一元一次不等式知識歸納與題型突破

（18類題型）

01思維導(dǎo)圖

02知識速記

知識點一、不等式的概念

一般地，用“<”、">"、“w”或表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式.用“力”表示不等關(guān)系

的式子也是不等式.

知識點二'不等式的解及解集

1.不等式的解：

能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.

2.不等式的解集：

對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集.

3.不等式的解集的表示方法

（1）用最簡的不等式表示:一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，其解集是一個范圍，這個范圍

可用最簡單的不等式來表示.如：不等式X-2W6的解集為xW8.

（2）用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式的無限個解.如圖所示：

x>axN。x<axW。

-J>I>-ZZX-~~l>

aaaa

知識點三、不等式的基本性質(zhì)

不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變.

用式子表示：如果a>b,那么a±c>b±c.

不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.

ab

用式子表示：如果a>b,c>0,那么ac>bc（或一>—）.

cc

不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.

ab

用式子表示：如果a>b,c<0,那么ac<bc（或一<一）.

CC

知識點四、一元一次不等式的概念

只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，

特別提醒：

（1）一元一次不等式滿足的條件：①左右兩邊都是整式（單項式或多項式）；②只含有一個未知數(shù)；③未知

數(shù)的最高次數(shù)為1.

（2）一元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯(lián)系：

相同點：二者都是只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1,“左邊”和“右邊”都是整式.

不同點：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號“<”、“W"、或“>”連接，不等號有方

向；一元一次方程表示相等關(guān)系，由等號“=”連接，等號沒有方向.

知識點五、一元一次不等式的解法

1.解不等式：求不等式解的過程叫做解不等式.

2.一元一次不等式的解法：

與一元一次方程的解法類似，其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，將不等式逐步化為：x<a（或x〉a）的

形式，解一元一次不等式的一般步驟為：（1）去分母；⑵去括號；⑶移項；⑷化為辦〉6（或辦<6）

的形式(其中awO)；(5)兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集.

特別提醒：(1)在解一元一次不等式時，每個步驟并不一定都要用到，可根據(jù)具體問題靈活運用.

(2)解不等式應(yīng)注意：

①去分母時，每一項都要乘同一個數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項；

②移項時不要忘記變號；

③去括號時，若括號前面是負(fù)號，括號里的每一項都要變號；

④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向要改變.

3.不等式的解集在數(shù)軸上表示：

在數(shù)軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來，能形象地說明不等式有無限多個解，它對以后正確確定

一元一次不等式組的解集有很大幫助.

特別提醒：在用數(shù)軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：

(1)邊界：有等號的是實心圓點，無等號的是空心圓圈；

(2)方向：大向右，小向左.

知識點六、不等式組的概念

定義：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組.

特別提醒：

(1)這里的“幾個”不等式是兩個、三個或三個以上.

(2)這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù).

知識點七、解一元一次不等式組

1.一元一次不等式組的解集：

一元一次不等式組中幾個不等式的解集的公共部分叫做這個一元一次不等式組的解集.

特別提醒：

(1)找?guī)讉€不等式的解集的公共部分的方法是先將幾個不等式的解集在同一數(shù)軸上表示出來，然后找出它

們重疊的部分.

(2)有的一元一次不等式組中的各不等式的解集可能沒有公共部分，也就是說有的不等式組可能出現(xiàn)無解

的情況.

2.一元一次不等式組的解法

解不等式組就是求它的解集，解一元一次不等式組的方法步驟：

(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集.

(2)利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分即這個不等式組的解集.

知識點八、一元一次不等式組的應(yīng)用

列一元一次不等式組解應(yīng)用題的步驟為：審題一設(shè)未知數(shù)一找不等關(guān)系一列不等式組一解不等式組一

檢驗一答.

特別提醒：

(1)利用一元一次不等式組解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找不等關(guān)系.

(2)列不等式組解決實際問題時，求出不等式組的解集后，要結(jié)合問題的實際背景，從解集中聯(lián)系實際找

出符合題意的答案，比如求人數(shù)或物品的數(shù)目、產(chǎn)品的件數(shù)等，只能取整數(shù).

03題型歸納

題型一不等式的定義

222

例題：以下表達式：①4x+3”0；②°>3；③/+孫；@a+b=c;⑤x45.其中不等式有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

鞏固訓(xùn)練

1.某廣告強調(diào)“一罐飲料凈重400克，蛋白質(zhì)含量至少2克”，“蛋白質(zhì)含量至少2克”這句你換一種廣告語

言可以是()

A.“蛋白質(zhì)含量20.5%"B.“蛋白質(zhì)含量>0.5%”

C.“蛋白質(zhì)含量<0.5%"D.“蛋白質(zhì)含量40.5%”

2.對于下列結(jié)論：①x為正數(shù)，則x>0；②x為自然數(shù)，則x>l；③x不大于5,則x<5；正確的

有—.(填所有正確的序號)

3.在下列數(shù)學(xué)表達式中，屬于不等式的是.

(T)—3<0；(2)a+b(3)x=3；(4)x+2>y+3.

3.用不等式表示：

(l)7x與1的差小于4；

(2)x的一半比y的2倍大；

(3)a的9倍與b的3的和是正數(shù).

題型二不等式的性質(zhì)

例題：已知x>y,則下列不等式成立的是（）

A.-2x>-2jvB.x-3>y—3C.->V+5>—y+5D.—<

鞏固訓(xùn)練

1.已知下列結(jié)論：①才>瑟；②/〉/；③若b<0,貝|。+6<26；④若6〉0,則其

ab

中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.

2.。、b、。表示的數(shù)在數(shù)軸上如圖所示，試填入適當(dāng)?shù)摹啊担肌被颉岸?

????????11111w

C0ba

(l)a+3____b+3.

(2)a-b_______0.

〃

(3)[_________-b.

5

(4)-2〃______-2b.

(5)1-4Q_______1-46.

(6)?-|c|_____b-\c\-

⑺"Cb-c.

(8)ab____—b2.

3.在不等式3x-5?2x的兩邊都加上______—，得到不等式x<5.

4.若x>y,比較5-2x與5-2>的大小關(guān)工2并說明理由.

題型三不等式的解集

例題：下列說法中，正確的是（）

A.不等式2x<-8的解集是尤<4B.工=5是不等式2%<-8的一個解

C.不等式2x<-8的整數(shù)解有無數(shù)個D.不等式2x<-8的正整數(shù)解有4個

鞏固訓(xùn)練

1.下列說法錯誤的是（）

A.不等式5x-10>0的解是3B.3是不等式5x-10>0的解

C.不等式5x-10>0的解集是x>2D.尤>2是不等式5x-10>0的解集

2.寫一個解集為x<-2的不等式為.

3.如圖所示，數(shù)軸的一部分被墨水污染，被污染的部分內(nèi)含有整數(shù)為

-1.31.6

4.關(guān)于x的兩個不等式x+l<7-2x與-l+x<a.

(1)若兩個不等式解集相同，求。的值；

(2)若不等式x+l<7-2x的解都是-l+x<a的解，求a的取值范圍.

題型四一元一次不等式的定義

例題：下列不等式是一元一次不等式的是()

A.5>2B.3x<0C.x+2y>0D.x2+5^-7>0

鞏固訓(xùn)練

1.若(。-2)J7-2<。是關(guān)于x的一元一次不等式.貝匹的值為()

A.2B.-1C.0D.0或2

2.已知不等式(。-3)朋-2+1>5是關(guān)于X的一元一次不等式，則。=.

3.若(3-〃?)?'"卜2<。是關(guān)于x的一元一次不等式，則加的值為.

4.判斷下列各式哪些是等式，哪些是不等式.

(1)4<5；

(2)%2+1>0；

(3)x<2x-5；

(4)x=2x+3；

(5)3a2+a;

(6)a2+2a24a-2.

題型五求一元一次不等式的解集

例題：不等式-1的解集是（）

7722

A.x<—B.x>—C.x>一D.x—

5555

鞏固訓(xùn)練

1.若不等式（〃-3）x<（a-3）的解集是工<1,則。的取值范圍是（）

A.Q<3B.a<-3C.a>-3D.a>3

2.一元一次不等式x+3>0的解集為.

3.不等式-；苫-1<0的解集為

4.解不等式：3_￡_2>2￡±1,

o2

去分母，得24-（x-7）>8x+4.

（1）“去分母”這一步的變形依據(jù)是（填“A”或"B”）.

A.不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.

B.不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.

（2）請完成上述解不等式的余下步驟.

題型六求一元一次不等式的整數(shù)解

例題：不等式嬰-X>1的自然數(shù)解有（）個

A.1個B.2個C.3個D.4個

鞏固訓(xùn)練

4%—5

1.不等式安<1的正整數(shù)解有（）個

A.3個B.4個C.5個D.6個

2.不等式5x-2<3（x+2）的非負(fù)整數(shù)解為.

3.不等式2（x-3R5x-4的最大整數(shù)解為.

4.已知不等式25-1）+4<3（》+1）+2的最小整數(shù)解是方程2》-加工=4的解.求機的值.

題型七在數(shù)軸上表示不等式的解集

例題：已知|3-4=”3,則。的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）

A.?_____B.??

050：,

C___1______,_____D_________________?_______

03-03

鞏固訓(xùn)練

1.不等式3x+l>4的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

A—1----1-----1--1?R—1---------1------i------1~?

-10120-1012

J-10125-1012

2.若關(guān)于x的不等式3x-aW-1的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，貝!的值是.

???,????>

-3-2-10123

3.若一個關(guān)于x的一元一次不等式組的解集，在數(shù)軸上的表示如圖所示，則該不等式組的解集為,

-2-1012

4.解不等式：3（x+3）+6>4（2x+5）,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

I____?______?___?_____?_____?____I?

-3-2-10123

題型八求一元一次不等式解的最值

例題：若不等式的解都是不等式2-3x25的解，則加的取值范圍是（）.

A.m<-lB.m<-\C.m>—[D.m>-1

鞏固訓(xùn)練

1.按照下面給定的計算程序，當(dāng)》=-2時，輸出的結(jié)果是；使代數(shù)式2x+5的值小于20的最大整數(shù)

x是（）.

A.1,7B.2,7C.1,-7D.2,-7

2.已知關(guān)于x的方程決-4x=-9的解是非負(fù)數(shù)，則后的最小值為.

3.一元一次不等X式+底1>x2+（的最大整數(shù)解為；

4.已知『一122無一二^,求|計1-,+3]的最大值和最小值.

題型九一元一次不等式組的定義

2

例題：下列不等式組：①I[x>--2；②_1f+x2>>04；③[[x廣+41><0。；x+3>0fx+1<x

④⑤"+2>4其中是一

x<—7

元一次不等式組的個數(shù)（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

鞏固訓(xùn)練

1.下列不等式組是一元一次不等式組的是（）

[x-2>0[x+l>0[x-2>0[3x>°

A。L（X-1）<2B-[y-l<0。[x<-3D-U+l<0

lx

_fx>-2,_[x+1>0_[2x>0_'+3>°（x<x+l

2.下列不等式組：①②③④1、7⑤其中是一元一次不

[x<3,[歹一1<1[x+2〉0->-7[x+2>4

、2

等式組的有個.

3.一般地，由幾個的一元一次不等式所組成的一組不等式，叫做一元一次不等式組，組成不等

式組的各個不等式的解的就是不等式組的解.

4.判斷下列式子中，哪些是一元一次不等式組?

x>4

[2x-6<0[x>7

x=42x>5⑶卜<10;叫一3”10；(5%<0

(1)⑵

x>3x2<81

x>-3

題型十求不等式組的解集

2x+6>0

例題：解不等式組,解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

x-2<0

A.—<!>——1——1——1——L.

J——B—<!>1111J->

—3—2—1013-3-2-1013

c—6——1——1——1——1——i1->D—6——1——1——1——1——*——

--3-2-10123--3-2-10123

鞏固訓(xùn)練

(—XW1

1.不等式組。。C的解集是()

[3x—3<2x

A.x<-lB.x>3C.-3<x<1D.-l<x<3

-JQ—](7——-x

2.不等式組2~2的所有整數(shù)解的和為.

5x-l>3(x+l)

-x-\<3

3.不等式組2~的解集是.

2%<6

f2x<3x-l

4.求不等式組卜+3卜_1)<2(%+1)的解集.并把它的解集表示在數(shù)軸上.

題型十一解特殊不等式組

例題：若關(guān)于X的不等式X-加〉1的最小整數(shù)解是2,則實數(shù)加的值可能是（）

A.-1B.--C.0D.1

2

鞏固訓(xùn)練

x-a>0

1.不等式組｛八的解集中任何工的值均在2SXS5的范圍內(nèi)，則。的取值范圍是（）

x-a<1

A.a>2B.2<^<4C.^<4D.。之2且Qr4

2.已知0〈履+6<bQk、6為常數(shù)）的解集為-4Vx<0,則關(guān)于x的一元一次不等式-丘+的解集

為.

3.設(shè)。，b是正整數(shù)，且滿足56<。+6<59,0.9<-<0.91,則.

b

4.閱讀下列關(guān)于不等式(x-1)(x+2)>0的解題思路:

由兩實數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”可得：

[x_1>0[x—1<0

①]+2>0或②jx+2<0，

解不等式組①得X>1,

解不等式組②得了<-2,

二等式(x-l)(x+2)>0的解集為或X<-2.

請利用上面的解題思路解答下列問題:

⑴求出(x-l)(x+2)<0的解集；

⑵求不等式—>0的解集.

x+2

題型十二求一元一次不等式組的整數(shù)解

[%<fj2

例題：若關(guān)于X的不等式組,。八的整數(shù)解共有4個，則加的取值范圍是()

[7-2x<1

A.6<m<7B.6<m<7C.6<m<7D.6<m<l

鞏固訓(xùn)練

[x>a

1.若關(guān)于1的不等式組,恰有4個整數(shù)解，則字母〃的取值范圍是()

[x<3

A.QV—1B.—2<4?—1C.—2WQv—1D.1

I5x-3r

--------1-3>x

2.若不等式組3的整數(shù)解有四個，則。的取值范圍是

x<a

2（x+2）>x+1

3.若關(guān)于x的不等式組x-a?x+3<]有解且最多有3個奇數(shù)解,關(guān)于y的方程。+2（了-2）=2的解為整

數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)。的個數(shù)為.

3（x+2）22x+5①

4.解不等式組：x?x-2不，在數(shù)軸上表示它的解集，并寫出所有整數(shù)解.

——1<------②

[23

題型十三由一元一次不等式組的解集求參數(shù)

fx+9<5x+1

例題：不等式組的解集是％>2,則冽的取值范圍是（）

[x>m+4l

A.m<2B.機22C.加D.m>\

鞏固訓(xùn)練

f3x+a<0

1.若不等式組?的解集為x<4,則Q的取值范圍為（）

[2x+7>4x-l

A.a<-12B.a<-12

C.ci>-12D.ci>-12

fx>5

2.如果一元一次不等式組。。的解集為x>5,則機的取值范圍是______.

[x>2m-3

[x>2n+l

3.若關(guān)于x的不等式組c的解集為％>-1，則n的值為—.

[x>n+2

2"+1〉_5

4.若關(guān)于1的一元一次不等式組3"的解集為了47,求〃的取值范圍.

3x+。>—2+4x

題型十四不等式組和方程組相結(jié)合的問題

例題：已知人為整數(shù)，關(guān)于…的二元一次方程組產(chǎn)一2)-3的解滿足2022<x-y<2024,則整數(shù)左

[x-2y=k

值為()

A.2022B.2023C.2024D.2025

鞏固訓(xùn)練

f2x+3y=(7-l

1.若方程組,:匚的解滿足l<x+V<2,則〃的取值范圍是()

[3x+2y=6

A.0<Q<5B.0<a<2C.5<tz<10D.a>0

[3x+4y=m-5

2.已知關(guān)于％,y的方程組//,?的解滿足％+><0,x->>0,求機的取值范圍.

[4x+3y=3m+l

3.若關(guān)于x的不等式f4—八2(…x—1)。>3一—x有且只有3個整數(shù)解，且關(guān)于x,y方程組\a<x—+42V—03的解為整數(shù),

則滿足條件的整數(shù)?的值為

x-y=2m+1

4.若關(guān)于x,y的方程組

x+2y=3m

(1)求方程組的解(用含附的代數(shù)式表示);

(2)若方程組的解滿足x>l,><2,求加的整數(shù)解;

題型十五一元一次不等式組的其他應(yīng)用

例題：一天上班高峰時，某大廈電梯已經(jīng)擠了很多人，現(xiàn)在所有人重量為X公斤，85公斤的大胖硬是擠了

進去，這時電梯因超重警示音響起，大胖不得不走出電梯等待下一班，此時55公斤的小瘦抓緊機會坐上了

電梯，警示音未響起，電梯緩緩關(guān)上了門，留下了尷尬的大胖.已知當(dāng)電梯承載的重量超過300公斤時警示

音響起，則x的取值范圍可用下列哪一個不等式表示()

A.180<x<245B.215<x<300C.215<x<245D.245<x<300

鞏固訓(xùn)練

1.五月初五端午節(jié)這天，媽媽讓小明去超市買豆沙餡和蛋黃鮮肉餡的粽子.豆沙餡的每個賣2元，蛋黃鮮

肉餡的每個賣3元，兩種的粽子至少各買一個，買粽子的總錢數(shù)不能超過15元.則不同的購買方案的個數(shù)

為()

A.12B.123C.14D.15

2.某校團委組織團員志愿者在重陽節(jié)乘車前往敬老院慰問孤寡老人，參加的團員志愿者不足50名，聯(lián)系

汽車若干輛.如果每輛車坐6人，那么剩下18人無車可坐；如果每輛車坐10人，那么其余的車坐滿后，

僅有一輛車不空也不滿，則參加此次活動的團員志愿者有名.

3.某校志愿服務(wù)小組的學(xué)生在“學(xué)雷鋒”活動中購買了一批牛奶到敬老院慰問老人.如果分給每位老人4盒

牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少

分得1盒，則這個敬老院的老人最少有位.

4.某工廠用如圖甲所示的長方形和正方形紙板，做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種長方體形狀的無蓋紙

盒.若要做兩種紙盒共100個.設(shè)做豎式紙盒》個，完成下列問題：

(1)則需要做橫式紙盒________個；(用含x的式子表示)

(2)現(xiàn)有正方形紙板164張，長方形紙板338張，若按兩種紙盒的生產(chǎn)個數(shù)來分，有哪幾種生產(chǎn)方案?

題型十六用一元一次不等式組解決實際問題

例題：為加強校園消防安全，學(xué)校計劃購買某種型號的水基滅火器和干粉滅火器共50個.其中水基滅火器

的單價為540元/個，干粉滅火器的單價為380元/個.若學(xué)校購買這兩種滅火器的總價不超過21000元，則

最多可購買這種型號的水基滅火器多少個？

水基滅火器干粉滅火器

鞏固訓(xùn)練

1.已知杜鵑花宜居在17℃?20℃的環(huán)境中，某山區(qū)要種植杜鵑花.已知平均氣溫為20℃,且海拔每上升100

米，氣溫就下降06c.山腳的海拔的取值范圍是多少？

2.小王同學(xué)要去復(fù)印一些文件，現(xiàn)在有/、3兩家復(fù)印社可供選擇.

/復(fù)印社：復(fù)印頁數(shù)不超過20頁時，每頁收費0.12元；復(fù)印頁數(shù)超過20頁時，超過部分每頁收費為0.09

元

B復(fù)印社：不論復(fù)印多少頁，每頁收費0.1元.

(1)如果復(fù)印頁數(shù)是25頁，計算/、2兩家復(fù)印社的收費分別是多少？

(2)如果只能選擇一家復(fù)印社復(fù)印文件，小王同學(xué)選擇哪家復(fù)印社更合算？

3.2025年第九屆亞洲冬季運動會將于2025年2月7日在哈爾濱舉行，吉祥物“濱濱”和“妮妮”冰箱貼在市

場熱銷，某商場現(xiàn)購進“濱濱”和“妮妮”冰箱貼一共1000個，其中一個“濱濱”進價12元，一個“妮妮”進價15

元，總共花費13800元。

濱濱妮妮

(1)求購進“濱濱”和“妮妮”各多少個？

(2)在銷售過程中“濱濱”、“妮妮”標(biāo)價分別為20元/個、25元/個，當(dāng)“濱濱”、“妮妮”各賣出加個后，該商店

進行促銷，剩余的“濱濱”按標(biāo)價七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若購進的吉祥物冰箱貼全部銷售后利

潤不少于6000元，求加的最小值？

4.某地區(qū)決定從2019年5月1日起對居民生活用電試行“階梯電價”收費，具體收費標(biāo)準(zhǔn)如下表：2019年5

月份，該地區(qū)居民甲用電100千瓦時，交電費60元；居民乙用電200千瓦時，交電費121元.

一戶居民一個月用電量的范圍電費價格(單位：元/千瓦時)

不超過180千瓦時的部分a

超過180千瓦時的部分b

(1)上表中，a=_,b=_.

(2)隨著夏天的到來，用電量將增加，為了節(jié)省開支，該地區(qū)某小區(qū)居民小王計劃把今年6月份的電費控制

在不超過家庭月收入的2%,若小王家庭月收入為9300元，則小王家今年6月份最多能用電多少千瓦時.

題型十七用一元一次不等式組解決幾何問題

例題：已知數(shù)軸上有"，N兩點，點M表示的數(shù)為3x-5,點N表示的數(shù)為9-x.

(1)當(dāng)x=-l時，求線段的長；

(2)若點Af與點N關(guān)于原點對稱，求點M表示的數(shù)；

⑶若點M在點N的左側(cè)，求x的正整數(shù)值.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，數(shù)軸上點。為原點，點4,B,C表示的數(shù)分別是〃?+1,2-m,9-4加.

9-4m2-mm+1

CBOA

(1)/5=(用含加的代數(shù)式表示)；

(2)若點2為線段NC的中點，