專題突破課五空間中的垂直關系——寸轄制輪尋專題,綱舉目張謀突破空間中的垂直關系是本章的重點與難點,是高考的命題熱點.利用圖形,結合判定與性質定理,靈活轉化線面關系是解決這類問題的關鍵.類型一直線與平面垂直的判定與性質定理的應用【典例1】如圖所示,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點,證明:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.【證明】(1)PA⊥底面ABCD,所以CD⊥PA.又CD⊥AC,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC,AE?平面PAC,所以CD⊥AE.(2)PA=AB=BC,∠ABC=60°,所以PA=AC,因為E是PC的中點,所以AE⊥PC,由(1)知CD⊥AE,從而AE⊥平面PCD,所以AE⊥PD.因為PA⊥底面ABCD,可得AB⊥PA,又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,所以易知AB⊥PD,所以PD⊥平面ABE.【總結升華】判定線面垂直的四種方法【補償訓練】如圖,在三棱錐PABC中,已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC,且CP⊥PB,求證:CP⊥PA;(2)若過點A作直線l⊥平面ABC,求證:l∥平面PBC.【證明】(1)因為平面PBC⊥平面ABC,平面PBC∩平面ABC=BC,AB?平面ABC,AB⊥BC,所以AB⊥平面PBC.因為CP?平面PBC,所以CP⊥AB.又CP⊥PB,且PB∩AB=B,AB?平面PAB,PB?平面PAB,所以CP⊥平面PAB.又PA?平面PAB,所以CP⊥PA.(2)在平面PBC內過點P作PD⊥BC,垂足為D.因為平面PBC⊥平面ABC,又平面PBC∩平面ABC=BC,PD?平面PBC,所以PD⊥平面ABC.又l⊥平面ABC,所以l∥PD.因為l?平面PBC,PD?平面PBC,所以l∥平面PBC.類型二平面與平面垂直的判定與性質定理的應用【典例2】如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E為AD的中點.(1)求證:PE⊥BC;(2)求證:平面PAB⊥平面PCD.【證明】(1)因為PA=PD,E為AD中點,所以PE⊥AD,又因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PE?平面PAD,所以PE⊥平面ABCD,又BC?平面ABCD,所以PE⊥BC.(2)由(1)知,PE⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PE⊥CD.在矩形ABCD中,AD⊥CD,又因為AD∩PE=E,AD,PE?平面PAD,所以CD⊥平面PAD.AP?平面PAD,所以CD⊥AP.又因為PA⊥PD,CD∩PD=D,CD,PD?平面PCD,所以PA⊥平面PCD.因為PA?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.【總結升華】證明面面垂直的兩種常用方法(1)用面面垂直的判定定理,即證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線;(2)用面面垂直的定義,即證明兩個平面所成的二面角是直二面角,把證明面面垂直的問題轉化為證明平面角為直角的問題.【補償訓練】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為矩形,AB=3,AD=3,點M是棱BC上的點,且滿足BM=1.(1)求證:AB⊥PD;(2)求證:平面PAM⊥平面PBD.【證明】(1)根據題意得,PA⊥底面ABCD,則PA⊥AB,而底面ABCD為矩形,則AB⊥AD,又因為PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,因為PD?平面PAD,故AB⊥PD.(2)PA⊥底面ABCD,則PA⊥BD,底面ABCD為矩形,AB=3,且AD=3,則有BC=3,CD=3,又由BM=1,則有BMAB=CDBC=則Rt△ABM∽Rt△BCD,則有∠BAM=∠CBD,則有∠BAM+∠ABD=90°,故BD⊥AM,又由PA⊥BD,PA∩AM=A,則BD⊥平面PAM,而BD?平面PBD,故有平面PAM⊥平面PBD.類型一線面角與二面角的應用【典例1】如圖,四棱錐PABCD的底面是邊長為1的菱形,∠ABC=23π,PD⊥平面ABCD,PD=1,M為PB的中點(1)求證:平面MAC⊥平面PDB;(2)求CP與平面MAC所成角的正弦值.【解析】(1)如圖,連接BD交AC于點O,因為PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以PD⊥AC,因為四邊形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,因為BD∩PD=D,所以AC⊥平面PDB,因為AC?平面AMC,所以平面MAC⊥平面PDB.(2)過點P作PH⊥平面AMC,交平面AMC于點H,連接CH,則∠PCH是CP與平面MAC所成角,連接OM,因為PD∥OM,所以PD∥平面AMC,所以PH是點D到平面AMC的高,因為PD⊥平面ABCD,所以OM⊥OD,因為平面AMC⊥平面PDB,平面AMC∩平面PDB=OM,所以OD⊥平面AMC,所以PH=OD=12,PC=2設CP與平面MAC所成角為θ,則CP與平面MAC所成角的正弦值sinθ=PHPC=122【總結升華】1.求直線與平面所成的角的一般步驟(1)找直線與平面所成的角,即通過找直線在平面上的射影來完成;(2)計算,要把直線與平面所成的角轉化到一個三角形中求解.2.作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定義法,也可以通過垂面法進行,即在一個半平面內找一點作另一個半平面的垂線,再過垂足作二面角的棱的垂線,兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角.【即學即練】如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=23,CC1=2,二面角C1BDC的大小為________.

答案:30°【解析】如圖,連接AC交BD于點O,連接C1O,因為C1D=C1B,O為BD中點,所以C1O⊥BD.因為AC⊥BD,所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角,在Rt△C1CO中,C1C=2,則C1O=22,所以sin∠C1OC=C1CC所以∠C1OC=30°.類型二垂直關系的探索問題【典例2】如圖,四邊形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,P是平面ABCD外一點,G為邊AD的中點,△PAD為正三角形,平面PAD⊥平面ABCD.(1)求證:BG⊥平面PAD;(2)若E為邊BC的中點,能否在邊PC上找出一點F,使平面DEF⊥平面ABCD?【解析】(1)四邊形ABCD是菱形,P是平面ABCD外一點,△PAD為正三角形,平面PAD⊥平面ABCD.所以AB=AD.又因為∠BAD=60°,所以△ABD是等邊三角形.因為G為邊AD的中點,所以BG⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BG?平面BAD,所以BG⊥平面PAD.(2)存在點F,且F為PC的中點.證明如下:如圖,連接CG,DE,CG交DE于點M,連接FM.因為AD∥BC且AD=BC,又E,G分別是BC,AD的中點,所以CE∥DG且CE=DG.連接EG,則四邊形CEGD是平行四邊形,所以CM=MG.又因為CF=FP,所以MF∥PG.因為△PAD是等邊三角形,G是AD的中點,所以PG⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD,所以PG⊥平面ABCD,所以MF⊥平面ABCD.又MF?平面DEF,所以平面DEF⊥平面ABCD.【總結升華】1.對命題條件的探索的三種途徑:(1)先猜后證,即先觀察與嘗試給出條件再證明;(2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件,再證明充分性;(3)將幾何問題轉化為代數問題,探索出命題成立的條件.2.對命題結論的探索方法:從條件出發,探索出要求的結論是什么,對于探索結論是否存在,求解時常假設結論存在,再尋找與條件相容或者矛盾的結論.【即學即練】如圖,直三棱柱ABCA1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,M,N分別為AC,B1C1的中點.(1)求證:MN∥平面ABB1A1;(2)線段CC1上是否存在點Q,使A1B⊥平面MNQ?說明理由.【解析】(1)取AB中點D,連接DM,DB1.在△ABC中,因為M為AC中點,所以DM∥BC,DM=12在矩形B1BCC1中,因為N為B1C1中點,所以B1N∥BC,B1N=12所以DM∥B1N,DM=B1N.所以四邊形MDB1N為平行四邊形,所以MN∥DB1.因為MN?平面ABB1A1,DB1?平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1.(2)線