難點(diǎn)10相似三角形的?？碱}型

（9大熱考題型）

麴型盤點(diǎn)G

題型一：比例的性質(zhì)

題型二：黃金分割

題型三：相似多邊形的性質(zhì)

題型四：平行線分線段成比例定理

題型五：相似三角形的判定

題型六：相似三角形的性質(zhì)

題型七：相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合

題型八：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

題型九：圖形位似

.睛淮提分

題型一：比例的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?四川成都?中考真題）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別.從盒中隨

Qx

機(jī)取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是則一的值為.

【變式1-1］（2023?甘肅武威?中考真題）若W=則必=（）

2b

32

A.6B.—C.1D.一

23

【變式1-2］（2023?浙江?中考真題）小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級(jí)上冊(cè)“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是

一個(gè)逐步特殊化的過程，請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程.圖中橫線處應(yīng)填：_

當(dāng)%=尸時(shí)當(dāng)@=▲時(shí)

ay6—a_babI-

=b=c^

xcb~c----------------

比例線段出現(xiàn)比例中項(xiàng)線段出現(xiàn)特殊線段比

YX—V

【變式1-3］（2023?四川甘孜?中考真題）若一=2,則一=.

【中考模擬即學(xué)即練】

77+/7h+c/7+r

1.（2024.安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè)）已知。兒片0,M—=—=^=Z:,那么上的值是（）

cab

A.2B,-1C.2或0D.2或-1

2.（2024?浙江寧波?二模）已知3a=2b（abM）,則下列比例式正確的是（）

.a2巨abb2a_2

3b32a3b3

nhc

3.（2024?廣東深圳?一模）已知？=9=上。0,且a+b—2。=6,那么人=_________

654

4.（2025?上海閔行?一模）如果/=那么烏的值為_____.

b2a-b

5.（2。24?江西九江?模擬預(yù)測(cè)）已知a=b［c丁則3x+五2y—z"（其中3—y+z皿的值是----------

題型二：黃金分割

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023?四川達(dá)州?中考真題）如圖，樂器的一根弦?guī)?80cm,兩個(gè)端點(diǎn)A,8固定在樂器面板上,

支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，即AC2=ARBC,支撐點(diǎn)。是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則兩個(gè)支撐

點(diǎn)C,。之間的距離cm.（結(jié)果保留根號(hào)）

【變式2-1】（2024.山西?中考真題）黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律.借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢

字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀.已知一條分割線的端點(diǎn)A,B分別在習(xí)字格的邊尸。上，且“晉”

字的筆畫“、”的位置在的黃金分割點(diǎn)C處，且"1二1,若NP=2cm,則BC的長(zhǎng)為cm（結(jié)

AB2

果保留根號(hào)）.

【變式2-2］（2022?陜西?中考真題）在20世紀(jì)70年代，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種

“優(yōu)選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果.如圖，利用黃金分割法，所做即將矩形窗框ABCD分為

上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點(diǎn)，即BE2=A?AB.已知AB為2米,則線段班的長(zhǎng)為米.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）大自然是美的設(shè)計(jì)師，校園里一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”的美.如圖,

點(diǎn)P是A8的黃金分割點(diǎn)，即絲=避二1,且二1這個(gè)無理數(shù)約是（）

A.0.505B.0.618C.0.707D.0.828

2.（2024.安徽合肥.三模）古箏是一種彈撥弦鳴樂器，又名漢箏、秦箏，是漢民族古老的民族樂器，流行于

中國(guó)各地.若古箏上有一根弦=90cm,支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)A的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，則8C=（）

A.（4575+45）cmB.（906-45卜111

C.（45君-45kmD.（135-45石卜m

3.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與

較大部分的比值，其比值為避二L這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割.如圖，

2

樂器上的一根弦長(zhǎng)AB=80cm,兩個(gè)端點(diǎn)A,8固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)8的黃金分割點(diǎn)，支

撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C,。之間的距離為cm.（結(jié)果保留根號(hào)）

4.（2024?江蘇蘇州?一模）如圖，將。。的圓周分成五等份，依次隔一個(gè)分點(diǎn)相連，即成一個(gè)正五角星形.此

時(shí)點(diǎn)M是線段Aft班的黃金分割點(diǎn)，也是線段NE,AH的黃金分割點(diǎn)，則M黑N=.

A

5.（2024.福建廈門?模擬預(yù)測(cè)）活動(dòng)一：某數(shù)學(xué)興趣小組在研究“黃金比例與黃金矩形”，閱讀課本時(shí)發(fā)現(xiàn)可

以通過折疊得到黃金矩形.請(qǐng)根據(jù)每一步的操作完成以下填空.（假設(shè)原矩形紙片的寬“N為2cm）

如圖，已知線段。，請(qǐng)你根據(jù)以下步驟作出以2a為腰長(zhǎng)的黃金三角形，AEC'.（要求：尺規(guī)作圖，保留作

圖痕跡，不寫作法）

a

步驟一：作一條線段G8,使得G/f的長(zhǎng)度等于'AB'C的腰長(zhǎng);

步驟二：作一條線段P。，使得P。的長(zhǎng)度等于,AB'C'的底邊長(zhǎng)；

步驟三：作黃金三角形A'B'C.

6.（2024.江蘇鹽城.二模）【教材呈現(xiàn)】蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)課本尸52第2題

如圖1,點(diǎn)尸是線段的黃金分割點(diǎn)，且上4＞尸3,M表示以上4為一邊的正方形的面積，S?表示以A8為

長(zhǎng)、尸2為寬的矩形的面積，請(qǐng)根據(jù)教材內(nèi)容，嘗試解決以下兩個(gè)問題：

（1）若AB=10,貝U上4=_（結(jié)果保留根號(hào)）；

(填“<”或"=").

(2)SIS2

【初步探究】

（3）將圖1補(bǔ)成矩形DEGb,如圖2,小明猜想點(diǎn)尸在矩形DEG/的對(duì)角線DG上，請(qǐng)幫助小明判斷其猜

想是否正確,并說明理由.

【深入探究】

（4）如圖3,已知線段為，。的弦，請(qǐng)利用無刻度直尺和圓規(guī)，在線段上作一點(diǎn)尸，在圓上作一點(diǎn)

使得受氏以

Q.（不寫作法，保留作圖痕跡）

2

DHE

§

B

BP

PA

FI

圖1圖2

DHE

\P

B

F1

題型三：相似多邊形的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2022?廣西梧州?中考真題）如圖，以點(diǎn)。為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形AB'C'D,已

0A1

知行二不，若四邊形A3co的面積是2,則四邊形AZ'C力的面積是（）

0A3

A.4B.6C.16D.18

【變式3-1］（2023?山東?中考真題）如圖，四邊形ABC。是一張矩形紙片.將其按如圖所示的方式折疊：使

D4邊落在DC邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)〃處，折痕為OE；使CB邊落在CO邊上，點(diǎn)3落在點(diǎn)G處，折痕為CP.若

矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD=1,則CO的長(zhǎng)為（）

DHGC

AEFB

A.72-1B.75-1C.V2+1D.75+1

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）如圖.ABC。與YAEFG關(guān)于點(diǎn)A成位似圖形，若他們的位似比為2:3,則

A.4:9B.1:9C.2:3D.1:3

2.（2023?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）如圖，裝裱一幅寬45cm、長(zhǎng)60cm的矩形畫，要使裝裱完成后的大矩形與原

矩形畫相似，裝裱上去的上下部分寬都為12cm,若裝裱上去的左右部分的寬都為xcm（x<20）,則了=（）

—45f

A.9B.12C.16D.18

3.（2024?重慶渝北?模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)習(xí)慣上對(duì)開本的命名是以幾何級(jí)數(shù)來命名的，全張紙對(duì)折后的大小為對(duì)

開，再對(duì)折為4開紙，再對(duì)折為8開紙，再對(duì)折為16開紙，以此類推，如圖，全張矩形紙ABCD沿跖對(duì)

4/?

開后，再把矩形紙口b沿S對(duì)開，依此類推.若各種開本的矩形都相似，那么而等于（）

A.0.618B.—C.JiD.2

2

4.（2024.浙江寧波?一模）如圖，點(diǎn)。為四邊形ABC。內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)0A08,OC,OD,若

Q/VCR'cr'i

￡=*=先=、=:，則四邊形AB'C'D的面積與四邊形ABCD的面積比為（）

OAOBOCOD4

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

5.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知「ABC。中，點(diǎn)E,F,G,H分別為AB,CD,AD,BC上

的點(diǎn)，且所〃3C,GH//AB,G8分別與所，B尸相交于點(diǎn)M,N,若，AEMG^EBCF,則會(huì)加的

面積一定可以表示為（）

B.-(SEBHN-SGMFD)

2V

C.5(SABHG~GHCD)D.-(SSAEMG)

2VEBHN

6.（2023?海南?？?模擬預(yù)測(cè)）有一張矩形紙片ABCO（4?<BC）,M、N分別是AD,5c的中點(diǎn)，現(xiàn)沿線

段MV將矩形紙片一分為二，如果所得的兩張矩形紙片與原來的矩形紙片相似，那么AB4C的值為

題型四：平行線分線段成比例定理

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?山東濟(jì)南?中考真題）如圖，在正方形ASCD中，分別以點(diǎn)A和8為圓心，以大于［AB的

2

長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和下，作直線所，再以點(diǎn)A為圓心，以AD的長(zhǎng)為半徑作弧交直線功于

點(diǎn)G（點(diǎn)G在正方形A2CD內(nèi)部），連接DG并延長(zhǎng)交3C于點(diǎn)K.若5K=2,則正方形ABC。的邊長(zhǎng)為（）

C3+y[5

D.6+1

,2

【變式4-1］（2024?山東?中考真題）如圖，點(diǎn)E為.ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AC=5,CE=1,連接DE

并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得EF=DE,連接BF,則跳'為（）

【變式4-2］（2024.吉林長(zhǎng)春.中考真題）如圖，在VABC中，。是邊A3的中點(diǎn).按下列要求作圖:

①以點(diǎn)8為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段8。于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)、E；

②以點(diǎn)。為圓心、BD長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)尸;

③以點(diǎn)尸為圓心、DE長(zhǎng)為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)G,點(diǎn)G與點(diǎn)C在直線A8同側(cè);

④作直線OG,交AC于點(diǎn)Af.下列結(jié)論不一定成立的是（）

B.ZOMC+ZC=180

D.OM=-AB

2

【變式4-3］（2024?重慶?中考真題）如圖，在VABC中，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)O,使CZ）=C4,過點(diǎn)。作。比〃CB,

S.DE=DC,連接AE交2C于點(diǎn)F.若NC4B=NCE4,CF=1,則3/=

【變式4-4］（2023?湖南益陽(yáng)?中考真題）如圖，在ABCD中，AB=6,AD=4,以A為圓心，的長(zhǎng)為

半徑畫弧交于點(diǎn)E,連接OE,分別以DE為圓心，以大于:。E的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，作

射線AF,交。E于點(diǎn)過點(diǎn)“作交3c于點(diǎn)N.則的長(zhǎng)為.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?浙江寧波?二模）如圖，已知直線a//b//c,直線m分別交直線。b,c于點(diǎn)AB,C,直線〃

Afi3

分別交直線a,b,c于點(diǎn)、D,E,F,若—DF=22，則所=（）

BCo

A.6B.16C.18D.20

2.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在VABC中，。為BC邊上一點(diǎn)，且AD平分NR4C,若AB=5,AC=4,

則△ABD與，ACD的面積比為（）

3.（2024.湖南.二模）如圖，在VA3C中，D,E分別為邊AB,AC上的點(diǎn)，且DE〃臺(tái)C,若

AD=2,BD=6,AE=1,則AC的長(zhǎng)為

4.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABC。中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，且3C=OC.點(diǎn)

E為08的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作OC的平行線，交BC于點(diǎn)足在砂的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G,使得FG=EF.連接

EC,BG,CG.

（1）求證：四邊形ECGB是矩形；

⑵若BD=12,EG=5,求AB的長(zhǎng).

5.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD,點(diǎn)尸是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重合）,

點(diǎn)E在。尸上，滿足AE=AB,延長(zhǎng)助交CD于點(diǎn)

⑴求證：/BED=135°；

（2）連接CE,當(dāng)CELB尸時(shí)，求”的值.

題型五：相似三角形的判定

【中考母題學(xué)方法】

【典例11（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，點(diǎn)E,尸分別在正方形A28的邊2C,CD±,BE=3,EC=6,

CF=2.求證：八ABEs八ECF.

【變式5-1］（2023?黑龍江大慶?中考真題）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展

數(shù)學(xué)活動(dòng).有一張矩形紙片ABC。如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

記為點(diǎn)若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與JWW一定相似的三角形是.

【變式5-2］（2022?江蘇鹽城?中考真題）如圖，在VABC與A'3'C'中，點(diǎn)。、以分別在邊BC、9C'上,

D7~\AR/VA'

且△ACDS^ACD,若,則△ABD-AVgcr請(qǐng)從①篙=然；②言二緇；③

44。=々幺'。'這三個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號(hào)），并加以證明.

【變式5-3］（2022?山東荷澤?中考真題）如圖，在用ABC中，NABC=90。，E是邊AC上一點(diǎn)，且郎=3C,

過點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，求證：AADESAABC.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?黑龍江綏化?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P在VA3C的邊AC上，要判斷「ABPS.ACB,添加一個(gè)條件,

下列不正確的是（）

B

APAB口"=世

A.ZABP=NCB.ZAPB^ZABC=

ABAC'BPCB

2.（2024?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖,AO與BC相交于點(diǎn)O,要使VA03與△DOC相似，可添加的一個(gè)條

件是（）

A.ZA=ZDB.ZA=ZfiC.ZC=ZDD.ZAOB=NDOC

3.（2023?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）如圖,AfiC中，D、E分別是48、AC的點(diǎn)，要使,.45歷-力?，需添加

一個(gè)條件是.（只要寫一個(gè)條件）

由-A是公共角，根據(jù)相似三角形的判定方法，即可得要使，ADEs,ACS,可添加：NADE=NACB或

4DAF

NAED=ZABC或把=把等.

ACAB

此題考查了相似三角形的判定.此題屬于開放題，答案不唯一.注意掌握兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)

相等的兩個(gè)三角形相似與有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解此題的關(guān)鍵.

解:NA是公共角，

AnAP

要使ADEsACB,可添加：NADE=NACB或Z4￡D=NABC或一=—等.

ACAB

AnAr

故答案為：如史=NACB或NAED=NABC或嘿=弓!等（此題答案不唯一）.

ACAB

4.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，將VABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AWSN,連接MA,CN.求證：.ABM

s4CBN.

A/

5.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知VA2C,NB>NC,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC邊上作一點(diǎn)尸，使得

ABPsACB.（保留作圖痕跡，不寫作法）

6.（2024.北京.模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形A2CD為正方形，DEVEF,FG±AB.

⑴證明：AZMEs△EG尸

（2）不添加輔助線，添加一個(gè)角的條件，證明△1%￡1絲aEG產(chǎn)

題型六：相似三角形的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?重慶?中考真題）若兩個(gè)相似三角形的相似比是1:3,則這兩個(gè)相似三角形的面積比是（）

A.1:3B.1:4C.1:6D.1:9

【典例2】（2024.四川內(nèi)江.中考真題）已知VABC與△ABC相似，且相似比為1:3,則VABC與4人用G的

周長(zhǎng)比為（）

A.1:1B.1:3C.1:6D.1:9

【變式6-1］（2024?四川巴中?中考真題）如圖，是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,則OG=

KL

125A/573273

6427

【變式6-2］（2023?山東聊城?中考真題）如圖，該幾何體是由一個(gè)大圓錐截去上部的小圓錐后剩下的部分.若

該幾何體上、下兩個(gè)圓的半徑分別為1和2,原大圓錐高的剩余部分。Q為〃，則其側(cè)面展開圖的面積為

C.3也兀D.4也兀

【變式6-3］（2023?重慶?中考真題）如圖，已知ABCsEDC,AC.EC=2:3,若A3的長(zhǎng)度為6,則。E的

長(zhǎng)度為（）

C.12D.13.5

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2023?廣東陽(yáng)江?一模）已知若VA3C與,。EF的相似比為2:5,則VABC與1）EF的

面積之比為（）

A.2:5B.5:2C.25:4D.4:25

2.（2023?浙江寧波?三模）如圖。4:OD=7:5,/A=a,^B=f3,OAB^ODC,△Q43與-OCD的面

積分別是就和$2，△OAB與.QCD的周長(zhǎng)分別是C1和G，則一定成立的等式是（）

B

OB7

CD5

3.（2024.上海楊浦.一模）如圖，在VABC中，點(diǎn)G是重心，過點(diǎn)G作GO〃5C,交邊AC于點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)3G,

如果ABC=36'那么S四邊形BGDC=?

--------------<

4.（2024?江西.模擬預(yù)測(cè)）將一把直尺與VABC按如圖所示的方式擺放，48與直尺的一邊重合，AC,BC

分別與直尺的另一邊交于點(diǎn)。，E.若點(diǎn)A,B,D,E分別與直尺上的刻度4.5,8.5,5,7對(duì)應(yīng)，直尺

的寬為1cm,則點(diǎn)C到邊A3的距離為cm.

5.（2024?浙江寧波.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在VABC中，己知AC=4,BC=3,。是AB上一點(diǎn)，連接CO.若

AD=ZDB^BCD^aBAC,則CD的長(zhǎng)為.

（?云南?模擬預(yù)測(cè)）如圖ADEjACB,BC=5,S^:=9:16,則為

6.2024ADESWMEDDE

A

7.（2024.浙江紹興.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求作圖.

⑴在圖1中畫一個(gè)格點(diǎn)VADE,使AmEs△至c.

⑵在圖2中找一點(diǎn)F,使ZAFC=2ZABC.

題型七：相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?山東德州?中考真題）在VA3C中，AC^BC,NACB=12O。，點(diǎn)。是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)

。不與A,8重合），以點(diǎn)。為中心，將線段DC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線￡>E.

圖1圖2圖3

（D如圖1,當(dāng)NACD=15。時(shí)，求乙BDE的度數(shù)；

（2）如圖2,連接BE,當(dāng)0。<48<90。時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，/ASE的度數(shù)；

如果變化，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3,點(diǎn)加在8上，且CM:MD=3:2,以點(diǎn)C為中心，將線CM逆時(shí)針轉(zhuǎn)120。得到線段CN,連接

EN,若AC=4,求線段硒的取值范圍.

【變式7-1］（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，正方形ABCD中，AB=3,點(diǎn)E在邊的>上，DE=2AE,F是

班的中點(diǎn)，點(diǎn)X在CD邊上，NEFH=45°,則切的長(zhǎng)為（）.

A3MR375-5石門2屈

A?-------D.--------C.-----U.-------

4243

【變式7-2］（2023?四川綿陽(yáng)?中考真題）如圖，在VABC中，ZACB=90°,AC=8,將VA3C繞點(diǎn)C按逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到\B,C,滿足A耳AC,過點(diǎn)B作BEJLAC，垂足為E,連接AE,若以樹=35^^，

【變式7-3］（2024?山西?中考真題）如圖，在ABCD^,AC為對(duì)角線，AE，8c于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是AE延長(zhǎng)

線上一點(diǎn)，B.ZACF^ZCAF,線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.若AB=5AD=4,tanZABC=2,則BG的長(zhǎng)

為.

【變式7-4］（2024?山東日照?中考真題）如圖，以ABCD的頂點(diǎn)B為圓心，A3長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)

E,再分別以點(diǎn)A,E為圓心，大于gAE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，畫射線所，交AD于點(diǎn)G,交

C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

H

（1）由以上作圖可知，/I與/2的數(shù)量關(guān)系是

（2）求證：CB=CH

（3）若AB=4,AG=2GD,ZABC=GO°,求的面積.

【變式7-5］（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在矩形A3C￡＞中，A5=4,8C=8,點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn),

連結(jié)CE,以CE為邊作矩形CEFG（點(diǎn)，G在CE的同側(cè)），且CE=2EF,連結(jié)

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)SE,F在同一直線上，求成的長(zhǎng).

（2）如圖2,若/BCE=30。，設(shè)CE與跖交于點(diǎn)K.求證：BK=FK.

（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，區(qū)的長(zhǎng)是否存在最大（小）值？若存在，求出跖的最值；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在A3CD中，AC,3。相交于點(diǎn)O,將A3CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至（EOCF

的位置，點(diǎn)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在點(diǎn)。處，2,。,D,E四點(diǎn)共線.（1）已知NCOB=c,則/FCD=（用

含a的代數(shù)式表示）；（2）若BO=2,則BC的長(zhǎng)為.

2.（2025?上海普陀?一模）己知：如圖，梯形ABCD中，AD//BC,8。為對(duì)角線，BD'ADBC.

D

(1)求證：ZABD=NC；

(2)E為BC的中點(diǎn)，作NDEF=NC,EP交邊于點(diǎn)H求證：2AB-DE=BD-EF.

3.(2024?浙江寧波?二模)已知在等腰VABC中，AB=AC,E是2C的三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)8,F是AC

的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD〃AB交班延長(zhǎng)線于點(diǎn)。.

⑴求EF:DF的值；

(2)連接AE,若ZDEA=ZB,BE=2,求AE的值.

4.(2025?湖南婁底?一模)如圖1,在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不

與點(diǎn)AD重合)，連接CE,過點(diǎn)E作EF_LCE,交A3于點(diǎn)

備用圖

(2)如圖2,連接Cf,過點(diǎn)3作3GLCF,垂足為G,連接AG,點(diǎn)河是線段BC的中點(diǎn)，連接GM.

①求AG+GN的最小值;

②當(dāng)AG+GW取最小值時(shí)，求線段AF的長(zhǎng).

5.(2025?安徽?模擬預(yù)測(cè))如圖①，在四邊形ABC。中，ZABC=NDCB,E為BC上一點(diǎn),且/組〃過

點(diǎn)8作族AD交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)孔連接CP,CF=BF.

圖①圖②

(1)求證：△ADE/△FCD；

(2)如圖②，連接。B交AE于點(diǎn)G.

①若AG=DC,求證：BC平分NDBF；

②若DB〃CF,求的值.

6.(2025?廣東?模擬預(yù)測(cè))如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等

腰直角三角形ABC中，CA=CB,ZC=90°,過點(diǎn)8作射線瓦＞工鉆，垂足為B,點(diǎn)尸在CB上.

如圖②，若點(diǎn)尸在線段CB上，畫出射線巴4,并將射線以繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。與8。交于點(diǎn)E,根據(jù)題意

在圖中畫出圖形，圖中NPBE■的度數(shù)為_____度；

⑵【問題探究】

根據(jù)(1)所畫圖形，探究線段9與PE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)【拓展延伸】

如圖③，若在直角VA3C中，NA=30。，NABC=60。，點(diǎn)尸在線段CB上，將射線R4繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

與BD交于點(diǎn)E,探究線段區(qū)4,BP,8E之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

7.(2025?甘肅?模擬預(yù)測(cè))【模型建立】

(1)如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊。C,BC上，且尸，求證：DE=CF；

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,在矩形ABCD中，AB=3,8c=5,點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)跖N分別在邊AB,C。上，且鹿_LAW,

求黑BF的值；

MN

【模型遷移】

An2

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，ZE4D=90°,—=—,AB=BCAB=BC,點(diǎn)E,尸分別在邊AB,

AD3

圖3

8.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）在四邊形ABCD中,P為對(duì)角線BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PECD交

射線力。于點(diǎn)E,連接CE.過點(diǎn)尸作尸尸CE交射線DC于點(diǎn)F.

（1）如圖1,若四邊形為正方形，求證：BCF-CDE

（2）若四邊形A8CD為菱形，且加?。=。（0。＜。＜90。），連接8尸并延長(zhǎng)，交直線CE于點(diǎn)G.

①如圖2,當(dāng)G為CE中點(diǎn)，求備的值；

②如圖3,若P點(diǎn)為射線8。上一點(diǎn)，當(dāng)..CFG為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出NE尸產(chǎn)的度數(shù)（用含a的代數(shù)

式表示）.

題型八：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?四川自貢.中考真題）為測(cè)量水平操場(chǎng)上旗桿的高度，九（2）班各學(xué)習(xí)小組運(yùn)用了多種測(cè)

量方法.

圖1（利用影子）圖2（利用鏡子）圖3（利用標(biāo)桿）

（1）如圖1,小張?jiān)跍y(cè)量時(shí)發(fā)現(xiàn)，自己在操場(chǎng)上的影長(zhǎng)所恰好等于自己的身高DE.此時(shí)，小組同學(xué)測(cè)得旗

桿的影長(zhǎng)3c為11.3m,據(jù)此可得旗桿高度為m；

（2）如圖2,小李站在操場(chǎng)上E點(diǎn)處，前面水平放置鏡面C,并通過鏡面觀測(cè)到旗桿頂部A.小組同學(xué)測(cè)得小

李的眼睛距地面高度DE=L5m,小李到鏡面距離EC=2m,鏡面到旗桿的距離=16m.求旗桿高度；

（3）小王所在小組采用圖3的方法測(cè)量，結(jié)果誤差較大.在更新測(cè)量工具，優(yōu)化測(cè)量方法后，測(cè)量精度明顯

提高，研學(xué)旅行時(shí)，他們利用自制工具，成功測(cè)量了江姐故里廣場(chǎng)雕塑的高度.方法如下：

圖4（找水平線）圖5（定標(biāo)高線）圖6（測(cè)雕塑高）

如圖4,在透明的塑料軟管內(nèi)注入適量的水，利用連通器原理，保持管內(nèi)水面M,N兩點(diǎn)始終處于同一水平

線上.

如圖5,在支架上端尸處，用細(xì)線系小重物。，標(biāo)高線始終垂直于水平地面.

如圖6,在江姐故里廣場(chǎng)上E點(diǎn)處，同學(xué)們用注水管確定與雕塑底部8處于同一水平線的￡>,G兩點(diǎn)，并標(biāo)

記觀測(cè)視線與標(biāo)高線交點(diǎn)C,測(cè)得標(biāo)高CG=1.8m,DG=1.5m.將觀測(cè)點(diǎn)。后移24m到3處，采用同

樣方法，測(cè)得C'G'=1.2m,D'G'=2m.求雕塑高度（結(jié)果精確到1m）.

【變式8-1］（2024.江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，小杰從燈桿的底部點(diǎn)B處沿水平直線前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)C處,

他在燈光下的影長(zhǎng)。=3米,然后他轉(zhuǎn)身按原路返回到點(diǎn)8處，返回過程中小杰在燈光下的影長(zhǎng)可以是（）

A

DCB

A.4.5米B.4米C.3.5米D.2.5米

【變式8-21］（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）物理課上學(xué)過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性

實(shí)現(xiàn)圖像投影的方法.如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）經(jīng)小孔0在屏幕（豎直放置）上成像AE.設(shè)

AB=36cm,A8'=24cm.小孔。到AB的距離為30cm,則小孔。到AE的距離為cm.

【變式8-3］（2024?湖北?中考真題）小明為了測(cè)量樹的高度，經(jīng)過實(shí)地測(cè)量，得到兩個(gè)解決方案：

方案一：如圖（1）,測(cè)得C地與樹相距10米，眼睛。處觀測(cè)樹48的頂端A的仰角為32。：

方案二：如圖（2）,測(cè)得C地與樹A8相距10米，在C處放一面鏡子，后退2米到達(dá)點(diǎn)E,眼睛。在鏡子C

中恰好看到樹AB的頂端A.

已知小明身高1.6米，試選擇一個(gè)方案求出樹A8的高度.（結(jié)果保留整數(shù)，tan32°?0.64）

【變式8-4］（2023?江蘇南京?中考真題）如圖，玻璃桌面與地面平行、桌面上有一盞臺(tái)燈和一支鉛筆，點(diǎn)光

源。與鉛筆48所確定的平面垂直于桌面.在燈光照射下，在地面上形成的影子為CD（不計(jì)折射），

AB//CD.

（1）在桌面上沿著A8方向平移鉛筆，試說明CO的長(zhǎng)度不變.

（2）桌面上一點(diǎn)尸恰在點(diǎn)。的正下方，且OP=36cm,上4=18cm,AB=18cm,桌面的高度為60cm.在點(diǎn)

。與AB所確定的平面內(nèi)，將A8繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得C。的長(zhǎng)度最大.

①畫出此時(shí)A8所在位置的示意圖；

②CD的長(zhǎng)度的最大值為一cm.

【變式8-51］（2023?四川攀枝花?中考真題）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭

縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國(guó)佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品.某

數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的原理，來測(cè)量東塔的高度.東塔的

高度為A8,選取與塔底8在同一水平地面上的E、G兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標(biāo)桿跖和

GH,兩標(biāo)桿間隔EG為46m,并且東塔AB、標(biāo)桿E77和G/f在同一豎直平面內(nèi).從標(biāo)桿EF后退2nl到。處

（即ED=2m）,從。處觀察A點(diǎn)，A、F、D在一直線上；從標(biāo)桿G/J后退4m到C處（即CG=4m）,從

C處觀察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也在一直線上，且8、E、D、G、C在同一直線上，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)

據(jù)，幫助興趣小組求出東塔48的高度.

1.（2024?浙江寧波.模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知箱子沿著斜面向上運(yùn)動(dòng)，箱高鉆=1.2m.當(dāng)3c=2.5m時(shí)，點(diǎn)3

到地面的距離BE=1.5m,則點(diǎn)A到地面的距離AD為（）

2.（2024.浙江溫州.三模）圖1是《九章算術(shù)》中記載的“測(cè)井深”示意圖，譯文指出：“如圖2,今有井直徑

CD為5尺,不知其深A(yù)D.立5尺長(zhǎng)的木CE于井上，從木的末梢E點(diǎn)觀察井水水岸A處，測(cè)得“入徑C尸，

為4寸，問井深A(yù)D是多少？（其中1尺=10寸）”根據(jù)譯文信息，則井深4。為（）

立木

入徑

井深

井水水面

圖2

A.500寸B.525寸C.550寸D.575寸

3.（2025?廣東深圳?一模）2022年2月20日北京冬奧會(huì)花樣滑冰表演賽，中國(guó)男單一哥金博洋登場(chǎng)，他使

用的地面光影直到結(jié)束后都讓人意猶未盡.如圖，設(shè)聚光燈。的底部為4金博洋的身高（即）為1.7m,

金博洋與點(diǎn)A的距離AB為10.2m,他在聚光燈下的影子3C為3.4m,則聚光燈距離地面的高度為

m.

4.（2024.吉林松原.三模）如圖①是液體沙漏的平面示意圖（數(shù)據(jù)如圖），經(jīng)過一段時(shí)間后的液體如圖②所

5.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）學(xué)習(xí)相似三角形后，小紅利用燈光下自己的影子長(zhǎng)度來測(cè)量一路燈的高度.如圖，

已知小紅的身高是1.5米，他在路燈下的影長(zhǎng)為2米，小紅距路燈燈桿的底部4米，則路燈燈泡距地面的高

度是米.

6.（2024.山西晉中?模擬預(yù)測(cè)）普救寺位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州古城內(nèi)，是我國(guó)歷史名劇《西廂記》故

事的發(fā)生地，寺廟規(guī)模宏偉，內(nèi)部有很多著名建筑.其中，最著名的便是鶯鶯塔（如圖1）.數(shù)學(xué)興趣小組根

據(jù)光的反射定律（如圖2）,把一面鏡子放在離古塔（CD）72m的點(diǎn)尸處，然后觀測(cè)者沿著直線CP后退到

點(diǎn)B處.這時(shí)恰好在鏡子里看到塔頂端。，量得3P=3m,已知觀測(cè)者目高至=L5m,那么該古塔（8）

7.（2024?廣東東莞?一模）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，支架4D與CB交于點(diǎn)。,

測(cè)得AO=3O=50cm,CO=DO=30cm.

（2）將桌子放平后，兩條桌腿叉開角度208=106。，求力B距離地面的高.（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)值

sin37°?0.60,cos37°?0.80）

8.（2024?江蘇蘇州?二模）【數(shù)學(xué)眼光】

星港學(xué)校比鄰園區(qū)海關(guān)大樓，星港學(xué)校九年級(jí)學(xué)生小星在學(xué)習(xí)過“相似”的內(nèi)容后，也想要利用相似的知識(shí)得

海關(guān)大樓的高度，如圖1所示.小星選擇把數(shù)學(xué)和物理知識(shí)相結(jié)合利用平面鏡的鏡面反射特點(diǎn)來構(gòu)造相似，

如圖2所示.

ffil

【問題提出】

問題一：現(xiàn)測(cè)量得到8C=。，CE=b,DE=c.問：海