專題08平行四邊形與多邊形（分層訓練）

\J

分層訓練

【基礎訓練】

一、單選題

1.（2023?上海?模擬預測）下列命題是真命題的是（）

A.一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.有一個角是直角的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對角形互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

【答案】D

【分析】根據平行四邊形，矩形，菱形和正方形的的判定定理判斷即可.

【詳解】解：A選項有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以此項錯誤；

B選項有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以此項錯誤；

C選項對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以此項錯誤；

D選項對角形互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，所以此項正確；

故選D.

【點睛】本題主要考查平行四邊形，矩形，菱形以及正方形的判定定理，熟練掌握平行四邊形，矩形，菱

形以及正方形的判定定理是解決本題的關鍵.

2.（2023下?浙江臺州?八年級統考期中）如圖0ABe中,AB=3,AC=7,BC=10,。、E分別是AB、2c的

中點，則。E的長為（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】B

【分析】根據三角形的中位線定理即可解決問題.

【詳解】解：SD、E分別是AB、AC的中點，

*皿，

故選：B.

【點睛】本題考查的是三角形的中位線定理，解題的關鍵是記住三角形的中位線定理.

3.（2023?河南許昌?統考二模）如圖，EL4BC。的對角線AC與8。相交于點。，且回OCD=90。.若E是BC

邊的中點，BD=10,AC=6,則OE的長為（）

AD

N

REC

A.1.5B.2C.2.5D.3

【答案】B

【分析】根據平行四邊形的性質得出04=3,08=5,進而利用勾股定理得出A3的長，利用三角形中位線

得出0E即可.

【詳解】解：^ABCD,30=10,AC=6,

團0A=3,0B=5,AB^\DC,

回團OC0=90°,

釀3Ao=90°,

^AB=y/0B2-0A2=V52-32=4,

團E是BC邊的中點，OA=OC,

mOE=AB,

團0E=2,

故選:B.

【點睛】此題考查平行四邊形的性質，關鍵是根據平行四邊形的性質得出。4=3,0厭5解答.

4.（2023?山東濟寧?統考中考真題）如圖，正五邊形ABCDE中，4L40的度數為（）

CD

A.72°B.45°C.36°D.35°

【答案】C

【分析】首先由正五邊形的性質得到回△4E0,AC=AD,AB=BC=AE=ED,然后由正五邊形

48CQE內角度數，求出乙B4c和乙及4。的度數，進而求出4C/0的度數.

【詳解】解：團五邊形4BCDE為正五邊形，

MB=BC=AE=DE,乙ABC=AAED=(BAE=108°,

[2]△ABE=^AED,

EL4C=AD,乙BAC=LEAD=|(180°-108°)=36°,

團乙CAD=乙BAE-ABAC-AEAD=108°-36°-36°=36°.

故選：c

【點睛】本題考查了正多邊形的性質：各邊相等，各角相等，掌握正多邊形的性質是解決本題的關鍵.

5.(2023上?廣西崇左?八年級統考期中)如圖，一個直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個四邊形，貝靦1+回2

=()

A.90°B.180°C.270°D.360°

【答案】C

【分析】首先根據三角形內角和定理算出N3+N4的度數，再根據四邊形內角和為360。，計算出N1+N2的

度數.

【詳解】解：?；45=90。，

???Z3+Z4=180°-90°=90°,

■:z.3+z.4+z.1+Z.2=360°,

.??41+42=360°-90°=270°,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，多邊形內角和定理，解題的關鍵是利用三角形的內角和180。,

四邊形的內角和360。.

6.（2023?安徽合肥?統考三模）如圖，菱形力BCD中，點E,F,G分別為AB,BC,CD的中點，EF=2,FG=4,

則菱形4BCD的面積為（）

A.12B.16C.20D.32

【答案】B

【分析】先根據三角形中位線定理得到AC=4,BD=8,再根據菱形的面積等于其對角線乘積的一半進行

求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接AC、BD,

團點E,尸分別為AB,BC的中點，

EIEF是AABC的中位線，

EL4c=2EF=4,

同理可得BD=2FG=8,

團四邊形4BCD是菱形，

團S菱形4BCD=/C?BC=aX4x8=16,

【點睛】本題主要考查了菱形的性質，三角形中位線定理，熟知三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊

長的一半是解題的關鍵.

7.（2023?湖南永州?統考中考真題）下列多邊形中，內角和等于360。的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】根據W邊形內角和公式5-2)-180。分別求解后，即可得到答案

【詳解】解：A.三角形內角和是180。，故選項不符合題意；

B.四邊形內角和為(4-2)X180。=360。，故選項符合題意；

C.五邊形內角和為(5-2)xl8(r=540。，故選項不符合題意；

D.六邊形內角和為(6-2)*180。=720。，故選項不符合題意.

故選：B.

【點睛】此題考查了“邊形內角和，熟記〃邊形內角和公式(n-2)?180。是解題的關鍵.

8.(2022,浙江杭州?統考二模)如圖，五邊形ABCCE是正五邊形，F,G是邊CD,DE1上的點，且8而4G.若

0CFB=57°,則0AGZ)=()

A.108°B.36°C.129°D.72°

【答案】C

【分析】過點。作DHIIFB交AB于點H,根據平行線的性質先求出NCD"=57。，然后求出NHDG=51。,

最后利用平行線的性質求得乙4GD即可.

【詳解】解：過點。作DHIIFB交A2于點

???乙CFB=57°,

.-.乙CDH=乙CFB=57。，

在正五邊形ABCDE中，乙CDE=108°,

???乙HDE=乙CDE-乙CDH=108°-57°=51°,

VBFWAG,

???N4GD=180°-ACDH=180°-51°=129°,

故選：C.

B

H

【點睛】本題考查了正五邊形的性質，平行線的判定和性質，構造輔助線是解決本題的關鍵.

9.（2023?河南信陽?校考三模）如圖，在回/lBCD中，將△4DC沿4C折疊后，點。恰好落在DC的延長線上的

點E處.若N8=58。，則NSD為（）

A.42°B.38°C.32°D.58°

【答案】C

【分析】根據折疊的性質得到乙4CD=乙4CE=90。,根據平行四邊形的性質得到NB=AD,即可求出NC4D.

【詳解】解：由折疊可得，乙4C。=/-ACE=90。，

在團力BCD中，4B=LD.

又EINB=58°.

0ZD=58°

0ZC4D=32°.

故選C.

【點睛】本題考查折疊的性質、平行四邊形的性質和直角三角形的性質，解題的關鍵是得到N4CD=^ACE=

90°.

10.（2023?海南僧州?統考一模）如圖，已知。、E分別是△ABC的邊BC、［。的中點,2G是A4BE的中線,

連接BE、AD,GD,若△ABC的面積為40,則陰影部分△2DG的面積為（）

A

A.10B.5C.8D.4

【答案】B

【分析】連接DE,如圖，先判斷。G為aBCE的中位線，則。GaAC,根據平行線之間的距離和三角形面積

公式得到SzAQGnSzEQG,然后利用三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，再根據三角形的面積公

式進行求解即可.

【詳解】解：連接。E,如圖，

團￡＞為BC的中點，G為BE的中點,

E1DG為回BCE的中位線，

^DGSAC,

BSAADG=SAEDG,

SE點為AC的中點，

11

^SABCE=-SAABC=^0=20,

回。點為8C的中點，

_11

^1SABDE=-SAEBC=-^20=10,

回G點為BE的中點，

_11

^EDG=-SABDE=-^1Q=5.

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S=|x底x高；三角形的

中線將三角形分成面積相等的兩部分.也考查了三角形中位線性質.

11.（2023?安徽滁州?校考二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點〃為DC邊上一動點，將△BCM沿直線

翻折，使得點C落在同一平面內的點。處，連接DL并延長交正方形力BCD一邊于點N.當BN=￡W時，CM

的長為（）

A.8—4禽或2一次B.2或8—4舊

C.2D.2或2—機

【答案】B

【分析】分兩種情形：如圖1中，當BN=OM時，連接CC'交BM于/.如圖2中，當BN=DM時，過點C'作

CT1CD于7.分別求解即可.

【詳解】解：如圖1中，當BN=DM時，連接CC'交BM于人

圖1

?:BN=DM,BNWDM,

.?.四邊形BNDM是平行四邊形,

BM||DN,

:.乙BMC=4NDM,乙BMC'=4DC'M,由折疊知，MC'=MC,/.BMC=/.BMC',

：.4NDM=ADCM,

MC=MD,

?-.CM=DM^-CD=2.

2

如圖2中，當BN=DM時，過點C'作C'T_LCO于T.

AD

圖2

???CB=CD,BN=DM,

???CN=CM=MC,

在ABCM和ADCN中，

'CB=CD

乙BCM=4DCN,

.CM=CN

???△BCM^AZ)CW(SAS),

.-.Z.CDN=/.CBM,

■：乙CBM+LBCC'=90°,Z.BCC+/.CCD=90°,

???乙CBM=乙C,CD,

.-./.CCD=乙CDN,

CD=CC,

■■■CT1CD,

DT=TC=2,

CT||CN,

DC=CN,

-1

TCN

C=-2,

設C'T=x,貝IJCN=CM=MC=2x,TM=V3x,

2%+V3x=2,

???%=4—2A/3,

CM=8-4V3,

綜上所述，CM的值為2或8-4次.

故選B.

【點睛】本題考查翻折變換，正方形的性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角

形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

12.（2023?安徽?模擬預測）如圖，在一塊正三角形飛鏢游戲板上畫一個正六邊形（圖中陰影部分），假設飛

鏢投中游戲板上的每一點是等可能的（若投中邊界或沒有投中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次,

則飛鏢投中陰影部分的概率為（）

【答案】D

【分析】設正六邊形的邊長為a,根據正三角形性質和正六邊形的定義分別求出陰影部分的面積和正三角形

的面積，再根據幾何概率的求法即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過點4作交川于點M,設正六邊形的邊長為a,

團六邊形DEFGH/為正六邊形,

SDE=EF=FG=GH=HI=DI=a,

每個外角的度數為：360。+6=60。，

0Z4￡>/=/.AID=乙BEF=乙BFE=乙CGH=乙CHG=60°,

0AADI,ABFE和ACHG都是等邊三角形，且邊長都等于a,

0A力BC為正三角形，

回=CA=AB=AD+DE+BE=a+a+a=3a,

ABAC=（B=60°

在aAD1^\LBFE^\LCHG中

2ADI=乙BFE=乙CHG

DI=FE=HG

^AID=乙BEF=乙CGH

[?]△ADI=△BFE=△C”G（ASA）,

回S—。/=S^BFE=S^CHG，

^Z.ADl=Z.B=60°,

E1DZIIBC,

國4N1BC,

團乙4NB=90°,

^AMD=(ANB=90°,

[HA40/和4ZBC都為正三角形且邊長分別為a和3a,

13

WM=-a.BN=-a,

22

團AM=7AD?—DM?=Ja2_Qa)=/a,

AN=7AB2一BN?=J(3a)2一(|/=言。,

團S^AD/——DI?AM=3QxCL-小，

S—BC=—BC,AN=—x3ax———CL=——小，

2224

回S^BFE=S^CHG~^LADl=fa2，

團S正六邊形OEFGH/=S—BC-3s△，￡)/=a2—3

S3V3

團飛鏢投中陰影部分的概率為衛警空膽=喜

【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據題意將代數關系用面積表示出來，一般用陰影區域表示所求

事件力；然后計算陰影區域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件4發生的概率.本題還考查了等邊

三角形的性質，正六邊形的定義及外角和，全等三角形的判定和性質，勾股定理，三角形的面積等知識.根

據等邊三角形的性質及正六邊形的定義得出陰影部分的面積解題的關鍵.

13.（2023上?福建泉州?九年級校考期中）如圖，在回ABCD中，M、N為BD的三等分點，連接CM并延長交

AB與點E,連接EN并延長交CD于點F,則DF：FC等于（

【答案】B

【分析】由題意可得DN=NM=MB,據止匕可得DF：BE=DN：NB=1：2,再根據BE：DC=BM：MD=1：2,AB=DC,

故可得出DF：FC的值.

【詳解】解：由題意可得DN=NM=MB,AB//CD,AB//BC

00DFN00BEN,ODMC00BME,

EIDF：BE=DN：NB=1：2,BE：DC=BM：MD=1：2,

又E1AB=DC,

0DF：AB=1：4,

E1DF：FC=1：3

故選：B.

【點睛】本題考查相似三角形的性質，兩相似三角形對應線段成比例，要注意比例線段的應用.

14.（2023?河南洛陽?統考一模）如圖，在AABC中，BC=12,D、E分別是4B,AC的中點，F是OE上一點,

DF=1,連接2F、CF,若N4FC=90。，貝必。的長度為（）

A.10B.12C.13D.16

【答案】A

【分析】根據在A/IBC中，D、E分別是的中點，得到DE是AABC的中位線，由中位線性質得到DE=

15C=6,從而得到=—。尸=6—1=5,再由乙4FC=90。，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半即可得到AC=2EF=10.

【詳解】解：???在中，D、E分別是4B,AC的中點，

由中位線定義可知DE=（BC=6,

???DF=1,

???EF=OE-OF=6—1=5,

???/.AFC=90°,

.?.在RtZkAFC中，FE為斜邊AC上的中線，貝以。=2EF=10,

故選：A.

【點睛】本題考查三角形中位線的定義與性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，根據題意，結

合性質與定義，數形結合是解決問題的關鍵.

15.（2023上?廣東惠州?八年級校考期中）如圖，EC,BD是正五邊形ABCDE的對角線，則回1的大小為（）

A.72°B.75°C.60°D.80°

【答案】A

【分析】首先根據正五邊形的性質得到BC=CD=DE,0BCD=0CDE=1O80,然后利用三角形內角和定理得

0CBD=0CDB=0CED=0DCE=36°,再利用三角形的外角的性質求解.

【詳解】回五邊形ABCDE為正五邊形，

[3BC=CD=DE,I3BCD=I3CDE=1O8°,

[R0°-1f）Q°

00CBD=ECDB=ECED=EDCE=-!^—^-=36°,

2

[ffll=l3BDC+l3DCE=72°.

故選：A.

【點睛】考查的是多邊形內角與外角，正五邊形的性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，解題關

鍵是利用數形結合.

16.（2022?廣東深圳?統考二模）如圖，在團4BCD中，E為AB延長線上一點，F為4D上一點，ADEF=ZC.若

DE=4,AF=^,貝的長是（）

AFD

E

A.—B.-C.6D.—

324

【答案】A

【分析】先利用平行四邊形的性質結合已知證得△DFE0E4利用相似三角形的性質得到。產^DF-AD,

進而求出4。的長，最后求出BC問題得解.

【詳解】解：如圖

AFD

E

回四邊形48CD是平行四邊形，

BAD=BC,Z-A=Z.C.

國KDEF=Z-C,

國乙DEF=Z.A.

國4EDF=Z.ADE,

[?]△DFE?匕DEA.

「OEAD

0—=—.

DFDE

0DE2=DF-AD,

7

助E=4,AF=-,

3

7

國DF=AD—.

3

042=（AD-^AD,

EL4D=y,AD=-3（舍去）.

國BC=AD=—,

3

故選：A.

【點睛】本題主要考查的是相似三角形的判定和性質，合理的選擇恰當的三角形相似，并學會利用相似三

角形的性質求解線段是解決問題的關鍵.

17.（2022?河北保定?校考一模）數學課上，大家一起研究三角形中位線定理的證明.已知點點七分別

為48、4C的中點，求證：DEWBC,DE=匏。.小麗在思考后嘗試作了一種輔助線.如圖.在試圖證明4。=CF

時，小麗想到了兩種作法，①通過證明AZDE三△CFE得到AD=CT；②通過證明四邊形4DCF是平行四邊

形得到4D=CF,則下列說法正確的是（）

小麗的輔助線作法：

延長DE至ijF,使EF=DE,

連接DC、AF,FC.

A.①、②作法都可以B.①、②作法都不可以

C.①作法可以、②作法不可以D.①作法不可以、②作法可以

【答案】A

【分析】試著按兩種方法進行證明即可.

【詳解】解：①國點E分別為4C的中點，

^\AE=CE,

在△40E和中，

AE=CE

Z.AED=乙CEF

、DE=EF

[?]△ADECFE(SAS)

SAD=CF,故①可以；

②回點E分別為AC的中點,

國4E=CE,

BEF=DE,

團四邊形4DCF是平行四邊形，

SAD=CF,故②可以；

綜上，①、②作法都可以，

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形中位線定理的證明，本題介紹的兩種思路，作輔助線，證全等和構建平行四邊

形解決問題，熟練掌握平行四邊形的性質和判定是關鍵.

18.（2023?福建福州?福建省福州第十六中學校考二模）如圖，在五邊形中，0C=0￡）=0￡

=90°,DE=DC=3,AB=V2,則五邊形ABCDE的周長是（）

D

AB

A.12+V2B.11+V2C.10+V2D.9+V2

【答案】C

【分析】可連接CE,作A況CE,8G0CE于八G,根據多邊形的內角和以及等腰直角三角形的性質，即可

求出AE、BC,進而求出答案.

【詳解】連接CE,作A箍ICE,BG2CE于尸、G,

D

根據五邊形的內角和定理和已知條件,可得回COE,BAERSBCG都是等腰直角三角形，則CE=夜理=3VL

0FG=AB=42,

???EF—GC—>J2,

AE=BC=2,

團所以五邊形的周長是2+2+V2+3+3=10+V2,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和以及等腰直角三角形的性質，根據題意熟練應用相關性質定理是

解題的關鍵.

19.（2023?海南僧州?海南華僑中學校聯考模擬預測）如圖，在團4BCD中，AB=4,BC=6,4E平分

乙BAD,。尸平分Z71DC,且AE,。尸相交于點。，若點尸為線段EF的中點，連接。P,則線段0P的長為（）

【答案】D

【分析】本題考查平行四邊形的性質，根據平行四邊形的性質和角平分線的定義得出BE=4B,CF=CD,

再證明A0EF為直角三角形，0P為中線，進而解答即可.

【詳解】解：回四邊形2BCD是平行四邊形，

即WIIBC,ABWCDAB=CD=4,BC=AD=6?

BIND力E=/.AEB,

EL4E平分/BAD,

S/.DAE=/.EAB,

國匕AEB=Z.EAB,

BBE=48=4,

同理可得，CF=CD=4,

BEF=BE+CF-BC=4+4—6=2,

^ABWCD,

國乙DAB+4ADC=180°,

斯E平分28/0,平分440C,

1i

^Z.EAD=-￡.BAD￡.FDA=-/-ADF,

22f

^OAD+Z.0DA=|^BAD+NC￡M)=90°,

ElNEOF=/.AOD=90°,

0AFOE是直角三角形，

團點尸為線段EF的中點，

OOP是Rt△FOE的斜邊EF的中線，

SOP=-EF=1,

2

故選：D.

20.(2023?安徽滁州?統考二模)如圖，在平行四邊形4BCD中，E是8。的中點，點M在4。上，連接ME并延

長交8C于點N,連接ON交MC于點F.則下列四個結論:①4M=CN；②若MD=AM,^A=90°,貝IBM=CM-,

③若MD=2AM,則SAMNC=S^BNE；④若小=MN,則^MFN與ADFC全等.其中正確結論的個數為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】依次分析各選項，進行推理論證即可；其中①可通過證明△DME三△BNE(AAS),進一步轉換后

可以得到結論，②可先得到該平行四邊形是矩形，利用矩形的性質等得到MN垂直平分BC,即可完成求證，

③可以先證明兩個三角形的共線邊上的高的關系，再利用三角形面積公式即可完成證明，④可以先證明△

MND=AOCM(SAS)后可進一步證明小MNF=△DCF(AAS),即可完成求證.

【詳解】解：?.?平行四邊形4BCD中，E是BD的中點，

???BE=DE,ADWBC,AD=BC,

：.4MDE=ANBE,乙DME=4BNE,

???△DME=△BNE(AAS),

???DM=BN,

?-.AM=CN,

故①正確；

若乙4=90°,

則平行四邊形4BCD是矩形，

由矩形的對角線相等，而點E是矩形的對角線的交點可知，

E點到8、C兩點的距離相等，

E點在BC的垂直平分線上，

由MD=AM,AM=CN,可得BN=CN,

所以N點是BC的中點，

.-?MN垂直平分8C,

BM=CM,

故②正確；

EIMD=2AM,AD=BC,AM=CN,

EIBN=BC-CN=AD-AM=MD=2AM=2CN,

如圖1,分別過D、E兩點向BC作垂線，垂足分別為Q點和P點,

圖I

???E點是BD中點，

DQ=2EP,

「S”=\CN-DQ=\CN-2EP=CN-EP,

11

S&BNE=2BN,EP=/X2CN-EP=CN-EP

S^MNC=S&BNE，

故③正確；

若AB=MN,

因為力B=DC,

所以DC=MN,

分別過N、C兩點向4。作垂線，垂足分別為H、K,

：.Rt△NHM三Rt△C7<D(HL),

.-.乙NMD=Z.CDM,

HMD=DM,4NMD=/.CDM,MN=DC,

???AMNDDCM(SAS),

???乙MND=Z.DCM,

又???Z.NFM=Z.CFD,MN=DC,

???△MNFdDCF(AAS),

故④正確；

故選：D.

【點睛】本題綜合考查了平行四邊形的性質、矩形的判定與性質、線段的垂直平分線的判定與性質、全等

三角形的判定與性質等內容，解決本題的關鍵是牢記相關概念與性質，能熟練運用全等三角形的判定與性

質進行角或邊之間關系的轉化等.

二、填空題

21.(2023下?廣東云浮?八年級統考期末)如圖，在回4BCD中，AD=8,E為4。上一點，M,N分別為BE,

CE的中點，則MN的長為.

ED

【答案】4

【分析】首先由平行四邊形的對邊相等的性質求得BC=4D=8；然后利用三角形中位線定理求得MN=

1

-BC=4.

2

【詳解】解：如圖，在平行四邊形2BCC中，BC=AD=8.

團M,N分別為BE,CE的中點，

EIMN是AEBC的中位線，

EIMN=-BC=4.

2

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質和三角形中位線定理，解題過程中是利用平行四邊形的性質結

合三角形中位線定理來求有關線段的長度的.

22.（2023,內蒙古錫林郭勒盟?校考模擬預測）如圖，在平行四邊形力BCD中，F是邊4D上的一點，射線CF和

B4的延長線交于點E,如果沁=；,那么/的值是_______

CACDF2^AEBC

【分析】在平行四邊形力BCD中，根據4BIICD,得出△EM”△CDF,根據磬絲=得出差=證明△EAF，

C“DF2DF2

△EBC,根據相似三角形的性質即可求解.

【詳解】解：回四邊形/BC。是平行四邊形，

團AD=BC,AFWBC,AEWCD.

[?]△瓦4F~△CDF,

0^￡=1,

C&CDF2

武=工，

DF2

1

^AFWBC,

IHAEAFEBC,

&￡=（竺）2邛「

SXEBC、BC）\379’

故答案為："

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的性質與判定，掌握相似三角形的性質與判定是解題

的關鍵.

23.（2023上?安徽宣城?九年級校考開學考試）若幾邊形的一個內角和為1800。，則幾=.

【答案】12

【分析】根據180。x（n-2）=1800°,計算求解即可.

【詳解】解：由題意知,180°x（n-2）=1800°,

解得n=12,

故答案為：12.

【點睛】本題考查了多邊形的內角和.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

24.（2023?山東聊城?二模）如圖是屋架設計圖的一部分，點。是斜梁A8的中點，立柱BC,DE垂直于橫

梁AC,AB=8m,BABC=60°,則。E=m.

【答案】2

【分析】由于BC、。“垂直于橫梁AC,可得BC〃DE,利用平行線分線段成比例定理可得AE：CE=AD：

BD,而。是AB中點，可知AB=BD,從而有AE=CE,即可證DE是MBC的中位線，可得。在

RtAABC中易求BC,進而可求OE.

【詳解】解：回立柱BC、OE垂直于橫梁AC,

0BC//DE,

0AE：CE=AD：BD,

回。是AB中點,

^\AD=BD,

^\AE=CE,

團OE是財BC的中位線，

0DE=|BC,

在RtMBC中，0ABe=60。，

^BC=-AB=^,

2

回DE=2,

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查了三角形的中位線、含有30。的直角三角形，解題的關鍵在于判斷出OE是朋BC的

中位線.

25.（2022?云南玉溪?統考一模）如圖，8。是她8C的中線，點后在線段8C上，連接AE交80于點R點

G為AE中點，連接DG,若黑=：，則襄=_____.

DF3BC

【答案】|/0.4

【分析】由三角形中位線可知。G08C,DG=^EC,然后可得ABEFsADGF,進而根據相似三角形的性質

可進行求解.

【詳解】解：SBO是EABC的中線，點G為AE中點，

1

回。G05C,DG=—EC9

2

[?]△BEF?匕DGF9

「BEBF4

回==—,

DGDF3

4

^\BE=-DG,

3

2

^\BE=-EC,

3

津=2；

BC5

故答案為|.

【點睛】本題主要考查三角形中位線及相似三角形的性質與判定，熟練掌握三角形中位線及相似三角形的

性質與判定是解題的關鍵.

26.(2022,遼寧阜新,校考一模)如圖，平行四邊形4BC。中，延長至點E,使。連接BE,交

CD于點F,若回CBE的面積為8cm2,則0A2E的面積為.

【答案】18cm2

【分析】根據平行線和相似三角形的性質，分別通過證明ADEFfCBF、^ABE-ADFE,即可完成求解.

【詳解】國平行四邊形A2CD

^AD//BC,BC=AD,

5\Z.DEF=Z.CBF,乙DEF=4BCF,

0ADEFCBF,

椿3吠—DE?—(ID)」「1

SxCBF~BC2~AD2~4’

團團C5廠的面積為8cm2,

團尸=7sAeBF~2cm2,

團平行四邊形ABCD,

^AB//CD,

BZ-ABE=Z-DFE,乙BAE=Z-FDE,

[?]△ABEDFE,

3=叱=（她+豺?=9

S&DFE~DE2~（I。）'—，

回SAABE=9S"DFE18cm2.

故答案為：18cm2.

【點睛】本題考查了平行四邊形、相似三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質，從而完

成求解.

27.（2023?山東泰安,統考一模）平行四邊形ABC。中，4B=4,BC=3,勖=60。，AE為8c邊上的高，將0ABE

沿AE所在直線翻折后得刻產E,那么她小與四邊形AECD重疊部分的面積是.

【分析】由折疊特點可知她F貝崛尸=M=60。，設CD與A尸相交于點尸，根據平行四邊形的性質

推出回CFP為等邊三角形，SAFE與四邊形AECQ重疊部分的面積是0AEF與團CFP的面積之差.

【詳解】如圖，

根據沿直線折疊特點，^AFE^ABE,

05=60°,

在■中，回8=60°,AB=4,貝！JAE=2^,BE=2,

^AFE=5^ABE=ix2x2V3=2V3,

CF=EF-EC=BE-(BC-BE)=1,

El在平行四邊形A8CO中，CD^AB,

00PCF=0B=60°=EF,

EHCfP為等邊三角形，底邊CF=EF-EC=BE-（BC-BE）=1,高為?，

^SCFP=—,

A4

^SM=S^AFE-SACFP=2^3--=—.

44

故答案為：斗.

4

【點睛】已知折疊問題就是已知圖形的全等，考查學生對全等三角形性質的應用及三角形面積的求法.

28.（2023上?湖南長沙?八年級長郡中學校考期末）如圖，在AABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,AB=2,

。是AB邊上的一個動點（點。不與點A、B重合），連接CD,過點。作CO的垂線交射線CA于點E.當

AADE為等腰三角形時，A。的長度為.

【答案】1或日

【分析】分兩種情況：①當點E在AC上，AE=DE時，貝峋EDA=EIBAC=30°,由含30。角的直角三角形的性

質得出BC=L加=60。，證出ABCD是等邊三角形，得出AD=AB-BD=1；②當點E在射線CA上，AE=

AD時，得出EIE=I3ADE=：15。，由三角形內角和定理求出國ACD=EICDA,由等角對等邊得出AD=AC=V^即可.

【詳解】解：分兩種情況：①當點E在AC上，AE=DE時，

EHEDA=E1BAC=3O°,

0DE0CD,

00BDC=6O°,

EBACB=90°,EIBAC=30°,

0BC=-AB=1,fflB=60°,

2

團團BCD是等邊三角形，

團BD=BC=1,

團AD=AB—BD=1；

②當點E在射線CA上，AE=AD時，如圖所示:

c

00E=EIADE=15O,

ODEEICD,

fflCDA=90°-15°=75°,

00ACD=180°-30°-75°=75°=I3CDA,

0AD=AC=V22-I2=V3,

綜上所述：AD的長度為1或百；

故答案為：1或8.

【點睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質、含30度角的直角三角形的性質、等邊三角形的

判定與性質等知識；靈活運用各性質進行推理計算是解決問題的關鍵.

29.（2023?陜西榆林,統考二模）如圖，在團4BCD中，AB=4,BC=6,zS=60°,點E為邊力D上一點，且

AE^^AD,點。為回48CD的中心，連接E0并延長交邊BC于點R過點C作CG14B于點G,CG交EF于

【答案】半層四

66

【分析】由平行四邊形的性質，可得CF=4E=2,在RtAABP中，由乙8=60。，AB=4,可得到8P=2,

從而可得PF=AE=2,進而得到四邊形AEFP是矩形，即NCFH=90。,在Rt△CFH中，NFCH=30°,CF=2,

可得到△CFH的面積為不，在RtABCG中，NB=60。，BC=6.可得到△BCG的面積為手，從而可得到四

邊形BGHF的面積為受I

6

【詳解】解：連接4C,過點A作2P18C于點尸,

回四邊形2BCD是平行四邊形，

EL40IIBC,AO=CO,/.EAO=Z.FCO,Z.EOA=Z.FOC,

0AEAO三AFC。(ASA),

EICF=AE=2,

在RtZiABP中，由NB=60。，AB=4,

1

^\BP=-AB=2,

2

團PF=6-2—2=2=ZE,

^\AE\\PF,

團四邊形AEFP是平行四邊形，

BAP1BC,

團四邊形AEF尸是矩形，

回乙CFH=90°,

在RtaCF”中，Z.FCH=30°,CF=2,

團HF=旭,

3

0ACFH的面積為］x2x竽=子，

在RtABCG中，NB=60。，BC=6,

0BG=|BC=3,CG=3V3,

可得到△BCG的面積為:x3x=#,

回四邊形BGHF的面積為度--=—,

236

故答案為：笠&

6

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的判定與性質，含30度角的

直角三角形的性質以及勾股定理的綜合運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造矩形，利用矩形的對邊相等

得出結論.

30.(2023?山東威海,統考模擬預測)如圖，在平面直角坐標系中，團ABC。的頂點A、C的坐標分別(8,0),

(3,4).點。、E三等分線段。8；延長CO,CE交OA,于點尸，G,連接FG.

對于下列結論：

①尸是0A的中點：

@A0FD與ABEG相似；

③四邊形。EG尸的面積是g；

【答案】①③

【分析】①證明ACDB?△FD。，根據相似三角形的性質得出差=骼再由。、E為08的三等分點，則

(JrOD

差=；=2,可得結論正確；

0D1

②如圖2,延長8C交y軸于H證明回。4貝！］乙40BANEBG,所以△0FD?△BEG不成立；

③如圖3,利用面積差求得：SMFG=SB0ABC-SAOFC-SACBG—SAAFG=12,根據相似三角形面積的比等

于相似比的平方進行計算并作出判斷；

④根據勾股定理計算OB的長，再根據點。E把線段。8三等分可得結論.

【詳解】解：①如圖，

0BC//O4,BC=OA,

0ACDBFD0,

0^-BC=—BD

OFOD

團。、E為05的三等分點，

常=2=2,

0D1

喘=2，

02。=20/，

^OA=WF,

SF是。4的中點；

回①結論正確；

②如圖2延長BC交y軸于”,

由C(3,4)知：08=4,CH=3,

0OC=5,

OAB=OC=5,

E1A(8,0),

回。4=8,

004豐AB,

0ZXOB中乙EBG,

0AOFD-△BEG不成立，

所以②結論不正確；

③由①知：歹為OA的中點，同理得；G是AB的中點,

EIFG是I3OA8的中位線，

MG=；08,FG//0B.

BOB=3DE,

3

國FG=-2DE,

曜=

過。作CQ1于。，如圖3,S^0ABC=OA-OH=AB-CQ,

77

0ce=y,

11

13SAOFC=-OF-0W=-X4X4=8,

11S42

SLCGB=-BG-CQ=-x-x—=8f

△3斤2225

1

S—FG=5X4X2=%

團S^CFG=Som/Bc—S〉OFC~S^CBG~^^AFG=8x4—8—8—4=12,

即E〃FG,

[2]△CDE-△CFG,

聲理=(―)2=1,

S&CFGFG9

言四邊形DEGF5

0-------=一，

S^CFG9

0s四邊形DEGF=|SACFG=g，

所以③結論正確；

④在RtAOHB中，由勾股定理得:

OB2=BH2+0H2,

WB=43+8)2+42=V137,

WD=叵，

3

所以④結論不正確；

本題結論正確的有：①③.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質、坐標與圖形性質、勾股定理、三

角形的中位線定理、平行四邊形和三角形面積的計算等知識，難度適中，熟練掌握平行四邊形和相似三角

形的性質是關鍵.

31.（2023?北京朝陽?二模）正方形2BCD的邊長為4,點M,N在對角線2C上（可與點4c重合），MN=2,

點P,Q在正方形的邊上.下面四個結論中，

①存在無數個四邊形PMQN是平行四邊形；

②存在無數個四邊形PMQN是菱形；

③存在無數個四邊形PMQN是矩形；

④至少存在一個四邊形PMQN是正方形.

所有正確結論的序號是.

【答案】①②④

【分析】根據平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到結論.

【詳解】解：①設正方形的對角線相交于點。，若MN的中點恰好是點0,則經過點。任意一直線PQ,分

別與正方形的邊AD,BC交于點P,G,通過正方形的性質對稱性易得OP=OG,則四邊形PMQN是平行四邊形,

由于PQ的任意性，則存在無數個四邊形PMQN是平行四邊形，故①正確；

②過MN的中點E作垂線，分別與正方形的相鄰兩邊交于P,Q,根據正方形的對稱性可得，PE=GE,則四邊

形PMQN是菱形，由于MN的任意性，則存在四邊形PMQN是菱形；③由①存在由無數個平行四邊邊形,

要是的四邊形為正方形則PQ=MN=2=CD,故此時PQ經過正方形對角線的交點，且與正方形的邊BC垂直，

是唯一的，故不存在無數個四邊形PMQN是矩形；④由②知存在菱形，故只需滿足回PMQ=90。時，則四邊

形PMQN時正方形，此時M與點A重合即可，故存在至少存在一個四邊形PMQN是正方形；

故正確的結論序號是①②④.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟記各定理是

解題的關鍵.

32.（2023?江蘇蘇州?校聯考模擬預測）如圖，已知在13ABe中，AB=AC=13,BC=10,點M是AC邊上任意一

點，連接MB,以MB、MC為鄰邊作平行四邊形MCNB,連接MN,則MN的最小值是

【分析】設MN與8C交于點。連接AO,過點。作O/fflAC于"點，根據等腰三角形的性質和勾股定理

可求A。和OH長，若MN最小，則M。最小即可，而。點到AC的最短距離為長，所以最小值是

2OH.

【詳解】解：設與BC交于點。，連接AO,過點。作OH0AC于H點,

0四邊形MCNB是平行四邊形,

團。為BC中點，MN=2MO.

0AB=AC=13,BC=10,

0AO0BC.

在RtfflAOC中，利用勾股定理可得

AO^y/AC2-CO2="32-52=12.

利用面積法：AOxCO=ACxOH,

即12x5=13x0"解得。”=詈

當最小時，則MN就最小，。點到AC的最短距離為0H長，

所以當M點與H點重合時，MO最小值為長是號.

所以此時MN最小值為2。〃=詈.

故答案為：詈.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、垂線段最短、勾股定理、等腰三角形的性質，解題的關鍵是

分析出點到某線段的垂線段最短，由此進行轉化線段，動中找靜.

33.（2022?浙江杭州?統考二模）如圖，在平行四邊形4BCD中，4C與BD交于點。，NO4B=45°,AAB0=60°,

3￡?=8.點0從8點出發沿著8。方向運動，到達點。停止運動.連接2P,點B關于直線2P的對稱點為Q.當

點Q落在4C上時，貝UOQ=.在運動過程中，點Q到直線8。的距離的最大值為.

【答案】2+2舊-2遙2

【分析】如圖1,點B關于直線2P的對稱點為Q,當點Q落在47上時，則連接過點。作OH0AB

于點H,貝崛O8B=EIOHA=90。，在RdBOH中，BH=2,OH=2顯,在RfAAOH中，AH=OH=2y/3,AO

=2①AB=AQ=BH+AH=2+2V5,即可求得0Q=4。-4。=2+2%一2伉；如圖2,以點A為圓心，AB

長