第02講一元二次方程的解法（配方法）（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5個(gè)考點(diǎn)

+2個(gè)易錯(cuò)分析）

T模塊導(dǎo)航AT素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.學(xué)會(huì)根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

2.運(yùn)用開平方法解形如（x+〃）2=〃的方程.

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三3.了解配方的概念，掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)的步驟.

4.探索直接開平方法和配方法之間的區(qū)別和聯(lián)系，能

夠熟練地運(yùn)用配方法解決有關(guān)問題.

6模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)-

K具體形式）---（形如X2=p）

直接開平方法

方程的根A[x]=x=0(p=0)

（解一元二次方程y無實(shí)數(shù)根（P<O））

一般形式

>形如(x+n)2=p

配方得完全平方式

配方法

無實(shí)數(shù)根（p<0））

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

知識(shí)點(diǎn)1：直接配平方法

形如f=p或（”x+m）2=p"2）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程.

如果方程化成，=°的形式，那么可得苫=土丘；

如果方程能化成（nx+m）~—p（p'O）的形式，那么

注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù).

②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

③方法是根據(jù)平方根的意義開平方.

知識(shí)點(diǎn)2：配方法

（1）將一元二次方程配成（X+機(jī)）2=〃的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫

配方法.

第1頁共11頁

(2)用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為。f+bx+c=O(aWO)的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1,并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方

程無實(shí)數(shù)解.

要點(diǎn)詮釋：

(1)配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；

(2)配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

(3)配方法的理論依據(jù)是完全平方公式a2±2ab+b2=(a+bf.

知識(shí)點(diǎn)3：配方法的應(yīng)用

1.用于比較大小：

在比較大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零(或小于零)而比較出

大小.

2.用于求待定字母的值：

配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?,左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母

的取值.

3.用于求最值：

“配方法”在求最大(小)值時(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值.

4.用于證明：

“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會(huì)知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的

應(yīng)用.

要點(diǎn)詮釋：

“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常

用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好.

6模塊三核心考點(diǎn)舉一反三------------------------------

考點(diǎn)1：用直接開平方法解一元二次方程

【例1】(1)4/=9；(2)(x+3)2—2=0.

【變式IT】解方程(x-3)J49.

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【變式1-2］解關(guān)于x的方程：V2（2X-5）2=9A/2.

【變式1-3］解關(guān)于x的方程：4（2X-5）2=9（3X-1）2.

「方法急結(jié)「由工市而廨法可以看正「二元三及方福豆逋汪犀灰：杷二元三茨為灌展花為二元工茨萬窿隸麓豺:

|這是解一元二次方程的基本思想；一般地，對(duì)于形如/=a（a^O）的方程，根據(jù)平方根的定義，可解得x、=G，

I

|x2=~\fa.

L一著點(diǎn)萬「直接并年方法的應(yīng)用

h

［例2］若一元二次方程ae=b（ab>0）的兩個(gè)根分別是ffl+1與2R—4,貝哈=.

a

【變式2-1】若一元二次方程（a+2）x-ax+a"—4=0的一個(gè)根為0,貝>］a=.

【變式2-2】某工廠今年1月份產(chǎn)品數(shù)是50萬件，要求3月份達(dá)到60.5萬件，求這個(gè)工廠2月份和3月份的

月平均增長(zhǎng)率.

【變式2-2］有一個(gè)邊長(zhǎng)為11cm的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為13cm,寬為8cm的矩形，要作一個(gè)面積為這兩個(gè)圖形

的面積之和的正方形，邊長(zhǎng)應(yīng)為多少厘米？

「否法總結(jié)「云福泥寫串藥瓶看親而宴驚問融軒「窿亍根攙函烹廨面環(huán)「看好銃更給否賣樂「托舉于版》示

|符合實(shí)際情況的負(fù)值舍去.

「著點(diǎn)看「前方

【例3】用配方法解一元二次方程4x=5時(shí)，此方程可變形為（）

A.(x+2)'=lB.(X-2)2=1

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C.（X+2）2=9D.（X-2）2=9

【變式3-1L（23-24九年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）解一元二次方程V-6x-4=0，配方后得到（》-3）2=p,

貝壯的值是（）

A.13B.9C.5D.4

【變式3-2］（23-24九年級(jí)上?海南省直轄縣級(jí)單位?期末）已知/-8x+15=0,左邊化成含有x的完全平

方形式，其中正確的是（）

A.X2-8X+42=31B./-"+42=1

C.x2+8x+42=1D.X2-4X+4=-11

【變式3-3］（23-24九年級(jí)上?貴州貴陽?期末）一元二次方程/+以+1=0配方后可變形為（x+27=4,則

左的值是（）

A.3B.2C.1D.0

「方法總結(jié)丁麗麗藥走殍二元三改工嚏變函函二藤函彝「一⑴市褚莪所花劉等吾的若五「便方程的深質(zhì)雙南示一

I

|二次項(xiàng)和一次項(xiàng)；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

」至瓦41再而方法解二元三次行程

【例4】用配方法解方程：*_4x+l=0.

【變式4-1】用配方法解方程:x2+2mx-m2=0.

【變式4-2】用配方法解方程:「一4A-2013=0.

【變式4-3】用配方法解方程:0.3%2—0.2xH......—0.

30

第4頁共11頁

i方法總結(jié)：用配方法解一元二次方程，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)一元二次方程變形，轉(zhuǎn)化成開平方所需的形式.

J著點(diǎn)一而方法的應(yīng)再

【例5】己知：/+4x+/—6y+13=0,求不衛(wèi)的值.

x+y

【變式5-1】已知。2+"—2。+66+10=0,求2七1°°—30T的值.

【變式5-2］用配方法說明：代數(shù)式X2+8X+17的值總大于0.

【變式5-3］證明關(guān)于x的方程(君一8〃+17)*+2%+1=0不論〃為何值時(shí)，都是一元二次方程.

易錯(cuò)點(diǎn)1混淆方程配方與代數(shù)式配方

若把代數(shù)式/-2x-3化為(x-/)2-左的形式，其中加、左為常數(shù)，則機(jī)+左=

易錯(cuò)點(diǎn)2配方時(shí)，沒有進(jìn)行恒等式變形而導(dǎo)致錯(cuò)誤

如何用配方法解方程2-+2x-4=0

6模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)-------------------------------

一、單選題

1.(23-24九年級(jí)上?貴州畢節(jié)?期末)用配方法解方程/-4x=l,配方后結(jié)果正確的是()

A.(x-2)z=3B.(x-2)2=5C.(x+2)2=3D.(x+2)2=5

2.(23-24九年級(jí)上?廣東廣州?階段練習(xí))請(qǐng)同學(xué)們借助所學(xué)知識(shí)確定代數(shù)式/+2x+3有最大值還是最小

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值，是多少（）

A.有最小值是2B.有最大值是2C.有最小值是6D.有最大值是6

3.（23-24九年級(jí)上?河南鄭州?期末）下面是小明用配方法解方程：/+8尤-9=0的過程的一部分，橫線上

應(yīng)填寫（）.

第一步：把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得：X2+8X=9

第二步：兩邊都加

A.22B.42C.82D.92

4.（23-24九年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）關(guān)于x的一元二次方程新定義:若關(guān)于x的一元二次方程：4（x-"，）2+"=0

與。2（工-機(jī)）2+〃=0,稱為“同族二次方程”.如2（x-3y+4=0與3（x-3y+4=0就是，同族二次方程”.現(xiàn)有關(guān)于x

的一元二次方程：2（丫-1丫+1=0與（a+2）/+0-4）x+8=O是“同族二次方程”.那么代數(shù)式

-ax?+6x+2015取的最大值是（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

二、填空題

5.（23-24九年級(jí)上?湖北隨州?期末）用配方法解一元二次方程--2式-5=0時(shí)，將它化為（x+ap=6的形

式，則。+6的值為.

6.（23-24九年級(jí)上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）用配方法解方程/-4尤+3=0,可以將其變形為+=左（〃、k為

常數(shù)）的形式，貝！U=.

7.（23-24九年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí)）已知尤2-2尤-2=0,代數(shù)式（了-丁+2019=.

8.（23-24九年級(jí)上?遼寧丹東?期末）若關(guān)于了的一元二次方程/+4y+3=0,通過配方法可以化成

（＞+。）2=6的形式，貝!|。+6=.

9.（23-24九年級(jí)上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）己知實(shí)數(shù)私“滿足機(jī)-/=2,則代數(shù)式/+4/+4/-1的最小值

等于.

10.（23-24九年級(jí)上?湖南郴州?階段練習(xí)）觀察下列圖形，第1個(gè)圖形中一共有4個(gè)小圓圈，第2個(gè)圖形

中一共有10個(gè)小圓圈，第3個(gè)圖形中一共有18個(gè)小圓圈，…，第個(gè)圖形中一共有130個(gè)小圓圈……

11.（23-24九年級(jí)上?河北邯鄲?期中）已知關(guān)于x的方程/-2五-4=0,方程的解是.

12.（23-24九年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）已知代數(shù)式/=x2+10x+20,則/的最小值為

三、解答題

13.（23-24九年級(jí)上?海南省直轄縣級(jí)單位?期末）用配方法解方程：

第6頁共11頁

7

(l)x2+4x=2;(2)x7—3x——=0；

(3)4X2-8X=-3;(4)4X2+4X+10=1-8X

14.(23-24九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期末)閱讀材料，并回答問題.

小明在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，解方程2——8x+5=0的過程如下：

2X2-8X+5=0.

2X2-8X=-5.①

x2-4x=——.(2)

2

x2-4x+4=--+4.(3)

2

(^-2)2=|.④

x-2巫.⑤

2

x=2+爭(zhēng)(6)

問題：

(1)上述過程中，從一步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤(填序號(hào))；

(2)發(fā)生錯(cuò)誤的原因是：；

(3)寫出這個(gè)方程的解：.

15.(22-23七年級(jí)下?江蘇蘇州?期末)閱讀與思考：

【閱讀材料】我們把多項(xiàng)式Y(jié)+29+。2及02一2必+62叫做完全平方公式.如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方公

式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng).使整個(gè)式子的

值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小

值.

例如：求代數(shù)式X2+2X-4的最小值.

x?+2x—4=(x?+2x+1)—5=(x+1)~—5,可知當(dāng)x=—1時(shí)，x2+2x-4有最小值，最小值是一5.

再例如：求代數(shù)式-3/+6尤-4的最大值.

第7頁共11頁

—3x?+6x—4=—3(x2—2尤+1)—4+3=—3(x—1)—1.可知當(dāng)x=l時(shí)，—3x?+6x—4有最大值.最大值是-1.

(1)【直接應(yīng)用】代數(shù)式f+4x-3的最小值為;

⑵【類比應(yīng)用】若多項(xiàng)式M=/+〃-2a+46+2023,試求”的最小值；

(3)【知識(shí)遷移】如圖，學(xué)校打算用長(zhǎng)20米的籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)方形的菜地，菜地的一面靠墻(墻足夠長(zhǎng))，求

圍成的菜地的最大面積.

菜地

16.(23-24九年級(jí)上?江西九江?階段練習(xí))【課本再現(xiàn)】

材料一：解方程：x2+8x-9=0.

解：把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得x?+8尤=9.

兩邊都加4?,得Y+8X+42=9+42,BP(x+4)2=25.

兩邊開方，得x+4=±5,即x+4=5或x+4=-5,

所以再=1,%=-9.

在上例中，我們通過配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配

方法.

材料二：對(duì)于某些二次三項(xiàng)式也可以通過配方，利用完全平方式的非負(fù)性解決其最值問題.

例如：x2-6x+10=(/-6尤+9)—9+10=(》一3『+1.

(x-3)2>0,

.,.(X-3)2+1>1,即/-6x+10有最小值1.

【嘗試運(yùn)用】

(1)解一元二次方程/-4x-2=0,配方后可變形為()

A.(x-4)2=8B.(x-4)2=6C.(x-2)2=2D.(x-2)2=6

(2)利用配方法求-法-6x+5的最值.

【拓展應(yīng)用】

(3)已知方程/+/+2x-4y+5=0,求(x-2)"的值.

第8頁共11頁

17.(23-24九年級(jí)上?山西臨汾?期末)下面是小明解一元二次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

解：3X2+12X-9=0

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得/+以-3=0第一步

移項(xiàng)，得尤2+4尤=3第二步

配方，得/+4x+16=3+16,即(x+4)2=19第三步

由此，可得x+4=±Ji?第四步

=y/19-4,x2=-A/19-4第五步

任務(wù)一：填空：

①上述小明同學(xué)的解法中運(yùn)用“配方法”將該一元二次方程“降次”為兩個(gè)一元一次方程，此過程所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)

思想是，其中，“配方法”所依據(jù)的數(shù)學(xué)公式是;

②“第二步，，變形的數(shù)學(xué)依據(jù)是；

③小明同學(xué)解題過程中，從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)直接寫出正確的結(jié)果；

任務(wù)二：請(qǐng)你運(yùn)用“配方法”解一元二次方程：3X2+8X-3=0.

18.(23-24九年級(jí)上?河北滄州?期中)【項(xiàng)目學(xué)習(xí)】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法.它是指將一個(gè)

式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變

形中，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等.

例：求代數(shù)式/+4y+8的最小值.

解：/+4y+8=「+4了+4+4=(>+2)2+4,