幾何變換之旋轉鞏固練習

1.如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為4(-4,-2)、6(-2,0)、C(0,-3),

△4笈。是△/反;繞點C順時針旋轉90°后得到的圖形.

(1)寫出4,4的坐標；

(2)在所給的平面直角坐標系中畫出△48C；

(3)若點”與點4關于原點對稱，寫出△448的面積.

2.如圖，將△/回以點C為旋轉中心，順時針旋轉180°,得到△龍G過點力作"'〃龍，交龐的延長線

于點尸，試問：N8與/尸相等嗎？為什么？

3.請在平面直角坐標系中，完成下面的問題

(1)描出點力(-2,3)和它關于y軸的對稱點6；

(2)描出點C(2,1)和它關于原點的對稱點"

(3)求線段四的長.

4.己知菱形力應力的邊長為2,N4=60°,點￡、尸分別在邊4久46上，將△A6F沿斯折疊，使得點力的

對應點夕恰好落在邊⑦上.

(1)延長"、A,尸交于點〃，求證：—ArC

AEDE'

(2)若4點為切的中點，求用的長;

(3)AA'交所于點G,再將四邊形紙片比沖尸折疊，使。點的對應點。'恰好落在小尸上，折痕"V分

別交邊CD、a1于點〃、N,連接c'G,貝uC'G的最小值為

5.如圖，半圓。的直徑/6=10,將半圓。繞點洌順時針旋轉45°得到半圓。，與A8交于點、P,求/戶的

長.

6.如圖，逆時針旋轉一定角度后與△/龐重合，且點C在/。上.

(1)指出旋轉中心；

(2)若/8=21°,ZACB=26°,求出旋轉的度數；

(3)若9=5,切=3,則/￡的長是多少？為什么？

7.如圖，將繞點C順時針旋轉90°得到若點/、D、￡在同一條直線上，且N/G?=20°,求

少及N6的度數.

E

D.

8.如圖，戶是等邊三角形被7內一點，且以=6,PB=8,八7=10,若將△用C繞點4逆時針旋轉后，得到

AB.求：

(1)PP'的長度；

(2)//期的度數.

9.如圖，將邊長為次的正方形265繞點力逆時針方向旋轉30°后得到正方形"夕CD'.

(1)求證：ED=EB'；

(2)求圖中陰影部分的面積.

D'

10.如圖，。是等邊△48C內一點，物=3,OB=4,OC=5,將線段8。繞點8逆時針旋轉60°得到線段8。，.

(1)求點。與。的距離；

(2)求//①的度數.

O'

(備用圖)

11.如圖，在平面直角坐標系中，2(-3,0),點6是y軸正半軸上一動點，以為邊在力6的下方作等

邊△呼，點8在y軸上運動時，連接你求利的最小值.

12.如圖，在正方形力及力中，E、尸是對角線如上兩點，且/放6=45°,將繞點"順時針旋轉90°

后，得到△/80,連接￡0.

(1)求證：成是/曲的平分線；

(2)已知龍=1,DF=3,求廝的長.

幾何變換之旋轉鞏固練習

1.如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為4(-4,-2)、6(-2,0)、C(0,-3),

△4笈。是△/反;繞點C順時針旋轉90°后得到的圖形.

(1)寫出4,4的坐標；

(2)在所給的平面直角坐標系中畫出△48C；

(3)若點”與點4關于原點對稱，寫出△448的面積.

【分析】(1)利用網格特點和旋轉的性質畫出46的對應4、從而得到它們的坐標；

(2)由(1)可確定△48C；

(3)先寫出點外的坐標，然后用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算△446的面積.

【解答】解：(1)A(1,1),I(3,-1)；

(2)如圖，△46C為所作；

(3):點4與點4關于原點對稱，

.,.力2(-1,-1),

△446的面■積=2X3—：1xlXl1—：x21X2—：x3Xl=2.

【點評】本題考查了作圖-平移變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相

等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的

圖形.

2.如圖，將△/回以點C為旋轉中心，順時針旋轉180°,得到△龍G過點/作"〃龐，交龐的延長線

于點尸，試問：N8與/尸相等嗎？為什么？

【分析】根據旋轉的性質，可得△/占名△龍G根據全等三角形的性質，可得/方=/應2根據平行線的

性質，可得NF=/DEC,根據等量代換，可得答案.

【解答】解：N6與/尸相等，理由如下：

?.?將以點C為旋轉中心，順時針旋轉180°,得到△龍C,

:./B=NDEC,

'：AF//BE,

：./F=/DEC,

：./B=ZF.

【點評】本題主要考查了旋轉的性質以及平行線的性質，屬于基礎題型.

3.請在平面直角坐標系中，完成下面的問題

(1)描出點/(-2,3)和它關于y軸的對稱點6；

(2)描出點C(2,1)和它關于原點的對稱點"

(3)求線段四的長.

【分析】(1)利用關于y軸對稱的點的坐標寫出8點坐標，然后描點即可；

(2)利用關于原點對稱的點的坐標寫出。點坐標，然后描點即可；

(3)利用/。平行y軸，利用兩點的縱坐標之差得到血＞的長.

【解答】解：(1)如圖，點6為所作；

(2)如圖，點〃為所作；

線段49的長=3-(-1)=4.

【點評】本題考查了作圖-旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相

等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的

圖形.也考查了軸對稱變換.

4.已知菱形/及力的邊長為2,乙4=60°,點￡、戶分別在邊/久4?上，將△//1沿外折疊，使得點力的

對應點"恰好落在邊切上.

(1)延長徽2尸交于點〃，求證：等=苛;

AEDE

(2)若4點為力的中點，求所的長；

(3)AA'交所于點G,再將四邊形紙片宛4,尸折疊，使C點的對應點。'恰好落在尸上，折痕仞V分

別交邊CD、8c于點、M、N,連接C'G,則C'G的最小值為

【分析】(1)如圖1中，延長徵到7,使得27=龍，連接V.證明HCsAEQ'T,可得結論.

(2)如圖2中，延長切，過點尸作用吐力于點四交AB千H,連接2B、BD,CF.想辦法求出題FH,

再利用勾股定理即可解決問題.

(3)注意到G為41'的中點，于是可知G點的高度終為菱形高度的一半,同時注意到G在/加沙的角平分

線上，因此作于〃尸于尸，則但勰根據垂線段最短原理可知團就是所求最小值.

【解答】(1)證明：如圖1中，延長繆到T,使得07=應,連接TE.

圖1

???四邊形2曲是菱形，

：.DT//AB,N4=NC=60

：.ZTDE=ZA=60°,

,:DT=DE,

???△西是等邊三角形，

：.ZT=ZC=60°,

9：ZEA,方=NZ=60°,

：.ZTArE+ZCArH=12Q

ZCA'H^AA'HC=\23

：.ZTArE=ZAfHC,

???△/HCsAEQT,

,ArH_ArC

,*ArE-ET'

?：ET=DE,AE=A'E,

?A'H_Arc

)*AE-DE

(2)解：如圖2中，延長口過點尸作冏人切于點瓶交朋于〃，連接，B、BD,CF.

圖2

,：ZA=6Q°,四邊形/以必是菱形,

:?/MDF=60°,

???/仞叨=30°,

設MD=x,則所=2x,FM=?c,

?：DG=3

：.MG=x+\,

???(x+1)2+(V3x)2=(2-2x)2,

解得：x=0.3,

???如=0.6,4/=1.4,

：.AH=-AF=0.7,FH=AF-sinAA=1.4x—=—,

2210

'：CD=BC,ZC=60°,

ADGB是等邊三角形,

'：A'是應的中點,

：.BA'LCD,

,:BC=2,A'C=l,

：.BA'=V3,

設,BE=y,則HE=2-y,

：.(V3)V=(2-y)2,

解得：y=0.25,

：.AE=1.75,

：.EH=AE-AH=1.75-0.7=1.05,

：.EF=y/EH2+FH2=I1.052+(—)2=—.

'k10720

(3)解：如圖3中，過點。作GH1AB于H,過點G作GPVA尸于P,過點/作A0_L居于Q.

圖3

?.?四邊形/砥?是菱形，

：.DA=AB=BC=CD=2,AB//CD,

Q=DR,

?：/BAD=6Q°,

：.AQ=V3

?.3'與"關于項對稱，

二項垂直平分//',

46=/'G,NAFE=Z/FE,

：.GP=GH,

又?：GHLAB,AQVAB

：.GH//AB,

：.GH=-AQ=—,

22

所以GO為?，當且僅當C與一重合時，GC取得最小值

故答案為苧.

【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了菱形的性質、翻折變換的性質、勾股定理、等邊三角形的判定

與性質等知識；本題綜合性強，難度較大，運用勾股定理得出方程是解決問題的關鍵，學會利用垂線段最

短解決最值問題，屬于中考壓軸題.

5.如圖，半圓。的直徑49=10,將半圓。繞點方順時針旋轉45°得到半圓。'，與A8交于點、P,求/尸的

【分析】先根據題意判斷出必是等腰直角三角形，由銳角三角函數的定義求出陽的長，進而可得出

加7的長.

【解答】解：：/的'=45°,O'P=0'B,

：?△()'陽是等腰直角三角形，

：.PB=V2B0'=5V2,

：.AP=AB-BP=10-5V2.

【點評】本題考查的是旋轉的性質，解答此題的關鍵是熟練掌握旋轉的性質.

6.如圖，△26C逆時針旋轉一定角度后與△/龍重合，且點，在/。上.

(1)指出旋轉中心；

(2)若/8=21°,NACB=26°,求出旋轉的度數；

(3)若4?=5,CD=3,則/￡的長是多少？為什么？

E

【分析】(1)結合圖形找到旋轉中心即可；

(2)根據題意求得/&C的度數即可求得旋轉角；

(3)利用旋轉的性質得到/￡=2G即可求得答案.

【解答】解：(1)旋轉中心為點小

(2);NB=21°,/ACB=26°,

AZE4C=180°-21°-26°=133°,

旋轉的度數為133°；

(3)由旋轉性質知：AE=AC,AD=AB,

J.AE^AB-繆=2.

【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于

旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.

7.如圖，將繞點C順時針旋轉90°得到△初C.若點/、D、￡在同一條直線上，且///=20°,求

/。￡及/8的度數.

【分析】根據旋轉的性質可得△/常是等腰直角三角形，所以/0￡=45°,易知//屹=90°-20°=70°,

根據三角形外角性質可得/月/度數，又/EDC=/B,則可求.

【解答】解：根據旋轉的性質可知。="，且/力位=90°,

所以△/以是等腰直角三角形.

所以/。￡=45°；

根據旋轉的性質可得/"心=90°,

VZACB=20°.

：.ZACD^90°-20°=70°.

功C=45°+70°=115°.

所以/6=N初C=H5°.

【點評】本題主要考查了旋轉的性質，解決這類問題要找準旋轉角以及旋轉后對應的線段.

8.如圖，尸是等邊三角形/8C內一點，且⑸=6,PB=8,PC=10,若將△為「繞點/逆時針旋轉后，得到

△PAB.求：

Cl)PP'的長度；

(2)乙4期的度數.

【分析】(1)根據旋轉的性質可得/以P=60°,P'A=PA,然后判斷出△加沙是等邊三角形，根據等

邊三角形的性質可得依'=P&

(2)根據等邊三角形的性質可得/加/=60°,利用勾股定理逆定理求出/=90°,然后求解即可.

【解答】解：(1)???△用「繞點/逆時針旋轉后，得到AB,

：.APAP'=60°,P'力=序=6,

:.MAPP是等邊三角形，

：.PP'=%=6；

(2)..?△處C繞點/逆時針旋轉后，得到△?'AB,

：.P'B=PC=\Q,

<XAPP是等邊三角形，

ZAPP'=60°,

■:P^+PP'2=82+62=100,

P'^=102=100,

:.P百+PP”=F隊

...△?'如是直角三角形，ABPP'=90°,

ZAPB=AAPP1+ABPP'=60°+90°=150°.

【點評】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，勾股定理逆定理，旋轉前后對應邊相等，對應角相

等.

9.如圖，將邊長為舊的正方形5繞點/逆時針方向旋轉30°后得到正方形/8CD'.

(1)求證：ED=EB'；

【分析】（1）根據應即可證明△/足△/月￡,根據全等三角形的對應邊相等即可證得；

（2）求得/口〃的度數，根據三角函數求得初的長，則△力龐的面積即可求得，然后利用正方形的面積減

去△/龐和△/月￡的面積即可求解.

【解答】解：（1）連接力笈

在直角△/龐和直角△/月E中，

（AB'=4。，

Uf=AE'

：.△ADE^AABE,

：.DE=EB；

（2）龐必△/月￡,

ZDAE=/DAU,

又掰月=30°,ZBAD^90°,

.?./物￡=30°,

在直角△/龐中，ED=AI>tan30a=VIxR=l,

則S^ADE=/"Eg|xV3xl=y,

=

SAABE￡\力龐=~2f

=

又S正方形ABCD(V3)=3,

【點評】本題考查旋轉的性質以及全等三角形的判定與性質，正確證明￡是本題的關鍵.

10.如圖，。是等邊△/8C內一點，物=3,如=4,%=5,將線段加繞點6逆時針旋轉60°得到線段8。'.

（1）求點。與。的距離；

（2）求//①的度數.

【分析】（1）由旋轉的性質可得應=8。，力。=60°,可證明△儂/是等邊三角形，從而求解；

（2）由弘S可證A學4BOC,可得%=少4=5,利用勾股定理的逆定理即可證得△4。。'是直角三角

形，即可求解.

【解答】解：（1）如圖，連接00,

?.,等邊△/a

：.AB=CB,ZABC=60°.

?.?線段8。以點6為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段,

J.BO^BO',ZO1/什60°,

：./\OBO'是等邊三角形.

00'=OB=4；

(2)'：』OB0=/ABC=6G,

.?./。'掰=60°-/ABg/OBA.

在△804和△8%中，

AB=CB

/.O'BA=乙OBA,

BO'=BO

：.△6。叢BOC(MS).

：.OC=OA=3,

'：A(f+(J汗=9+16=25=01,

A/XAOO'是直角三角形.

Z.AAOB=ZAOO'+Z0'(25=90°+60°=150°.

【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理逆定理，等邊三角形的性質等知識，

靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵.

11.如圖，在平面直角坐標系中，AC-3,0),點方是y軸正半軸上一動點，以46為邊在加的下方作等

邊△/朋點6在y軸上運動時，連接能求利的最小值.

【分析】以以為對稱軸作等邊△/龐，連接2°,并延長7交x軸于點尸.由“弘S”可證△/以以

可得N4EP=N4施=120；進而可得點?在直線顏上運動，根據垂線段最短解答.

【解答】解：如圖，以以為對稱軸作等邊△/龐，連接露，并延長心交x軸于點戶，

AZABD=60°,

：.AO=W0E=3,

：.OE=V3,

△/龐和AABP是等邊三角形，

：.AB=AP,AD=AE,ZBAP=ZDAF=60°,

：.ABAD=/PAE,

在△/如和中，

AB=AP

/.BAD=/.PAE

AD=AE

:.△AEP^^ADB(