向量線性運(yùn)算及三大定理與四心歸類（15題型提分練）

更盤點(diǎn)?直擊春考

目錄

題型一：線性運(yùn)算：等分點(diǎn)型......................................................................1

題型二：線性運(yùn)算：四邊形等分點(diǎn)型................................................................3

題型三：線性運(yùn)算：基底非同一起點(diǎn)................................................................4

題型四：三大定理：奔馳定理......................................................................6

題型五：三大定理：極化恒等式....................................................................8

題型六：三大定理：等和線基礎(chǔ)....................................................................9

題型七：等和線三角換元型.......................................................................10

題型八：等和線系數(shù)不是1構(gòu)造型.................................................................11

題型九：等和線均值型...........................................................................12

題型十：等和線二次型...........................................................................12

題型十一：等和線系數(shù)差型.......................................................................13

題型十二：四心向量：外心.......................................................................14

題型十三：四心向量：內(nèi)心.......................................................................15

題型十四：四心向量：垂心.......................................................................15

題型十五：四心向量：重心.......................................................................16

興突圍?福睚蝗分

題型一：線性運(yùn)算：等分點(diǎn)型

指I點(diǎn)I迷I津

線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：若直線/上三點(diǎn)片、R、P,且滿足麗=彳9（24-1）,在直線/外

任取一點(diǎn)O,設(shè)函=心OP^b,^OP=^L=-^—a+—b.

1+41+A1+A

重要結(jié)論：若直線/上三點(diǎn)6、鳥、P,。為直線/外任一點(diǎn)，

貝（］麗=4麗+〃砒o=

>

證明：OP=OPl+PJ^OPl-AB1P=O^+l}P,貝!］麗一砒=幾"+虧=(1+㈤虧,

麗-漉麗+4漉5+花

貝麗=誣+月？=硫+

1+A1+21+21+A1+2

1.（23-24?河北唐山?階段練習(xí)）如圖,△4BC中，。為邊的中點(diǎn)，E為4。的中點(diǎn)，則礪=（）

C

A.--AB+-ACB.-AB--AC

4444

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

2.（23-24四川樂山?階段練習(xí)）如圖,己知點(diǎn)G是△N8C的重心，過點(diǎn)G作直線分別與48,NC兩邊交于

M，N兩點(diǎn)，設(shè)而=彘，赤=1>AC,則x+9y的最小值為（）

A

516

A.—B.4C.—D.3

23

3.（23-24?陜西渭南?階段練習(xí)）如圖，在ZUBC中，己知而二；嵐，尸為近上一點(diǎn)，且滿足

—?——?4——?

CP=7"C/+§CB,則實(shí)數(shù)加的值為（）

A

BDC

1

A.1B.2C心D.-

3332

jr

4.（23-24天津?階段練習(xí)）如圖，在A/BC中，ZBAC=-,AD=2DB，尸為C。上一點(diǎn)，且

AP=^AC+AAB,若元=3,同=4,則五小友的值為

（）

C

ADB

771313

AB.一C.——D.—

-761212

5.（23-24甘肅臨夏?階段練習(xí)）如圖，在△45。中，點(diǎn)。是5C的中點(diǎn)，AC=3MC=4NC分別連接

MO、N。并延長(zhǎng)，與邊48的延長(zhǎng)線分別交于尸，。兩點(diǎn)，^AB=-2aPQ,貝!（)

C.-2D.-1

題型二：線性運(yùn)算：四邊形等分點(diǎn)型

指I點(diǎn)I迷I津

四邊形基底線性運(yùn)算，可以用基底推導(dǎo)，也可以通過特殊化構(gòu)造坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)計(jì)算

1.（23-24?江蘇蘇州?階段練習(xí)）在平行四邊形中，E,尸分別在邊ND,CD上，4E=3ED,

DF=FC,反與BE相交于點(diǎn)G,記前,BA^b，則善=（）

2.（23-24山西?階段練習(xí)）如圖，在正方形488中，CE=2DE,E5和/C相交于點(diǎn)G,且尸為/G上一點(diǎn)

—.——31

（不包括端點(diǎn)），若BF=ABE+〃BA,則7+一的最小值為（）

XJLI

DEC

c.8+V5D.15

3.（23-24寧夏銀川?）如圖所示的矩形4BCQ中，E,尸滿足赤=反，CF=2FD,G為石尸的中點(diǎn)，若

AG=AAB+〃AD,則丸〃的值為（）

23

A.-B.一C.一D.2

234

4.（23-24陜西咸陽）如圖所示，在正方形/5CD中，E為4g的中點(diǎn),廠為的中點(diǎn)，若

()

5_

A.——B.cD.

4~4-I4

5.（23-24新疆烏魯木齊?模擬）如圖，在平行四邊形N8CD中，AE=^AD,BF=^BC,CE與。尸交于點(diǎn)

。.設(shè)75=1,AD=b，若/。=而+〃3,則〃-4=()

113

A.—B.—C.—D.—

17171717

題型三：線性運(yùn)算：基底非同一起點(diǎn)

指I點(diǎn)I迷I津

向量共線定理和向量基本定理

①向量共線定理（兩個(gè)向量之間的關(guān)系）：向量g與非零向量￡共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)2,使得

b=Aa-

瞥形式：獨(dú)直線4上三點(diǎn)A、B、1,。為直線/外任一點(diǎn)，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)2,使得：

OP=（1-A）-OA+A-OB.

特別提醒：共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)：向量共線的充要條件中要注意"￡工6"，否則之可能不存在，也可能

有無數(shù)個(gè).證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量

共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不

重合.

②于面中量基本定理（平面內(nèi)三個(gè)向量之間關(guān)系）：

若［、￡是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量2,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4、4,使

a=4q+4e,.

特別提醒：不共線的向量［、］叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

基底的不唯一性：只要兩個(gè)向要不芒線，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量

￡都可被這個(gè)平面的一組基底［、乙線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的.

2.（23-24浙江?階段練習(xí)）已知六邊形NBCDEF為正六邊形，且％=晨BD^b，以下不正確的是（）

AB

2-1r—,,11f

DE=——a+—bB.BC=-a+-b

3333

2-2—?24-

AF=——a+—brD.BE=——a+-b

3333

3.（23-24重慶巴南?階段練習(xí)）如圖，矩形/8CD中，點(diǎn)E是線段上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段3c

的中點(diǎn)，則詼=（）

AEB

DC

8—?5—?io—?5—?

A.-DF——ACB.-DF--AC

9999

8—?5—?10—?5—?

C.——DF+-ACD.--DF+-AC

9999

4.（23-24高三河南?階段練習(xí)）已知為等邊三角形，分別以C4,C3為邊作正六邊形，如圖所示,

貝IJ（）

DG,、

EABH

__.9__k7_?

A.EF=-AD+4GHB.EF=-AD+3GH

22

_—，a—，.

C.EF=5AD+4GHD.EF=-AD+3GH

5.（22-23甘肅天水,階段練習(xí)）如圖，四邊形/5C。是平行四邊形,點(diǎn)￡,尸分別為CD,/。的中點(diǎn)，若以向

量灰,而為基底表示向量，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AD=-AE--RFB.AD=--AE--m

5555

——-2—-4—>——2--4—（?

C.AB=-AE——BFD.AB=-AE+-BF

5555

題型四：三大定理：奔馳定理

指I點(diǎn)I迷I津

。為AASC內(nèi)一*點(diǎn)，axPA+Z)xPB+cxPC=0，則^^依。：^APAC:^\PAB=b：c,

叱：ci9ai9ai

^\ABCCl+b+cSMBCCl+b+cSNBCCl+b+c

結(jié)論1：對(duì)于A48c內(nèi)的任意一點(diǎn)p,若"BC、"CA、APZ5的面積分別為邑、S§、Sc,貝!!：

SA^PA+SDRPB+SCrPC=O.

即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對(duì)的三角形的面積.

結(jié)論2：對(duì)于ZU8C平面色的任意二省P,若在f在ZU8C的外部，并且在NE/C的內(nèi)部或其對(duì)頂角的內(nèi)部所

在區(qū)域時(shí)，則有-S“BC-PA+S好AC-PB+SPAB-PC=Q.

結(jié)論3：對(duì)于A48c內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若％方+4旃+4定=0,則AP8C、NPCA.AP48的面積之比為

即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)的三色形哽之比筆于權(quán)系數(shù)之比.

結(jié)論4：對(duì)于AA8C所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)P,4方+4麗+4卮=。，則"BC、NPCA、APAB

的面積分別為圖:田:岡?

即若三角形平面內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零,則各向量所對(duì)應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕對(duì)值之比.

各向量所對(duì)應(yīng)的三角形是指另外兩個(gè)向量所在的三角形.

xnOA+sOB-^tOC=0

L(23-24甘肅)"奔馳定理"因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.它的具

體內(nèi)容是：已知M是△NBC內(nèi)一點(diǎn)，ABMC,AAMC,A/MB的面積分別為邑，SB,Sc,且

S-疝+Sg?荻+/?就=。.若M為AABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,貝lJcos//Affl=()

BC

A.一逅RV6V6

366

2.（23-24河北）平面向量中有一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論：已知。為△/BC內(nèi)的一點(diǎn)，BOC,AAOC,KAOB

的面積分別為，，SB，SC,則邑?方+SB?9+S0?雙=0.因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志，所以稱為“奔

馳定理已知。為"gC的內(nèi)心，三個(gè)角對(duì)應(yīng)的邊分別為/6,c,已知a=3,6=2百，c=5,則麗.就=

（）

A.273-8B.-2C.76-7D.3亞-9

3.（2024上海?專題練習(xí)）"奔馳定理"因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)

論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知”是△NBC

內(nèi)一點(diǎn)，△BMC,△/禰。，△/班的面積分別為S?,SR,$一S.SA-MA+SB-MB+Sc-MC=0.以下命題錯(cuò)誤

的是（）

A.若S/￡=1：1：1，則V為A/MC的重心

B.若“為△/8C的內(nèi)心，則3C.&3+4C.標(biāo)+/臺(tái).標(biāo)=6

C.若4/。=45。,448。=60。，/為△4BC的外心，則,：:%=K:2:1

D.若M為△4BC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,貝UcosN/MB=-"

6

4.（2023高三河南南陽?階段練習(xí)）奔馳定理：已知。是ZL4BC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,SAOC,MOB的面積分

別為,，sB,sc,貝IJSJE+SB?赤+品?雙=6."奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@

個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳"轎車（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地稱其為"奔馳定理"若。是銳角

44BC內(nèi)的一點(diǎn)，A,B,C是/4BC的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)O滿足刀.礪=礪.我=反.力，則必有（）

B.cosA-OA+cosB-OB+cosC-OC=0

C.tanA-OA+tan5-OB+tanC-OC-6

D.sm2A-04+sin2B-OB+sin2C-OC=0

5.（2022?安徽?三模）平面上有△/BC及其內(nèi)一點(diǎn)O,構(gòu)成如圖所示圖形，若將△。/3,AOBC,A。力的

面積分別記作sb,則有關(guān)系式a+S廣9+&.云=6.因圖形和奔馳車的/og。很相似，常把

上述結(jié)論稱為“奔馳定理已知△4BC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若滿足

。?況+6?赤+c?雙=6，貝U。為△/8€?的（）

題型五：三大定理：極化恒等式

r---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

"旨I點(diǎn)I迷I津

；設(shè)。，A是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有小［苴m+彳-@一斤］

①幾何解釋1（平行四邊形模型）以N3,ND為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形/BCD,AB=a,AD=b，則

~AC=a+brBD=b-a，由@Z=；［（/+B）2—（2一*）?］,^AB-Al5=^AC2-BD2^.

\即“從平行四邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)邊向量的數(shù)量積是和對(duì)角線長(zhǎng)與差對(duì)角線長(zhǎng)平方差的

4

②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結(jié)論的基礎(chǔ)上，若設(shè)M為對(duì)角線的交點(diǎn)，則由

22222222

AB-Al5=^AC-BD）^^1AB-AD=^AC-BD）=^4AM-4BM）,^AB-AD=AM-BM

；該等式即是極化恒等式在三角形中的體現(xiàn)，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型.

1.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）正方形/BCD的邊長(zhǎng)是2,E是4B的中點(diǎn)，則反.而=（）

A.yf5B.3C.2#>D.5

2.（江蘇?高考真題）如圖，在AA8C中，。是8c的中點(diǎn)，瓦尸是4。上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BA-G4=4>

BF-CF=-1,則就.方的值是.

A

3.如圖，在AABC中,已知AB=4,AC=6,ZBAC=60°,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,

且在=2AD,%=3近,若/為DE的中點(diǎn)，則BF-DE的值為

4.（23-24高三?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的"和對(duì)角

線"與"差對(duì)角線"平方差的四分之一，即如圖所示，前我們稱為極化恒等式.已知在

03c中，M是2C中點(diǎn)，AM=3,3c=10,則益.*=（）

A.-16B.16C.-8D.8

5.（21-22?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線"

與“差對(duì)角線"平方差的四分之一.即如圖所示：7g=：（口萬『-|就。，我們稱為極化恒等式.在△）中，M

是8c中點(diǎn)，AM=3,8c=10,則刀.刀=（）

A.32B.-32C.16D.-16

題型六：三大定理：等和線基礎(chǔ)

：指！點(diǎn)j?津

形如0P=XO4+〃05（4〃eR）,求幾+〃值或者范圍，其中可以理解對(duì)應(yīng)系數(shù)如幾+〃=h彳+卜〃，稱之

為“和”系數(shù)為1.這種類型，可以直接利用“基底線”平移，做比值即可求得

1.（2023?江西吉安?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，半徑為6的扇形N08的圓心角為120。，點(diǎn)C在弧48上,

且/。。8=30。，若0^=20^+〃&，則2+〃=.

2.（2023春?浙江溫州?校考開學(xué)考試）兩個(gè)單位向量次，礪且NNO8=120°,C點(diǎn)在弧48上動(dòng)，若

OC=xOA+yOB,（x,yeR），則x+了的取值范圍是

3.正六邊形/8COE尸中，令血=￡,方=方，P是△<?￡）￡■內(nèi)含邊界的動(dòng)點(diǎn)（如圖），AP=xa+yb,則x+y

的最大值是（）

A.1B.3C.4D.5

4.已知。是A48c的外心，ZC=45°,貝！]反=心刀+〃礪則加+"的取值范圍是

A.|^—V2,V2JB.[-C,l）C.[-1]D.^1,^2J

JT

5.已知在中，A=->AB=3,AC=4,P為2c上任意一點(diǎn)（含2,C）,以尸為圓心，1為半徑

作圓，。為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)而=x：而+了就，則x+了的最大值為

題型七：等和線三角換元型

指I點(diǎn)I迷I津

如果點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則可以借助圓的參數(shù)方程（或者三角換元），用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求

解

1.（2023?全國(guó)?高一假期作業(yè)）如圖，扇形的半徑為1,且方.礪=0，點(diǎn)C在弧48上運(yùn)動(dòng)，若

A._#>B.V5C.1D.2

2.（2023春?湖北湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，扇形的半徑為1,且次.赤=0,點(diǎn)C在

弧48上運(yùn)動(dòng)，若反=+y礪，則2x+y的最小值是（）

A.-V5B.V5C.1D.2

3.（2023春?重慶萬州?萬州外國(guó)語學(xué)校天子湖校區(qū)校考階段練習(xí)）如圖，在半徑為1的圓。中，點(diǎn)48為

圓。上的定點(diǎn)，且4405=60。，點(diǎn)C為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若歷=》應(yīng)+）礪，則2x+（g+l）y的取值范圍

是.

4.在直角梯形.48CD中，AB1AD,AD//BC,AB=BC=2AD=2,E,尸分別為BC,C。的中點(diǎn)，以A為圓心，

為半徑的圓交4B于G,點(diǎn)尸在而上運(yùn)動(dòng)（如圖）.若不=彳赤+〃而，其中則22+〃的最

大值是.

夕

4GB

5.已知正三角形Z3C的邊長(zhǎng)為2,。是邊2C的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|歷區(qū)1,且萬=》刀+了就，其中

x+y>l,則2x+y的最大值為.

題型八：等和線系數(shù)不是1構(gòu)造型

指I點(diǎn)I迷I津

形如OP=204+〃OB（九〃eR）,求m'+t〃值或者范圍,一般動(dòng)點(diǎn)多在圓上，則可以通過三角換元，構(gòu)

造三角函數(shù)輔助角形式求最值

1.如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓。，尸為圓。上任一點(diǎn)，若石一萬+y就，則2無+2y的最大

值為（）

2.（23-24?安徽蕪湖?階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)G是。5c的重心，過點(diǎn)G作直線分別與/C兩邊交于

M,N兩點(diǎn)，設(shè)為7=xM，AN^yAC,則x+4y的最小值為（）

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知。是AA8C內(nèi)一點(diǎn)，且次+赤+女=0，點(diǎn)〃在AO8C內(nèi)（不含邊

界)，若痂=4次+〃/，則2+2〃的取值范圍是

4.(20-21?福建?階段練習(xí))已知平行四邊形N5CD中，點(diǎn)、E,尸分別在邊/反么。上，連接EF交ZC于點(diǎn)

且滿足麗=4或，而=3而，而=彳益+〃而，貝!|52+g〃=()

A.-B.1C.—D.—3

22

題型九：等和線均值型

指I點(diǎn)I迷I津

利用向量基底理論，求出“和定”或者“積定”，再用均值不等式技巧求出最值和范圍

基本不等式：—；

2

(1)基本不等式成立的條件：a>0,fr>0；

(2)(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)丘瓦

⑶基本不等式的變形：

_a-\-b

①a+b》2序(，常用于求和的最小值；②g—t2,常用于求積的最大值；

2

1.(2023春,四川眉山校考階段練習(xí))已知點(diǎn)G是。5c的重心，過點(diǎn)G作直線分別與/8,/C兩邊相交于

點(diǎn)”，N兩點(diǎn)(點(diǎn)A/,N與點(diǎn)-C不重合)，設(shè)正MAC=yAN,則3+W的最小值為一

2.(2023春?重慶?校聯(lián)考階段練習(xí))在。3C中，點(diǎn)。滿足麗=2022皮，過點(diǎn)。的直線交線段48于點(diǎn)

M、交線段/C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,記初=1，AN=yAC，貝U2023x+病y的最小值為.

3.（2023春?山東荷澤統(tǒng)考模擬）在A/BC中，點(diǎn)。是線段8c上的點(diǎn)，且滿足口1=3］礪過點(diǎn)。的直線

12

分別交直線/8/。于點(diǎn)E,尸，且刀=加荏，就=〃萬，其中%>0且〃>0,若一+—的最小值為.

mn

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知4、B、尸是直線/上三個(gè)相異的點(diǎn)，平面內(nèi)的點(diǎn)若正實(shí)數(shù)工、?滿

—.―.—.11

^4OP=2xOA+yOB,則一+一的最小值為_____.

xy

5.（23-24高三?天津武清?階段練習(xí)）在中，BD=^BC,￡是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)

臣=》百+久瓦則過亞至的最小值是（）

xy

A.10B.4C.7D.13

題型十：等和線二次型

指1點(diǎn)J當(dāng)I津

形如°P=〃eR）,求關(guān)于“與〃二次型值或者范圍，有如下思維：

（1）圖形比較規(guī)則，建立直角坐標(biāo)系來解決向量問題；

（2）得到關(guān)于九〃的不等式中沒有外〃，所以取/=2+〃，建立九〃之間的關(guān)系;

（3）用判別式求得》的范圍，化簡(jiǎn)所求式子至二次函數(shù)的形式；

（4）根據(jù)二次函數(shù)的最值及/的范圍求出最值.

1.（23-24?陜西西安?階段練習(xí)）點(diǎn)。是。5c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，^OA+OB+OC^QjM^xAB^AN^yAC,

MO=XON>則刈的最小值為（）

124

A.-B.1C.-D.-

239

2.（2019秋?江蘇蘇州?校考階段練習(xí)）如圖，在正方形Z3CD中，￡為的中點(diǎn)，P是以A為圓心，AB

為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)％=亦抖〃不，則〃2-3,的最小值為.

3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知i^ABC的邊2c的中點(diǎn)為。，點(diǎn)E在“BC所在平面內(nèi)，且麗=3CE-2CA，

^AC=xAB+y'BE,則9=（）

A.5B.10C.20D.30

2

4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知4昆尸為雙曲線/-2=1上不同三點(diǎn)，且滿足強(qiáng)+麗=2麗（。為坐

4

2

標(biāo)原點(diǎn)），直線尸4%的斜率記為”,〃，則川+土的最小值為

4

A.8B.4C.2D.1

5.（2023?全國(guó),高三專題練習(xí)）如圖，在AA8C中，M為邊3C上不同于B,C的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N滿足

AN=2NM.若麗=xAB+yAC，貝f+9/的最小值為.

題型十一：等和線系數(shù)差型

指I點(diǎn)I迷I津

形如。尸=X0"+〃°2（4〃eR）,求"'一"值或者范圍，有如下思維：

1.如果動(dòng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，可以通過圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為輔助角求解。

2.可以借助等和線，找到'+〃=定值，然后代入消元求解單元變量范圍或最值

1.（四川資陽?統(tǒng)考一模）如圖，在直角梯形48CD中，AB±AD,AB//DC,48=2,4D=DC=1,圖中

圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C,半徑為：，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng).若方=x^+y元，其

中x,y&R,則4x-y的最大值為

A.3-—B.3+—

42

C.2D.3+—

2

2.（安徽合肥?統(tǒng)考一模）已知向量花、/、少滿足同=4,茂/=2,伍-力?伍-口=0,若對(duì)于每一個(gè)確定的反團(tuán)

的最大值和最小值分別為加、〃，則對(duì)于任意的加-〃的最小值為（）

579

A.3B.—C.-D.—

222

3.在\ABC中，點(diǎn)G滿足GA+GB+GC=O.若存在點(diǎn)0,使得OG=ABC（2>0）,且以=mOB+nOC（nm>0）,

則加的取值范圍是_.

4.（22-23高三?河北唐山?階段練習(xí)）如圖，在“BC中，。是線段2c上的一點(diǎn)，且數(shù)=4而，過點(diǎn)。的

直線分別交直線48，/C于點(diǎn)M,N,若礪=4海，而=〃就（2>0,〃>0）,則〃的最小值是

4

()

2>/3-4口2百+4「26『n2V3+2

3333

題型十二：四心向量：外心

指I點(diǎn)I迷I津一一一

四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)X是“3C內(nèi)一點(diǎn)且加為++0/=6；

若X為外心，則加：幾：p=sin2A:sinIB:sin2C；

1.（2023春?江蘇無錫?錫東高中校考階段練習(xí)）在“8C中，AB=1,AC=3,S△的=乎，角A是銳角,

。為“8C的外心，若麗=m.而+n.灰,其中加,力耳0,1],則點(diǎn)P的軌跡所對(duì)應(yīng)圖形的面積是.

2.（2023春?廣東佛山?南海中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，。為的外心，AB=6,AC=2,-A4c為鈍角，

M是邊8c的中點(diǎn)，則而.而=.

3.（2023春?吉林長(zhǎng)春?東北師大附中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)。是△ZBC的外心，48=4,AC=2,乙BAC為

鈍角，M是邊8c的中點(diǎn)，則為心刀=.

4.（2023春?江西宜春?江西省清江中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)。為。3c的外心a,b,c分別為角4B,C的對(duì)

邊，若b=3,c=5,貝加灰=.

5.（2023春?遼寧?葫蘆島第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知。為。3C的外心，a,b,c分別為內(nèi)角A,

B,C的對(duì)邊，且c?=2/3-6）,則與.前的取值范圍是.

題型十三：四心向量：內(nèi)心

指I點(diǎn)I迷I津________

四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)X是“BC內(nèi)一點(diǎn)且機(jī)元4+〃XB+pXC=6；

若X為內(nèi)心，則機(jī)："：p=a:6:c；

1.（2022春?甘肅蘭州?蘭州市第二中學(xué)校考模擬）在面上有及內(nèi)一點(diǎn)。滿足關(guān)系式：

SAOBC?夕+SA.C?礪+S△物T區(qū)=0即稱為經(jīng)典的“奔馳定理"，若"8C的三邊為。，b,c,現(xiàn)有

a-OA+b-OB+c-OC^O,則。為“3C的一心.

2.（2023浙江?模擬預(yù)測(cè)）己知Rt△48c中，AB=3,AC=4,BC=5,/是“8C的內(nèi)心，尸是“8C內(nèi)部（不

含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，若石=4萬+〃刀（九〃eR）,則彳+〃的取值范圍是（）

3.（2022?貴州安順?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知。是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，/、氏C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿

/_、

足。尸+2（2eR）,則點(diǎn)尸的軌跡一定經(jīng)過“8C的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D,垂心

4.（2023?全國(guó)?專題練習(xí)）已知“8C所在的平面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足萬=|布|三+|就|赤，則直線4P一定經(jīng)

過"3C的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

5.（2023春?全國(guó)?專題練習(xí)）已知-15C,/是其內(nèi)心，內(nèi)角42,C所對(duì)的邊分別a/,c,貝I］（）

—■cABbAC

A.AI=~（AB+AC）Bo.AI=------+-------

aa

——bABcACc—cABbAC

c.AI=----------+-----------D.AI=------+-------

a+b+ca+b+ca+ba+c

題型十四：四心向量：垂心

指I點(diǎn)I迷I津一一一

四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)X是^ABC內(nèi)一點(diǎn)且mXA+nXB+pXC=0；

若X為垂心，則加：〃：p=tan4:tan5:tanC.

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知。是。2C內(nèi)的一點(diǎn)，若BOC、"。。、”03的面積分別

記為岳、邑、邑，則S/E+S??赤+S3?反=6."奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，這個(gè)定理

對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的log。很相似，故形象地稱其為"奔馳定理”.如圖，已知。是"BC的垂心，且

C

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