專題21直角三角形

考點一：直角三角形

知識回顧

1.直角三角形的概念:

有一個角是90°的三角形叫做直角三角形。

2.直角三角形的性質：

①直角三角形的兩銳角互余。

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

③含30°的直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

④直角三角形的兩直角邊的成績等于斜邊乘以斜邊上的高線。

⑤直角三角形的勾股定理。

微專題

1.（2022?賀州）如圖，在中,NC=90°,ZB=56°,則NA的度數為()

第2題

A.34°B.44°C.124°D.134°

2.（2022?岳陽）如圖，已知/〃AB,CQ_U于點。，若NC=40°,則/I的度數是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

3.（2022?紹興）如圖,把一塊三角板ABC的直角頂點B放在直線所上，ZC=30°,AC//EF,則/1=

C.60°D.75°

4.（2022?大連）如圖，在△ABC中，ZACB=9Q°.分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作

2

弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN.直線跖V與相交于點。，連接C。，若AB=3,則CD的

長是（）

B

C

CDA

N

第4題第5題

A.6B.3C.1.:5D.1

5.（2022?永州）如圖，在RtZkABC中,ZABC=90°，ZC=60°，點。為邊AC的中點，BD=2,則BC

的長為（）

A.V3B.2百C.2D.4

6.（2022?青海）如圖,在RtZXABC中，ZACB=90-，。是的中點，延長C8至點E,使連

接QE,尸為。E中點，連接8R若AC=16,8c=12,則BE的長為（）

,zK

^\7s\"http://G\\

E-'

E

第6題第7題

A.5B.4C.6D.8

7.（2022?鎮江）如圖，在△A8C和△A3。中，ZACB=ZADB=90°,JE、F、G分別為AB.AC、BC的

中點，若DE=1,貝|FG=_____.

8.（2022?西寧）如圖，ZkABC中，AB=6,8C=8,點、D,E分別是AB,AC的中點，點尸在。E上，且

ZAFB^90°,則￡尸=____.

A

B

9.（2022?梧州）如圖，在aABC中，/ACB=90°,點。，E分別是AB,AC邊上的中點，連接CDDE.如

果A8=5機，BC=3m,那么CD+DE的長是m.

第9題第10題

10.（2022?臺州）如圖，在△ABC中，ZACB=9Q°,D,E,尸分別為AB,BC,CA的中點.若的長

為10,則CD的長為

考點二：勾股定理

知識回顧

1.勾股定理的內容：

在直角三角形中，兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方。若直角三角形的兩直角邊是a,b,斜邊

是C,則02=。2+廬。

2.勾股數：

滿足直角三角形勾股定理的三個正整數是一組勾股數。

3.勾股定理的逆定理：

若三角形的三條邊分別是a,b,c,且滿足。2=。2+廬，則三角形是直角三角形，且/c是直角。

4.特殊三角形三邊的比：

①含30°的直角三角形三邊的比例為（從小打大）：1:石：2。

②45°的等腰直角三角形三邊的比例為（從小到大）：l:l：V2o

5.兩點間的距離公式：

若點A（X],yj與點3（%2，為），則線段AB的長度為：|J（為-'%2）「+（%?乃）「°

微專題

11.（2022?攀枝花）如圖1是第七屆國際數學教育大會CICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的

直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OA8C.若OC=JE，BC=1,ZAOB=30°,則

OA的值為（）

圖1圖2

3

A.V3B.-C.V2D.1

2

12.（2022?荊門）如圖，一座金字塔被發現時，頂部已經蕩然無存，但底部未曾受損.已知該金字塔的下

底面是一個邊長為120機的正方形，且每一個側面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（）

A.120mB.6073/77C.60后nD.12073m

13.（2022?百色）活動探究：我們知道，己知兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.如

已知△A8C中，ZA=30°,AC=3,/A所對的邊為滿足已知條件的三角形有兩個（我們發現其

中如圖的△ABC是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（）

14.（2022?荊州）如圖，在RtA4BC中，ZACB=90°,通過尺規作圖得到的直線MN分別交AB,AC于

D,E,連接CD若CE=^AE=1,則CO=

3

15.（2022?廣元）如圖，在△ABC中，BC=6,AC=8,NC=90°,以點2為圓心，BC長為半徑畫弧，

與AB交于點再分別以4、。為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點M、N,作直線MN,

2

分別交AC、AB于點E、F,則AE的長度為（）

A.-5B.3C.2j2D.1—0

23

16.（2022?湖州）在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點.如圖，在6

義6的正方形網格圖形ABCD中，M,N分別是AB,8C上的格點，8M=4,BN=2.若點P是這個網格

圖形中的格點，連結PM,PN,則所有滿足/MPN=45°的△PMN中，邊的長的最大值是（

A.472B.6

17.（2022?金華）如圖是城市某區域的示意圖，建立平面直角坐標系后，學校和體育場的坐標分別是（3,

1）,（4,-2）,下列各地點中，離原點最近的是（）

A.超市B.醫院C.體育場D.學校

18.（2022?舟山）如圖，在RtZXABC和RtZVBOE1中，/ABC=NBDE=90°，點A在邊。E的中點上，若

AB=BC,DB=DE=2,連結CE,則CE的長為()

第18題

A.714B.V15C.4

19.（2022?成都）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程7-6x+4=0的兩個實數根，則這

個直角三角形斜邊的長是.

20.（2022?南充）如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,NBAC的平分線交于點。，DE//AB,交AC于

點E,。尸，A2于點RDE=5,DF=3,則下列結論錯誤的是（）

A.BF=1B.DC=3C.AE=5D.AC=9

21.（2022?通遼）在Rt^ABC中，ZC=90°,有一個銳角為60°,AB=6,若點P在直線AB上（不與點

A,8重合），且/尸CB=30°,則AP的長為.

22.（2022?武漢）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AOBC,分別以△ABC的三邊為邊向外作三個

正方形ABHL,ACDE,BCFG,連接DF.過點C作AB的垂線CJ,垂足為J,分別交。F,LH于點I,

K.若C/=5,CJ=4,則四邊形A/KL的面積是

第23題

23.（2022?內江）勾股定理被記載于我國古代的數學著作《周髀算經》中，漢代數學家趙爽為了證明勾股

定理，創制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”.圖②由弦圖變化得到，它是由八個

全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形4BC。、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為Si、

S3.若正方形EEG8的邊長為4,則Si+S2+S3=

24.（2022?永州）我國古代數學家趙爽創制了一幅“趙爽弦

極富創新意識地給出了勾股定理的證明.如圖所示，“趙

圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形的面積是25,小正

方形的面積是1,則AE=.

第24題第26題

25.（2022?湖北）勾股定理最早出現在商高的《周髀算經》：“勾廣三，股修四，徑隅五”.觀察下列勾股數：

3,4,5；5,12,13；7,24,25；這類勾股數的特點是：勾為奇數，弦與股相差為1.柏拉圖研究

了勾為偶數，弦與