第08講相似三角形的判定與性質

01學習目標

課程標準學習目標

1.理解相似三角形的判定定理，能靈活使用相似三角形的判定定理來判

定兩個三角形相似.

相似三角形的

2.掌握相似三角形的性質定理及其證明方法，包括相似三角形對應邊、

判定與性質

對應高、對應中線、對應角平分線的比等于相似比.

[-平行線截三角形相似

-利用兩角對應相等判定三角形相似

-利用兩邊對應成比例且夾角相等判定三角形相似

知識點一一利用三邊成比例判定三角形相似

-網格中相似三角形的判定

-相似三角形對應線段的比

-相似三角形的周長比與面積比

「題型01證明兩個三角形相似

一題型02選擇或補充條件使兩個三角形相似

題型一

一題型03利用相似三角形的性質求解

-題型04相似三角形的判定與性質綜合

03知識清單

知識點oi平行線截三角形相似

平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的三角形與原三角形相似.

試卷第1頁，共14頁

【即學即練1】

1.已知：平行四邊形/BCD,E是"延長線上一點，CE與AD、BD交于G、F.

E

4--

f/

/^>^r\/

R”中

⑴圖中有一對相似三角形；

⑵求證：CF2=GFEF.

知識點02利用兩角對應相等判定三角形相似

兩角分別相等的兩個三角形相似.

【即學即練1】

2.如圖，AE與BD交于■點、C,ZDME=ZA=ZB,且。M交/C于尸，ME交BC于G,求

證：4AMFsRGM.

注意：當已知條件中出現平行線、對頂角、公共角或給出幾個角的大小時，一般選用“兩組

角對應相等的兩個三角形相似”進行判定.

知識點03利用兩邊對應成比例且夾角相等判定三角形相似

兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.

【即學即練1】

3.如圖，將△48C繞點8逆時針旋轉得到△AffiN,連接M4,CN.求證：^ABM-^CBN.

試卷第2頁，共14頁

知識點04利用三邊成比例判定三角形相似

三邊成比例的兩個三角形相似.

【即學即練1】

ABBC4c

4.已知:在△/BC和中,求證：AABCsAAB'C'.

AB'BC'AC

知識點05網格中相似三角形的判定

在網格中判斷兩個三角形相似時，可以利用網格的特點和勾股定理求三角形的邊長.

【即學即練1】

5.如圖，△/BC和皿尸在邊長為1的正方形網格中，點4B,C,D,E,廠均在格點上，試證

這兩個三角形相似.

知識點06相似三角形對應線段的比

相似二角形對應高的比，對應角平分線的比，對應邊上的中線的比都等于相似比.

【即學即練1】

6.如圖，已知△4DEs/\4gc,AD=4,DB=8,DE=3,求2c的長.

知識點07相似三角形的周長比與面積比

相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

試卷第3頁，共14頁

【即學即練1】

7.如圖，AC,8。相交于點。，NA=ND.

(1)求證：AAOBsADOC；

(2)已知/0=5,。。=3,的面積為50,求△DOC的面積.

04題型精講

題型01證明兩個三角形相似

【典例1】

8.如圖，在ZUBC中，點。，￡分別是上的點，且DE〃8c.請證明:

AABC，/^ADE.

【變式1】

9.如圖，在ZUBC中，N4cB=90°,CA=CB,CL1是邊上的高，點E為線段CD上一

點(不與點C,點。重合)，連接BE,作斯_LBE與/C的延長線交于點尸，與BC交于點、

G,連接BF.

試卷第4頁，共14頁

⑵若尋=”，求證：ZCEF=ZCBF；

nUDkj

【變式2】

10.如圖，四邊形/BCD中，AB//CD,且N2=2CD,E、尸分別是/8、2C的中點，EF

與AD相交于點M.求證：AEDMs^FBM；

11.如圖，在4x4的正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，△4BC和四力的頂點

都在邊長為1的小正方形的格點上.

(2)判斷△ABC與AZ)E戶是否相似，若相似，請給出證明；若不相似，請說明理由.

(3)求2)BC：S叢DEF?

題型02選擇或補充條件使兩個三角形相似

【典例1】

12.如圖，已知N1=N2,那么添加下列一個條件后，不能判定的是()

B./B=/ADE

、AB_ACABBC

D.---=---

八~AD~~AEADDE

【變式1】

試卷第5頁，共14頁

13.如圖，點Z),E分別是84C4延長線上的點，請添加一個條件:

并寫出證明過程.

【變式2】

14.如圖，已知=名=4|;，△4BCs/\H"C嗎？請說明理由.若不相似,

ABBC

題型03利用相似三角形的性質求解

【典例1】

15.如圖，。是A48C的邊NC上的一點，連接8。，已知N48O=/C,AB=6,AD=4,

⑴證明A/BDSA/CB；

⑵求線段CD的長.

【變式1】

16.如圖所示，在△/BC中，點。在邊4B上，已知48=6,AD=2,4C=5,如果在/C

上找一點E,使得△/〃后與△4BC相似，求CE的長.

試卷第6頁，共14頁

17.在△4BC與"5C中，AB=5,BC=6,AC=7,A'B'=10,B'C'=\2,A'C=14.

⑴求證：AABCsAABC.

⑵直接寫出&ABC與AA'B'C的面積比.

【變式3】

ATJ3

18.如圖，在&ABC中，DE//BC,-=—.

DB2

⑴若現）=4,求2C的長；

⑵若=10,求S^CDE-

題型04相似三角形的判定與性質綜合

【典例1】

19.有一塊三角形余料它的邊長8c=120mm,高80mm.如果把它加工成矩形

零件，使矩形的一邊在上，其余兩個頂點分別在/8,/C上，且此矩形是由兩個并排放

置的正方形所組成，如圖，此時，這個矩形零件的兩邊長分別為多少毫米？

試卷第7頁，共14頁

20.如圖，在銳角三角形23C中，CE上4B于點E,點、D在邊4c上,連接AD交CE于點

F,且ABEFs^CDF.

⑴求證：BDVAC,

⑵求證：A/EC

(3)連接力尸，已知E尸：8E=3:5,求NGBC.

【變式2】

21.【感知】如圖①，在中，N/C8=90o,CD，N8于點。.寫出圖中與A/CD相

似的三角形，并用相似符號連接.

【探究】如圖②，在△ABC中，點、D為邊AB上一點、,連接CD.

若NACD=NB,求證：AC2=AD-AB.

【應用】如圖③，在ZU8C中，CD是邊43的中線.若NACD=NB,BC=2,則。的長為

一、單選題

22.四邊形/BCD的兩條對角線相交于點。，下列條件中，不一定能推得△408與△CO。

相似的是()

A.NDAC=NDBCB.ZBAC=ZACD

OA_OBOAOD

'~OD~~OC'OC~~OB

23.如圖，已知N1=N2,那么添加下列一個條件后，仍無法判定△4BC-△/￡)￡的是

試卷第8頁，共14頁

()

A

ACBC

B.-

AEDE

cABAC

（'-----=-----

'ADAE

24.下列命題中不一定成立的是（）

A.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似

B.有一個角是110。的兩個等腰三角形相似

C.兩邊對應成比例且有一個角相等的兩個三角形相似

D.兩個等腰直角三角形相似

25.已知在△48C中，=78。,/3=4,4。=6,下列陰影部分的三角形與原△/8C不相似

的是（）

試卷第9頁，共14頁

C.3個D.4個

28.已知四邊形4BCD為正方形，點E是邊4D上一點，連接3E,過點C作C尸，2E于點

FD

F,連接4尸.若AF=GBF,則*的值為（）

29.如圖，正方形內接于A/8C,點M、N在BC上，點P、。分別在ZC和4B邊上,

且8C上的高么。=3,BC=6,則正方形MNP。的周長為（）

A.2B.6C.8D.12

30.如圖，在△NBC中，4B=8cm,5C=16cm,動點尸從點A開始沿邊運動，速度為

2cm/s,動點。從點B開始沿2c邊運動，速度為4cm/s.如果P、。兩動點同時運動，那

么經過（）秒時與△ASC相似.

C.1.25或2D.1.25

31.圖1是裝滿紅酒的高腳杯示意圖，裝酒的杯體可看作一個三角形，液面寬度為6cm,其

它數據如圖所示，喝掉一部分后的數據如圖2所示，此時液面寬度為（）cm.

試卷第10頁，共14頁

7cm

T1▼

A.1B.2C.3D.4

32.如圖，ANC。的三個頂點均在1x4的網格的格點上，現任選三個格點，組成一個格點三

角形與A/CD相似（不全等），則這個格點三角形可以是（寫出一個即可）.

AJIHG

RC'EF

33.將一張矩形紙片如圖所示，點N在邊CD上，現將矩形折疊，折痕為8N,點A

對應的點記為點若點M恰好落在邊8上，則圖中與AM）〃一定相似的三角形

是

8

34.如圖，在△/2C中，點。，E分別在邊48,4c上.添加一個條件使A/DESA/CB,

則這個條件可以是..（寫出一種情況即可）

D、E分別為邊/8、NC上的一點，AC=3AD,

4B=3AE,點產為8C邊上一點，添加一個條件使△ED2與△/￡>￡相似，則添加的一個條

件是

試卷第11頁，共14頁

A

DA

￡

5Z---Lc

36.如圖，在直角梯形48c。中，BC1AB,BD1AD,CD//AB,且BD=5,CD=2那么

下底的長是

37.如圖，在RtZ\48C中，NNC8=90。，點。是中點，連接C”點￡是8。中點，過

點E作EFL/C于點尸，斯交CD于點G.若EG=2亞,HOFG=.

38.如圖，將矩形4BC。沿對角線8。折疊，點C的對應點為點。，連接NC',C'D交AB

25

于點E.若DE=下,BD=1Q,則的長為,△4。。'的面積為.

39.如圖，點E為△48C中NC邊上一點，且4E=g￡C,連接BE,交ZUBC的中線于

F,若BF=3,則E尸的長為

三、解答題

試卷第12頁，共14頁

40.如圖，在△NBC中，44c8=90。，。為邊4B上一點，且CD=C4,過點。作

DE1AB.交BC于點、E.求證：ACDEsACBD.

41.如圖，已知等腰ZUBC和等腰△4DE有公共的頂點A,且/8=/C,AD=AE,

/E/C=/D4B,點E恰好落在邊3c上(與B、C不重合)，連接AD.

⑴求證：BD=CE；

(2)若N8與。E相交于點尸，求證：KAESABEF.

42.平行四邊形48CD中，過N作4EL3C,垂足為E,連DE、尸為線段。E上一點，且

Zl=Z5.求證：AADFs^DEC.

43.圖①、圖②、圖③均是4x4的正方形網格，每個小正方形的邊長為1,每個小正方形

的頂點叫格點.△NBC的頂點均在格點上.只用無刻度的直尺，在給定的網格中，分別按下

列要求畫圖，保留作圖痕跡.

圖①圖②圖③

(1)在圖①中，分別在邊/8、NC上畫點￡＞、E,連接。E,使△/m"△/Be,且

試卷第13頁，共14頁

AD_3

AB-4,

BF2

(2)在圖②中，分別在邊5C、43上畫點方、G,連接尸G,使△BFGS^BC4,且0=彳.

BC3

(3)在圖③中，分別在邊48、2c上畫點M、N,連接MN,使48九Ws△印C,且器=2.

AJD2

44.如圖，△4BC中，〃為NC邊的中點，E為48上一點，且=連接EM并延

4

長交8c的延長線于，求證：BC=2CD.

45.已知：如圖，在△ZBC中，點。，點E分別是邊/C、48上的點，EC和8。相交于點

DF?AF

O,且ZABD=NACE,連接。E,若若=：,求差的值.

BC3AC

試卷第14頁，共14頁

1.(1)6；

(2)見解析；

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，主要利用了平行于三角

形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似，掌握相

似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.

根據平行四邊形的對邊平行，再根據平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)

相交，所構成的三角形與原三角形相似找出相似三角形即可得解.

【詳解】(1)解：???四邊形/BCD是平行四邊形，

AB//CD,

則AAEGSADCGQBEFSADCFQBADSADCB,

■.-BC//AD,

則ABCFSADGFQBCESAAGEQBCES?GC,

綜上所述，共有6對相似三角形；

(2)證明：???四邊形是平行四邊形，

.-.AD//BC,AB//CD,

,GFDFCFDF

"~CF~~BF，~EF~^F'

,GFCF

^CF2=GF-EF.

2.證明見解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，三角形內角和定理，先由平角的定義和三角形

內角和定理證明ZAFM=NBMG,再根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似即可證明

AAMF^ABGM.

【詳解】證明：,：NDME=NA=NB,Z.DME+ZAMF+ZBMG=180。，//+AAMF+ZAFM=180°,

ZAFM=ZBMG,

:.AAMFS^BGM.

3.見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定，旋轉的性質，熟練掌握相似三角形的判定定理，旋

轉的性質是解題的關鍵.

答案第1頁，共28頁

由旋轉性質可得：AB=MB,BC=BN,/ABC=/MBN,進而可得一=—,

BCBN

AABM=ZCBN,由此根據相似三角形的判定定理即可證明AABM^CBN.

【詳解】證明：???將”SC繞點2逆時針旋轉得到△MSN,

，由旋轉性質，得4B=MB,BC=BN,4ABe=NMBN,

.ABMB

一麗一曲‘

AABC=ZMBN,

NABC+ZABN=NMBN+NABN,

即NABM=ZCBN,

:.^ABM“4cBN.

4.見解析

【分析】直接在線段N2(或它的延長線)上截取40=4?,過點。作。E〃8C,交NC

于點￡,得出A4DEsA4BC,再證明A/OEgA/'8'C'(SSS),進而得出答案.

此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定，正確得出

AADE^A'B'C'(SSS)是解題關鍵.

【詳解】證明：在線段43(或它的延長線)上截取B',過點。作DE〃臺C,交AC

于點￡,

:A/\

BCB'C'

■.■DE//BC,

.-.AADE^AABC,

ABBCAC

"7D~DE~7Ef

又必_=gQ=/￡,N。=N?,

AEBCAC

BC_BCAC_AC

"DE-B'C'AE~A'C''

答案第2頁，共28頁

.■.DE=B'C',AE=A'C,

在△/￡)￡和中

AD=A'B'

DE=B'C',

AE=C'A'

.-.AADE^A'B'C'(SSS),

:.LABC.

5.見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定定理和勾股

定理是解題的關鍵.根據勾股定理和相似三角形的判定定理即可得到結論.

【詳解】證明：AB=3,AC=Vl2+22=V5>BC=Vl2+12=41>DE=A/32+32=372>

EF=2,DF=A/32+12=V10-

.AB_42AC正_V2BC_42

DE2DFW2EF2

.ABACBC

.?△ABCs/\DEF.

6.9

【分析】題主要考查相似三角形的性質，根據相似三角形的性質列出比例式是關鍵.根據相

似三角形的性質，列出比例式，即可求解.

【詳解】解：???△ZOESA45C,

ADDE

,?下一茄’

???AD=4,DB=8,DE=3,

*，?AB-AD+BD=12,

4_3

??記一嬴'

解得：BC=9.

7.(1)見解析

⑵18

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質.

答案第3頁，共28頁

(1)對頂角相等，結合乙4=/。，即可得出△/OBSA。。。；

(2)根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，求解即可.

【詳解】(1)證明：???//=/￡>,又NAOB=NDOC,

△AOBsADOC；

⑵「△/。8s△DOC,

S.AOB_AO2

2

Snnr~DO'

5052

v

u^DOC

解得邑。oc=18.

所以△DOC的面積為18.

8.見解析

【分析】題目主要考查相似三角形的判定，根據平行線的性質得出//￡>￡=N2,再由公共

角即可判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題關鍵.

【詳解】證明：???OE〃2C,

???ZADE=ZB,

ZA=ZA,

/\ABC?Z\ADE.

9.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關

鍵.

(1)證NFCG=NBEG=90。，結合NCGF=NEGB,則結論得證；

(2)證明ACGEs△尸GB即可;

【詳解】(1)證明：???N/C8=90。，EFlBE,

ZFCG=ZBEG=90°,

又???ZCGF=ZEGB,

/\CFGs/\EBG；

CG_FG

(2)

答案第4頁，共28頁

CGEG

"~FG~~BG'

又；NCGE=ZFGB,

:.ACGEsAFGB,

NCEG=NFBG,

即ZCEF=ZCBF.

10.見解析

【分析】此題考查了相似三角形的判定，平行四邊形的判定與性質，首先證明四邊形2CAE

為平行四邊形，從而得到ED〃BC,于是得到NEDB=,又因為NDME=NBMF,

從而可證明AEDMs^FBM.

【詳解】證明：???/8=2CD,￡是AB的中點，

：.DC=EB,

又?:AB//CD,

.??四邊形2CAE為平行四邊形，

.-.ED//BC,

■■■ZEDB=ZFBM,

又???ZDME=NBMF,

AEDMsAFBM.

11.(1)135

⑵AABCs^DEF,理由見解析

(3)2

【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質.

(1)先求出NMBC=45。，即可解答；

(2)先得出/D斯=135。，再得出照=g=0,即可求證；

(3)分別求出“BC與SEF的面積，即可解答.

【詳解】(1)解：BM=CM,ZM=90°,

ZMBC=45°,

=180°-45°=135°,

故答案為：135.

答案第5頁，共28頁

（2）證明：由（1）同理可得/ME=135。,

???AB=2,BC=V22+22=20DE=Vl2+12=?EF=2,

器嚕3

又?：NDEF=NABC=135°

???/\ABCs/\DEF；

(3)解：?.?S?Bc=gx2x2=2,Sg7=gx2xl=l,

,?,2Q4BC?,JQ^DEF一=4??

12.D

【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.根

據相似三角形的判定：①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似;

②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果

兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似，逐項判斷即可.

【詳解】解：?.?/1=N2,

Zl+ACAD=Z2+ACAD,

即ZCAB=ZEAD,

若添力口NC=/E,可證明△ABC故A選項不符合題意；

若添力口N8=N4DE,可證明△48C“△/￡）后,故B選項不符合題意；

AHAr

若添加F=F，可證明△/BC?故C選項不符合題意；

ADAE

若添加空=繪，不能證明故D選項符合題意；

ADDE

故選：D.

13.ZB=ZD（答案不唯一）；證明見解析

【分析】本題考查了三角形相似，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

根據題意，得到兩個三角形有個對頂角，根據相似三角形的判定方法，添加條件即可.

答案第6頁，共28頁

【詳解】NB=ND(答案不唯一)

證明：???點DE分別是34。延長線上的點，

ZDAE=ABAC,

當=時，

根據兩個角對應相等的兩個三角形相似，可得：△ABC”△/￡)￡；

當/C=/￡時，

???根據兩個角對應相等的兩個三角形相似，可得："BCs2DE；

當時，

???根據兩直線平行內錯角相等可得：NB=ND,

???根據兩個角對應相等的兩個三角形相似，可得：△42C-

ARAT

14.不相似，可添力口=或NC=NC或F=F(答案不唯一).

ABAC

【詳解】本題考查了相似三角形的判定，根據“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”,

或“兩角對應相等，兩三角形相似”即可得出答案，熟練掌握相似三角形的判定定理是解此題

的關鍵.

解：不定相似，因為和//不是成比例的兩邊的夾角。

若添加ZB=NB',則可根據“兩角對應相等，兩三角形相似”得到44BCs^A'B'C；

若添加ZC=ZC,則可根據“兩角對應相等，兩三角形相似”得到A4BCs^A'B'C；

ADAT

若添加F7=F，則可根據“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”得到

ABAC

AABCs^A'B'C。

JRAT

故可添加：NB=NB'，或/C=/C'或=K(答案不唯一).

ABAC

15.(1)見解析

(2)5

【分析】本題考查相似三角形的性質和判定，

(1)已知=NBAD=NCAB,根據兩組對應角相等的三角形相似證明結論；

(2)利用相似三角形對應邊成比例先求出/C的長，再算出CD的長.

【詳解】(1)解：=,NBAD=NC4B,

AABD^^ACB；

(2)?；AABDS"CB,

答案第7頁，共28頁

ABAD

,?刀一下'

64

解得力C=9,

ACo

：,CD=AC-AD=9-4=5.

1013

16.CE一或CE=一.

35

【分析】本題考查了相似三角形的性質.由題意知，令AADEs^ABC,AAED^AABC

兩種情況求解即可.

【詳解】解：由題意知，分AADEs^ABC,m兩種情況求解;

當△4OESA43C時，吟岑,即這=工，

ACAB56

解得,AE=^,

「510

/.CE=5—=——；

33

、1,A4EAD口口AE2

當△/￡Z)sA445C時，,二一,即一=-,

ABAC65

12

解得，AE=—.

clu1213

CE=5---=—；

55

1013

綜上所述，CE=yCE=《.

17.(1)見解析

⑵1：4

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質：

(1)根據三組對應邊對應成比例的兩個三角形相似，即可得證；

(2)根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，進行求解即可.

答案第8頁，共28頁

【詳解】⑴解：=5,BC=6,AC=1,=B'C=U,HC'=14,

ABBCAC1

A'C'~2

■■■AABCsdA'B'C'；

(2),

S.AECVA'B'J4

18.（1）8C=?

⑵S△皿=y-

【分析】本題考查了相似三角形的性質與判定，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

（1）先由DE〃8c證明AADES4ABC,因為空=］得出空=：,再代入數值到空=段，

DB2AD3ABBC

進行計算，即可作答.

（2）根據相似三角形的面積比等于相似比的平方得出沁=（：）=?,因為SMBC=10，

八/麗

所以S△皿=1?8，再整理出S—=A萬E=而AD=不3，把代入18進行計算，即可作答.

5-DECHBDZ5

【詳解】(1)W：-DE//BC,

???NADE=/ABC,ZAED=NACB,

AADES^ABC,

ADDE

ABBC

AD_3

DB~2

.?.AB=AD+BD=-AD,

3

5_4

3-5C

（2）解：如圖：過點。作

答案第9頁，共28頁

A

?-%BC=10，

■.■SAADE=^AExDH,S^CDE=^CEXDH,DE//BC,券=(

S/\ADE_4E_4。_3

^~S^~CE~~BD~29

19.矩形零件的兩條邊長分別為mm,—mm

77

【分析】本題考查了相似三角形的應用，根據相似三角形對應高的比等于對應邊的比列式是

解題的關鍵.由于矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，則可設尸。=＞皿，則

PN=2ymm,易證由相似三角形的性質解答即可.

【詳解】解：設矩形的邊長尸。=ymm,則PN=2〉mm,

???四邊形PQMN是矩形，

??.PN//BC,

???/\APNs/\4BC,

PN_AE

,,瓦一茄’

2y_80-y

一詢一80，

答案第10頁，共28頁

??.7W=竽x2=—(1nm).

240480

，這個矩形零件的兩條邊長分別為〒mm,-mm.

20.(1)證明見解析;

⑵證明見解析;

(3)3:5

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形對應邊成比例是解題關鍵.

(1)證明45防尸，得至=尸=90。，即可證明結論；

(2)由方可得，即可證明相似；

4斤FF

(3)根據相似三角形的性質，證明△/跖得到力=",即可求解.

BCBE

【詳解】(1)證明：

ZBEF=ZCDF,

?/CELAB,

/BEF=90。，

ZCDF=90°,

/.BDLAC；

(2)證明：尸，

NEBF=/DCF,

-CE1AB,

ZBEF=ZAEC=90°f

:AAECs八FEB；

(3)解：由(2)得力ECSAFEB,

.AEEC

…定一詬’

.AEEF

…而一耘’

ZAEF=ZCEB=90°,

AAEFsLCEB,

.AFEF

,?法一茄’

???EF:BE=3:5

AF,BC=3:5.

答案第11頁，共28頁

21.(1)AACDSAABC,AACDSACBD(2)見解析(3)也

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質：

(1)根據兩組對應角相等的兩個三角形相似，進行判斷即可；

證明SBC即可得證；

(2)△/CZ)A4,

(3)延長CD至點E,使CQ=QE,連接證明△/￡>￡也△ADC,得到

AE=BC=2,AB=NEAD,再證明A￡4DSA￡C/,列出比例式進行求解即可.

【詳解】解：(1)■-ZACB=90°,CD1AB,

ZADC=ZCDB=NACB=90°,

ZCAD=ZCAB,

:A4CDs4ABC,

■■ZA=ZBCD=90°-ZB,ZADC=ZCDB=90°,

:.△ACDs^CBD；

(2)■■-ZACD=ZB,

:.△4CDS/\4BC,

ACAD

"商一W

■■AC2=AD-AB■,

(3)延長CO至點E,使CD=DE,連接

???CD為邊AB的中線

???AD=BD,

又?：NCDB=ZADE,

ACDB知EDA,

AE=BC=2,/EAD=/B,

,,"ACD=/B,

：,/ACD=/EAD,

答案第12頁，共28頁

???NE=NE,

AEADS小ECA,

AEDE

**CE

■■AE2=CE-DE,

CD=DE,

■■■AE2=2CDCD,

:.CD=4i.

故答案為：^2.

22.D

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關

鍵.根據相似三角形的判定方法逐項分析判斷即可.

【詳解】解：A.ADAC=ZDBC,

；.NAOD=ZBOC,

小AODs小BOC,

AOOD

,?茄一發’

AO_BO

''~OD~~OC'

又??"AOB=/COD,

MAOBS￡OD,故選項A不符合題意；

B.vZBAC=ZACD,ZAOB=ZCOD,

MAOBSKOD,故選項B不符合題意；

OAOB

C.-ZAOB=ZCOD,—=——,

ODOC

."OBSKOD,故選項C不符合題意；

D.條件NAOB=NCOD,段=黑，無法證明A/OBSACO。，故選項D符合題意.

(JC(JD

故選：D.

23.B

【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.

根據相似三角形的判定：①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相

似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③

答案第13頁，共28頁

如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似，逐項判斷即可解答.

【詳解】解：?.?N1=N2,

Zl+ACAD=Z2+ACAD,

ABAC=NDAE,

A、根據/B=ZADE,ZBAC=ZDAE,由兩個三角形的兩個對應角相等可得

△4BCs"DE,故A不符合題意；

B、不符合兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，無法判定

故B符合題意；

JRAC

C、根據=,由兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等可

ADAE

得△4BCsA4DE,故C不符合題意；

D、根據/C=/￡,NBAC=NDAE,由兩個三角形的兩個對應角相等可得

△48C故D不符合題意；

故選：B.

24.C

【分析】此題主要考查了相似三角形的判定.根據相似三角形的判定進行逐項判斷即可.

【詳解】解：A,斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似，故選項正確，不符

合題意；

B,有一個角是110。的兩個等腰三角形相似，故選項正確，不符合題意；

C.兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，故選項錯誤，符合題意；

D,兩個等腰直角三角形相似，故選項正確，不符合題意；

故選：C

25.B

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解題的關鍵：有

兩組角對應相等的兩個三角形相似，兩組對應邊的成比例且夾角對應相等的兩個三角形相似.

【詳解】解：A、由有兩組角對應相等的兩個三角形相似，可證陰影部分的三角形與原△/BC

相似，故選項A不符合題意；

B、由兩組對應邊的成比例但是它們的夾角不一定相等，不可證陰影部分的三角形與原

△48。相似，故選項B符合題意；

C、由有兩組角對應相等的兩個三角形相似，可證陰影部分的三角形與原△/BC相似，故選

答案第14頁，共28頁

項C不符合題意；

D、兩邊對應成比例且它們的夾角相等，能證明陰影部分的三角形與原△N8C相似，故選項

D不符合題意；

故選：B.

26.D

【分析】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵;

因此此題可根據相似三角形的判定定理進行求解.

【詳解】解：由格點圖可知：AB=6.,BC=26.,AC=屈,則有:

A、『嗎,所以該兩個三角形不相似；

23

B、義坐，所以該兩個三角形不相似；

<5<5

余，宗所以該兩個三角形不相似;

C、

V2_2/_廂

D、三邊對應成比例，所以該兩個三角形相似;

24-2石

故選D.

27.C

【分析】本題考查了相似三角形的判定：兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應

相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似.解題的關鍵是熟練掌握相似

三角形的判定.△NBC和A/CD有公共角NN,然后根據相似三角形的判定方法對各個條件

進行判斷，從而得到答案.

【詳解】解：ZDAC=ZCAB,

.?.當//CD=或ZACB=ZADC,可根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似可判斷

△ABCSAACD,故①正確，④正確；

當NC?時，可根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可判斷

“BCs"CD,故②正確；

當票=嚶時，雖=但不是其對應的夾角，所以A/CZ?與△4BC不相似，故

③不正確.

因此有3個正確.

答案第15頁，共28頁

故選：c.

28.B

【分析】在CF上截取C"=8/，利用正方形的性質和直角三角形的性質證明

△BCH咨“BF（SAS）,由全等三角形的性質得出/尸=8〃，結合已知條件設3萬=1,貝|

BH=亞,利用勾股定理分別求出F4和2C,再證明AE48sA瓦7。，由相似三角形的性質

求出瓦4,進而求出研?,最后和CF相比即可得出答案.

【詳解】解：在CF上截取C〃=5尸，如下圖：

???四邊形48C。為正方形，

AB=BC,ZDAB=ZABC=90°,

；.NABF+NFBC=90°,

■■■CF1BE,

ZBFC=90°,

■.ZFBC+ZBCF=90°,

：.ZABF=NBCF,

又?；AB=BC,CH=BF,

.?.△BCH知ABF(SAS),

???AF=BH,

AF=垃BF,

:?BH=?BF,

設2斤=1,貝1]3〃=血，

在RtABFH中，

FH=ylBH2-BF2=1>

又CH=BF=\,

:.CF=CH+FH=2,

答案第16頁，共28頁

在RtZkBRC中，

BC=yjBF2+CF2=y/5，

???AB=BC=45,

ZABF=ZBCF,ZEAB=ZBFC=90°,

???AEABS^BFC,

EAAB

??茄一記’

EA=—，

2

又AD=BC=5

■■DE=AD-AE=4S~^-=—