第07講二次函數的應用?幾何應用

產知識點梳理

1、和最小，差最大在對稱軸上找一點P,使得PB+PC的和最小，求出P點坐標。

在對稱軸上找一點P,使得PB-PC的差最大，求出P點坐標。

解決方案：識別模型，A、若為過河問題模型，根據“異側和最小，同側差最大，根據

問題同側異側相互轉化”；B、若有絕對值符號或不隸屬于過河問題，可將問題形式平方，

構建函數，轉化為求函數最值問題（若表達式中含有根式等形式，可考慮用換元法求最

值）。

2、求面積最大連接AC,在第四象限拋物線上找一點P,使得AACP面積最大，求出P

坐標。

解決方案：熟悉基本圖形的面積公式【或根據拼圖思想，采用割補法求面積（注意不重

不漏）。】，根據問題，靈活選擇面積公式，務必使表達式簡單，變量的最值好求，講

變量的最值問題轉化為："定值+變量的最值“

3、討論直角三角連接AC,在對稱軸上找一點P,使得AACP為直角三角形，求出P坐

標。

或者在拋物線上求點P,使小AC尸是以AC為直角邊的直角三角形.

解決方案：此類問題是分類討論思想能力的考察，由于直角三角形的“直角邊“”和“斜邊”

不確定而展開討論。在不忘三角形滿足三邊關系的條件下，勿忘“等腰直角三角形”。

4、討論等腰三角連接AC,在對稱軸上找一點P,使得AACP為等腰三角形，求出P坐

標。

解決方案：分析同上4,在能組成小的大前提下，根據誰作為腰，誰作為底邊展開討論。

5、討論平行四邊形1、點E在拋物線的對稱軸上，點尸在拋物線上，且以3,A,F,

E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點尸的坐標。

解決方案：從平行四邊形的性質入手，已知三點求另外一點，分析其位置情況（分別以

3點中任一已知兩點的線段為平行四邊形的邊或其對角線來展開所有的情況的討論）。

6、相似三角形（第4章）問拋物線上是否存在一動點D,使得AABDs^ABC。

解決方案：從邊的關系找相似（勿忘全等△）或從角的關系找相似，建立數量關系，解

方程并驗證是否合符題意。

心真奧鰭范囪

工|例1.如圖1,在RtZkABC中，ZABC=90°,己知點P在直角邊A3上，以lcm/s的

速度從點A向點8運動，點。在直角邊8C上，以2cm/s的速度從點B向點C運動.若點P,

。同時出發，當點尸到達點8時，點。恰好到達點C處.圖2是V3PQ的面積y（cn?）與點P

的運動時間f（s）之間的函數關系圖像（點M為圖像的最高點），根據相關信息，計算線段

AC的長為（）

[^2]例2.如圖，矩形ABC。中，AB=8cm,5C=4cm,動點E和尸同時從點A出發,

點E以每秒2cm的速度沿的方向運動，到達點。時停止，點尸以每秒4cm的速度沿

Af8fCf。的方向運動，到達點。時停止.設點廠運動無（秒）時，AAEP的面積為

y（cm2）,則y關于x的函數的圖象大致為（

3.如圖，在R/AABC中，ZACB=90°,BC=曲,AC=2s/5,ADEF”AABC,

點、B,C,D,E在同一直線上（點C和點。重合）,△。斯從點C出發沿射線CB方向以每

秒1個單位長度的速度勻速運動，當點E運動到點C處時，停止運動.設運動時間為x秒,

△ABC和AD即重疊部分的面積為y,下列圖象能反映y與尤之間函數關系的是

（）

例4.如圖，過點/（-2,0）的拋物線小y=-￡x2+2（l-?）x+4（常數f>0）與x軸

和V軸分別交于點N,點尸，點。是拋物線乙上一點，且尸Q//x軸，作直線和OQ.甲、

乙、丙三人的說法如下：甲：用，表示點。的坐標為（，-2,4）；乙：當5寸如=0,f的值有

2個，則0<。<4；丙：若OQ〃MP,點。'是直線上的一點，點M到直線尸。的最大距

離為2小.下列判斷正確的是（）

A.甲對，乙和丙錯B.乙對，甲和丙錯C.甲和丙對，乙錯D.甲、乙、丙都對

例5.已知拋物線>=辦2-4辦-5”與X軸交于48兩點，P為拋物線頂點，且當尤41

時,y隨x的增大而減小，若AA8尸為等邊三角形，則。的值為（）

A.一如B.BC.-73D.目

33

,|例6.如圖，正方形A8CD的邊長為5,動點P的運動路線為ABTBC,動點。的運

動路線為BD點P與。以相同的速度分別從A,B兩點同時出發，當一個點到達終點停止

運動時另一個點也隨之停止.設點尸運動的路程為x,ABP。的面積為y,則下列能大致表

示y與x的函數關系的圖象為（）

BC

c.D.

0510

.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=-：尤2+；犬+3與X軸交于A、B兩點

(點3在點A的右側)，與y軸交于點C,。為線段OB上一點.過點。作x軸的垂線與拋

物線交于點E,與直線BC相交于點R則點E到直線8C距離d的最大值為.

例8.中國南宋大數學家秦九韶提出了“三斜求積術”，即已知三角形三邊長求三角形

面積的公式：設三角形的三條邊長分別為。、b、c,則三角形的面積可由公式

s=1p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中P為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫-秦九

韶公式，現有一個三角形的邊長滿足。=3,〃+8=5,則此三角形面積的最大值為.

例2如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABC。的一邊A3在x軸上，頂點B在無軸

正半軸若拋物線y=N-5x+4經過點C、D,則點B的坐標為.

「例10.如圖，將直角AABC沿斜邊AC翻折后B點的對應點B，,點、P、Q是線段AB,

就王的動點，S.BP=B'Q,已知A8=12,BC=5,則線段P。的最小值為.

，跟蹤酬瀛

一、單選題

1.如圖，在正方形ABC。中，AB=3,點、E,尸分別為AB,8c上的點，DE,AF交于點

G,AE=BF=x.若四邊形CDGP與△AEG的面積分別為航，邑，則H-S?與尤的函數

A.正比例函數關系B.一次函數關系C.反比例函數關系D.二次函數關系

2.如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是線段BC上的動點，以鹿為邊作正方形

連接AF,M為Ab的中點，且AB=4,則線段的最小值是（）

3.如圖，矩形A3CD中，AB=6cm,BC=4cm,動點E從點8出發，沿折線BCD運動到

點。停止，過點E作座交AO于點尸，設點E的運動路程為xcm,DF=ycm,則y

與x對應關系的圖象大致是（）

4.如圖，在正方形ABC。中，AB^2,點E從點B出發以每秒0個單位長度的速度沿路

徑3-。-C運動，點/從點C出發以每秒1個單位長度的速度沿路徑C-O-4運動，當點

E與點C重合時停止運動，設點E的運動時間為x秒，△BEF的面積為則能反映，與x

之間函數關系的圖象大致為（）

k

5.如圖，已知A、2是反比例函數y=］左>0,x>0）圖象上的兩點，3C〃x軸，交y軸于

點C.動點P從坐標原點。出發，沿OfAfC（圖中“一”所示路線）勻速運動，終點

為C過尸作PMLx軸，軸，垂足分別為M、N.設四邊形OMPN的面積為S,P

6.如圖，在等腰直角三角形紙片ABC中，底邊8C的長為8cm,邊長為4cm的正方形紙片

DEFG的邊。G在直線BC上，設3D的長為xcm,兩個紙片重疊部分的面積為yen?,則表

示y與x之間函數關系的圖象大致是（）

將。尸繞點P順時針旋轉90。得到線段EP,過B作EP平行線交DC延長線于

F,設BP長為x,四邊形段EP的面積為y下列圖象能正確反映出y與x函數關

系的是（）

8.如圖1所示的矩形窗框A5CD的周長及其兩條隔斷昉、G”的總長為。米，且隔斷所、

G”分別與矩形的兩條鄰邊平行，設8C的長為尤米，矩形ABCD的面積為y平方米，y關

于X的函數圖像如圖2,則下列說法正確的是（）

A.矩形ABCD的最大面積為8平方米B.>與x之間的函數關系式為>=一￡+2兀

C.當x=4時，矩形ABCD的面積最大D.。的值為12

9.已知拋物線y=-g（尤+l）（x-4）的圖象與無軸交于A,B兩點（點A在點8的左則），與

y軸交于點c,連接3C,直線>=履+1（%>0）與y軸交于點。，交BC上方的拋物線于點E,

交BC于點F,下列結論中錯誤的是（

A.點C的坐標是（0,2）B.OC=2OD

C.當蕓的值取得最大時，k。

D.是直角三角形

DF3

10.如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AO上一點，動點P,。同時從點8出發，點P

沿折線3E-￡D-DC運動到點C時停止，點。沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度

都是1cm7秒，設P,。同時出發t秒時，V8PQ的面積為ycmt已知y與/的函數關系圖像

如圖（2）（曲線為拋物線的一部分），則下列結論不正確的是（）

圖⑴圖⑵

A.AB:AD=4:5B.當r=2.5秒時，PQ=45

「當,29BQ5

c-當"彳時’而一3D.當VBPQ的面積為4cm2時，f的值是JfU'或

47

—秒

二、填空題

11.如圖，在平面直角坐標系中，正方形Q4BC的點A在y軸的負半軸上，拋物線

>="。+2）2+以。>0）的頂點為￡,且經過點A、B.若AABE為等腰直角三角形，則”的

值是.

12.已知拋物線丁=一k2+次+幾(/?＞。)的頂點為4交y軸于點3；拋物線y=Y+2Z?%+m的

頂點為C,交y軸于點D若帆-〃=6,且以A,B,C,。四點為頂點的四邊形為矩形，則

b=.

13.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=/+2%—3的圖象與坐標軸相交于A,B,C

三點，連接AC,BC.已知點E坐標為(J,。］,點。在線段AC上，且AO=乎.則四邊

14.如圖，平移拋物線y="2+bx+c,使頂點在線段AB上運動，與無軸交于C,0兩點.若

A(-2,-3),3(4,-3),四邊形ABDC的面積為15,則。=

15.如圖，點￡＞為等邊三角形ABC邊BC上一動點，AB=4,連接AD,以仞為邊作正方

形ADEF,連接CE、CF,則當皮＞=時，△€￡廠的面積為最小值________.

16.已知拋物線丫=0?+a+3的圖象與x軸相交于點A和點3(1,0),與y軸交于點C,連

接AC,有一動點。在線段AC上運動，過點。作x軸的垂線，交拋物線于點E,交x軸于

點EAB=4,設點。的橫坐標為m.連接AE,CE,則AACE的最大面積為.

y

17.如圖，拋物線6:必=”。+1)2+2與5:%=-食-2)2-1交于點8(1,_2),且分別與y軸

交于點O,E.過點B作x軸的平行線，交拋物線于點A,C.則以下結論：

②拋物線H可由拋物線G向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到;

③當—3<x<l時，隨著x的增大，％的值先增大后減小；

④四邊形AECD為正方形.

其中正確的是.(填寫正確的序號)

18.已知人(網,必)，氏超，%)是拋物線>="2-3工+1上的兩點，其對稱軸是直線X=x0,若

上-不|>歸2-％|時，總有力>上，同一坐標系中有M(T,-2),N(3,2)且拋物線

y=o?-3x+l與線段MN有兩個不相同的交點，則。的取值范圍是.

三、解答題

19.如圖，拋物線>=加+為+《“0)與x軸交于點A(-LO)、點3(3,0),與y軸交于點

C(0,3).

(1)求拋物線的表達式及頂點坐標；

(2)將該拋物線向下平移，使得新拋物線的頂點落在x軸上，原拋物線上一點尸平移后的對

應點為點。，如果8=0。，求點。的坐標.

20.如圖，已知拋物線y=-/+2x+3與x軸交于A、B兩點(點A在點3的左邊),與y軸

交于點C,連接BC.

⑴求A、B、C三點的坐標及拋物線的對稱軸；

⑵若已知x軸上一點則在拋物線對稱軸上是否存在一點0,使得ACNQ是直角三

角形？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

+fcr+c與X軸相交于A、8兩點，與y軸相交于點C（0,3）,A（-3,0）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）若點。是線段AC上方拋物線上的一個動點（點。與A,C不重合），求點。到直線AC

的最大距離.

⑶當/W尤W/+1時，函數y=-尤2+bx+c的最大值為-5,求f的值.

22.如圖，已知二次函數y=o?+bx+c的圖象與無軸交于A,8兩點（A在B的左側）,與

y軸的交點為C（0,3）,且頂點坐標為雙2.4）.

備用圖

⑴求二次函數的表達式；

（2）若拋物線上有一點磯4,加），將線段AE沿著y軸向上平移，使平移后的線段AE與該拋

物線恒有公共點，設點A的縱坐標為小求”的取值范圍；

⑶當q+lVxVq+3時，二次函數的最大值與最小值的差為2,求q的值.

12

23.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線=交x軸于A、B兩點，交y

(1)^^點A、B、C的初^,

⑵將笳物線L向右平移1%單位，得到新拋物線L',點E在坐標平面內，在新拋物線Z/的

對稱軸/上是否存在點。，使得以A、C、D、E為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出

點。的坐標；若不存在，請說明理由.

24.如圖，拋物線>=一/+a+0與x軸交于4(1,0),3(—5,0)兩點，與y軸交于點C,P是

拋物線上的任意一點(不與點C重合)，點P的橫坐標為m.

(1)求拋物線的解析式；

⑵當相為何值時，P點最高？并求出此時△POC的面積；

(3)將線段A5先向左平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段A?,若拋物

線丁=-爐+云+。平移后與線段A的有兩個交點，且這兩個交點恰好將線段A的三等分，求

拋物線平移的最短路程；

25.新定義：我們把拋物線>=以2+笈+。(其中出沖。與拋物線y=6/+以+c稱為“關聯

拋物線”，例如，拋物線y=2f+3x+l的“關聯拋物線”為y=3/+2x+l已知拋物線G：

y=4ax2+ax+4a-3(a>0)的“關聯拋物線”為C2,G與y軸交于點E.

⑴若點￡的坐標為(0,-1),求C1的解析式；

⑵設G的頂點為尸，若A是以。尸為底的等腰三角形，求點E的坐標；

⑶過x軸上一點尸，作無軸的垂線分別交拋物線Ci，G,于點M,N.

①當MN=6時，求點尸的坐標；

②當a-4VxWa-2時，C2的最大值與最小值的差為2a,求a的值.

26.如圖1,二次函數y=aY+bx-3的圖象尸交x軸于A,B兩點(點A在點B左側)，交

y軸于點C,且OB=OC=3Q4,直線/：>=丘-左一3交圖象廠于M,N兩點(點M在點N

(1)求二次函數的解析式；

(2)已知點當MA〃NE>,且M4=NE>時，求左的值;

⑶如圖2,設圖象廠的頂點為P,線段MV的中點為S,連接SP,求證：不論左取何值，—

MN

的值不變.

［域真即演練

----------------------llllllllllllltlllllllllllllllllllllllllil------------------------

一、單選題

1.（2022?山東荷澤?統考中考真題）如圖，等腰RjABC與矩形。EFG在同一水平線上，

AB=DE=2,DG=3,現將等腰RjABC沿箭頭所指方向水平平移，平移距離x是自點C到

達。E之時開始計算，至AB離開G尸為止.等腰RbABC與矩形DEPG的重合部分面積記

為必則能大致反映y與尤的函數關系的圖象為（）

2.（2022?遼寧?統考中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，BC=4,在MADEF中,ZEDF

=90°,ZF=30°,DE=4,點B,C,D,E在一條直線上，點C,。重合，△ABC沿射線

方向運動，當點8與點E重合時停止運動.設^ABC運動的路程為無，△ABC與RSDEF

重疊部分的面積為S,則能反映S與x之間函數關系的圖象是（）

發，以每秒1個單位長度的速度沿射線A2運動，同時動點N從點A出發，以每秒2個單位

長度的速度沿折線A。—OC—CB運動，當點N運動到點8時，點N同時停止運動.設

△AMV的面積為》運動時間為x（s），則下列圖象能大致反映y與x之間函數關系的是（）

4.（2021?遼寧盤錦.統考中考真題）如圖，四邊形ABC。是菱形，BC=2,NA8C=60。，

對角線AC與3。相交于點O,線段沿射線AD方向平移，平移后的線段記為尸0,射線

尸。與射線AC交于點M，連結PC,設。M長為x,APMC面積為九下列圖象能正確反映

出，與x的函數關系的是（）

5.（2022.遼寧錦州.統考中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長為2cm的正方形，點E,點

/分別為邊4。，。中點，點。為正方形的中心，連接OE,OF,點P從點E出發沿E-O—F

運動，同時點。從點8出發沿BC運動，兩點運動速度均為Icm/s,當點尸運動到點尸時，

兩點同時停止運動，設運動時間為ts,連接2尸,尸。，V3PQ的面積為Sen?,下列圖像能正

確