專題20直線方程應(yīng)用

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目錄

題型一：斜率幾何意義............................................................................1

題型二：傾斜角范圍最值..........................................................................2

題型三：函數(shù)值域型求傾斜角......................................................................3

題型四：直線方向向量...........................................................................4

題型五：含參直線過(guò)定點(diǎn)..........................................................................5

題型六：雙直線含參型定圓........................................................................5

題型七：截距式應(yīng)用..............................................................................6

題型八：直線一般式方程理論......................................................................7

題型九：直線光學(xué)性質(zhì)...........................................................................8

題型十：兩點(diǎn)距離公式應(yīng)用.......................................................................10

題型十一：平行線應(yīng)用...........................................................................10

題型十二：對(duì)稱：“將軍飲馬”型最值.............................................................11

題型十三：絕對(duì)值型.............................................................................12

題型十四：對(duì)稱：疊紙型.........................................................................13

^突圍?檐;住蝗分

題型一：斜率幾何意義

:指I點(diǎn)I迷I津

：斜率型分式幾何意義

■若P1(X1,力)，B(X2,>2)在直線/上，且尤1W尤2,則/的斜率仁三心。

i若滿足

y=f(xj—g(電),則可以構(gòu)造兩點(diǎn)(xpf(%)),(X”g(xj)型兩點(diǎn)連線斜率，通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解

Xl-X2

1?"(-24-25籥三王丘茜技卬|花菠標(biāo)萬(wàn)丁兵旅菌嘀箕初菽質(zhì)據(jù)前向而應(yīng)藐落二起「最后霰藏場(chǎng)而―

魚(yú)太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的"太極圖".圖中曲線為圓或半圓，已知點(diǎn)P(x,y)是陰影部分(包括

邊界)的動(dòng)點(diǎn).則三的最小值為(

4

C.D.1

3

2.（20-21高一下?遼寧大連?期中）設(shè)函數(shù)=的最大值為/（。），最小值為根（a）,貝晨）

a+〃cos%+2

A.\/aGR,Af(a)?皿。)=1B.eR,=2

C.\/aGR,+=2D.GR,A/(a)+加(a)=3

3.（2024高二?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=log2（x+l）,且c>b>a>0,則要，幺夕的大小

abc

關(guān)系是()

A.”嘰〃嘰A。)〃c)“6)

D.>>

abccba

f?八a)/(c)/(a)/(c)/⑸

u.>>

bacacb

4.（2023?黑龍江哈爾濱?二模）點(diǎn)”（%,%）在函數(shù)〉=6工的圖象上，當(dāng)％e[0,l）,則，口可能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

5.（23-24高二上?安徽馬鞍山?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)尤，y滿足*+y2-2x-2y+l=0,則上二的取值范圍

X+1

是.

題型二：傾斜角范圍最值

指I點(diǎn)I迷I津

斜率與傾斜角關(guān)系是正切圖像

由正切圖象可以看出：①當(dāng)aG0,號(hào)時(shí)，斜率AG[0,+oo）且隨著a增大而增大；

②當(dāng)仁=鄂寸，斜率不存在，但直線存在；③當(dāng)旌便力時(shí)，斜率正（—8,0）且隨著a增大而增大.

I____________________________________________________________________________________________________

1.（24-25高二上?安徽滁州?階段練習(xí)）過(guò)4（1,2加-1）,以3,蘇）兩點(diǎn)的直線的傾斜角的取值范圍為（）

a-H]b-H,0]c-[o,Cd-H）

2.（24-25高二上?重慶?階段練習(xí)）設(shè)直線/的方程為xcos6+y-3=。（0eR）,則直線/的傾斜角。的取

值范圍是（）

3兀

T,7t

3.（24-25高二上?河北唐山?階段練習(xí)）設(shè)直線/的方程為了-以山。+2=0,則直線/的傾斜角。的范圍是（）

「ci7T717L37r兀兀）?7T3兀

A.0,7iB.—C.—-D.

L」[42」[44」|_42）（24」

4.（24-25高二上?河北石家莊?階段練習(xí)，多選）下列說(shuō)法正確的是（）

「兀]「3兀、

A.直線xsinor+y+2=。的傾斜角。的取值范圍是0,-U—,?rI

B.函數(shù)/（2元-1）的定義域?yàn)椋?1,2）,則函數(shù)/（1-》）的定義域?yàn)椋?2,4）

一爐—QX—5(尤<1)

C.已知函數(shù)/（%）=a八在（0,+8）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是[-3,1]

—(zx>1)

lx

19-1

D.若事件A與事件8相互獨(dú)立，且P（A）=§,P（B）=-,貝！JP（A3）=§

22

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知%尸2分別是雙曲線C:a-餐=1（。>0*>0）的上、下焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F?且與y

軸垂直的直線與C的一條漸近線相交于點(diǎn)P,且尸在第四象限，四邊形尸片。區(qū)為平行四邊形.若直線。月的

2兀371

傾斜角ce,則C的離心率的取值范圍是.

題型三：函數(shù)值域型求傾斜角

指I點(diǎn)I迷I津

;斜率與傾斜角的關(guān)系，可以通過(guò)正切函數(shù)來(lái)對(duì)應(yīng)

由正切圖象可以看出：①當(dāng)ad0,§時(shí)，斜率左G[0,+8）且隨著a增大而增大；

；當(dāng)a=鄂寸，斜率不存在，但直線存在；

；當(dāng)ad便兀）時(shí)，斜率々G（—oo,0）且隨著a增大而增大.

1.（24-25高二上?浙江?階段練習(xí)）已知A（g,0）,B（0,-l）,直線/：2以-2y-耳-3=0上存在點(diǎn)尸，滿

足1M+|依|=2,貝心的傾斜角的取值范圍是（）

兀5兀

2，-6-

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）將函數(shù)y=C?7^_6（xe[l,3]）的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（夕為銳

角），若所得曲線仍是一個(gè)函數(shù)的圖象；則e的最大值為（）

22

3.（23-24高二上?河北?階段練習(xí)）已知片，耳分別是雙曲線C:=-之=l（a>O,b>Q）的上、下焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,

且與y軸垂直的直線與c的一條漸近線相交于點(diǎn)p,且尸在第四象限，四邊形尸月。月為平行四邊形，若c的

4.（21-22高三上?遼寧鐵嶺?期末，多選）已知直線/：履-'-2左=0與拋物線C：V=8x交于A,B兩點(diǎn)，F(xiàn)

為拋物線C的焦點(diǎn)，若|Ab|=3|3/|,則直線/的傾斜角可能為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

5.（24-25高二上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）直線（4/+3卜-4磔+1=0的傾斜角的取值范圍是.

x2-.r+l,x<0

6.（22-23高三下?上海?階段練習(xí)）已知曲線C:y=,點(diǎn)尸，0是曲線C上任意兩個(gè)不同點(diǎn),

，尤2+],x>0

若ZPOQV夕，則稱尸，Q兩點(diǎn)心有靈犀，若P,Q始終心有靈犀,則6的最小值％的正切值tan%=

題型四：直線方向向量

指I點(diǎn)I迷I津

與直線1平行的非零向量V都稱為1的方向句量，用它們來(lái)表示直線的方向.

斜率為k的直線的方向向量為（l,k）的非零實(shí)數(shù)得?.

1.（24-25高二上?江蘇南通?階段練習(xí)已知％B是互相垂直的單位向量，若直線4和I的方向向量分別為

^a+bAa-b,貝U4和4所成的角的余弦值為（）

2.（2024?安徽蕪湖?二模）已知直線/：Ar+By+CnOlAZ+^wo）與曲線卬：y=V-x有三個(gè)交點(diǎn)￡）、E、

F,且|DE|=|EF|=2,則以下能作為直線/的方向向量的坐標(biāo)是（）.

A.（0,1）B.（1,-1）C.（1,1）D.（1,0）

3.（23-24高二上?安徽黃山?期中）已知直線/的一個(gè)方向向量為（-1,2）,直線/的傾斜角為a,則

sin2c-cos?2-1的值為（）

A.-2B.0C.-1D.2

4.（23-24高二上?福建三明?期中，多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線/：%+丁+2=0在y軸上的截距為2

B.直線x+y+l=O的方向向量為（1,-1）

C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（2,1）,且在無(wú)，y軸上截距相等的直線方程為x+y-3=0

D.已知直線/過(guò)點(diǎn)（2,1）,且與無(wú)，y軸正半軸交于點(diǎn)4、8兩點(diǎn)，則VA03面積的最小值為4

5.（2023?四川德陽(yáng)?一模）已知實(shí)數(shù)久久c成公差非零的等差數(shù)列，集合A={（x,y）辰+6y+c=0},

P（-3,2）,N（2,3）,MwA,若希則幽時(shí)的最大值為.

題型五：含參直線過(guò)定點(diǎn)

指I點(diǎn)I迷I津

直線系：

過(guò)與A2X+B2J+C2=0的交點(diǎn)的直線可設(shè)：Aix+Biy+Ci+A（A2x+B2y+G）=0.

所以，含參直線，可以通過(guò)分離構(gòu)造方程組解出定點(diǎn)

1.（24-25,全國(guó)?模擬）以直線/：x+（："+2）y—3-m=0恒過(guò)的定點(diǎn)為圓心，半徑為血的圓的方程為（）

A.+y~一2x—2y=2B.x~+-2x—2y=1

C.x~+V—2x—2y+l=0D.無(wú)？+y~—2x—2y=0

2.（24-25高二上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）無(wú)論力為何值，直線（24+3戶+（4+4方+2（幾-1）=。過(guò)定點(diǎn)（）

A.（—2,2）B.（-2,-2）C.（-1,-1）D.（—1,1）

3.（24-25高二上?河北石家莊?階段練習(xí)）已知點(diǎn)4（2,-3）,3（-5,-2）,若直線/：小+>+根-1=0與線段A3

（含端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)根的取值范圍為（）

43

A.

i54

34

C.

453

4.（24-25高二上?浙江杭州?階段練習(xí)，多選）已知圓C:（x+2）2+/=4,直線/：（7"+1卜+2>-1+7力=0（7”€2,

貝I（）

A.直線/恒過(guò)定點(diǎn)

B.直線/與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)

C.當(dāng)m=1時(shí)，圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1

D.圓C與圓Y+y2-2x+8y+8=0恰有三條公切線

5.（23-24高二下?廣東清遠(yuǎn)?階段練習(xí)）如果直線版7-2左=0和曲線「:爐+4丫國(guó)=1恰有一個(gè)交點(diǎn)，那么

實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

題型六：雙直線含參型定圓

:指I點(diǎn)I迷I津

如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動(dòng)態(tài)”垂直。則直線交點(diǎn)必在定點(diǎn)線段為直徑的圓上。

1.每一條直線都可以通過(guò)“直線系”得到直線過(guò)定點(diǎn)。

2.兩條動(dòng)直線如果所含參數(shù)字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過(guò)斜率之積是否是7,確定兩條

直線是否互相“動(dòng)態(tài)垂直”。

3.如果兩條動(dòng)直線“動(dòng)態(tài)垂直”，則兩直線交點(diǎn)必在兩條直線所過(guò)定點(diǎn)為直徑的圓上。

4.如果兩條動(dòng)直線交點(diǎn)在對(duì)應(yīng)的兩直線所過(guò)定點(diǎn)為直徑的圓上，則可以通過(guò)設(shè)角，三角代換，進(jìn)行線段的

:最值求解計(jì)算

1.（2024產(chǎn)泰'蔑文.模反帚測(cè)）己向加，neR,病+/*（）,記宣展=6后i耍爾-〃y-"=。而

交點(diǎn)為P,點(diǎn)Q是圓C：（x+2y+（y-2）2=4上的一點(diǎn)，若PQ與C相切，則|尸。|的取值范圍是（）

A.[272,714]B.[2應(yīng),2近]

C.[2,V14]D.[2,2夕]

2.（2024?全國(guó),二模）己知直線4：y=tr+5（teR）與直線/?:x+少T+4=0?eR）相交于點(diǎn)p,且點(diǎn)P到點(diǎn)

3）的距離等于1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[-2>/2-3,-2V2-l]

B.[-25/2-3,2A/2-1]

C.[-272-3,-2>/2-1]u[2A/2+1,2A/2+3]

D.[-2&-3,-2夜-l]u[2亞-3,2忘-1]

3.（24-25高二上?福建三明?階段練習(xí)）已知直線4：x-陽(yáng)-2=0與直線仆7蛆+y-2=0（meR）交于點(diǎn)A,

若點(diǎn)3（—1,3）,則依目的最小值為（）

A.&B.2C.2&D.3A/2

4.（22-23高二上?福建莆田?階段練習(xí)，多選）已知“eR,若過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線4：尤-沖+加-2=。和過(guò)定

點(diǎn)B的動(dòng)直線4：y-4=T"（x+2）交于點(diǎn)尸（P與A,3不重合），則下列結(jié)論中正確的是（）

A.A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,1）B.點(diǎn)尸的軌跡方程尤2+y2-5y=0

C.PA2+PB2=25D.2叢+尸3的最大值為56

5.（2024高二上,江蘇?專題練習(xí)）設(shè)，”eR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+2+m（y-7）=0和過(guò)定點(diǎn)8的動(dòng)直線

mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P（x,y）,貝I]|刈|+1PBi的取值范圍是.

題型七：截距式應(yīng)用

指I點(diǎn)I迷I津

直線的截距和直線方程的截距式，關(guān)鍵有兩點(diǎn):

1.要注意截距為零的情況，

2.在截距不為零時(shí)，轉(zhuǎn)化求解

1.（22-23高三，重慶?模擬）記函數(shù)/（x）=，+加+法在點(diǎn)尸億〃。）（0</<1）處的切線為/,若直

線/在'軸上的截距恒小于1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

1

A.(-1,+co)B.[-1,+co)D.——,+co

2

2.（19-20高一?云南普洱?階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)尸（3,4）在兩坐標(biāo)軸上的截距都是非負(fù)整數(shù)的直線有多少條（）

A.4B.5C.6D.7

3.（22-23高三?上海模擬）過(guò)點(diǎn)A。,4）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）

A.%-y+3=0B.x+y-5=0

C.4%—y=0或x+y-5=0D.4x—y=0或x—y+3=0

4.（23-24高二上?廣東惠州?期中，多選）下列說(shuō)法正確的有（）

A.直線x+6y+3=0的傾斜角為150。

B.直線y-3=M-2）必過(guò)定點(diǎn)（2,3）

C.方程>=左（》-2）與方程％=*表示同一條直線

x—2

D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（2,1）,且在羽y軸上截距相等的直線方程為x+y-3=0

5.（22-23高三?內(nèi)蒙古赤峰?模擬）已知過(guò)點(diǎn)p（l,4）的直線L在兩坐標(biāo)軸上的截距均為正值，當(dāng)兩截距之和最

小時(shí)，求直線L的方程為.

題型八：直線一般式方程理論

指I點(diǎn)I迷I津

直線系型：

（1）平行線系：與直線At+8y+C=0平行的直線方程可設(shè)為：Ax+By+m=0（m^C）；

（2）垂直線系：與直線Ax+2y+C=0垂直的直線方程可設(shè)為：Bx—Ay+n—0；

（3）交點(diǎn)線系：過(guò)Aix+8iy+G=0與A2x+&y+C2=0的交點(diǎn)的直線可設(shè)：Aix+Biy+Ci+A（A^+B2y+C2）

=0.

1.（22-23高二上?上海浦東新?）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)河（石,％）,N（馬，必）為不同的兩點(diǎn)，直線/的方

0ax,+by,+c

程為辦+勿+c=0,6=J,下面四個(gè)命題中的假命題為（）

ax2+by2+c

A.存在唯一的實(shí)數(shù)3,使點(diǎn)N在直線/上

B.若5=1,則過(guò)M,N兩點(diǎn)的直線與直線/平行

C.若5=-1,則直線經(jīng)過(guò)線段M,N的中點(diǎn)；

D.若5>1,則點(diǎn)N在直線/的同側(cè)，且直線/與線段N的延長(zhǎng)線相交；

2.（23-24高二上?湖南?期中）已知4（%,乂），鳥(niǎo)（龍2，%）是直線丁="+2。23（%為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn),

則關(guān)于x和y的方程組[科：的解的情況，下列說(shuō)法正確的是（）

yx2x+y2y=1

A.無(wú)論左，A，鳥(niǎo)如何，總是無(wú)解

B.無(wú)論左,片，2如何，總有唯一解

\x—\

C.存在左，片，鳥(niǎo)，使c是方程組的一組解

[y=2

D.存在％,P,,P2,使之有無(wú)窮多解

3.（21-22高三?全國(guó)?模擬）若點(diǎn)42,-3）是直線空+分+1=0和耍+3+1=。的公共點(diǎn)，則相異兩點(diǎn)（《，偽）

和（%也）所確定的直線方程是（）

A.2x-3^+l=0B.3%-2y+l=0

C.2%—3y—1=0D.3x—2y—1=0

4.（22-23高三?黑龍江哈爾濱?模擬，多選）己知爪4，伉）與￡3也）是直線廣爪+1（左為常數(shù)）上兩個(gè)不

同的點(diǎn)，則關(guān)于4：。儼+3-1=。和3/尤+4>-1=。的交點(diǎn)情況說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.存在人、<、鳥(niǎo)使之無(wú)交點(diǎn)

B.存在左、￡、外使之有無(wú)窮多交點(diǎn)

C.無(wú)論左、R、鳥(niǎo)如何，總是無(wú)交點(diǎn)

D.無(wú)論左、片、鳥(niǎo)如何，總是唯一交點(diǎn)

5.（24-25高二上?上海?課堂例題）下列關(guān)于直線方程的說(shuō)法正確的是.①直線尤-ysind+2=0的傾斜

角可以是T；②直線/過(guò)點(diǎn)（-2,3）,并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為尤+>-1=0；③過(guò)點(diǎn)

P（x。,%）的直線士+協(xié)+。=0的直線方程還可以寫(xiě)成4（龍-%）+3（y-%）=0；④經(jīng)過(guò)4（石,乂），

/、y-y,x-x.

鞏斗,為）兩點(diǎn)的直線方程可以表示為上4=——.

題型九：直線光學(xué)性質(zhì)

指I點(diǎn)I迷I津

直線光學(xué)性質(zhì)，即直線對(duì)稱性質(zhì)

關(guān)于軸對(duì)稱問(wèn)題：

⑴點(diǎn)4.㈤關(guān)于直線/k+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)A'd〃），貝情“一"、7

,a+m八b+n-八

A--------+B--------+C=0

、22

（2）直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決.

1.（22-23?福建廈門(mén)?模擬）在直角坐標(biāo)系xOy中，全集U={（x,y）艮yeR},集合

A={（x,y）kcosd+（y-4）sind=l,0WdV2;r},已知集合A的補(bǔ)集藥A所對(duì)應(yīng)區(qū)域的對(duì)稱中心為點(diǎn)P是

線段x+y=8（x>0,>>0）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，貝卜兒根。周長(zhǎng)的最小值為（）

A.24B.4MC.14D.8+4&

2.（19-20?江蘇無(wú)錫,期中）如圖，已知A（T,0）,8（4,0），C（0,4）,磯-2,0）,尸（2,0）,一束光線從F點(diǎn)出

發(fā)射到2c上的。點(diǎn)，經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上（不含端點(diǎn)），則直線ED的斜率的取

A.B.(4,+8)C.(2,+。)D.(1,-hx)

3.（21-22高二上?浙江紹興?期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中,三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0,迅）、3（-1,0）、

C（l,0）,。為原點(diǎn)，從。點(diǎn)出發(fā)的光線先經(jīng)AC上的點(diǎn)[反射到邊AB上，再由上的點(diǎn)鳥(niǎo)反射回到BC

邊上的點(diǎn)A停止，則光線。《的斜率的范圍為（）

C.[A/3,3A/3]D.[73,273]

4.（23-24高二上?廣東廣州?期末，多選）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，

沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的

焦點(diǎn).已知拋物線C：V=2px,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于無(wú)軸的光線乙從點(diǎn)尸（"0（/<4租）射入，經(jīng)過(guò)C

上的點(diǎn)401，乃）反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)8（冷,火）反射后，沿直線4射出，且4經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，則（）

]1

A.當(dāng)p=],〃=l時(shí)，延長(zhǎng)AO交直線于點(diǎn)。，則。、B、。三點(diǎn)共線

125

B.當(dāng)夕=—,〃=1時(shí)，若P8平分448。，則加=§

216

C.ZAO3的大小為定值

D.設(shè)該拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K,則NA^F=N3KF

5.（2122高三?湖北宜昌?模擬）已知：A（-2,0）,B（2,0）,C（0,2）,E（-l,0）,爪1,0）,一束光線從下點(diǎn)

出發(fā)發(fā)射到BC上的。點(diǎn)經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段4E上（不含端點(diǎn)）ED斜率的范圍

為.

題型十：兩點(diǎn)距離公式應(yīng)用

指I點(diǎn)I迷I津

求解形如&_十+J(x-c)2+(y-d)2的式子的最小值思路:

(1)先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和問(wèn)題；

(2)畫(huà)出圖示，必要時(shí)借助點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行分析；

L_(3_)根_據(jù)距_離之_和_的最_小值_得到_原_式的_最小_值.___________

1.(21-22高二上?河北保定?期末)，今+仃-咪++(y-5『的最小值為()

A.5B.2+^/F7C.6D.l+^/26

2.(23-24高三上?重慶南岸?階段練習(xí))已知％,y^R,若根＜

m的最大值是()

A.2-^2B.0一1C.0+1

3.(23-24高二下?湖南長(zhǎng)沙?期末)已知上+*=二+貨=8,且玉入2+%%=。，則(玉+%2—2)+('1+%)的

最大值為()

A.9B.12C.36D.48

4.（2024甘肅定西?一模，多選）下列命題為真命題的是（）

A.-Jx2-4X-8A/^-X+4+1-1|的最小值是2

B.y/x2-4x-8y[-x+4+1x-1|的最小值是石

C?yjx2—4x—8^—x+4+yfx2—2x—4y/—x+2的最小值是亞

D?yjx2—4x—8A/—x+4+yjx2—2x—4y[—x+2的最小值是班

5.(20-21高三上?浙江溫州?階段練習(xí))若，＞0乃＞。，則&-2枇丫+(比〃-人產(chǎn)+b的最小值是

題型十一：平行線應(yīng)用

指I點(diǎn)I迷I津

兩直線平行

（1）斜截式判斷法：

兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線/1、/2:

（1）若其斜率分別為/1、k2,則有/1〃/2O%1=比.

（ii）當(dāng)直線展/2不重合且斜率都不存在時(shí)，h//h.

（2）一般式判斷法：設(shè)兩直線4x+Biy+G=0與A2%+B2y+C2=0,則有:

/i〃/20Al&=A2BI且4C2WA2Ci；

1.（22-23高二上?四川南充?期中）對(duì)于圓（x-a）2+（y-6）2=5上任意一點(diǎn)尸（x,y）,

|x-2y+制+|x-2y+l|（mwl）的值與x,y無(wú)關(guān),則加的范圍為（）

A.[1,+<?）B.1,+°°）

C.[11,-W）D.[-9,11]

22_

2.（23-24高二上?重慶江北?階段練習(xí)）若橢圓卷+方=1上的點(diǎn)到直線丫=》+%的最短距離是&,則加最

小值為（）

A.-1B.-3C.-7D.1

3.（23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）若動(dòng)點(diǎn)4（看,%）,8（尤2，%）分別在直線4"+>-7=0和/2：工+'-5=0上移

動(dòng)，則A8的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為（）

A.372B.2C.72D.4

4.（24-25高二上?江蘇連云港?階段練習(xí)，多選）下列選項(xiàng)正確的是（）

A.過(guò)點(diǎn)（一1,2）且和直線3x+2y_7=0垂直的直線方程是2x_3y+8=0

B.若直線/的斜率俎-1,網(wǎng)，則直線傾斜角1的取值范圍是去露日子

C.若直線4：x-2y+l=。與4：2x+ay-2=0平行，貝也與的距離為手

D.已知圓G：x2+（y-2）2=l,圓C2：（x-4『+（y—4）2=9,M.N分別是圓C1、g上的動(dòng)點(diǎn)，尸為直

線x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，貝||PM|+|PN|的最小值為6

5.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)=t1在不同兩點(diǎn)3值,/（%））處的切線互相平

行，則這兩條平行線間距離的最大值為.

題型十二：對(duì)稱：“將軍飲馬”型最值

1.（23-24高二上,江蘇鹽城,期末）在平面直角坐標(biāo)系中，軍營(yíng)所在區(qū)域的邊界為V+y2=i,河岸所在直線

方程為無(wú)+y=3,將軍從點(diǎn)A（0,2）處出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再返回軍營(yíng)，如果將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在

區(qū)域即回到軍營(yíng)，則這個(gè)將軍所經(jīng)過(guò)的最短路程為（）_

A.75B.75-1C.5D.A/10-I

2.（23-24高二上?寧夏銀川?期中）"白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”是唐代詩(shī)人李頑《古從軍行》這首詩(shī)

的開(kāi)頭兩句.詩(shī)中隱含著一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題一一"將軍飲馬”：將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲

馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)樘?+9416,若將軍從

點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為'=-尤-6,并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即認(rèn)為回到軍營(yíng)，

那么"將軍飲馬”的最短總路程為（）

A.13B.11C.9D.7

3.（23-24高二上?河南新鄉(xiāng),期中）—4x+l+:5/+4x+4的最小值為（）

A?警…，?等…

4.（23-24高二上?江西?階段練習(xí)，多選）.2023年暑期檔動(dòng)畫(huà)電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的

熱情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，

藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩(shī)人李頑的邊塞詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)："白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交

河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一一"將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊

飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是A（2.4）,軍營(yíng)所在位

置為3（6,2）,河岸線所在直線的方程為尤+y-3=0,若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)（“將軍飲馬”）

的總路程最短，則（）

A.將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是6x-y-8=0

B.將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為（5,

C.將軍從河邊回軍營(yíng)的路線所在直線的方程是尤-6y+6=0

D."將軍飲馬"走過(guò)的總路程為50

5.（24-25高二下?上海?單元測(cè)試）唐代詩(shī)人李頑的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)："白日登山望烽火，黃昏飲

馬傍交河"，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一一"將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出

發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為

4-3,0）,若將軍從山腳下的點(diǎn)以-1,1）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=l,則"將軍飲馬"的最短總路

程為.

題型十三：絕對(duì)值型

1.（23-24高二上?江蘇鹽城?期中）已知實(shí)數(shù)x,y滿足x國(guó)-羽=1,則|也x-y+61的取值范圍是（）

A.[6-施3）B.3-