c)=a+b+a+c進行分配就錯

了.

【變式1]

105735

…z1rlzk1,1291

10573510510529

【變式2】⑴；(2)—+

4536060453

【解析】第（2）題屬于易錯題，因為除法沒有分配律，只有乘法才有分配律，而一些學生往往因不看清題

目而錯誤地運用運算規律。

111151220

【答案】解：（1）解法一：（:--------+--

536O6O601x60=——x60=23

6060

111111

z6O

--(--+^X--

解法二：（-------F3\4-534x60--x60+-x60=23

6053

（顯然，解法二中運用了乘法分配律后計算方法很簡單。）

1111111

(2)錯解：—+-

6045360?4-60,560,330

（出錯的原因在于：除法沒有分配律，從而是不能運用的）

1

正確解法一:

23

正確解法二:

，根據倒數的定義有：---（--------1—）=—

6045323

題型五：根據*a+力的符號，判斷a和6的符號

例6.如果a+6<0,弓>0,那么這兩個數（）

b

A.都是正數B.符號無法確定

C.一正一負D,都是負數

解析：根據“兩數相除，同號得正“可知，a、6同號，又；a+6<0,...可以判斷a、6均為負數.故

選D.

方法總結：此題考查了有理數乘法和加法法則，將二者綜合考查是考試中常見的題型，此題的側重點在于考

查學生的邏輯推理能力.

題型六：有理數的乘除混合運算

例7.計算：

（1）—2.54-|x（―；（2）（一點+（一帝X（―巾.

解析：（1）把小數化成分數，同時把除法變成乘法，再根據有理數的乘法法則進行計算即可.（2）首先把乘除

混合運算統一成乘法，再確定積的符號，然后把絕對值相乘，進行計算即可.

a”58.1.581

解：（1）原式:一弓又三乂（一彳）=5義工義彳=1；

/\/4、.14..3..4143.

（2）原式=（―亍）X（――）X（―-）=—（-X—X-）=.4.

?o乙/o乙

方法總結：解題的關鍵是掌握運算方法，先統一成乘法，再計算.

94

【變式1】計算：-81--x--(-16)

49

【答案與解析】在有理數的乘除運算中，應按從左到右的運算順序進行運算.

9444

—81—x—+(—16)=—81x—x—x1

4999

【總結升華】在有理數的乘除運算中，可先將除法運算轉化為乘法運算.乘除運算是同一級運算，再應按從

左到右的順序進行.

144

【變式2】計算：—10—：—x—j?(-2)

893

14419481941243

【答案】-10—4-—X—4-(-2)=-10—X—X—X——X—X—X—=--------

893843843216

題型七'有理數的加減乘除混合運算

3

例8.8xx(-4)-2

【解析】根據有理數乘法法則和運算順序即可算出結果。

【答案】原式=24-2=22

【變式】計算

(1)(―-^」)X(-78)

1336

(2)(-7)X(-5)-904-(-15)

(3)(1-&+上)X(-36)

2912

(4)(一駕x(-義)X0X，.

1373

【答案】(1)27(2)31；(3)-19；(4)0

【解析】

試題分析：(1)原式利用乘法分配律計算即可得到結果；

(2)原式先計算乘除運算，再計算加減運算即可得到結果;

(3)原式利用乘法分配律計算即可得到結果；

(4)原式利用0乘以任何數結果為0計算即可得到結果.

解：(1)原式=-12+26+13=27；

(2)原式=25+6=31；

（3）原式=-18+20-21=-19；

（4）原式=0.

考點：有理數的混合運算

【過關檢測】

選擇題（共6小題）

1.（2022秋?仙居縣期末）-3的倒數是（）

A.-3B.-AC..D.3

33

【分析】根據倒數的定義即可得到結論.

【解答】解：-3的倒數是-工，

3

故選：B.

【點評】本題考查了倒數，熟練掌握倒數的定義是解題的關鍵.

2.（2021秋?錢塘區期末）下列各組數中，互為倒數的是（）

A.-1旦與-1匹B.-0.25與」C.-0.5與-2D.-1與1

434

【分析】根據倒數的定義判斷即可.

【解答】解：4、-13的倒數是-廷，故該選項不符合題意；

47

B、-0.25=-X與-4互為倒數，故該選項不符合題意；

4

C、-0.5的倒數是-2,故該選項符合題意；

。、-1的倒數是-1,故該選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了倒數的定義，掌握乘積為1的兩個數互為倒數是解題的關鍵.

3.（2022秋?義烏市月考）計算9+（-3）X上的結果為（）

3

A.-1B.1C.9D.-9

【分析】直接利用有理數的乘除運算法則計算得出答案.

【解答】解：原式=-3X2

3

=-1.

故選：A.

【點評】此題主要考查了有理數的乘除運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

4.（2022秋?鄴州區校級期中）下列各對數中，互為倒數的是（）

A.1和-1B.-2和-工C.-4和工D.0和0

24

［分析］應用倒數的計算方法進行計算即可得出答案.

【解答】解：A、-1X1=-1,兩數不是互為倒數，不符合題意；

B、-2義（卷）=1,兩數互為倒數，符合題意；

C、-4X1=-1,兩數不是互為倒數，不合題意；

4

。、0沒有倒數，不合題意.

故選：B.

【點評】本題主要考查了倒數，熟練掌握倒數的計算方法進行求解是解決本題的關鍵.

5.（2022秋?瑞安市期中）計算6個（-3）的結果是（）

A.3B.-3C.2D.-2

【分析】原式利用除法法則計算即可求出值.

【解答】解：64-（-3）

=-2.

故選：D.

【點評】此題考查了有理數的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

6.（2022秋?義烏市校級月考）學友書店推出售書優惠方案：①一次性購書不超過100元，不享受優惠；②

一次性購書超過100元但不超過200元一律打九折；③一次性購書200元一律打八折.如果王明同學一

次性購書付款162元，那么王明所購書的原價一定為（）

A.180元B.202.5元

C.180元或202.5元D.180元或200元

【分析】不享受優惠即原價，打九折即原價X0.9,打八折即原價X0.8.

【解答】解：V200X0.9=180,200X0.8=160,160<162<180,

...一次性購書付款162元，可能有兩種情況.

162+0.9=180元；162+0.8=202.5元.

故王明所購書的原價一定為180元或202.5元.

故選：C.

【點評】本題考查有理數的運算在實際生活中的應用.注意售書有三種優惠方案.

二.填空題（共7小題）

7.（2022秋?上城區校級期中）整數-5的倒數為.

—5—

【分析】倒數：乘積是1的兩數互為倒數.

【解答】解：有理數-5的倒數是-1.

5

故答案為：_A.

5

【點評】本題考查了倒數，熟記倒數的定義是解答本題的關鍵.

8.（2022秋?杭州期中）在2,5,-3,-5這四個數中任意取兩個數相除，所得的商最小為-2.5.

【分析】由實數的大小比較法則，即可求解.

【解答】解：.??在2,5,-3,-5這四個數中任意取兩個數相除，所得的商是負數，且商的絕對值最大

時，此時兩數商最小，

.?.在2,5,-3,-5這四個數中任意取兩個數相除，所得的商最小為-5+2=-2.5,

故答案為：-2.5.

【點評】本題考查實數的大小比較，關鍵是掌握：兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小.

9.（2022秋?杭州期中）計算：|-6|=6；-6的倒數是.

6-

【分析】利用倒數和絕對值的性質，分別分析得出答案.

【解答】解：I-6|=6；-6的倒數是-工.

6

故答案為：6,-1.

6

【點評】此題主要考查了倒數、絕對值，正確把握定義是解題關鍵.

10.（2022秋?長興縣月考）計算：1；（1）=-3.

3

【分析】利用有理數的除法法則運算即可.

【解答】解：原式=1X（-3）

=-3.

故答案為：-3.

【點評】本題主要考查了有理數的除法法則，正確利用有理數的除法法則運算是解題的關鍵.

11.（2021秋?溫州期末）計算：（-9）4-1=-18.

2

【分析】先變除法為乘法后再進行乘法計算.

【解答】解：(-9)4-1

2

=-9X2

=-18.

【點評】此題考查了有理數的除法計算能力，關鍵是能按照除法運算法則進行準確計算.

12.(2022秋?蒼南縣期中)在-2,3,-4,12這四個數中，任意兩個數相除，所得的商最小是-6

【分析】取異號且商絕對值較大兩數相除便可.

【解答】解：根據題意得，

商最小的是：124-(-2)=-6,

故答案為：-6.

【點評】本題有理數除法，有理數大小比較，靈活應用除法法則解題是關鍵.

13.(2022秋?瑞安市期中)計算：-5+(-6)*16工=13旦.

6—36—

【分析】利用有理數的除法、乘法運算法則計算即可.

【解答】解：算：-5+(-6)X16工

6

=-5X(-A)義旦.

66

_5v97

66

_485

"36"

=13或

36

故答案為：13包.

36

【點評】本題考查了有理數的乘法，除法，解題的關鍵是掌握有理數的乘法和除法的法則.

三.解答題(共6小題)

14.(2022秋?余杭區校級月考)(1)上+(-§)+(-0.25)；

123

(2)-99^-X34.

17

【分析】(1)先確定最后結果的符號，并變除法運算為乘法進行求解；

(2)先確定結果的符號，再運用乘法分配律進行計算.

【解答】解：(1)工+(-S)+(-0.25)

123

=工

(2)-99區義34

17

=-(100-2)X34

17

=-(100X34-2x34)

17

=-(3400-4)

=-3396.

【點評】此題考查了有理數的混合運算能力，關鍵是能準確確定正確的運算順序和方法.

15.(2022秋?杭州月考)(1)二.(-0.25)；

123

(2)-999X34.

17

【分析】(1)原式利用除法法則變形，約分即可得到結果；

(2)原式變形后，利用乘法分配律計算即可求出值.

【解答】解：(1)原式=」-X3X4

125

(2)原式=(-100+2)X34

17

=-100X34+2x34

17

=-3400+4

=-3396.

【點評】此題考查了有理數的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

16.(2022秋?越城區期中)閱讀下題解答：

計算：(_J_)+(2且/).

分析：利用倒數的意義，先求出原式的倒數，再得原式的值.

解：3-4巨)+(4)=3-4名)X(-24)=-16+18-21=-19.

'348，'24，匕481

所以原式=-°.

19

2

根據閱讀材料提供的方法，完成下面的計算：（一打《[之二+2+（4）x（_6）].