Ay、一rsi

第八早圓

微專題12正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算

（8種題型匯總+專題訓(xùn)練+模擬預(yù)測(cè)）

【題型匯總】

正多邊形和圓與平面直角坐標(biāo)系綜合與正多邊與圓有關(guān)的角度計(jì)算問題

與正多邊與國有關(guān)的周長,面積問題

正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算

與正多邊形和圓有關(guān)的弓形/不規(guī)則圖形面積計(jì)算問題考查正多邊形的半徑，邊長和中心角之間的關(guān)系

早考查正多邊形的半徑，邊長和邊心距的關(guān)系

正多邊形與圓綜合

【解題方法匯總】

（〃一2）x180°360°

1）內(nèi)角：正n邊形的每個(gè)內(nèi)角和為——』-------=180°-芝-.

nn

360°

2）外角/中心角：正n邊形的每個(gè)外角/中心角為——.中心角

n

3）周長：正n邊形的周長/=w（a為邊長）.

4）面積：正n邊形的面積S=；〃（廠為邊心距,/為周長）.

5）正多邊形的半徑，邊長和邊心距之間的關(guān)系為A?=產(chǎn)+［；］

1QAO

6）正多邊形的半徑，邊長和中心角之間的關(guān)系為a=2R-sin——

n

1go。

7）正多邊形的半徑，邊心距和中心角之間的關(guān)系為廠=R?cos——

n

【補(bǔ)充】有關(guān)正多邊形的計(jì)算：

正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角半徑邊長邊心距周長面積

360°120°22V316V33V3

490°90°V22184

6120°60°22V3126V3

題型01與正多邊與圓有關(guān)的角度計(jì)算問題

1.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，4B是。。的內(nèi)接正“邊形的一邊，點(diǎn)C在。。上，ZXCB=18°,則

2.（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，正四邊形48CD和正五邊形CEFGH內(nèi)接于O。，4。和EF相交于點(diǎn)M,則

NAMF的度數(shù)為（）

3.（2023?湖南?中考真題）如圖，用若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個(gè)正五邊形的

位置.要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個(gè)數(shù)是個(gè).

4.（2023?安徽?中考真題）如圖，正五邊形力BCDE內(nèi)接于。。，連接。C,。。，貝IJNBAE-NCOD=（）

A.60°B.54°C.48°D.36°

題型02與正多邊與圓有關(guān)的周長，面積問題

5.（2023?浙江杭州?中考真題）如圖，六邊形4BCDE尸是O。的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形2BCDEF的面積

為S「的面積為52，則||=

A

D

6.（2024.江蘇蘇州.中考真題）鐵藝花窗是園林設(shè)計(jì)中常見的裝飾元素.如圖是一個(gè)花瓣造型的花窗示意圖，

由六條等弧連接而成，六條弧所對(duì)應(yīng)的弦構(gòu)成一個(gè)正六邊形，中心為點(diǎn)O,和所在圓的圓心C恰好是△ZB。

的內(nèi)心，若AB=25則花窗的周長（圖中實(shí)線部分的長度）=.（結(jié)果保留n）

7.（2024?山東東營?中考真題）我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到著名的“割圓術(shù)”，即利用

圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與

圓周合體，而無所失矣”.“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率n的近似值為3.1416,如

圖，。。的半徑為1,運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)。。的面積，可得n的估計(jì)值為手.若

用圓內(nèi)接正八邊形近似估計(jì)O。的面積，可得it的估計(jì)值為.

8.（2024.山東濰坊?中考真題）【問題提出】

在綠化公園時(shí)，需要安裝一定數(shù)量的自動(dòng)噴灑裝置，定時(shí)噴水養(yǎng)護(hù)，某公司準(zhǔn)備在一塊邊長為18m的正方

形草坪（如圖1）中安裝自動(dòng)噴灑裝置，為了既節(jié)約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設(shè)計(jì)合適的

安裝方案.

說明：一個(gè)自動(dòng)噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為r（m）的圓面.噴灑覆蓋率p=gs為待噴灑區(qū)域面積，k為待

噴灑區(qū)域中的實(shí)際噴灑面積.

【數(shù)學(xué)建模】這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學(xué)問題.

【探索發(fā)現(xiàn)】(1)如圖2,在該草坪中心位置設(shè)計(jì)安裝1個(gè)噴灑半徑為9m的自動(dòng)噴灑裝置，該方案的噴灑

(2)如圖3,在該草坪內(nèi)設(shè)計(jì)安裝4個(gè)噴灑半徑均為gm的自動(dòng)噴灑裝置；如圖4,設(shè)計(jì)安裝9個(gè)噴灑半徑

均為3m的自動(dòng)噴灑裝置；……，以此類推，如圖5,設(shè)計(jì)安裝彥個(gè)噴灑半徑均為前的自動(dòng)噴灑裝置?與⑴

中的方案相比，采用這種增加裝置個(gè)數(shù)且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請(qǐng)判斷并給出理由.

(3)如圖6所示，該公司設(shè)計(jì)了用4個(gè)相同的自動(dòng)噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率p=1.已

知正方形2BCD各邊上依次取點(diǎn)使得4E=BF=CG=設(shè)4E=%(m),。/的面積為『(m?),

求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)y取得最小值時(shí)r的值.

圖6

【問題解決】（4）該公司現(xiàn)有噴灑半徑為3/m的自動(dòng)噴灑裝置若干個(gè)，至少安裝幾個(gè)這樣的噴灑裝置可使

該草坪的噴灑覆蓋率p=1?（直接寫出結(jié)果即可）

題型03考查正多邊形的半徑，邊長和中心角之間的關(guān)系

9.（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形力BCDEF內(nèi)接于。0,則它的內(nèi)切圓半徑為（）

4--------

A.1B.2C.V2D.V3

10.（2024.四川雅安?中考真題）如圖，O。的周長為8兀，正六邊形A8CDEF內(nèi)接于O0.則AOAB的面積為

（）

且/----

B.4V3D.6V3

11.（2023?江蘇南京?中考真題）如圖，。。與正六邊形43。。石尸的邊。。，EF分別相切于點(diǎn)C,F.若48=2,

則O。的半徑長為.

CD

題型04考查正多邊形的半徑，邊長和邊心距的關(guān)系

12.（2023?四川德陽?中考真題）已知一個(gè)正多邊形的邊心距與邊長之比為亨，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）

13.（2022?四川綿陽?中考真題）在2022年北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大

同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫，如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEE）

放在平面直角坐標(biāo)系中，若A3與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,-3）.則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

->

X

F

A.（2-2A/3,3）B.（0,1+2b）C.（2-V3,3）D.（2-2V3,2+V3）

14.（2022?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，正六邊形A8CQEE內(nèi)接于OO,半徑為6,則這個(gè)正六邊形的邊心距

0M和4的長分別為（）

F,~y

B.3V3,71C.2V3,—D.3V3,2兀

題型05正多邊形和圓與平面直角坐標(biāo)系綜合

15.（2022.河南.中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)。重

合，力B||x軸，交y軸于點(diǎn)P.將AOAP繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A

A.（V3,-1）B.（-1,-V3）C.（-V3,-l）D.（1,V3）

16.（2021?四川德陽?中考真題）如圖，邊長為1的正六邊形ABC。所放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊A8在無

軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，那

么經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（

V八

A.（-1，-V3）B.（I，「學(xué)C.（-V3,V3）D.（一|,一|）

17.（2023?河南周口?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△（MB中，頂點(diǎn)。（0,0）,X（-1,V3）,B（1,V3）,將A（MB與正六邊

形4BCDEF組成的圖形繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2026次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）

A.（-1,373）B.（1,-3V3）C.（1,3V3）D.（3V3,-1）

18.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）2024年春節(jié)期間，河南多地大范圍降雪.如圖，將具有“雪花”圖案（邊長為4

的正六邊形ABCDEF）的圖形，放在平面直角坐標(biāo)系中，若48與x軸垂直，頂點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,-3）,則

頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A.（2-2A/3,3）B.（2-4V3,3）C.（2-V3,3）D.(2-4V3,-3)

題型06與正多邊形和圓有關(guān)的尺規(guī)作圖問題

19.（2024?山西?中考真題）閱讀與思考

下面是博學(xué)小組研究性學(xué)習(xí)報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù).

關(guān)于“等邊半正多邊形，，的研究報(bào)告

博學(xué)小組

研究對(duì)象：等邊半正多邊形

研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念-性質(zhì)-判定”的路徑，由一般到特殊進(jìn)行研究.

研究方法：觀察（測(cè)量、實(shí)驗(yàn)）-猜想-推理證明

研究內(nèi)容：

【一般概念】對(duì)于一個(gè)凸多邊形（邊數(shù)為偶數(shù)），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我

們稱這個(gè)凸多邊形為等邊半正多邊形.如圖1,我們學(xué)習(xí)過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，類

似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形...

【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對(duì)等邊半正六邊形研究如下：

概念理解：如圖2,如果六邊形4BCDEF是等邊半正六邊形，那么力B=BC=CD=DE=EF=凡4,NA=

ZC=,乙8=ND=NF,且乙4力乙8.

性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：

內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和為

對(duì)角線：…

任務(wù)：⑴直接寫出研究報(bào)告中“▲”處空缺的內(nèi)容:

(2)如圖3,六邊形4BCDEF是等邊半正六邊形.連接對(duì)角線力D,猜想NB4D與NF4D的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由；

(3)如圖4,已知A4CE是正三角形，O。是它的外接圓.請(qǐng)?jiān)趫D4中作一個(gè)等邊半正六邊形4BCDEF(要求：

尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法).

20.(2022?浙江金華?中考真題)如圖1,正五邊形4BCDE內(nèi)接于。。，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題，

作法：如圖2,①作直徑4F；②以P為圓心，F(xiàn)。為半徑作圓弧，與。。交于點(diǎn)N；③連接

⑴求乙4BC的度數(shù).

(2)△力MN是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由.

(3)從點(diǎn)A開始，以DN長為半徑，在。。上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正“邊形，求a的值.

21.(2024,江蘇蘇州?一模)古建中的數(shù)學(xué)：古亭探“優(yōu)”.

【了解】

“江山無限景，都聚一亭中."八角亭是典型的中國八棱形樓閣式建筑，其結(jié)構(gòu)穩(wěn)固、勻稱，有利于減弱風(fēng)力、

抵御地震，如圖①，將八角亭頂部的輪廓抽象后得到的幾何圖形為正八邊形.

【探索】

先將正方形48C。、EFGH完全重合，再將正方形EFGH繞其中心旋轉(zhuǎn)一定的角度，就得到了正八邊形

IJKLMNOP,如圖②，這種構(gòu)造正八邊形的方法稱為“四轉(zhuǎn)八”法.

(1)旋轉(zhuǎn)的角度最小為°;

(2)若正八邊形"KLMNOP的邊長為2,則正方形48CD的邊長為；

(3)連接4C,貝MC與4。之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

【作圖】

(4)如圖③，已知正方形4BCD請(qǐng)你利用無刻度直尺和圓規(guī)作一個(gè)正八邊形，并使其所有頂點(diǎn)均落在正方

形2BCD的邊上.(保留作圖痕跡，并寫出必要的說明)

圖1圖2圖3

,AC,EC分別交BD于點(diǎn)反，G.

（1）如圖①，求證：點(diǎn)H,G三等分BD.

（2）如圖②，操作并證明.

①尺規(guī)作圖：過點(diǎn)。作4C的垂線，垂足為K,以點(diǎn)。為圓心，0K的長為半徑作圓；（在圖②中完成作圖,

保留作圖痕跡，不需要寫作法）

②求證：CE是①所作圓的切線.

題型07與正多邊形和圓有關(guān)的弓形/不規(guī)則圖形面積計(jì)算問題

23.（2023?四川資陽?中考真題）如圖,邊長為6的正三角形4BC內(nèi)接于。。,則圖中陰影部分的面積是

24.（2021?黑龍江大慶?中考真題）如圖，作。。的任意一條直徑FC,分別以F、C為圓心，以F。的長為半徑

作弧，與。。相交于點(diǎn)E、4和D、B,順次連接得至六邊形28CDEF,則O。的面積

與陰影區(qū)域的面積的比值為；

25.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，將一枚飛鏢任意投擲到正方形鏢盤4BCD內(nèi)，若飛錘落在鏢盤內(nèi)各點(diǎn)

的機(jī)會(huì)相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（）

Ai——N~y——\D

21它

B--

32D.2

26.（2023?山東濰坊?中考真題）如圖，正方形力BCD內(nèi)接于。。，在7IB上取一點(diǎn)E,連接4E,DE.過點(diǎn)A

作4G12E,交。。于點(diǎn)G,交DE于點(diǎn)F,連接CG,DG.

（1）求證：AAFD三ACGD；

（2）若AB=2,Z.BAE=30°,求陰影部分的面積.

27.（2023?湖南婁底?中考真題）如圖，正六邊形4BCDEF的外接圓。。的半徑為2,過圓心。的兩條直線小

。的夾角為60°，則圖中的陰影部分的面積為（）

E

BD

C\/2

A.-7T-V3C.-7T-V3

28.（2021?山東青島.中考真題）如圖，正方形48CD內(nèi)接于OO,PA,PD分別與O。相切于點(diǎn)4和點(diǎn)D,PD的

延長線與BC的延長線交于點(diǎn)E.已知AB=2,則圖中陰影部分的面積為.

題型08正多邊形與圓綜合

29.（2023?湖南湘西?中考真題）如圖，。。是等邊三角形28C的外接圓，其半徑為4.過點(diǎn)2作8E14C于

點(diǎn)、E,點(diǎn)尸為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與E重合），則CP+^BP的最小值為.

30.（2024?廣東.模擬預(yù)測(cè)）《墨子?天志》記載：“輪匠執(zhí)其規(guī)、矩，以度天下之方圓.”知圓度方，感悟數(shù)學(xué)

之美.如圖，以正方形4BCD的對(duì)角線交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形ABO,若四邊形4夕的外

接圓半徑為4,A'B'-.AB=2:1,則正方形4BCD的周長為.

C

C，

31.（2024.江蘇連云港.中考真題）【問題情境】

（1）如圖1,圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面

積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°（如圖2）,這時(shí)候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的

倍.由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；

【操作實(shí)踐】

(2)如圖3,圖①是一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系.小昕按所示

步驟進(jìn)行操作，并將最終圖形抽象成圖4.請(qǐng)你結(jié)合整個(gè)變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點(diǎn)尸為端點(diǎn)

的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系;

【探究應(yīng)用】

(3)如圖5,在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將APDC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中ND4P存在最大

當(dāng)ND4P最大時(shí)，求4。的長;

(4)如圖6,在Rt△ABC中，ZC=90°,點(diǎn)分別在邊AC和BC上，連接。若AC+CD=5,

BC+CE=8,求4E+BD的最小值.

圖6

32.(2023?湖南婁底?中考真題)鮮艷的中華人民共和國國旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國旗上

的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星.為了增強(qiáng)學(xué)生的國家榮譽(yù)感、民族自豪感等.數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生對(duì)五角星進(jìn)行

了較深入的研究.延長正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)五

角星.如圖，正五邊形力BCDE的邊B4DE的延長線相交于點(diǎn)尸，NE4F的平分

線交EF于點(diǎn)M.

(1)求證：AE2=EF-EM.

（2）若4F=1,求力E的長.

⑶求。正五邊形4BCDE

的值.

S"EF

33.（2021?湖南湘潭?中考真題）德國著名的天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理,

另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”.

如圖①，點(diǎn)C把線段4B分成兩部分，如果黑=亨=0.618,那么稱點(diǎn)C為線段4B的黃金分割點(diǎn).

（1）特例感知：在圖①中，若4B=100,求力C的長；

（2）知識(shí)探究：如圖②，作。。的內(nèi)接正五邊形：

①作兩條相互垂直的直徑MN、AI；

②作。N的中點(diǎn)P,以P為圓心，P力為半徑畫弧交OM于點(diǎn)°；

③以點(diǎn)A為圓心，4Q為半徑，在。。上連續(xù)截取等弧，使弦4B=BC=CD=DE=2Q,連接2E；

則五邊形ABCDE為正五邊形.

在該正五邊形作法中，點(diǎn)。是否為線段OM的黃金分割點(diǎn)？請(qǐng)說明理由.

（3）拓展應(yīng)用：國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，與黃金分割有

著密切的聯(lián)系.

延長題（2）中的正五邊形力BCDE的每條邊，相交可得到五角星，擺正后如圖③，點(diǎn)E是線段PD的黃金分

割點(diǎn)，請(qǐng)利用題中的條件，求cos72。的值.

34.（2021?湖北隨州?中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法.它是利用“同一個(gè)圖形的面

積相等，，、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積，，、，，同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等

等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程

簡便快捷.

（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4,則該直角三角形斜邊上的高的長為,其內(nèi)切圓的半

徑長為;

（2）①如圖1,P是邊長為a的正AABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為△力BC的中心，設(shè)點(diǎn)P到△ABC各邊距離分別為

,電，無3，連接4P，8P,CP,由等面積法，易知+h2+N）=S4ABe=3sA04B，可得+h2+h3=

（結(jié)果用含a的式子表示）

②如圖2,P是邊長為a的正五邊形48CDE內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到五邊形4BCDE各邊距離分別為上，h2,h3,

h4,h5,參照①的探索過程，試用含口的式子表示八1+h2+八3+h4+八5的值.（參考數(shù)據(jù)：tan36°~

-11

tan54°?—）

8

（圖4）

（3）①如圖3,已知。。的半徑為2,點(diǎn)4為O。外一點(diǎn)，。4=4,4B切。。于點(diǎn)B,弦BC〃04,連接AC,

則圖中陰影部分的面積為；（結(jié)果保留兀）

②如圖4,現(xiàn)有六邊形花壇2BCDEF,由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造.若要將花壇形狀改造成五邊形

ABCDG,其中點(diǎn)G在4F的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)G的位置，并說明理由

【模擬預(yù)測(cè)】

1.（2022.甘肅武威?中考真題）大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1,蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、

實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形.如圖2,一個(gè)巢房的

橫截面為正六邊形48CDEF,若對(duì)角線4。的長約為8mm,則正六邊形A8CDEF的邊長為（）

圖1圖2

A.2mmB.2V2mmC.2\/3mmD.4mm

2.（2024.浙江寧波.模擬預(yù)測(cè)）我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了著名的“割圓術(shù)”，即利

用的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與

圓周合體，而無所失矣”，如圖，。。的半徑為1,如用。。的內(nèi)接正八邊形來近似估計(jì)圓的面積，則可得IT的

近似值為2vL若用。。的內(nèi)接正n邊形的面積估計(jì)圓的面積，能得出n的近似值為3,貝也=（）

2.（2024?河北張家口?三模）如圖，將正六邊形紙片的空白部分剪下，得到三部分圖形，記I,II,III部分

的面積分別為Si，Sn,Sni.給出以下結(jié)論：

①I和H合在一起能拼成一個(gè)菱形；②III中最大的內(nèi)角是150。；③品］=2（$+Sn）.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

3.（2024?河北滄州?三模）如圖，上下底面為全等的正六邊形禮盒，其主視圖與左視圖均由矩形構(gòu)成，主視

圖中大矩形邊長如圖所示，左視圖中包含兩個(gè)全等的矩形，如果用彩色膠帶如圖包扎禮盒，所需膠帶長度

約為（）.（參考數(shù)據(jù)：V2~1.414,73~1.732,V5~2.236）

7.5cm

左視圖

B.149.0cm

C.149.2cmD.149.4cm

4.（2024?山西晉城.三模）如圖，在。。中，A,B為。。上兩點(diǎn)，且乙4OB=120。，分別以點(diǎn)A,8為圓心,

。力長為半徑畫圓，將兩圓相交的公共部分依次繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)72。得到如圖所示的“五葉花瓣”（陰影圖

案）.若。4=1,則圖中“五葉花瓣”的面積為（）

5.（2024.河北.模擬預(yù)測(cè)）某廠家要設(shè)計(jì)一個(gè)裝彩鉛的紙盒，已知每支筆形狀、大小相同，底面均為正六邊

形，六邊形的邊長為1cm,目前廠家提供了圓形和等邊三角形兩種作為底面的設(shè)計(jì)方案，我們以6支彩鉛為

例，可以設(shè)計(jì)如圖收納方案一和收納方案二，你認(rèn)為底面積更小的是方案,兩種方案底面積差為一

6.（2024?廣東廣州.三模）如圖，正方形力BCD內(nèi)接于。。，線段MN在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，若。。的面積為2兀,

MN=1,則（1）O。的直徑長為；（2）AAMN周長的最小值是.

7.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）新定義：正〃邊形最短對(duì)角線與最長對(duì)角線長度的比值為正“邊形的特征值，則

n的取值范圍為,正六邊形的特征值為.

8.（2024?山東.模擬預(yù)測(cè)）如圖，邊長為4的正六邊形2BCDEF內(nèi)接于記4B與其上方所對(duì)的弧圍成的

圖形的面積為S3ABe=S〃SABMC=$3,則Si+Sz+S3=.（結(jié)果保留TT）

9.（2024?浙江杭州?三模）將邊長為1的正六邊形2BCDEF折疊成三角形后（如圖1）用剪刀剪下一個(gè)角，

展開后得到如圖2所示的圖形，圖2中虛線為折疊時(shí)產(chǎn)生的折痕，折痕4G+BH=AB,且BH>4G,若剪

完后所得陰影圖形的面積為原正六邊形面積的三貝UB”的值為，黑的值為

6AB

h

C

圖1圖2

10.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)安裝一臺(tái)可360。旋轉(zhuǎn)灌溉的噴水器以灌溉某花田.如圖1,其中點(diǎn)P為原

裝噴頭的噴水口，點(diǎn)N處是噴頭與支架的接口，噴水口的高度可以通過連桿MN進(jìn)行調(diào)整（點(diǎn)P到地面的距

離最大可達(dá)2米），已知點(diǎn)尸、N、M在同一直線上.噴水口噴出的水柱最外層的形狀可近似看作是拋物線

的一部分，且通過上下高度調(diào)整后，噴出的水柱形狀仍與原來相同.（接頭處的間隙忽略不計(jì)）如圖2,在

初始高度下，測(cè)得噴水口點(diǎn)尸到水平地面的距離為1米，噴射距離為10米，并發(fā)現(xiàn)噴頭在旋轉(zhuǎn)過程中，噴

出的水柱外端恰好碰到距離連桿MN所在直線5米處一片樹葉的最低處，并測(cè)得該樹葉的最低處距離水平地

面2米.現(xiàn)將原來的花田改造成一塊由6塊全等的等邊三角形與1個(gè)正六邊形組成的多邊形花田（如圖3）,

已知42=當(dāng)空1.同時(shí),這款噴水器還有一款“S”型號(hào)的噴頭可供更換（如圖4）,并且QN=PN.已知Rt△P±RQ

的邊QR=^cm,PrR=25cm,其中QR與地面平行，Pm與地面垂直.更換噴頭后，噴出的水柱形狀仍與

原來相同.

圖1

(1)在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求噴出水柱最外層拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若使用原裝噴頭的噴水器，要求通過360。旋轉(zhuǎn)后，灑水區(qū)域能覆蓋整塊多邊形花田，那么噴水口尸至少

需要升高多少米?

(3)園藝師計(jì)劃分別在BD,DF,FH,H],LJ,BL的中點(diǎn)處種植一棵高為3.2米的樹.通過計(jì)算，判斷種植后

是否會(huì)影響任務(wù)2中的灌溉要求.若有影響，利用計(jì)算分析，設(shè)計(jì)出通過調(diào)節(jié)噴水器的高度、更換噴頭等

方式，能夠達(dá)到多邊形花田灌溉要求的方案.

11.(2024.上海閔行.二模)滬教版九年級(jí)第二學(xué)期的教材給出了正多邊形的定義：各邊相等、各角也相等

的多邊形叫做正多邊形.同時(shí)還提到了一種用直尺和圓規(guī)作圓的內(nèi)接正六邊形和圓的內(nèi)接正五邊形的方法,

但課本上并未證明.我們現(xiàn)開展下列探究活動(dòng).

活動(dòng)一：如圖1,展示了一種用尺規(guī)作。。的內(nèi)接正六邊形的方法.

①在O。上任取一點(diǎn)4,以4為圓心、4。為半徑作弧，在。。上截得一點(diǎn)B；

②以8為圓心，力。為半徑作弧，在。。上截得一點(diǎn)C；再如此從點(diǎn)C逐次截得點(diǎn)。、E、F；

③順次連接AB、BC、CD、DE、EF、FA.

(1)根據(jù)正多邊形的定義，我們只需要證明

(請(qǐng)用符號(hào)語言表示，不需要說明理由)，就可證明六邊形A8CDEF是正六邊形.

活動(dòng)二：如圖2,展示了一種用尺規(guī)作。。的內(nèi)接正五邊形的方法.

①作。。的兩條互相垂直的直徑PQ和4F；

②取半徑。P的中點(diǎn)M；再以M為圓心、M4為半徑作弧，和半徑OQ相交于點(diǎn)N