—專題02旋轉與中心對稱(分層訓練)

分層訓練

【基礎訓練】

一、單選題

1.(2023?浙江麗水?三模)如圖，點P(l,4)繞著原點順時針方向旋轉90度后得到像點°,則點。的坐標是

()

A.(1,-4)B.(-1,4)C.(4,-1)D.(-4,1)

【答案】C

【分析】根據旋轉的方法，作圖即可確定旋轉以后點的坐標.

【詳解】解：尸點的坐標為(1,4),根據旋轉中心O,旋轉方向順時針，旋轉角度90。，畫圖,

從而得。點坐標為(4,-1).

故選：C.

【點睛】本題涉及圖形變換，旋轉，應抓住旋轉的三要素：旋轉中心，旋轉方向，旋轉角度，通過畫圖求

解.

2.(2023廣西柳州?統考模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，點4(2,-3)繞著點。旋轉180。后得到點B(-2,n)

則n的值為()

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】A

【分析】根據關于原點對稱的點的坐標特點“橫坐標和縱坐標均互為相反數"解答即可.

【詳解】解：點4(2,-3)繞原點。旋轉180。，所得到的對應點的坐標為8(-2,3).

071=3,

故選：A.

【點睛】本題考查關于原點對稱的點的坐標特點.掌握關于原點對稱的點的坐標特點：橫坐標和縱坐標均

互為相反數是解題關鍵.

3.(2023上?廣西玉林?九年級統考期中)將直角邊長為3cm的等腰直角ZL4BC繞點力逆時針旋轉15。后得到

團4次C',則圖中陰影部分的面積()

【答案】A

【分析】根據旋轉的性質，旋轉角團C4C'=15回，則勖/C'=45團-15團=30。，可見陰影部分是一個銳角為30。的直

角三角形，且已知直角邊NC'=3厘米，根據勾股定理或者三角函數求出另一直角邊即可解答.

【詳解】解:設2B與B'C交于。點，

根據旋轉性質得NC4C'=15°,而448=45°,

/.C'AD=Z.CAB-LCAC=30°,

又AC=AC=3cm,NC'=NC=90°,

CD=AC-tan30°=V3,

???陰影部分的面積=|x3xV3=竽cm?.

故選：A.

【點睛】本題考查旋轉的性質和解直角三角形.旋轉變化前后，對應點到旋轉中心的距離相等以及每一對

對應點與旋轉中心連線所構成的旋轉角相等.要注意旋轉的三要素：①定點?旋轉中心；②旋轉方向；③

旋轉角度

4.（2023下?貴州銅仁?七年級統考期末）如圖，在△4BC中，ZC=90°,Z.B=40°,將三角形N8C繞點/

按順時針方向旋轉到三角形481cl的位置，使得點C、2、/在一條直線上，那么旋轉角等于（）

【答案】B

【分析】根據三角形內角和定理求出型4c的度數，根據旋轉變換的性質求出回氏4。=80。，得到回C4c的度數

即可.

【詳解】解：H3C=90°,ELB=40o,

aas/c=50°,

由旋轉的性質可知，4c=50°,

EGA4c尸80°,

00G4C/=13O°,

故選：B.

【點睛】本題考查的是旋轉變換的性質、三角形內角和定理的應用，旋轉變換的性質：對應點與旋轉中心

所連線段的夾角等于旋轉角，旋轉前、后的圖形全等.

5.（2023?江蘇泰州?統考一模）一個適當大的正六邊形，它的一個頂點與一個邊長為定值的小正六邊形

ABCZ）斯的中心。重合，且與邊48、CD相交于G、8（如圖）.圖中陰影部分的面積記為S,三條線段G2、

BC、的長度之和記為/,大正六邊形在繞點。旋轉過程中，下列說法正確的是（）

A.S變化，/不變B.S不變，/變化

C.S變化，/變化D.S與/均不變

【答案】D

【分析】如圖，連接CM,OC.證明△HOC絲△GCMCASA),可得結論.

【詳解】解：如圖，連接。/,OC.

VZHOG=ZAOC=120°,ZOCH=ZOAG=60°,

ZHOC=ZGOA,

在和△OGN中，

2Hoe=AGOA

OC=OA,

./.OCH=Z.OAG

：.^HOC^AGOA(ASA),

；.AG=CH,

；?S陰=S四邊形OABC=定值，/=GB+BC+CH=AG+BG+BC=2BC=定值,

故選：D.

【點睛】本題考查正多邊形與圓，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找

全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

6.(2023?河北唐山?統考一模)如圖，正五邊形ABCDE繞點4旋轉了a。，當a=36。時，則N1=()

【答案】c

【分析】由正五邊形得到一個內角的度數，求解42,利用旋轉的性質與五邊形的內角和公式得到答案

【詳解】解：如圖，因為正五邊形的每一個內角為號*=108。，

??a=36°,.

???Z2=108°-36°=72。，

由旋轉的旋轉得：對應角相等，

???Z1=540°-3X108°-72°=144°.

故選C.

【點睛】本題考查的是旋轉的性質，正多邊形的性質,多邊形的內角和定理，掌握以

上知識是解題的關鍵.

7.（2022?河北邯鄲,校聯考二模）如圖,將線段繞一個點順時針旋轉90。得到線段CD,則這個點是（）

P.C

A0BN

?D

M

A.M點B.Q點C.P點D.N點

【答案】A

【分析】根據旋轉中心到對應點的距離相等作圖可以得解.

【詳解】如圖，連接AC、BD,分別作2C、的垂直平分線，發現相交于M點，因此M點是旋轉中心.

故選A.

【點睛】本題考查旋轉的應用，熟練掌握旋轉的性質、線段垂直平分線的性質及作法是解題關鍵.

8.(2022上?遼寧鞍山?九年級校考階段練習)如圖，已知點4(2,0),8(0,4),C(2,4),線段4B繞著某點

旋轉一個角度與線段CD重合，若點/的對應點是點C,則這個旋轉中心的坐標為()

A.(5,2)B.(1,5)

C.(4,2)D.(1,5)或(4,2)

【答案】C

【分析】連接AC、BD,作線段4C和的垂直平分線，則其交點￡即為旋轉中心，再根據點E的位置即可

得出其坐標.

【詳解】如圖，連接AC,BD,作線段AC和BD的垂直平分線，交于點E,則點￡即為旋轉中心.

由圖可知旋轉中心￡的坐標為（4,2）.

故選：C.

【點睛】本題考查坐標與圖形的變化一旋轉，線段垂直平分線的性質.理解對應點的連線的垂直平分線的交

點為旋轉中心是解題關鍵.

9.（2023?江西九江?統考三模）如圖，已知在拋物線y=/-2上有一點2（口1）,AB1x軸于B點，連接04

將AOBZ繞。點順時針方向旋轉一定的角度后，該三角形的2兩點中必有一個頂點落在拋物線上，這個

角度是（）

A.90°B.120°C.150°D.180°

【答案】B

【分析】如圖，設拋物線與y軸的交點為點C,則點C坐標為（0,2）,再根據04=2可得當點/與拋物線頂

點C重合時滿足題意，再利用銳角三角函數求得乙4。8=30。，從而求得旋轉角度.

【詳解】解：如圖，設拋物線與y軸的交點為點C,則點C坐標為（0,2）,

0i4（V3,1）,ABlx軸于8點，

04B=1,OB=V3,OA=J(V3)2+I2=2,

0tanzXO5,

OB3

0Z4OB=30°,

0ZXOC=3O°+9O°=12O°,

團將△OBA繞。點順時針方向旋轉120。，該三角形的A與拋物線的頂點C重合,

故選：B.

【點睛】本題考查拋物線與y軸的交點，旋轉的性質、勾股定理及銳角三角函數，根據拋物線求得頂點坐標，

從而確定旋轉角度是解題的關鍵.

10.（2023?山西?校聯考三模）如圖，在RtAABC中，AACB=90°,將Rt△4BC繞點C按順時針方向旋轉一

定角度得到RtADEC,點。恰好落在邊4B上.若NB=20。，則NBCE的度數為（）

A.20°B.40°C.60°D.80°

【答案】B

【分析】根據直角三角形性質先求出乙4=70°,再利用旋轉及等腰三角形性質求得乙4CD=40。，即可得出

結論.

【詳解】解：團乙4cB=90。，48=20。，

國乙4=70°.

由旋轉知，CA=CD,AACD=/.BCE.

0ZXDC=NA=70°.

0Z4CD=40°.

EINBCE=40°.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了旋轉性質，熟練掌握旋轉及等腰三角形的性質是解答此題的關鍵.

11.（2022下?上海普陀?九年級校考期中）已知直線尸fcc+6經過第一、三、四象限，那么直線尸法+左一定

不經過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根據直線廣依+6經過第一，三，四象限，可以判斷鼠6的正負，根據一次函數圖象的性質，從而

可以判斷直線產6x+左經過哪幾個象限，不經過哪個象限.

【詳解】解：回直線方b+6經過第一，三，四象限，

團人>0,b<0,

回直線y=6x+左經過第一、二、四象限，不經過第三象限，

故選：C.

【點睛】本題考查一次函數的性質，明確題意，熟練掌握并靈活運用一次函數的性質是解題的關鍵.

12.（2023?湖北隨州?統考一模）如圖，在ACBC中,乙4cB=90。,AC=1,將△4BC繞點C順時針旋轉60。至

△49C,點/的對應點4恰好落在2B上，貝加所的長為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】B

【分析】首先根據旋轉的性質及等邊三角形的判定與性質，可求得乙4=60。，BC=BB',再由解直角三角

形，即可求解.

【詳解】解：?.?將AZBC繞點C順時針旋轉60。至AAB'C,

A'C=AC,AACA'=ABCB'=60°,BC=B'C,

：.LAA'C.ABB'C均為等邊三角形,

???N4=60°,BC=BB',

在RtAABC中，BC=AC-tan4=1XV3=V3,

BB'=V3,

故選：B.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，解直角三角形，熟練掌握和運用旋轉的性質

及等邊三角形的判定與性質是解決本題的關鍵.

13.（2023?四川廣元?統考二模）如圖，直徑48=6的半圓,繞5點順時針旋轉30。,此時點N到了點4,

則圖中陰影部分的面積是（）

.7T_37r___

A.-B.—C.7iD.37r

34

【答案】D

【分析】陰影面積為旋轉后4B為直徑的半圓面積加旋轉后扇形面積減去旋轉前4B為直徑的半圓面積，則陰

影面積為旋轉后的扇形面積，由扇形面積公式計算即可.

【詳解】回直徑48=6的半圓，繞8點順時針旋轉30°

1as陰影=S.B為直徑的半圓+S扇形ABA，—S^B為直徑的半圓

又EL4B=A'B

國S.B為直徑的半圓=S4B為直徑的半圓

1as陰影=S扇形4B4，

加8=6,EM8/'=30°

0_《_nnr2_30°-TT-62_&

8陰影=3扇形“BZ，=獲a=360。=J7r

故答案為：D.

【點睛】本題考查了扇形面積公式的應用，扇形面積公式為察，由旋轉的性質得出陰影面積為扇形面積是

360

解題的關鍵.

14.（2023?河南商丘?校考三模）如圖，平面直角坐標系中，4（4,0）,B（0,3）,點河為。4的中點，將Rt△40B

繞點M順時針旋轉得到RtAECD,當點。的對應點C第一次落在ZB上時，點C的坐標為（）

【答案】A

【分析】由坐標中點得到M(2,0),由旋轉的性質可知，CM=0M=2,利用待定系數法求得直線4B的解析

式為y=-?%+3,設點C的坐標為(a,-：a+3),根據坐標間的距離公式列方程求出a的值，即可得到點C

的坐標.

【詳解】解：???4(4,0)，點K?為04的中點，

.-.M(2,0),

0M=2,

由旋轉的性質可知，CM=。"=2,

設直線4B的解析式為y=kx+b,

.--[4v=r0,解得：匕二3

.??直線48的解析式為y=-j%+3,

設點C的坐標為(a,—ja+3),

???CM=J(a-2/+(—|a+3)2=2,

???25a2-136a+144=0,

(25a-36)(a-4)=0

解得：a=||或a=4(舍)，

336,仁48

???——X—+3=一,

42525

.??點c的坐標為(II晨)，

故選A.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，待定系數法求一次函數解析式，坐標間距離公式等知識，利用坐標的距

離公式正確列方程是解題關鍵.

15.（2022?遼寧撫順?模擬預測）如圖，點￡、尸分別在正方形/BCD的邊CD、AD±,且4B=2CE=3AF,

過尸作歹GI38E于P交2C于G,連接。P交于〃，連BF、EF.下列結論：

①即AF為等腰直角三角形；②8為2c的中點；③加㈤尸=2即/芭；④受皿=；.

一'&PDE3

其中正確的結論（）

AFD

BHGC

A,只有①②③B.只有①②④C.只有③④D.①②③④

【答案】D

【分析】如圖，①繞點8將她8c逆時針旋轉90。得的2跖就有/W=CE,由勾股定理可以求出所的值，

通過證明［3￡尸8團勛屈2就可以求出①；根據勖PGEELBCE就可以求出PG、2G從而求出GC,再求E1//PGEEDP/

得出G77■的值就可以得出HC的值，從而得出②的結論；由勖CEfflDCH可以得出如=回4,根據四點共圓的

性質可以得出回4=135,進而由角的關系得出團9=團5而得出③成立；根據05加00。￡?就可以得出面積相等，

根據等高的兩三角形的面積關系等于底之比就可以求出結論.

【詳解】解：如圖，①繞點8將HFBC逆時針旋轉90。得a48河，

MAFQD

HSGCR

^AM=CE,BE=BM,團1=團2.^\BAM=^\BCE.

團四邊形ABCD是正方形,

^AB=BC=CD=AD,^ABC=^\BCD=^CDA=^DAB=90°.AD\\BC.

o

^\BAM=^\BCE=90f

^\MAF=180°,

團點河、4、尸在同一直線上.

^AB=2CE=3AF,設4/=工，

^AB—3x,CE=1.5x,

1.5x+x--2.5x,FD~~3x~x~~2JC,ED--1.5x.

在MEDFE中，由勾股定理得斯=2.5x,

^EF=MF.

團在0￡尸8和團WF5中，

EF=MF

{BE=BM,

BF=BF

^EFB^\MFB(SSS),

^\EBF=^MBF.

團削質=團2+團3,

豳〃"=團1+團3,

團國防方=團1+團3.

團團班/+團1+團3=90°,

麗班尸=45°.

0FG財￡,

回F5=05?G=9O°,

IWFP=45°,

^\BFP=^\PBF,

MF=PB,

國心尸為等腰直角三角形，故①正確；

在尺周4FB中，由勾股定理得8尸=VTUx,

在R/fflB尸尸中，由勾股定理得尸尸=P8=V^x,

在RZI3BEC中，由勾股定理得8￡=|V^r,

ffll=01,aBPG=aBCE=90°,

005PG0E15CF,

PG_PB_BG

'CE~BC~~BE

團PG=—x,BG=2.5x.

2

團GC=0.5x.

團40IBC,

^\HPG^\DPF9

團GH=x,

WC=1.5x,

團2HC=3x,

?2HC=BC,

陽是3c的中點.故②正確；

^AB=2CE,

國2HC=2CE,

WC=CEf

在勖CE和團。中，

BC=DC

{zC=LC,

CE=CH

^BCE^DCH(S4S),

團團1=回4.

過點￡作(?/?|尸6交NO于。，交8C的延長線于&.

團助砍=姐尸G=90°,團5=團6.

釀7+國8=90°.

團團1+回7=90°,

團團1=團8.

團團8=團9,

001=09,

回回4=回9.

如圖，配爐7石=曬出=90。，取E尸的中點/,連接/PJD,

BHSGCR

.?.jp=JF=JE=JDf

妍、P、E、。四點共圓,

團團4=團5.

回團9=團5,

團孫跖=2團5,

即回。斯=2即7E故③正確；

團在勖HP和亞歷尸中,

zl=Z4

｛乙BPH=乙DPE,

BH=DE

WBHP^DEP(44S),

⑦SABHP=SADEP.

作RSW5c于S,

田SJHP=g^~,S』PHG=^^~.

^SABHP=^^-,S^PHG=W~,

-?PS

國受些=受四=急'=|,故④正確.

團①②③④都是正確的.

故選：D.

【點睛】本題考查了正方形的性質的運用，旋轉的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定

理的運用，直角三角形斜邊上的中線的性質，相似三角形的判定及性質的運用，圓的確定以及圓的基本性

質.解答時作出恰當的輔助線是關鍵.

二、填空題

16.（2023,廣東茂名?校聯考模擬預測）點P（-4,6）與Q（2m,-6）關于原點對稱，則m=—.

【答案】2

【分析】根據關于原點對稱的兩點的橫、縱坐標都是互為相反數解答.

【詳解】解：回點P（-4,6）與Q（2m,-6）關于原點對稱，

團-4=-2m,

解得：m=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查關于原點對稱點的性質，熟記關于原點對稱點兩點的橫、縱坐標都是互為相反數是解題

的關鍵.

17.（2023,廣東東莞?統考一模）點/關于原點對稱的點的坐標是（3,-2）,則點/的坐標是.

【答案】（—3,2）

【分析】本題主要考查了關于原點對稱的點的坐標，根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可

得答案，關鍵是掌握點的坐標特點.

【詳解】回點/關于原點對稱的點的坐標是（3,-2）,

國點4的坐標是（一3,2）,

故答案為：（—3,2）,

18.（2023?山東濱州?統考一模）如圖，圖形3是由圖形4旋轉得到的，則旋轉中心的坐標為.

【答案】（0,2）

【分析】利用旋轉的性質，作兩組對應點的連線段的垂直平分線，它們相交于點尸，則尸點為旋轉中心，然

后寫出尸點坐標即可.

【詳解】解：如圖，作兩對對應點連線的垂直平分線，相較于點尸，由圖可知旋轉中心P點坐標為（0,2）.

故答案為：（0,2）.

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化一旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求

出旋轉后的點的坐標.

19.（2022上?浙江嘉興?九年級校考期中）將二次函數y=-3x2+6x的圖象繞頂點旋轉180。所得拋物線解析

式為.

【答案】y=3--6x+6

【分析】先把二次函數轉化為頂點式，再確定旋轉后的拋物線的。的值和頂點坐標，即可得出結果.

【詳解】解：回y=~3x2+6x=-3（%一1尸+3,

回原拋物線的頂點為（1,3）,

由題意得：旋轉后的圖象和原圖象關于頂點對稱，開口方向相反，

回新圖象的頂點為（1,3）,a=3,

團所得的圖象的解析式為：y=3（萬一1產+3,即y=3/—6久+6.

故答案為：y=3x2-6x+6.

【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，確定二次函數的解析式，屬于基本題型，掌握求解的方法是

解題關鍵.

20.（2023,廣東東莞?校聯考一模）點4（一1,4）與點B關于原點對稱，則B的坐標為.

【答案】（1,-4）

【分析】根據關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數，可得答案.

【詳解】解：點4（一1,4）與點B關于原點對稱，則B的坐標為（1,一4）.

故答案為:（1,—4）.

【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，利用關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為

相反數是解題關鍵.

21.（2023上?吉林白城?九年級統考階段練習）如圖，在△ABC中，乙4cB=90。,4。=3,BC=4,將△力8c繞

點3順時針旋轉60。得到AEBD,連接OC交AB于點尸，則AACF與ABDF的周長之和為

【答案】16

【分析】由勾股定理可求的長，由旋轉的性質可得3C=8。，ZCBD=60°,可證△BCD是等邊三角形，

可得CD=BD=BC=4,即可求解.

【詳解】解："：ZACB=90°,AC=3,BC=4,

：.AB=VXC2+BC2=V9+16=5,

將△4BC繞點B順時針旋轉60°得到△EBD,

：.BC=BD,ZCBD=60a,

△BCD是等邊三角形，

:.CD=BD=BC=4,

：.△4CF與的周長之和=/C+CFU尸+DF+5Z>+5尸=3+4+4+5=16,

故答案為：16.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

22.（2023,廣東佛山,校考一模）如圖，將邊長為1的正方形4BCD繞點4逆時針旋轉30。到正方形力EFC的位

置，則圖中陰影部分的面積為.

【答案】

【分析】過點M作MH1DE于點H,利用正方形的性質和旋轉的性質可證得回ADE為等邊三角形，由等腰三

角形的判定可得回MDE為等腰三角形，繼而求得0H=EH=|,然后設MH=x,貝=2x,根據勾股定

理列方程求解可得MH=￡,進而由三角形面積公式即可求解.

6

【詳解】如圖，過點M作MH1DE于點H,

回四邊形力BCD為正方形，

EL4B=AD-1,/.B=/.BAD-/.ADC—90°,

團正方形繞點/逆時針旋轉30。到正方形4EFG的位置，

團/E=AB=lf^LBAE=30°,^AEF==90°

團N￡ME=60°

盟ADE為等邊三角形，

應MED=Z.ADE=60°,DE=AD=1

團NMEO=Z.MDE=30°,

盟MDE為等腰三角形，

1

回DH=EH=-.

2

在中，設M”=x,貝ijDM=2%,

團(2%)2=%2+1

解得：=f，%2=~~(舍去)，

66

,

6

團S/MDE=axDExMH.

=ixlx^="

2612

故答案為：

【點睛】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，等邊三角形判定與性質，解直角三角形，利用等邊三角

形和等腰三角形的性質求出CH=EH=三,乙MED=lMDE=30。是解題的關鍵.

23.（2022?山東荷澤?統考三模）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正方形6MBe繞點。順時針旋轉

45。后得到正方形02/16,依此方式，繞點。連續旋轉2019次得到正方形。4201932019。2019,那么點人2019

的坐標是.

【答案】（今-4）

【分析】探究規律，利用規律解決問題，根據正方形O43C繞點。逆時針旋轉45。后得到正方形O4/8/Q,

求出//,A2,A3,A4,AS，A6,A7,AS...,發現是8次一循環，即可得到點兒他的坐標.

【詳解】回四邊形。1BC是正方形，且04=1,

EL4(0,1),

國將正方形O4BC繞點。逆時針旋轉45。后得到正方形OAiB/Ci，

EL4;(y,y),A2(1,0),A3(y,-y),A4(0,-1),

4(—，A6(-1,0),A7(1,立)，A8(0,1)

2222

發現是8次一循環，所以2019+8=252……3,

團點420”的坐標為(￥，()?

故答案為：(￥,-?).

【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于

旋轉角.也考查了坐標與圖形的變化、規律型：點的坐標等知識，解題的關鍵是學會從特殊到一般的探究

規律的方法.

24.(2022?廣東?模擬預測)等邊三角形A8C中，=3,OB=5,0c=4,則乙4OC的度數為

【答案】150°

【分析】根據旋轉的性質得到/。=/。=3,團0/0=60。，CD=OB=5,求得A4OD是邊長為3的等邊三角形,

得到OD=3,EL4Or>=60°,根據勾股定理的逆定理得到回。。。=90。，于是得到結論.

【詳解】解把A/OB繞點A逆時針旋轉60。到A4DC,連結OD,

^AOB^ADC,

BL4O=AD=3,BO=CD=5,

甌。4。為旋轉角,

fflCMD=60°,

團西。。為等邊三角形，

EEL400=60°,0￡>=/。=3,

在國COD中，

fflOC2+OZ>2=42+32=25=52,

BSCOD為直角三角形，

00COZ）=9O°,

0EL4<9C=EL4OD+ECOD=6O°+9O°=15O°.

故答案為：150。.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理的逆定理，等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確的作

出輔助線.

25.（2022下?山東濟南?九年級校考期中）在平面直角坐標系中，以點4（4,3）、B（0,0）、C（8,0）為頂點的三角

形向上平移3個單位，得到團4/1G（點4、Bi、G分別為點4B、C的對應點），然后以點G為中心將

回4/1的順時針旋轉90。，得到0X2B2cl（點42、殳分別是點為、/的對應點），則點4的坐標是.

【答案】（11,7）

【分析】作4。1BC,根據已知條件可以得到CD=CrDr=BD=4,AD=A2D2=3,而CB=B?=C1B2,

則由此可確定￡>2的橫坐標，接著確定&的橫坐標，根據Q的橫坐標和GA的長度可以確定力2的坐標?

【詳解】

如圖，以點4（4,3）、B（0,0）,C（8,0）為頂點的三角形向上平移3個單位，得到△4當的（&%G分別是

4B、C的對應點），

.?.&JQ的坐標分別為（4,6）、（0,3）、（8,3）,

過/作N01BC于D,過久作力2。2，B2cl于4，

CD=的。2=BD=4,AD=A2D2=3,

而BC=B1C1=B2cl=8,

.??4的橫坐標為8+3=11,縱坐標為3+4=7,

???4的坐標為（11，7）.

故答案為：（11,7）.

【點睛】本題考查了平移、旋轉的性質，解決本題的關鍵是正確確定出41、％的坐標，進而確定出&的坐

標.

三、解答題

26.（2023?廣西南寧?統考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，2L4BC三個頂點的坐標分別是2（2,4）,B（l,2）,

C（4,2）.

(1)請畫出4aBe向左平移5個單位長度后得到的44/16；

(2)請畫出點B關于原點的對稱點B2，并寫出點&的坐標；

(3)若直線/經過點C和點B2,求直線1的解析式.

【答案】(1)作圖見解析；(2)作圖見解析，B2(-l,-2)；(3)y=

【分析】(1)利用平移的性質得出對應點的位置進而作圖即可；

(2)利用原點對稱點的性質得出對應點位置并作圖即可；

(3)設直線［的解析式為y=kx+6,把點C和點當代入直線2,解方程組即可求出.

【詳解】(1)如圖所示，ZM/iQ為所求；

(2)如上圖所示，點82的坐標為(-1,-2)；

(3)設直線/的解析式為y=kx+b,

則｛嗜乳=/

4/c+b=2

所以，/c=b=

所以，直線［的解析式為y=

【點睛】本題主要考查了平移變換和旋轉變換作圖以及運用待定系數法求一次函數解析式.

27.(2023上?吉林白城?九年級統考期末)如圖，已知AABC的三個頂點的坐標分別為

4(一6,0),B(—2,3),C(-1,0).

⑴將△ABC繞坐標原點。逆時針旋轉90。.畫出對應的"C'圖形，直接寫出點/的對應點4的坐標;

(2)在格點圖內，若四邊形49為平行四邊形，請直接寫出第四個頂點。'的坐標.

【答案】⑴圖見解析，4(0,-6)

(2)。'(3,—5)

【分析】本題考查利用旋轉變換作圖，平行四邊形的性質.

(1)根據網格結構及旋轉性質找出4B,C三個點關于坐標原點。逆時針旋轉90。的點4,順次連接

即可得到本題答案；

(2)根據平行四邊形的對邊平行且相等解答.

【詳解】(1)解:△4'B'C'如圖所示,

團4'(0,—6)；

(2)解：如圖平行四邊形4BO即為所求:

根據平行四邊形性質可得。（3,-5）,

故答案為：》（3,-5）.

28.（2022?江蘇常州?統考中考真題）如圖，點4在射線OX上，OA=a.如果04繞點。按逆時針方向旋轉九。（0<

n<360）到。4,那么點4的位置可以用（a,n。）表示.

⑴按上述表示方法，若a=3,n—37,則點A的位置可以表示為；

⑵在（1）的條件下，已知點B的位置用（3,74。）表示，連接44、A'B.求證：A'A=A'B.

【答案】⑴（3,37。）

⑵見解析

【分析】（1）根據點的位置定義，即可得出答案；

（2）畫出圖形，證明ZUCM，回A8O4（SAS）,即可由全等三角形的性質，得出結論.

【詳解】（1）解:由題意，得，（初。），

回。二3理二37,

即V⑶37。），

故答案為：（3,371

（2）證明：如圖，

EIEL4CM'=37°,2L405=74",OA=OB=3,

^A'OB=SAOB-BAOA'=74°-37°=37°,

1304=04,

KIEL4cM'EE2CM'(SAS),

^A'A=A'B.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，新定義，旋轉的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是

解題的關鍵.

29.(2023上?山西晉城?八年級統考期末)綜合與探究

在AABC中，AB^AC,NC48的角度記為a.

①②

⑴操作與證明；如圖①，點。為邊BC上一動點，連接力0,將線段4。繞點4逆時針旋轉角度a至2E位置，連

接DE,CE.求證：BD=CE；

(2)探究與發現：如圖②，若a=90。，點。變為BC延長線上一動點，連接2D將線段4D繞點4逆時針旋轉角

度a至4E位置，連接DE,CE.可以發現：線段BD和CE的數量關系是；

⑶判斷與思考；判斷(2)中線段BD和CE的位置關系，并說明理由.

【答案】⑴證明見解析

(2)BD=CE

{3}BD1CE,理解見解析

【分析】(1)由旋轉的性質得4。=4E,^DAE=/.CAB,從而證明△84。三△C4E,即可得到結論;

(2)同第(1)小題的方法，證明△BAD三△C4E,即可得到結論；

(3)由(2)可得ABaD三△C4E,從而得NB=N4CE=45。，進而即可得到結論.

【詳解】(1)證明：回線段4D繞點4逆時針旋轉角度a至AE位置，ACAB=a,

SAD=AE,Z.DAE=Z.CAB=a,

^\Z-CAB—Z-CAD=Z-DAE-Z-CAD,

^\Z-BAD=Z-CAE,

在△BAO和中，

'AB=AC

Z-BAD=Z-CAE,

、AD=AE

BAD=△CZE(SAS),

^\BD=CE.

(2)解：回a=90°,

由旋轉可知：AD=AE,ADAE=匕CAB=90°,

^Z.CAB+Z-CAD=/-DAE+Z-CAD,

^\Z-BAD=Z-CAE,

在△BAO和△G4E中，

'AB=AC

Z-BAD=ACAE,

、AD=AE

BAD=△CZE(SAS),

國BD=CE.

故答案為：BD=CE.

(3)BD1CE,理由如下：

SACAB=a=90°,AB=AC,

HZB=AACB=45°,

由(2)可得：ABAD^ACAE,

13^ACE=NB=45°,

回NBCE=^ACB+^ACE=45°+45°=90°,

0BD1CE.

【點睛】本題考查旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質.掌握三角形全等的證明是

解題的關鍵.

30.（2022,安徽安慶?安慶市第二中學校考二模）如圖，a48c的頂點坐標分別為/（-1,—1）,B（―3,

—3）,C（0,—3）.

⑴畫出a42c繞點C順時針旋轉90。得到的并寫出藥的坐標；

（2）以點。為位似中心，將助2C放大為原來的2倍，得到a4282c2,請在網格中畫出&4222c2.

【答案】（1）圖見解析，點耳的坐標為（0,0）；

（2）見解析

【分析】（1）利用網格特點和旋轉的性質畫出/、8的對應點小、片即可；

（2）把/、B、C的橫縱坐標都乘以一2得到工2、母、C2的坐標，然后描點即可.

【詳解】（1）如圖，明）/C為所作，點風的坐標為（0,0）；

(2)如圖，將/、B、C的橫縱坐標都乘以一2得到/2、星、Q的坐標為4(2,2),B2(6,6),C2(0,

6),

【點睛】此題主要考查旋轉與位似變換作圖，解題的關鍵是找到各頂點的對應點.

31.(2022上?湖北孝感?九年級統考期中)如圖，在菱形力BCD中，N4BC=a，點E在對角線BD上，將線段

DE繞點D順時針旋轉角a,得到DF,連接2尸、CE.

⑴求證：AF=CE；

(2)連接AC,若AC14F,求證：CE=DE.

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)證明△40/三△COF即可得出結論；

(2)根據全等三角形的性質、菱形的性質、等角對等邊進行證明即可.

【詳解】(1)證明：團四邊形為菱形，

團DA=DC,Z-ADC=/.ABC=a=乙EDF,

^ADF=乙CDE,

在△40F和△CDE中，

AD=CD

^ADF=乙CDE,

、DF=DE

0AADF=△COE(SAS),

IMF=CE；

(2)證明：回四邊形"BCD為菱形，

BAC1BD,乙BDA=Z^BDC,

又血IC14F,

團BOIMF,

^Z.DAF=Z-BDA=乙BDC,

0AADF=△CDE,

^￡.DAF=乙DCE,

國乙DCE=Z.BDC,

團CE=DE.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，菱形的性質，等腰三角形的判定等知識點，熟練掌握相關

圖形的性質定理是解本題的關鍵.

32.(2023上?山東日照?九年級階段練習)如圖，AABC是直角三角形，ZACB=90°,NB=30。，以點C為旋

轉中心，將△ABC旋轉到△A'B'C'的位置，且使A'B'經過點A.

(1)求NACA，的度數，判斷AACA，的形狀；

(2)求線段AC與線段AB的數量關系.

【答案】(1)(3ACA'=6Cr,AACA'是等邊三角形；(2)AB=2AC.

【分析】(1)證明aB/C=60。；證明4C=@C,得到EL4，=ELT/C=60。，求出EL4C4，=6O。；

(2)由EL43cHEL40。得到4c8=90。，求得團Q=勖=30。，由(1)知：固4c4=60。，得至l]/C=/8，，于

是得到結論.

【詳解】解：(1)EIEL4c3=90。，05=30°,^AB=2AC,05/C=6O。；

'S^ABC^A'B'C,ffiL4'=E3/C=60°,AC^A'C,aa4'=EL4'/C=6O°,EEL4G4'=180°-120°=60°,KIEL4c是等邊三角

形；

(2)aa45CEEL4,5,C,,^A'CB^ACB=W,EI8'=a8=30°,由(1)知：SACA'=60a,回EL4c8'=30°,^AC=AB',

SAB^A'B'^AA'+AB'^IAC^IAC.

【點睛】該題主要考查了旋轉變換的性質、等腰三角形的性質及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用旋轉

變換的性質、等腰三角形的性質等來分析、判斷、解答.

33.(2022?貴州黔東南?統考二模)已知：在正方形4BCD中，E為對角線加)上一點，過點E作

交8C于點尸，連接。尸，G為。尸的中點，連接EG,CG.

圖2

(1)【猜想論證】

猜想線段EG與CG的數量關系，并加以證明.

⑵【拓展探究】

將圖1中ABEF繞8點逆時針旋轉45。得到圖2,取。尸中點G,連接EG,CG.你在(1)中得到的結論還

成立嗎？寫出你的猜想并加以證明.

【答案】⑴EG=CG；證明見解析

(2)成立；EG=CG；證明見解析

【分析】(1)根據正方形的性質，直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半即可證明.

(2)過點G作GA/0CO于N,過點G作G7/0BC于"，交所的延長線于根據正方形的性質，旋轉的角

度確定點E在上，點尸在上，根據正方形的性質，矩形的判定定理和性質，三角形內角和定理，等

角對等邊，線段的和差關系確定EM=CN,結合勾股定理確定MG=NG,最后根據全等三角形的判定定理和

性質即可證明.

【詳解】(1)解：EG=CG,證明如下.

迥AD,四邊形48co是正方形，

西。￡尸=0DC尸=90°.

21G為。尸的中點，

SEG=-DF,CG=-DF.

22

MG=CG.

(2)解：成立，EG=CG,證明如下.

如下圖所示，過點6作6加。。于N,過點G作GXB8C于，，交￡下的延長線于

回四邊形ABCD是正方形

EHA?G=EL43￡>=E1C8D=45°,SABH=^HCN=90°,BC=CD.

團將圖1中△BET繞8點逆時針旋轉45。得到圖2,

團點E在48上，點尸在8。上.

麗班F=90°.

團團￡尸5=180°-魴石？酎5。=45°.

^\MFG=^EFB=45°.

0G7V0CZ),GH^BC,

^\GNC=^GND=^MHB=^MHC=90°.

團四邊形是矩形，四邊形G7/CN是矩形，ND2+NG2=DG2,^NGD=180°-^GND-^NDG=45°.

B^EMH=90°fEM=BH,NG=HC,^NDG=^NGD.

^GME=180°-^EMH=90°,NG=ND.

mGME=^\GNC,^MGF=180°-^GME-^MFG=45°,MG2+MF2=FG2,ND2+NG2=2NG2=DG2,ND=HC.

mMFG=^MGF,NG='DG,BC-HC=CD-ND,即BH二CN.

BMG=MFfEM=CN.

團MG2+MF2=2MG2=FG2.

團MG=—2FG.

團G為。尸中點，

^DG=FG.

IWG=NG.

0AEMG三ACNG(SAS).

MG=CG.

【點睛】本題考查正方形的性質，直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，旋轉的性質，矩形的判定定理

和性質，三角形內角和定理，等角對等邊，勾股定理，全等三角形的判定定理和性質，綜合應用這些知識

點是解題關鍵.

34.(2023?吉林白城?統考一模)如圖，在平面直角坐標系中，AABC的三個頂點坐標分別為A(-2,1),B

(-4,2),C(-1,3).

(1)作出AABC關于y軸對稱的△AiBiJ,并寫出g的坐標；

(2)畫出AABC繞C點順時針旋轉90。后得到的AAzB2c2.

y.

【答案】(1)見解析，(1,3)；(2)見解析

【分析】(1)分別作出三個頂點關于y軸的對稱點，再首尾順次連接即可得；

(2)分別作出點A、B繞C點順時針旋轉90。后得到的對應點，再首尾順次連接即可得.

【詳解】解：(1)如圖所示，AAiBiCi即為所求，Ci的坐標為(1,3)；

(2)如圖所示，AA2B2c2即為所求.

【點睛】本題主要考查作圖-旋轉變換和軸對稱變換，解題的關鍵是掌握旋轉變換和軸對稱變換的定義與性

質，并據此得出變換后的對應點.

35.(2023上?浙江杭州?九年級校考階段練習)如圖,將矩形4BCD繞著點C按順時針方向旋轉得到矩形FECG,

使點B落在4D邊上的點E處，連結BG交CE于點“，連結BE.

(1)求證：BE平分乙4EC；

(2)取BC中點P,連結P”，求證：PH//CG-,

(3)若BC=2AB=2,求BG的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BG=V7.

【分析】（1）根據旋轉的性質得到CB=CE,求得EIEBC=iaBEC,根據平行線的性質得到EIEBC=IBBEA,于是得到

結論；

（2）如圖1,過點B作CE的垂線BQ,根據角平分線的性質得到AB=BQ,證明EIBHQEEGHC得至UBH=GH,

根據三角形的中位線定理即可得到結論；

（3）如圖2,過點G作BC的垂線GM,解直角三角形即可得到結論.

【詳解】解：（1）國矩形ABCD繞著點C按順時針方向旋轉得到矩形FECG,

0CB=CE,

EBEBC=EIBEC,

又回ADEIBC,

00EBC=0BEA,

00BEA=0BEC,

0BE平分EIAEC；

（2）如圖1,過點B作CE的垂線BQ,

0AB=BQ,

EBBQH=EIGCH=90°,BQ=AB=CG,回BHQ=EIGHC,

團團BHQRH1GHC(AAS),

團BH=GH,

即點H是BG中點，

又回點P是BC中點，

團PH團CG；

(3)如圖2,過點G作BC的垂線GM,

0BC=2AB=2,

0BQ=1,

盟BCQ=30°,

團團ECG=90°,

團團GCM=60°,

l?]GM=—，CM=)

22

0BM=SC+CM=-,

2

0BG==<BM2+GM2=J^+1=V7.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的性質，三角形的中位線定理，解直角

三角形，正確的作出輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵.

【能力提升】

36.(2023?湖北孝感中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，已知點4(一1,5),8(-3,1)和<7(4,0),請按下列

要求畫圖并填空.

(1)平移線段4B,使點力平移到點C,畫出平移后所得的線段CD,并寫出點。的坐標為；

(2)將線段48繞點4逆時針旋轉90。，畫出旋轉后所得的線段4E,并直接寫出COSNBCE的值為；

(3)在y軸上找出點尸，使AABF的周長最小，并直接寫出點尸的坐標為

【答案】(1)(2,-4)(2)y(3)(0,4)

【分析】(1)平移線段AB,使A點平移到C點，可以知道A點是向右平移5個單位，向下平移5個單位,

故可以確定D點坐標.

(2)根據B、C、E三點坐標，連接BE,可以判斷出團BCE為直角三角形，故可求解cos/BCE的值.

(3)過A點做y軸的對稱點N,連接NB,與y軸的交點即為F點.此時回ABF的周長最小，通過求解函數

解析式確認點F的坐標.

【詳解】解：(1)如圖所示：

平移線段AB,使A點平移到C點，可以知道A點是向右平移5個單位，再向下平移5個單位，根據題意可

知，B點(-3,1)平移至!)D點，故可以確定點D的坐標.

點D的坐標為(2,-4)；

⑵如圖所示:

根據題意，AE是線段AB圍繞點A逆時針旋轉90。得到，故AB=AE,不難算出點E的坐標為(3,3).連接BE,

根據B、C、E三點坐標算出BC=5&、EC=V10,BE=2V10,故BE?+EC?=可以判斷出團BEC為直角三

角形.

故COSNBCE=—