重難點專題24向量壓軸小題十大題型匯總

anil

題型1平面向量的線性運算........................................................1

?類型1基底法.............................................................1

?類型2三點共線方程組法..................................................3

?類型3坐標法............................................................3

?類型4等和線法法........................................................5

題型2向量數量積最值取值范圍問題...............................................6

?類型1定義法............................................................6

?類型2基底法（線性表示）................................................8

?類型3坐標法............................................................9

?類型4極化恒等式法......................................................9

?類型5幾何意義法.......................................................10

題型3向量模長最值取值范圍問題................................................11

?類型1坐標法............................................................11

?類型2幾何意義法.......................................................12

?類型3三角換元法.......................................................13

?類型4三角不等式法.....................................................13

題型4向量共線的應用...........................................................13

題型5向量夾角.................................................................15

題型6向量平行與垂直的應用.....................................................16

題型7投影向量.................................................................17

題型8解析幾何與向量...........................................................18

題型9奔馳定理與面積比.........................................................20

題型10向量四心................................................................20

iQnai

題型1平面向量的線性運算

?類型1基底法

即F期重點

平面向量基本定理（平面內三個向量之間關系）；若咒、冤是同一平面內的兩個不共線向量,

則對于這一平面內的任一向量口有且只有一對實數入1、入2,使方=入1叼+入

1.選定基底，則人1、入2,是唯一的

2.處理技巧：可"繞三角形"，可待定系數，可建系.

【例題1-1】（多選）（2023?全國?高三專題練習）在平行四邊形4BCD中，點E為邊CD中點,

點F為邊BC上靠近點B的三等分點，連接4尸，BE交于點M,連接AC,點N為AC上靠近點C的

三等分點，記同=方，AD^b,則下列說法正確的是（）

A.點M,N,E三點共線

B,若力M=Aa+iib,貝m+/z=1

c.W=1BM

D.SAABM=yS,S為平彳丁四邊形力BCD的面積

【變式1-1】1.（2022?全國?高三專題練習）如圖，在平行四邊形ABC。中，點E是C。的中

點，點F為線段BD上的一動點，若萬=xAE+yDC,且x>zn>0,y>0,則niy（x-m）的

最大值為（）

【變式1-112.（2022秋?遼寧沈陽?高三東北育才學校校考期末）已知。是2MBe內一點，

且U1+礪+配=0,點M在/OBC內（不含邊界），若瓦=4費前，貝!U+2〃的取值范

圍是

A.（1,|）B.（1,2）C,（|,1）D,（1,1）

【變式1-1】3.（2020春?湖北襄陽?高三襄陽四中校考階段練習）在zMBC中，\AC\=2,\AB\

=2,^BAC=120°,AE=XAB.AF=MZC,M為線段EF的中點，若|胡|=1,貝!M+〃的最大

值為（）

A孚B.零C.2D.與

333

?類型2三點共線方程組法

【例題1-2】（多選）（2023?全國?高三專題練習）如圖，在AABC中，前=方,E是線段BC

上的點，且滿足前=2元，線段CD與線段4E交于點F,則下列結論正確的是（）

A.AE=^AB+|XCB.3DF=2CF

C.~AF=^AB+|lCD.4AF=3AE

?類型3坐標法

【例題1-3】（多選）（2023?全國?高三專題練習）如圖，在菱形ABCD中，ABAD=60°,延

長邊CD至點E,使得DE=CD.動點P從點4出發,沿菱形的邊按逆時針方向運動一周回到4點,

^AP=AAB+/1AE,則（）

A.滿足4+〃=1的點P有且只有一個

B.滿足2+4=2的點P有兩個

C.4+〃存在最小值

D.4+〃不存在最大值

【變式1-3】1.（2024秋?安徽?高三合肥市第八中學校聯考開學考試）古希臘數學家特埃特

圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來構造無理數.已知

AB=BC=CD=1,AB1BC,AC1CD,AC^BD^T0,若麗=4屈+屈，貝[j4+〃=

()

A.—1B.1—ypZC.+1D.—^[2,—1

【變式1-3】2.（多選）（2023秋?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級中學校考階段練習）

重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜爰.

古人曾有詩贊曰："開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅

長”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD,其中NC。。=半，0C=40A=4,動點P在而上

（含端點）,連結0P交扇形OAB的弧近于點Q,且而=xOC+yOD,則下列說法正確的

是（）

A.若丫=%，則x+y=lB.若y=2久，則04-0P=0

C.AB-0P>-2D.

【變式1-3】3.（多選）（2023?全國?高三專題練習）正方形ABCD的邊長為4,E是BC

中O點，如圖，點P是以：AB為直徑的半圓上任意點，AP=XAB+/1AE,貝（）

AB

A.4最大值為1B.4P/B最大值是8

C.2最大值為等D.AP-尼最大值是8+8立

【變式1-3】4.（2023?北京海淀?校考模擬預測）已知點。是邊長為4的正方形的中心,

點P是正方形ABCD所在平面內一點，|方|=1,若Q=AAB+/zAD.

（1）屈勺取值范圍是；

（2）當4+〃取得最大值時，|麗|=

【變式1-3】5.（2023?全國?高三專題練習）在直角梯形4BCD中，AB1AD,AB//DC,

AD=DC=1,AB=2,動點P在以點C為圓心,且與直線BD相切的圓上或圓內移動，設和=2

AD+〃麗（尢〃eR）,則下+夕兒最大值是

?類型4等和線法法

駟:一警11占

f.豐?、、、

等和線原理：=A.OB+〃°Co4+〃=1

OF=XOB+〃=7nm二焉

乙40B=：,C0的延長線與線段48交于點。，若無=麗+痂,則瓶+n的取值范圍

為.

【例題2-1］（2023?全國?高三專題練習）如圖，△ABC中，ZC=J,AC=2,BC=g

魚.在△ABC所在的平面內，有一個邊長為1的正方形4DEF繞點4按逆時針方向旋轉（不少

于1周），則荏-麗的取值范圍是（）

E

一

A.[-3,5]B.[-4,6]C.[-5,9]D.[-3,4]

【變式2-1】1.（2023?全國?高三專題練習）在△ABC中，”=60。，BC=2g,。為△ABC

的外I%D,E,F分別為AB,BC,CA的中點，目麗之+赤？+而2=生則云.而+而

OC+OC-OA=.

【變式2-1】2.（2023秋?上海浦東新?高三上海市實驗學校校考開學考試）"圓幕定理”是

平面幾何中關于圓的一個重要定理，它包含三個結論，其中一個是相交弦定理：圓內的兩條

相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等，如圖，已知圓。的半徑2,點P是圓。內的定點，

且。「=魚，弦力C,BD均過點P,則下列說法錯誤的是（）

A.萬?麗為定值B.瓦？?沆的取值范圍是[-2,0]

C.當4C1BD時，樂?而為定值D.|福麗|的最大值為12

【變式2-1】3.（2023春?福建福州?高三校考階段練習）圓。為銳角△ABC的外接圓，

4C=24B=2,點P在圓。上，則而?彩的取值范圍為（）

A.[―],4）B.[0,2）C.[—1,2）D.[0,4）

【變式2-1】4.（2023?全國?高三專題練習）已知△4BC中，〃=60。，AB=6,AC=4,

。為△ABC的夕卜心，若而=4萬+〃尼，貝以+〃的值為

【變式2-1】5.（2023?全國?高三專題練習）如圖，菱形4BCD的邊BC上有一點E,邊DC上

有一點F（E,F不與頂點重合）目|BE|>|DF|,若△4EF是邊長為g的等邊三角形，則瓦^

BE的范圍是.

?類型2基底法（線性表示）

【例題2-2】（2023?全國?高三專題練習）已知菱形ABCD的邊長為2,ABAD=120°,*E

在邊BC上，BC=3BE,若G為線段DC上的動點，則而?赤的最大值為（）

A.2B.I

C.yD.4

【變式2-2】1.（2023?全國?高三專題練習）在直角△ABC中，ABVAC,AC=^3,AB=1,

平面ABC內動點P滿足CP=1,則而■麗的最小值為.

【變式2-2】2.（多選）（2023?全國?高三專題練習）如圖，已知直線點4是%%

之間的一個定點，點4到片辦的距離分別為1,2.點B是直線已上一個動點，過點4作

AC1AB,交直線人于點C,耐+港+瓦=6,則（）

A.AG=l（jB+AC）B.△G4B面積的最小值是|

C.|^G|>1D.福?弱存在最小值

?類型3坐標法

【例題2-3】（2023?全國?高三專題練習）在RtaABC中，乙4=90。/8=2,4C=4,D為

BC的中點，點P在△ABC斜邊BC的中線AD上，則麗?麗的取值范圍為（）

A.[-5,0]B.[-3,0]C.[0,3]D.[0,5]

【變式2-3】1.（2023?上海?上海市七寶中學校考模擬預測）已知I為單位向量，向量五了滿

足五-2e|=2,\b-3e|=3,則花,石的取值范圍是_.

【變式2-3】2.（2023?上海黃浦格致中學校考三模）已知平面向量五，b,不滿足同=1,

a-b=b-c=l,\a—b+c\<242,則五,西勺最大值為.

【變式2-3】3.（2023?天津河西?統考二模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老

的傳統民間藝術之一，圖I是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形

的示意圖.如圖2,正八邊形ABCDEFGH中，若荏=4瑟+〃而&〃eR）,則2+〃的值

為；若正八邊形ABCDEFGH的邊長為2,P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動

點，則Q?前的取值范圍是-

圖1圖2

【變式2-3]4.（2023秋?江蘇南京?高三南京市第一中學校考期末）已知△ABC是面積為

3舊的等邊三角形，四邊形MNPQ是面積為2的正方形，其各頂點均位于△ABC的內部及三

邊上，且可在aABC內任意旋轉，則加?我的最大值為（）

QO

A.--B.-C.V6—V2—2D.V6+V2-2

?類型4極化恒等式法

為線段2B上的動點（包含端點），。為4c的中點.將線段AC繞著點。旋轉得到線段￡尸，則

ME■聲的最小值為（）

A.-2B.-|

C.-1D.

【變式2-4】（2023?全國?高三專題練習）在四邊形ABCD中，zB=60°,AB=3,BC=6,

且前=4就，而?同=—I，則實數4=；若M,N是線段BC上的動點，且|而|

=1,則奇?麗的最小值為.

?類型5幾何意義法

【例題2-5】（2023?新疆?校聯考二模）已知平面向量工b,c,滿足同=2,忖―司=2班,

若對于任意實數X,都有忸一4|2年一同成立，目尼一司W1,則刃白的最大值為（）

A.2B.4C.6D.8

【變式2-5】（2023?陜西漢中?統考二模）已知4（—3,0）,B（3,0）,P為平面內一動點（不與4B

重合），且滿足器|=2,則萬?麗的最小值為.

題型3向量模長最值取值范圍問題

?類型1坐標法

【例題3-1】（多選）（2023?全國?高三專題練習）（多選題）已知向量乙肝滿足同=3,回=1,

歸一身=夕,同=2|工—目.設防=區1eR,則（）

A.|訪—弓的最小值為近

B.|布—弓的最小值為2V^—2

C.\m—引的最大值為2g+2

D.|花—耳無最大值

【變式3-1】1.（2023?全國?高三專題練習）已知平面向量無b,苒滿足同=|瓦=1,al（a

-2及,（c-2a）.（c-6）=0,則?的最大值為（）

A.0B.V3C.D.V7

【變式3-1】2.（2023春?上海黃浦?高三上海市大同中學校考階段練習）已知平面向量第

b,c,滿足同=1,{a,b）={7a—c,9a-c）=^,則仿一科的取值范圍是.

【變式3-1】3.（2023?上海?高三專題練習）設x、yeR,若向量2,b,2滿足豆=（乂1）,

b=（2,y）,c=（1,1）,且向量五一辦與下互相平行，則同+2|向的最小值為-

【變式3-1】4.（2023?上海?高三專題練習）已知平面向量五石31滿足同=3,|e|=1,

\b-a\=1,<a,e>=^,且對任意的實數t,均有|一電2年一2磯，則恬一回的最

小值為.

【變式3-1】5.（2023?全國?高三專題練習）已知平面向量無b,且滿足五不=同=歷

|=2,若苕為平面單位向量，則忖-e+b-成的最大值

【變式3-1】6.（2023春?上海虹口?高三統考期中）已知平面向量區b,c,3滿足同=3,

|e|=l,\b-a\=l,<a,e>=y,且對任意的實數t,均有尼一比|21一2磯,則「一回的

最小值為.

?類型2幾何意義法

【例題30（2023?安徽阜陽?安徽省臨泉第一中學校考三模）在RS4BC中，|阿=|園=4,

D是以BC為直徑的圓上一點，則|四+而|的最大值為（）

A.12B.8V2C.5V6D.6V5

【變式3-2】1.（2023?全國?高三專題練習）已知非零向量為，b,工滿足⑷=4,a-b=2

\b\,c2=|a-c-5,則對任意實數t,憶—曲的最小值為.

【變式3-2】2.（2023?全國?高三專題練習）已知平面向量扇b,I,滿足式=2,|五+同

=1,"=點+而且4+2〃=1,若對每一個確定的向量石，記?的最小值為機，則當己變化

時，實數小的最大值為.

【變式3-2]3.（2023?全國?高三專題練習）已知平面向量嗨足同=<2\b\=V2,cos（a,b）

=-cos（c-a,c-b）=-苧，則以?為直徑長的圓的面積的最大值為.

【變式3-2】4.（2023?上海?高三專題練習）已知點4B是平面直角坐標系中關于y軸對稱

的兩點，且|瓦?|=2a（a>0）.若存在使得+。4與+OB垂直，且

\（mAB+0A）-（nAB+OB'）\=a,則|4B|的最小值為

【變式3-2】5.（2020秋?浙江金華?高三浙江金華第一中學校考階段練習）已知平面向量五%

滿足同=回=莉=2,且0一磯|一不）=0,則加+2小勺最大值是.

【變式3-2】6.（2022秋?上海浦東新?高三華師大二附中校考期中）設向量瓦?，而滿足

|ox|=\OB\=2,~OA-~OB^2,若也nGR,m+n=1,貝加小同|+[就一n瓦?|的最小值

為

?類型3三角換元法

【例題3-3］（2023?全國?高三專題練習）已知向量心至滿足|2五+引=3,同=1,則同+2

\a+川的最大值為.

【變式3-3】1.（2023?全國?高三專題練習）已知正方形4BCD的邊長為2,動點P在以。為

圓心且與4C相切的圓上，則而?樂的取值范圍是

【變式3-3】2.（2023?全國?高三專題練習）已知五工總之是單位向量，滿足花19,而=五+2書

訪一訐+|記一42=20,則忻一團的最大值為.

?類型4三角不等式法

【例題3-4】（2023?上海?高三專題練習）已知非零平面向量方、I才滿足同=5,2\b\=

|c|,且五）,［一五）=0,則同的最小值是

【變式3-4］1.（2022秋?河南鄭州?高三鄭州外國語學校校考階段練習）若直線ax-y=0

2rcq2、+1

^7（^與函數以為二卞父圖象交于不同的兩點4況且點C（6,0）,若點滿足

（DA+~DB-DC）-DC=0,則m+n的取值范圍是.

【變式3-4】2.（多選）（2020?北京?高三校考強基計劃）設平面向量標2滿足同W2,歷

|<1,且二一21一21Vl五+2囪,則同的（）

A.最大值為4或B.最大值為2遍

C.最小值為0D.最小值為此

題型4向量共線的應用

、1,4\

#電重點

設平面上三點O,A,B不共線，則平面上任意一點P與A,B共線的充要條件是存在實數

入與出，使得0?=而彳+〃后且2+〃=1.特別地，當P為線段AB的中點時，。？=品

【例題4】（2023秋?江西?高三校聯考開學考試）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為

a,b,C,已知cos8=|,P為△48C內一點.若點P滿足而+河且而=無瓦？+y

BC,貝!k+y的最大值為-

【變式4-1】1.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在△力BC中，點D在線段4B上，目

AD^AB,E是CD的中點，延長AE交BC于點H,點P為直線AH上一動點（不含點A）,且

AP=AAB+fiAC（兒〃GR）.若AB=4,且714c=貝！］△C4H的面積的最大值為.

C

【變式4-1】2.（多選）（2023?全國?高三專題練習）在△ABC中，AC=4fAB=5,

BC=6,。為AC中點，E在上，SJE=^ED,2E延長線交BC于點艮則下列結論正確的

有（）

A.屈=3B.AE-~BC=-^

C.aACF的面積為3bD.AF=6EF

【變式4-1】3.（多選）（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，在凸四邊形A8CD中，對

邊BC,4。的延長線交于點&對邊SB,DC的延長線交于點F,若前=2次，ED=^DA,

AB=3BF（A,//>0）,則（）

A

/

B

tr'E

F

A.EB=^EF+^EAB.加=；

C.抖抽最大值為1D.>-J

【變式4-1】4.（2023?遼寧沈陽?東北育才學校校考一模）在△4BC中，AB-AC=9,sinB=

cosTlsinC,SAABC=6,P為線段AB上的動點，且而=x,篇+y?嵩，貝嶺+：的最小值為

（）

A..+?B.C..+9D.含

。3t>lz31Z

【變式4-1】5.（2022秋?廣西欽州?高三校考階段練習）在△力BC中,AB=4,BC=3,

C4=2,點P在該三角形的內切圓上運動，若麗=小同+71萬（m,n為實數）,則機+n的

最小值為（）

AAg1Q—D-

18,3189

【變式4-1】6.（2022?全國?高三專題練習）過△ABC重心。的直線PQ交AC于點P,交

BC于點Q,PC=（XC,QC=nBC,則n的值為L

題型5向量夾角

【例題5】（2023?山東濟寧?統考二模）已知向量方、B不共線，夾角為。，且同=2,回

=1,\a+Ab\+\a-Ab\=4V2,若竽=4<2夜，則|cos8|的最小值為.

【變式5-1】1.（2023?福建泉州?統考模擬預測）人臉識別，是基于人的臉部特征信息進行

身份識別的一種生物識別技術.在人臉識別中，主要應用距離測試檢測樣本之間的相似度，

常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.設4（%i,yD，5（x2,y2）,則曼哈頓距離d（4B）

=|%1-X2|+|yi-711，余弦距離e（4B）=1-cos（4B）,其中cos（4,B）=cos0X礪）（。

為坐標原點）.已知M（2,l）,d（M,N）=l,則e（M,N）的最大值近似等于（）

（參考數據：V2?1.41,V5?2.24.）

A.0.052B.0.104C.0.896D.0.948

【變式5-1】2.（多選）（2023?福建?校聯考模擬預測）半圓形量角器在第一象限內，目與x

軸、y軸相切于以E兩點.設量角器直徑4B=4,圓心為C,點P為坐標系內一點.下列選項正

確的有（）

A.C點坐標為（2,2）B.\OA+OB\=2>/2

C.COSAAOBG[|,^）D,若同2+|國之+|網2最小,則明=竽

【變式5-1]3.（2023?全國?安陽市第二中學校聯考模擬預測）已知m+而與沆為相反

向量，若|而|=2,\OB\+|OC|=4,則瓦5,而夾角的余弦的最小值為—.

【變式5-1】4.（2023?海南省直轄縣級單位?統考模擬預測）已知平面向量五=6?，b=

~OB,c^OC,滿足4瓦?前=1一|瓦?『，4OB-CB=1-|OC|2,則向量2-4石與工一2后所成

夾角的最大值是（）

A.fB.fC.vD.

o336

題型6向量平行與垂直的應用

【例題6】侈選）（2023?全國?高三專題練習）如圖，△力BC的外心'為O,三條高線他BE,CF

交于一點H,ED與4B的延長線交于點I,FD與4C的延長線交于點J,則（）

A.Z.BDF=Z.BACB.OB-TD=0

C.OC-JD=OD.OW-7/=O

【變式6-1】（2023?全國?高三專題練習）設4B是平面直角坐標系中關于y軸對稱的兩點，

且=2.若存在m,nER,使得爪48+02與nAB+OB^直，且

\{mAB+OA）-（nAB+OB）|=2,則|四|的最小值為.

題型7投影向量

【例題7]（2023春?遼寧?高三遼師大附中校考階段練習）已知點D在線段4B上,CD是△ABC

的角平分線，E為CD上一點,且滿足旗=瓦?+幾（備+需可一|函=6,|明

=14,設瓦＜=2則近在讓的投影向量為.（結果用日表示）.

【變式7-1】1.（2023?天津?統考二模）在△4BC中，AB=3V2,角4為銳角，目向量同

在向量而上的投影向量的模是3,貝!M=；若不中=6,貝函數/仁）=卜刀—g而|+

|xZB-|xc|（xGR）的最小值為.

【變式7-1】2.（多選）（2023?全國?高三專題練習）窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古

老的傳統民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的

示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2,P是正八邊形4BCDEFG”邊上任意一點，則下

列說法正確的是（）

圖1

A.若函數/■(%)=|詬一x同|,則函數f(x)的最小值為2+四

B.可?麗的最大值為12+8四

C.E在而方向上的投影向量為-當

D.OA+OC=V30F

題型8解析幾何與向量

【例題8】(多選)(2023秋?河南?高三校聯考開學考試)0Q:(x+l)2+(y—l)2=2與

〃y=—久交于4B,M為曲線y=Kx>0)上的動點，貝U()

A.”到直線/距離最小值為魚

B.MA-MF>0

C.存在點M,使得△M4B為等邊三角形

D.拓■說最小值為1

22

【變式8-1】1.(2023?四川成都?校聯考二模)已知直線Z：y="(k>0)與雙曲線。今-襄

=19>0,6>0)相交于人，B兩點，點力在第一象限，經過點4且與直線/垂直的直線與雙曲

線C的另外一個交點為M,點N在y軸上，BN//NM,點。為坐標原點，目而？=7=I?布，

則雙曲線C的漸近線方程為()

A.y=±V3^B.y=±V5xC.y=±V6xD.y=±V7x

【變式8-1]2.(2023?江蘇揚州?統考模擬預測)已知向量五=(%+1,V5+y\b=(%-1,V5

-y),滿足五1刃的動點M(x,y)的軌跡為E,經過點N(2,0)的直線1與E有且只有一個公共點4,

2

點P在圓N+(y—2偽=1上，貝”IP的最小值為().

A.3—2V2^B.—1

C.2V2-2D.1

【變式8-1】3.(2023?海南海口?海南中學校考二模)如圖，2022年世界杯的會徽像阿拉

222

伯數字中的"8".在平面直角坐標系中，圓+(y+m)=n和N：%2+(y—l)=1外切

也形成一個8字形狀，若尸(0,—2),/(I,-1)為圓M上兩點，B為兩圓圓周上任一點(不

同于點A,P),則麗?麗的最大值為().

FIFAWORLDCUP

A.^|^B.2V2+1C.3+V2D,3V2+2

【變式8-1】4.(2023?全國?模擬預測)已知。為坐標原點，橢圓C：9+?=l上兩點A,

B滿足%?%=".若橢圓C上一點M滿足加=4萬？瓦貝！M+四的最大值為

()

A.1B.C.yjsD.2

【變式8-1】5.(2023秋?貴州貴陽?高三貴陽一中校考開學考試)已知雙曲線C:§-g=l

(a>0,6>0)的左右焦點分別為Fi,F2,點A在C上，點B在y軸上，。?元1=0,

葩=|瓦?，則C的離心率為—.

【變式8-1】6.(2023春?全國?高三競賽)設圓(x—3)2+(y—4)2=25的圓心為C,點N

(6,0),M(12,10),P為直線y=久上一點.若圓上存在兩點A,B,使得點P滿足加=麗+

M?,則△PCN面積的取值范圍為()

A.[2,51]B.[3,51]C.[2,52]D.[3,52]

題型9奔馳定理與面積比

【例題9】（多選）（2023?全國?高三專題練習）有下列說法其中正確的說法為（）

A.若五IIb,b||c,則「||c

B.若花11另仿46）,則存在唯一實數%使得五=企

C.兩個非零向量無b,若，一引=|可+㈤,貝值與3共線且反向

D.若2cM+OB+30c=6,S&AOC，S&IOB分別表小△AOC,△AOB的面積，則S^AOCSAAOB

=1:3

【變式9-1】（2023?全國?高三專題練習）"奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，

因為這個定理對應的圖形與“奔馳"轎車（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地稱

其為"奔馳定理奔馳定理：已知。是AABC內的一點，△⑶。。，△^。。，△在。^的面積分

別為4SB，SC,則有力?福+SB?而+Sc?無=6.設。是銳角△回（7內的一點，

NB4C,乙4BC/ACB分別是△力BC的三個內角，以下命題不正確的有（）

A.^OA+OB+0C=0,則0為△ABC的重心

B.^OA+2OB+30C=0,貝！JS/SBSC=1:2:3

C.^[OA\=[OB\=2,^AOB=^,2OA+3OB+40C=0,則S44BC=T

D.若0為△力BC的垂心，貝!jtan/B力C?0A+tanzXBC-OB+tan/ACBOC=0

題型10向量四心

在AABC中:

1.重心：PA+PB+PC=O

2.外心：同|=|而|=|玩|

3.內心：向量4（爵+需）（％。。）所在直線過AABC內心&BAC角平分線所在直線）

4.垂心：~PA-~PB=TB-~PC=TA-TC

【例題10】侈選）（2023?全國?高三專題練習）設點”在△48C所在平面內，則下列結論正

確的是（）

A.若前=儡+裔，目前=49+（1—4）衣（0<2<1）,則前=標

B.若近1+2加+3標=6,則△ABC的面積與A/IBM的面積之比為2:1

C,^MA+2MB+3MC=6,且M為△ABC的垂心，貝！JCOS/AMB=—嚕

D.若病=耳尸料一+產J）QeR）,貝UM的軌跡經過△ABC的垂心

\PB|COSB\AC\COSCJ

【變式10-1】1.（多選）（2023?全國?高三專題練習）已知點。在△力8c所在的平面內,

則下列命題正確的是（）

A.^OA-OB^OA-OC=OB-OCSAB-AC=1,^\\A0-AB=1

B.右屈一司—[OC-OA\^\OA-OC\_\OB^OC\'貝！