專題02相交線與平行線壓軸匯編

一、單選題

1.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，已知直線2BIIC。，則Na、邛、Zy之間的關系是（）

A.Na+N0—2/y=180°B.乙B一乙a=乙丫

C.乙仇+4/7+Zy=360°D.“+勺一/仇=180°

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理推論，過E作EFIINB,貝必8IIC0IEF,然后根據(jù)平行線的

性質(zhì)和角度和差即可求解，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，過E作EFII4B,

SABWCD,

SABWCDWEF,

回NCDE+乙DEF=180%乙4=AAEF,

S/.DEF=/-DEA—Z.AEF,

回NDEF=N0-Na,

回Ny+乙0一乙a=180°,

故選：D.

2.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，直線a與直線b交于點A,與直線c交于點B,乙1=120。/2=45°,

若使直線b與直線c平行，則可將直線〃繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（）

A.15°B.30°

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的判定，先根據(jù)鄰補角的定義得到60。，根據(jù)平行線的性質(zhì)42=43=45。,

由此得到直線b繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。-45°=15°.

【詳解】解：如圖，當直線6與直線c平行時，直線人與直線a夾角銳角是N3,

N1的鄰補角為60。，

當直線6與直線c平行時，N2=N3=45。，

???直線b繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。-45°=15。.

故選：A.

3.（2024七年級上,全國?專題練習）如果兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角的!比另一個角少20。，那么

這兩個角的度數(shù)是（）

A.60°和120°B.30%30°或60°、120°

C.都是30。D.30。、120。或30。、60°

【答案】B

【分析】此題考查了角度計算，平行線的性質(zhì)，一元一次方程的解法.解題的關鍵是掌握如果兩個角的

兩邊分別垂直，則這兩個角相等或互補及方程思想的應用；

首先由兩個角的兩邊分別平行，可得這兩個角相等或互補.然后設其中一角為無。，由其中一個角的!比另

一個角少20。，得另一個角為G%+20）。，然后分別從兩個角相等與互補去分析，即可求得答案.

【詳解】解：設其中一角為x°,

回其中一個角的1比另一個角少20。，

回另一個角為《久+20）°,

回兩個角的兩邊分別平行，

回這兩個角相等或互補.

①若這兩個角相等，如下圖，

則x=+20,

解得：x=30,

回這兩個角的度數(shù)是30。和30。；

②若這兩個角互補，如下圖,

貝IJ180—X=|x+20,

解得：x=120,

回這兩個角的度數(shù)是60。和120。.

回這兩個角的度數(shù)是30。、30。或60。、120°.

故選：B.

4.（24-25八年級上?全國?期中）如圖，將一副直角三角尺的其中兩個頂點重合疊放，其中含30。角的三角尺

ABC固定不動，將含45。角的三角尺DBE繞頂點B順時針轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動角度小于180。），當DE與三角尺4BC的

其中一條邊所在的直線互相平行時，N4BE的度數(shù)是（）

A.15°或45°或60°B.45°或60°或75°

C.15°或45°或105°D.60°或75°或105°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角板中角度的計算，分三種情況：當DEII2C時；當DEII4B時;

當DE||BC時；分別求解即可得解，采用分類討論的思想是解此題的關鍵.

【詳解】解：國A4BC是含有30。角的三角板，

回乙4=30°,4ABe=60°,ZC=90°,

0ADBE是含有45。的三角板，

0ZBED=ZD=45°,4EBD=90°,

團在旋轉(zhuǎn)的過程中（轉(zhuǎn)動角度小于180。），DE與△4BC的一邊平行，

國有以下三種情況：

如圖，當DE||AC時，

cD

AB

0ZC=90°,

團AC1BC,

團DEIIAC,

團BC1DE,

^\BE=BD,Z.EBD=90°,

回BC為4EBD的平分線，BPzEBC=45°,

^Z.ABE=AABC一乙EBC=60°-45°=15°；

如圖，當。E||時，

AB

5\DE||AB,

^ABE=NE=45°,

如圖，當DE||BC時，

CE

A

WE||BC,

團NCBE=NE=45°,

回NABE=乙ABC+乙CBE=60°+45°=105°；

故選：C.

5.（23-24七年級下?廣東江門?期中）如圖，ABWCD,尸為4B上一點，F(xiàn)D||E”，且FE平分乙4FG,過點尸作

FG1于點G,且N4FG=2ND,則下列結(jié)論:①4。=30°；?2z￡>+AEHC=90。；③FD平分N”FB；

④尸”平分NGFD.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，二者有機結(jié)合，難度較大，需要作出輔助線，對

能力要求較高.根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答.延長FG,交C”于/,構(gòu)造出直角三角形，利

用直角三角形兩銳角互余解答.

【詳解】解：FG,交CH于1.

回ABIICD,

=ZD,乙AFI=（FIH,

^\FD\\EH,

^\Z-EHC=Z-D,

團FE平分乙4FG,

^FIH=2/LAFE=2乙EHC,

團34刖？=90°,

^EHC=30°,

回乙D=30°,

回2乙。+乙EHC=2X30。+30°=90°,

回①ND=30。正確；②2ND+Z.EHC=90。正確，

OFE平分N4FG,

0ZXFZ=30°X2=60°,

E1NBFD=30°,

0ZGFO=90°,

0ZGFW+/-HFD=90°,

可見，NHFD的值未必為30。，NGFH未必為45。，只要和為90。即可，

團③尸。平分ZHF8,④FH平分NGF。不一定正確.

故選：B.

6.（23-24七年級下?全國?單元測試）如圖，直線AB||CD,M、N分別在直線AB,CD上，以為平面內(nèi)一點，

連接HM,HN,延長HN至點G,和NGND的角平分線相交于點E.若N"=a,貝此MEN可以用含

a的式子可以表示為（）

A.90°+-B.1800-aC.18。。*D.90°+a

2

【答案】A

【分析】本題主要考查了根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關系，以及角平分線的有關計算，過點E作EPII48

交于點。，根據(jù)平分ZBMH,NE平分LGND,可得NMEQ=乙BME=^BMH,乙QEN=乙DNE=

+乙GND，即可得/MEN=+ZGND）.則有24MEN=+Z.GND.進而可得NMHN=

乙BMH一乙DNH.則有NGND+-NMHN=180°,即2/MEN—NM”N=180°,代入N”=戊即

可得出答案.

【詳解】解：如圖，過點E作EPII4B交于點Q,

S\EP\\AB,ABWCD,

0ZMEQ=Z.BME,EPWCD,

國人QEN=乙DNE

又MH平分乙BMH,NE平分乙GND,

⑦乙MEQ=乙BME=g4BMH,乙QEN=乙DNE=乙GND,

0乙MEN=乙MEQ+乙QEN=|（BMH4-乙GND=|（乙BMH+乙GND）.

團2/MEN=乙BMH+Z.GND.

⑦乙GND+乙DNH=180°,乙DNH+乙MHN=乙MON=乙BMH.

團乙MHN=（BMH-乙DNH.

團乙GND+（BMH一乙MHN=180°,

即2/MEN-乙MHN=180°,

團乙H=a,

0/MEN=其180。+a）=90。+a.

故選：A.

7.（22-23七年級下?江蘇常州?期末）如圖，ABWCD,Z.BAF=^EAF.ADCF=^ECF,則Z71EC與N2FC的

數(shù)量關系是（）

A

B

c

A.Z-AEC=3/.AFCB.Z-AEC=4Z-AFC

C./-AEC+3^.AFC=360°D.^AEC+A^AFC=360°

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定,用到的知識點為:兩直線平行內(nèi)錯角相等.先過點E作EM||AB,

過點尸作FNII4B,由力B||CD,即可得EMII4BIIC0IFN,然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，解答即

可.

【詳解】解：如圖，過點E作EMIIAB,過點尸作尸N||A8,

固4B||CD,

S\EM\\AB\\CD\\FN,

^BAE+^AEM=180°,乙DCE+乙CEM=180°,

0ZBXE+(AEC+乙DCE=360°,

^AEC=360°-(NBAE+乙DCE),

^BAF=上乙EAF,乙DCF=-Z.ECF,

33

^BAF+乙DCF=1(/BAE+NDCE),

^\AB\\CD\\FN,

^BAF=AAFN,乙DCF=LCFN,

團N/FC=乙AFN+Z.CFN=4BAF+乙DCF=^^BAE+ADCE\

回4乙4FC=^BAE+乙DCE,

國乙AEC=360°-4z^FC,

^AEC+4^AFC=360°；

故選：D.

二、填空題

8.（2024七年級下?上海?專題練習）如圖，直線4B、CD相交于點。.已知乙8。。=75。，OE把乙4OC分成兩

個角，且N40E=NE0C,將射線OE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)角a（0。<a<360。）至UOF,若NAOF=120。時，a

的度數(shù)是°，

A'D

EXQ

【答案】82.5或202.5

【分析】本題考查的是對頂角的性質(zhì)，角的和差運算，分兩種情況討論：當0尸在NBOC之間時，當OF在

NBOD之間時，先求解乙40C=NB。。=75。，^AOE=AEOC=37.5°,再分別進一步求解即可.

【詳解】解：①當。尸在4BOC之間時，如圖.

團直線4B、CD相交于點。，ABOD=75°,

團乙40C=4BOD=75°.

⑦乙AOE=Z-EOC,

團4EOC=37.5°.

團N40F=120°,

^COF=AAOF-^AOC=45°,

⑦乙EOF=Z.EOC+Z.COF=82.5°,即a=82,5；

②當。尸在NB。。之間時，如圖.

團直線AB、CD相交于點0,乙BOD=75。,

EIN40C=4BOD=75°.

團乙40E=Z-EOC,

回440E=37.5°.

團乙4。尸=120°,

團/EOF=AAOF+Z.AOE=157.5°,

的=360°-/.EOF=202.5°.

故答案為：82.5或202.5

9.（2025七年級下?全國?專題練習）如圖，在直角三角形ABC中，NB4c=90。，將△ABC沿直線向右平

移2cm得至IUD￡T,連接給出以下結(jié)論：①力BIIDE；②EC=2cm；③48=AADE；@AG=CG-,

⑤BE=AD.其中正確的結(jié)論有（填序號）.

【答案】①③⑤

【分析】本題考查了平行線性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個

新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動

后得到的，這兩個點是對應點.連接各組對應點的線段平行（或共線）且相等.根據(jù)圖形平移的性質(zhì)以

及平行線的性質(zhì)對各小題進行解答即可.

【詳解】解：由平移的性質(zhì)可知，AD=BE=2cm,AD||BE,AB||DE,

故①、⑤正確；

根據(jù)題意得不到EC=2cm,

故②錯誤；

???ABWDE,

回=Z-DEC,

胤4。IIBE,

團匕ADE=Z-DEC,

???Z-B=乙ADE,

故③正確；

EIEC不一定等于2cm,

故證明不出AADGW4CEG,

貝MG不一定等于CG,

故④錯誤；

綜上所述，正確的有①③⑤；

故答案為：①③⑤.

10.（24-25七年級上?吉林長春?期末）如圖，ACWEG，點2在2C上，點廠在EG上，連結(jié)BF,BD平分NABE,

EH平分乙BEF交BF于點、H,4EBF=乙EFB.給出下面四個結(jié)論：

②BF平分NEBC；

③NBFE=AABE；

④乙BFG-乙BEH=90°.

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有.

【答案】①②④

【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，以及圖形中角

度之間的數(shù)量關系，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：3ACWEG,

團=Z-BEF,Z.CBF=乙EFB,

回平分EH平分乙BEF,

0ZXSO=乙DBE=-^ABE,乙BEH=乙HEF=-^BEF

22

田乙DBE=乙BEH,

0BDIIEH,故①正確；

@乙EBF=Z.EFB,Z.CBF=乙EFB,

^\Z.EBF=ABF,

MF平分NEBC；故②正確；

EIBD平分乙4BE,BF平分乙EBC,

0ZD5F=-乙ABE,/.EBF=-Z.EBC,

22

0ZDBF=4DBE+乙BEF=-^ABE+-Z.EBC=-{/.ABE+4EBC）=90°,

222'y

^\Z.ABF一乙ABD=乙DBF=90°

^\AB\\EG,

出乙BFG=4ABF,

團BDHEH,

團乙BEH=乙DBE,

團乙48。二（BEH,

^\Z.BFG-^BEH=￡.ABF-/.ABD=90°,故④正確；

根據(jù)條件無法得到乙8/田=乙48凡故③錯誤.

故答案為：①②④

11.（23-24七年級下?浙江?期中）將一副三角板按如圖放置，匕BAC=^DAE=90°,乙B=45°,乙E=60°,

則：①41=Z3；②“ZD+42=180°；③如果42=30°,則有ACIIDE；④如果42=45°,則有

BC||AD.上述結(jié)論中正確的是（填寫序號）.

【答案】①②③④

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì).

根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進行逐一判斷即可.

【詳解】解：????/-BAC=^DAE=90°,

Nl+z.2=42+43=90°,

N1=Z_3,故①正確；

②???N1+N2+N2+N3=180°,

.-./.CAD+42=180°,故②正確；

③：Z2=30°,

Z.1=乙E=60°,

AC||DE,故③正確;

④：Z2=45°,

,-.43=90°-Z2=45°=ZB=45°,

BC||AD,故④正確；

綜上所述，①②③④均正確；

故答案為：①②③④

12.（24-25七年級上?吉林?期末）如圖，CD||AB,BC平分N4CD,CF平分乙1CG,點G、C、。在一條直線

上，點B、E、4、F在一條直線上，ABAC=40。，N1=N2,則下列結(jié)論：①CB1CF；（2）zl=70°；

③43=2N4；④=2Z4,其中正確的是.

【答案】①②③

【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，垂直定義等，熟練掌握知識點是解題的關鍵，

根據(jù)角平分線的意義和平角的定義即可判斷①；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出乙4FC=N4=

AACF=20%乙BCD=乙2,再根據(jù)角的和差即可判斷②；根據(jù)平行線的性質(zhì)即可判斷③；根據(jù)角的

和差計算即可判斷④.

【詳解】解：Me平分乙4。。，CF平分Z71CG,

HZBCD=NBCA==^ACF=-/LACG,

22

^ACD+/-ACG=180°,

^BCA+AACF=Z4+(BCD=-^ACD+-AACG=90°=乙BCF,

22

0CF1CF,①正確；

0CDH4B,ZSXC=40°,

0ZXCG=ZSXC=40°,乙BCD=乙2,Z1=AECG,

EINAFC=Z4=乙4CF=20°,

0ZBC4=乙BCD=90°-z4=70°=z2,

0Z1=N2=70°,②正確；

回NECG=zl=70°,

Elz3=180°-乙ECG-乙BCD=40°,

0Z3=2N4,③正確；

S^ACE=^ACB-Z3=70°-40°=30°,

0ZXCF豐2N4,④錯誤；

綜上所述：正確的結(jié)論有①②③.

故答案為：①②③.

13.（23-24七年級上?四川成都?期末）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，在A,B,C三處經(jīng)

過三次拐彎，此時道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行（即4E||CD）,若乙4=98。，ZB=162°,則

NC的度數(shù)是.

【答案】116。/116度

【分析】本題考查了平行公理推論、平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關鍵.過點B作BK||4E,

先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得乙4BK=NA=98。，從而可得NCBK=64。，再根據(jù)平行公理推論可得4E||CD,

根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】解：如圖，過點B作BKII4E,

EINABK="=98°,

0Z4BC=162°,

SZ.CBK=/.ABC-/.ABK=64°,

由題意可知，AE||CD,

^BK||CD,

0ZC=1800-Z.CBK=116°,

故答案為：116。.

14.(20-21七年級下?浙江杭州?期中)?中考新趨勢.一題多?叫如圖，AB||CD,P?E平分NP]EB,P?F平分

乙P#D,若設NPiEB=K。,NP/D=y°,貝ikPi=度(用x,y的代數(shù)式表示)，若P?E平分乙P2EB,P3F

平分4P2FD，可得"3，「花平分”3戰(zhàn)得?平分”3尸。，可得乙24，依次平分下去，則度.

n—1

?(x+y)

【分析】(1)過點P1作II力B,根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可證得；

(2)過點R作直線MN||/AB,然后利用平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，結(jié)合歸納推理思想解決本題.

【詳解】(1)

過點B作RHII48,則RHIIAB||CD

乙P[EB=4EPM乙PiFD=乙FP[H

而NEP#=NEP/+4FP]H

乙EP]F=乙P]EB+乙P/D

[3NP1EB,4Pg,乙A滿足的數(shù)量關系是乙匕=+Z_P/D=x。+y。

故答案為：(x+y)

(2)

過點Pi作直線MN||AB,

所以NPiEB=乙MPjE=x°.

又因為48||CD,

所以MN||CD,

所以NP/。=4FP[M=y°,

所以NEPiF=乙EP]M+乙FPjM=x0+y°；

因為P2E平分NPiEBJzF平分乙DFP「

所以4P2EB=|zBEP1=|x°,

乙DFP2=^ADFP1=|y°.

只同理可證NEP2F=乙P2EB+/-DFP2=|x°+|y°=1(x°+y°).

2

以此類推：ZP3=(|)(x°+y°)?

乙P&=G)(x°+y°),

乙Pn=匕）（X。+y°）

??1—1

（x+y）

【點睛】此題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，添加輔助線是解題的關鍵，利用歸納推理的

思想解決.

15.（24-25七年級上,黑龍江哈爾濱,階段練習）醒獅是傳統(tǒng)的中國文化藝術表演形式之一，軒軒從中找到了

數(shù)學圖形.如圖力B||CD,乙4=15。，ZF=122°,ZC=13°,NAEF和NFGC的角平分線EH、交于

點“，貝吐"=度.

【答案】47

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，作EMII4B,FKWAB,HJWAB,GNWAB,

由題意得到4BIIEMIFKII孫IGNIICD,進而得到42+Z7+z5+Z10=乙EFG=122°,由角平分線的性

質(zhì)得到N1+Z2=Z7,Z5+Z6=Z10,再得到42+45=47。即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵.

【詳解】解：作EMIL4B,FKWAB,HJ\\AB,GN\\AB,如圖：

^AB\\CD9

^AB\\EM\\FK\\HJ\\GN\\CD,

回=Z-A—15°,z6=zC=13°,z2=z_3,z4=z_5,z2+z7=z_8,z9=zlO+z5,

團乙2+z7+z5+zlO=z8+z9=乙EFG=122°,

團EH平分4AEF,GH平分NFGC,

團乙1+z2=z7,z5+z6=zlO,

回z_2+z.1+z.2+z.5+z.5+z.6=122°,

團乙1+2z2+Z6+2/5=122°,

回41=15°,Z6=13°,

團2乙2+2z5=94°

團2（42+Z5）=94°,

回42+45=47°,

回z_2=43,z4=z5,

團43+N4=47°,

即NEHG=47°,

故答案為：47.

16.（23-24七年級下?全國?單元測試）如圖，/IB||CD,E為2B上一點，且EF1CD,垂足為F,CE1DE,

CE平分Z71EG,且NCGE=a,則下列結(jié)論：

①乙EDG=ja：

②乙CEB=2a；

③NCEF=90°-p

④EIFED+NDCE+NFGE=180。；其中正確的有.（請?zhí)顚懶蛱枺?/p>

CFGD

E

【答案】①④/④①

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂線的定義，先由平行線的性質(zhì)得到NCGE=

乙GEB=a,乙EDG=乙DEB,/.AE=180°-乙CGE=180°-a,再由角平分線的定義得至UZTIEC=

ACEG=90°-1a,則由平角的定義可得NCEB=90。+),據(jù)此可判斷②；由垂線的定義得到乙4EC+

乙DEB=90°,則WEB=|cr,再由平行線的性質(zhì)得到NEDG=乙BED=|?,據(jù)此可判斷①；先證明

乙4EF=90°,得至此力EC+乙CEF=90°,貝UNCEF=|a,據(jù)此可判斷③；分另怵出“ED=90°-|a,

/.BEC=90°-|a,乙FGE=a,據(jù)此可判斷④.

【詳解】解：???乙CGE=a,AB||CD,

乙CGE=乙GEB=a,乙EDG=乙DEB,^AE=180°-4CGE=180°-a,

???CE平分N&EG,

.-./.AEC=/.CEG=-/.AEG=90°—

22

：.^CEB=180°-ZX￡C=90°+ja,故②錯誤；

???CELDE,即NCED=90。，

^AEC+乙DEB=90°,

1

z.DEB=-a,

2

9CAB||CD,

國乙EDG=乙BED=|a,故①正確

???EF1CD,AB||CD,

：.EF1AB.

??.AAEF=90°,

???/.AEC+Z.CEF=90°,

/.zCEF=|a,故③錯誤；

Z.GED—Z.GEB—乙DEB=-a,

2

Z.CEF=乙GED,

ZFFO=90°-/.BED=90°--a,NBEC=180。一4NEC=90。一%,乙FGE=a

22

：.^FED+/.DCE+/-FGE=180°,故④正確；

綜上所述，正確的有①④，

故答案為：①④.

17.（23-24七年級下?黑龍江牡丹江?期末）如圖，點E在C4延長線上，DE,48交于點R且NBDE=NE,

ZB=ZC,NEB4比NFDC的余角小10。，尸為線段DC上一點，。為CD上一點，且滿足NfQP=NQFP,

FM為NEFP的平分線.下列結(jié)論：@AB||CD；②4B+NE=150°；③FQ平分N2FP；④“FM=20°,

其中結(jié)論正確的序號是.

【答案】①③④

【分析】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，互為余角的定義，角平分線的定義，準確識圖，熟練

掌握平行線的判定與性質(zhì)，互為余角的定義，角平分線的定義是解決問題的關鍵.

①根據(jù)NBDE=NE得CE||BD,貝UNE力F=NB,再根據(jù)NB=NC得NEAF=NC,由止匕可對結(jié)論①進

行判斷；

②設NEF4=a,根據(jù)4B||CD得4FDC=Z.EFA=a,再根據(jù)NEF4比NFDC的余角小10。，得a+10°=

90°-a,則a=40。，即NFDC=NEF2=40。，過點E作￡K||48,貝Ij/KEF=NEF4=40°,/.KEA+

^.EAF=180°,由止匕得NFEH+NEAF=140°,然后根據(jù)CE||8。得NEAF=AB,進而得NfEA+=

140°,由此可對結(jié)論②進行判斷；

③設乙FQP=々QFP=0,根據(jù)2B||CD得乙4FQ==￡,貝吐4"=NQFP=0,由此可對結(jié)論

③進行判斷；

④根據(jù)NEF4=40°,AAFQ=乙QFP=0得4EFP=40°+2￡,再根據(jù)FM為NEFP的平分線得NEFM=

Z.PFM=^EFP=20°+^,然后根據(jù)NQFM=NPFM—NQFP可得出NQFM的度數(shù)，進而可對結(jié)論④

進行判斷.

【詳解】解：①.：乙BDE=4E,

：.CE||BD,

???Z.EAF=Z-B,

???Z-B=Z.C,

???Z.EAF=Z.C,

???AB||CD,

故結(jié)論①正確；

②設NEF4=a,

由①可知4B||CD,

Z.FDC=Z.EFA=a,

???NE凡4比4FDC的余角小10。,

???仇+10。=90°-a,

解得：a=40。，

???Z-FDC—Z.EFA=a=40°,

過點E作EK||48,如圖所示:

CQPD(KEF=Z.EFA=40°,Z.KEA+Z.EAF=180°,

???乙KEF+/.FEA+Z.EAF=180°,

即40。+Z.FEA+LEAF=180°,

???/.FEA+Z.EAF=140°,

???CE||BD,

??.Z,EAF=乙B,

???AFEA+48=140°,

故結(jié)論②不正確；

③；乙FQP=乙QFP,

設=4QFP=0,

???AB||CD,

???Z.AFQ=乙FQP=0,

.-./.AFQ=/-QFP=0,

AFQ^-^-AAFP,

故結(jié)論③正確；

④由②可知NEF4=40。，由③可知：乙AFQ=LQFP=0,

：.Z.EFP=Z.EFA+Z.AFQ+乙QFP=400+20,

???FM為NEFP的平分線，

11

乙EFM=乙PFM="EFP=1(40°+20)=20。+0,

.-./.QFM=4PFM-乙QFP=20°+￡—￡=20°,

故結(jié)論④正確，

綜上所述：正確的結(jié)論是①③④.

故答案為：①③④.

三、解答題

18.（23-24九年級下?四川成都?階段練習）為切實做好校內(nèi)"午餐托管”工作，某學校食堂為參加"午餐托管”

的學生提供了四種價格的午餐供其選擇四種價格分別是46元；B：7元；C:8元；D10元.為了

解學生對四種午餐的購買情況，學校隨機抽樣調(diào)查了一部分學生某天四種午餐的購買情況，依統(tǒng)計數(shù)

據(jù)給制成了如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息解決下列問題:

部分同學購餐價格條形統(tǒng)計圖部分同學購餐價

格扇形統(tǒng)計圖

⑴求被抽查的學生人數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖;

（2）被抽查學生購買午餐費用的眾數(shù)為元，中位數(shù)為元;

⑶若該校參加"午餐托管"的學生有2000人，請估計購買10元午餐的學生有多少人?

【答案】（1）50人，補全條形統(tǒng)計圖見詳解

（2）8,8

（3）280

【分析】此題主要考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決

問題的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù).

（1）根據(jù)6元的人數(shù)和所占的百分比，求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，然后用總?cè)藬?shù)乘以7元的人數(shù)所占的百分

比，求出7元的人數(shù)，從而補全統(tǒng)計圖；

（2）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義即可得出答案；

（3）用該校的總?cè)藬?shù)乘以購買10元午餐的學生所占的百分比即可.

【詳解】（］）解：被抽查的學生人數(shù)有：6-12%=50（人），

7元的人數(shù)有：50X36%=18（人），

補全統(tǒng)計圖如下：

部分同學購餐價格條形統(tǒng)計圖

（2）78出現(xiàn)了19次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

眾數(shù)是8元；

???共有50個數(shù)，中位數(shù)是低25、26個數(shù)的平均數(shù)，

???中位數(shù)是：等=8（元）；

故答案為：8,8；

（3）根據(jù)題意得：

2000X14%=280（人），

答：估計購買10元午餐的學生有280人.

19.（2024七年級上?全國?專題練習）生活情境?山路"公路村村通”的政策讓公路修到了山里，蜿蜒的盤山公

路連接了山里與外面的世界，數(shù)學活動課上，老師把山路抽象成圖2的樣子，并提出了一個問題：

在圖2中，ABWCD,4B=125。，^PQC=65°,NC=145。，求NBPQ的度數(shù).

圖1

【答案】85。

【分析】本題考查了平行的判定及性質(zhì)；過點P向左作PMIIA8,過點Q向右作QNIIAB,由平行線的判定

方法得4BIIPMIIQNIICD,由平行線的性質(zhì)得N8PM=55。,"QN=35°,由角的和差得"QN=Z.PQC-

NCQN,即可求解；掌握平行的判定及性質(zhì)是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，過點P向左作PMII4B,過點Q向右作QNII4B,

貝!MBIIPMIIQNIICD,

.??/LABP+乙BPM=180°,

乙DCQ+乙CQN=180°,

乙MPQ=(PQN,

???乙B=125°,C=145°,

???乙BPM=180°-125°=55°,

乙CQN=180°-145°=35°,

???(PQC=65°,

???(PQN=乙PQC一乙CQN

=65°-35°=30°,

??.&PM=(PQN=30°,

???乙BPQ=乙BPM+(QPM

=55°+30°=85°.

20.(21-22七年級下?河北保定?期中)如圖，已知A8IICDIIEF.

AB

(l)zx=60°,Zy=150°,求4z的度數(shù)；

(2)猜想4%,4y、Zz三者之間的關系并加以說明.

【答案】⑴30度

(2)Zx+Zy-Zz=180°,見解析

【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，一元一次方程的應用；

(1)由CDIIEF可得NCEF=30。，由ZB||EF可得4%=乙4EE,再進一步解答即可；

(2)由(1)可得=180。-47,4％=乙4EF=4Z+NCEF,即=再整理即可.

【詳解】(1)解:???CD||EF/y=150°,

??.Z,CEF=180°-zy=30°.

???AB||EF,

z.x=Z-AEF=z.z+Z-CEF.

???乙CEF=30。，4%=60°,

Zz+30°=60°,

Zz=30°.

(2)解：zx+zy—Zz=180°.

理由如下：

由(1)可知，Z,CEF=180°—Z.y,z.x=Z.AEF=zz+Z.CEF,

BPzCEF=zx-zz,

???180°—zy=zx—z.z,

整理，得4%+<y-Nz=180。.

21.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖Q,AB||CD,猜想乙8尸。與乙8、△。的關系，并說明理由.

B

⑴填空：

解：猜想NBPD+48+ND=360。.理由：過點P作EFII4B,如圖e所示，所以+/BPE=180。

（①）.因為力B||CD,EF||AB,所以EF||CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么

②）,所以NEPD+ND=180。（③）,所以NB+NBPE+NEPD+

乙D=@,即NB+乙BPD+ND=360°；

（2）依照上面的解題方法，觀察圖6,已知AB||CD,猜想圖中的N8P0與NB、4。的關系，并說明理由;

⑶觀察圖c和圖d,已知AB||CD,猜想圖中的NBPD與NB、ND的關系，不需要說明理由.

【答案】（1）①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；②這兩條直線也互相平行；③兩直線平行，同旁內(nèi)角互

補；④360°

（2）乙BPD=NB+m見解析

（3）圖c中N8P。=-NB,圖d中NBPD=NB-

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵.

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)補充完整即可；

（2）過點尸作EF||4B,根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；

（3）過點尸作EF||2B,根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：猜想N8PD+NB+4。=360。.

理由：過點P作EFIIAB,如圖e所示，

AB

E

7一聲

CD

e

所以48+NBPE=180°（①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

因為48||CD,EF||AB,

所以EFIICD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么②這兩條直線也互相平行），

所以NEPD+AD=180。（③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

所以48+4BPE+乙EPD+ZD=360。④，即NB+乙BPD+=360°.

故答案為：①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；②這兩條直線也互相平行；③兩直線平行，同旁內(nèi)角互

補；④360°

（2）解：猜想NBPD=NB+AD.

理由：過點尸作EFII2B,如圖所示，

所以48=ABPF.

因為48||CD,EF||AB,

所以EF||CD,

所以N。=4DPF,

所以NB+ZD=乙BPF+乙DPF=乙BPD,即NBPD=NB+ND；

(3)解：圖c中NBPD=ND-/B,圖d中NBPD—

如圖c,過P作EFIIAB,

貝=乙BPF,

因為AB||CD,EF||AB,

所以EF||CD,

所以N。=乙DPF,

⑦乙BPD=Z-DPF-Z-BPF=LD—乙B；

如圖d,過P作EFIIAB,

AB

貝IJNB=乙BPF,

因為ZB||CD,EF||AB,

所以EF||CD,

所以ND=4DPF,

El/BPD=Z-BPF-Z.DPF=Z.B-Z.D.

22.（24-25七年級上?吉林?期末）已知，直線AB||DC,點P為平面內(nèi)一點，連接4P與CP.

⑴如圖1,當點P在直線AB,CD之間，且N82P=60°,乙DCP=20。時，貝此2PC=°

(2)如圖2,當點P在直線AB,CD之間，且AB2P與NDCP的角平分線相交于點K,寫出N4KC與乙4PC之

間的數(shù)量關系，并說明理由.

⑶如圖3,當點「在。。下方時，NB4P與乙DCP的角平分線相交于點K(K在CD下方)，且NB4P=a,

乙DCP=B,直接寫出NK的大小(用含a和0的代數(shù)式表示).

【答案］⑴80

(2)2乙4KC=N4PC,理由見解析

(3)|a-

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運用，解決問題的關鍵是作平行線構(gòu)造

內(nèi)錯角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進行計算.

(1)先過P作PE||AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到"PE=NB4P,乙CPE=ADCP,再根據(jù)乙4PC=

AAPE+乙CPE=4BAP+NDCP進行計算即可；

(2)過K作KEII4B,根據(jù)KE||AB||CD,可得N4KE=NB4K,乙CKE=LDCK,進而得到乙4KC=

4AKE+乙CKE=4BAK+乙DCK,同理可得，^APC=^BAP+ADCP,再根據(jù)角平分線的定義，得出

4BAK+乙DCK=|4力PC,進而得至U2N4KC=N4PC；

(3)過K作KE||AB,根據(jù)KE||AB||DC,可得NB2K=^AKE,乙DCK=乙CKE,進而得至【JNAKC=

乙AKE—乙CKE=LBAK—乙DCK,乙APC=LBAP—乙DCP=a-0,再根據(jù)角平分線的定義，得出

乙BAK-乙DCK=|N力PC，進而得至U2N4KC=NAPC,即可求角軋

【詳解】（1）解：如圖1,過P作PEIIZB,

BA

Dc

圖1

MB||DC,

???PE||AB||CD,

???/,APE=/-BAP,乙CPE=￡DCP,

???^APC=/-APE+乙CPE=(BAP+乙DCP=60°+20°=80°,

故答案為：80；

(2)解：2AAKC=^APC,理由如下:

如圖2,過K作KE||45,

BA

團48||DC,

??.KE||AB||CD,

???乙AKE=乙BAK,乙CKE=2DCK,

???乙AKC=^AKE+(CKE=乙BAK+乙DCK,

過P作PFII48,

固4B||DC,

團PFIIAB||DC,

/.Z.APF=2LBAP,乙CPF=^DCP,

???^APC=^LAPF+乙CPF=4BAP+乙DCP,

???^APC=乙BAP+NDGP,

???MAP與"CP的角平分線相交于點K,

???LBAK+乙DCK=-ABAP+-ADCP=■4BAP+乙DCP)=jzXPC,

22

.-.2/.AKC=Z-APC-,

(3)如圖3,過K作KE||AB,

B

圖3

固4B||CD,

回KE||AB||DC,

團匕BAK=4AKE,乙DCK=（CKE,

^AKC=乙AKE-乙CKE=乙BAK一乙DCK,

過P作PF||AB,

回AB||CD,

@PF||AB||DC,

AAAPF=Z.BAP,乙CPF=^DCP,

???^APC=/-APF-乙CPF=乙BAP一乙DCP,

???AAPC=乙BAP一乙DCP=a-/?,

比B/P與"CP的角平分線相交于點K,

^\Z.BAK=-^BAP,乙DCK=L^DCP,

22

EINBAK-^DCK=-Z-BAP--^DCP=-（zBXP-乙DCP）=-/.APC,

222',2

I32N4KC=N力PC,

i11

S^AKC=-^APC=-a--B.

2221

23.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，已知AB||CD,乙4=70。.點P是射線48上一動點（與點4不重

合），CE,CF分別平分乙4cp和NDCP交射線AB于點E,F.

⑴求NECF的度數(shù)，若乙4=n。，請直接用含n的式子表示NECF；

(2)隨著點P的運動，設乙4PC=a,々AFC=B，a與￡之間的數(shù)量關系是否改變？若不改變，請求出此

數(shù)量