重積分11.1二重積分的概念與性質11.1.1二重積分的概念柱體體積

=底面積×高

平頂柱體問題11.1求曲頂柱體的體積曲頂柱體體積=?D曲頂柱體以xOy面上的閉區域D為底,D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面,側面以頂是曲面且在D上連續).x0z

yDSS:z=f(x,y)1.任意分割區域

D,化整為零2.以平代曲

ix0z

yDS:z=f(x,y)3.積零為整2.

以平代曲1.任意分割區域

D,化整為零

ix0z

yDS:z=f(x,y)4.取極限

i2.

以平代曲1.任意分割區域

D,化整為零V=3.積零為整x0z

yS:z=f(x,y)4.取極限V2.以平代曲V=1.任意分割區域

D,化整為零3.積零為整也表示它的面積,定義(1)將閉區域

D任意分成n個小閉區域

(2)作乘積

(3)并作和D設是有界閉區域

D的有界函數,積分區域積分和被積函數積分變量被積表達式面積元素若和式則稱函零時,如果當各小閉區域的直徑中的最大值

趨近于的極限存在,記為即(4)數在區域D上可積，在閉區域D上的二重積分,此極限為函數曲頂柱體體積曲頂

即在底D上的二重積分,二重積分的幾何意義當被積函數小于零時,柱體體積,又可看成是D的面積.數值上既可看成是以D為底,以1為高的二重積分是柱體的體積的負值．特別地例1

設D為圓域二重積分=解

上述積分等于由二重積分的幾何意義可知，是上半球面上半球體的體積:RD2.在直角坐標系下用平行于坐二重積分可寫為注定積分中1.重積分與定積分的區別:重積分中可正可負.則面積元素為D標軸的直線網來劃分區域D,性質1(二重積分的線性性質)二重積分與定積分有類似的性質11.1.2二重積分的性質性質2(積分對區域的可加性)

oxyD1D2D1與D2除分界線外無公共點.D性質3(保號性)

例的值=().(A)為正(B)為負(C)等于0(D)不能確定為負B進而有性質4(積分估值定理)性質5(積分中值定理)則設

,分別是

在有界閉區域D上的最大值和最小值，為D的面積.則在D上至少存在一點使得

為D的設函數在有界閉區域D上連續,面積,解區域D的面積例2

不作計算,估計的值,其中D是橢圓閉區域：在D上，由性質5知解故于是

三角形斜邊方程例3

比較積分與的大小,其中D是三角形閉區域,三頂點各為(1,0),(1,1),(2,0).因此

在D內有

(B)(C)(D)因B練習設是有界閉區域D:上的連續函數,極限(A)不存在由函數的連續性知,11.2二重積分的計算11.2.1直角坐標系下二重積分的計算

二重積分的計算方法是:將二重積分化為二次1.矩形區域上的二重積分積分區域D為矩形在D上連續.設積分(累次積分)來計算.

的值等于以區域D為底,曲面z=f(x,y)把柱體切割成平行于xOz平面的薄片,對應薄片又有于是

為頂的曲頂柱體的體積,現用定積分計算這個體積.

如果先把柱體做平行于yOz平面的切割,則得到另一個次序相反的二次積分習慣上,通常把記成

即表示先對

x積分,再對y積分.

同理例1計算其中D為矩形區域解先對x積分

即等于兩個定積分的乘積.注:如在矩形區域D上,則2.橫向區域:這樣的區域上通常可以先對x積分,再對y積分

則例2計算其中D是由直線

先對x積分

所圍平面閉區域.解3.縱向區域這樣的區域上通常可以先對y積分,再對x積分

則例3計算其中D如圖所示.

解先對y積分

D2D14.復雜區域

對于一般的平面區域,可以用平行于坐標軸的例4計算其中D如圖所示.

解積分區域D可以劃分成

直線將其分成若干個橫向區域或縱向區域,然后利用二重積分對積分區域的可加性進行計算.于是D1D2例5交換積分次序:解積分區域:原式=解先交換積分次序例6計算二次積分而且又是能否進行計算的問題.計算二重積分時,恰當的選取積分次序十分重要,它不僅涉及到計算繁簡問題,凡遇如下形式積分:等,一定要放在后面積分.例7

求證證對于左邊的累次積分,先交換積分次序.積分區域:可表為:11.2.2在極坐標系下計算二重積分二重積分在極坐標下的表達式為極坐標系中的面積元素θθ在極坐標系下,一般化成1.極點在區域D的外面2.極點在區域D的邊界上

(曲邊扇形)極坐標系下區域的面積θ3.極點在區域D的內部

直角坐標與極坐標的關系為2.積分區域D是由圓弧、或圓弧與直線所圍成.

常用極坐標計算因此

在極坐標下1.若被積函數形如解先畫出區域的圖形

例8將積分化為極坐標形式的二次積分.

在極坐標系下,圓的方程為直線的方程為解a例9計算其中D是由中心在原點,半徑為a的圓周所圍成的閉區域.在極坐標系下注例10計算解(1)在極坐標系下

其中(2)因被積函數是偶函數,所以

又

所以解練習交換積分次序:(1)設積分區域D關于x軸對稱,如果函數

f(x,y)關于變量

y為偶函數.oxyD1則D1為D在x軸上方的部分,則如果

f(x,y)關于變量y為奇函數,

利用被積函數的奇、偶性和積分區域的對稱性即11.2.3對稱性與二重積分可簡化二重積分的計算.如果函數

f(x,y)關于變量x為奇函數oxyD1如果函數

f(x,y)關于變量x為偶函數,

則即則(2)設積分區域D關于y軸對稱,D1為D在

y軸的右側部分,即00D1為上半圓域D2為右半圓域例如,設D為圓域(如圖)為頂點的三角形區域,D1是D在第一象限的部分,(A)(B)(C)(D)0A則練習設D1D2D3D4記

則I=I1+

I2,其中而

I1=D1與D2關于y軸對稱D3與D4關于x軸對稱xy關于x和關于y都是奇函數而

是關于x的偶函數,關于y的奇函數.

所以

D1D2D3D4(3)設積分區域D關于直線對稱,則D1為D在(4)設積分區域D關于直線對稱,直線的上方部分,D1為上方部分且則證所以,例如,設為[0,1]上的正值連續函數,證明其中a,b為常數,由區域關于直線對稱,得故,﹡11.2.4二重積分的變量替換

變換且滿足:具有一階連續偏導數,(2)且雅可比行列式定理

設f(x,y)在xOy平面上的閉區域上連續,則基本要求:變換后定限簡便,求積分容易.注意2.J的性質:1.作什么變換主要取決于積分區域D的形狀,同時與要兼顧被積函數

f(x,y)

的形式.解作廣義極坐標變換所圍成的閉區域.在這變換下例11計算其中D為橢圓故解令則即例11計算其中D是由x軸、y軸和直線所圍成的閉區域.故11.3三重積分11.3.1三重積分的概念問題11.2求非均勻密度的物體的質量(1)分割設某物體占有空間區域求物體的質量M.其體積記為V,

物體將空間區域任意分成n個小閉區域質量為

記的體積為上連續,

(2)近似(3)

求和在上任取一點(4)取極限

如果函數,定義將空間區域任意分成n個小閉區域記小閉區域的體積為在上任取一點存在,則稱函數在

上可積,設是空間有界閉區域

上的有界體積元素三重積分的幾何意義設被積函數則區域V的體積為非均勻密度物體的質量可表示為

三重積分的計算一般是先化為一個定積分記和一個二重積分,最后化為三次定積分.相應的體積元素為在直角坐標系下三重積分可表為在空間直角坐標系中,用平行于三個坐標面的平面的來劃分積分區域11.3.2空間直角坐標系下三重積分的計算得到的小閉區域為長方體,1.投影法(先一后二法,先對積分)設積分區域面上的投影為閉區域過點作直線,的函數,于是則再計算在閉區域上的二重積分面x=0,y=0,z=0及平面

x+y+z=1所圍成的四面體.Dxy:x=0,y=0,x+y=1圍成例1計算三重積分其中

是由坐標解Oyx11x+y+z=1所圍成的四面體.思考題:設

是由坐標面x=0,y=0,z=0及平面解由對稱性于是柱面以及拋物面圍成.例2計算其中

是由坐標面z=0解

在xOy面投影為

Oyx11由積分區域和被積分函數的對稱性,有解

的原函數不是初等函數,應先

x對積分一定要交換積分次序.例3計算球面

及拋物面所圍成.先求兩個曲面的交線

例4計算三重積分其中

是由上半

解由解得故,

在xOy面投影為

規定:稱為點M的柱面坐標.設M(x,y,z)為空間內一點,并設點M在xOy面上的投影P的極坐標為則這樣的三個數注:直角坐標與柱面坐標的關系為

在柱面坐標下2.積分區域

是由柱面、錐面、旋轉拋物面、平

常用柱面坐標計算1.若被積函數形如三重積分在柱面坐標系下的表達式為通常化為先對z、再對r、后對的三次積分.面或球面所圍成.2.截面法(先二后一法，后對積分)(紅色部分)得投影區間(3)計算二重積分(4)最后計算定積分即(1)把積分區域

向某軸(如z軸)投影,截面法(先二后一法)解例5計算三重積分其中

為三個原式坐標面及平面所圍成的閉區域.解與平面所圍成的錐臺體.可看出如先對z積分,

積不出來.這里應先對

積分,最后對z積分.例6計算其中

是由錐面三重積分對稱性質:若f關于變量z是奇函數,即1.設積分區域

關于xOy坐標面對稱.為

在xOy坐標面的上半部分區域.則若f關于變量z是偶函數,即則類似地,若f關于變量

x是奇函數,即2.設積分區域

關于yOz坐標面對稱.為

在

yOz坐標面的前半部分區域.則若f關于變量

x是偶函數,即則若f關于變量

y是奇函數,即3.設積分區域

關于xOz坐標面對稱.為

在

yOz坐標面的右半部分區域.則若f關于變量

y是偶函數,即則例設

為則則必有()設空間區域C記投影向量與x軸正方向的規定:正方向間的夾角為設M(x,y,z)為空間內一點,向xOy平面投影,夾角為11.3.3利用球坐標系計算三重積分稱為點M的球面坐標.直角坐標與球面坐標的關系為2.積分區域

是由球面、錐面或平面所圍成.

常用球面坐標計算因此

在球面坐標下1.若被積函數形如SρM

yz

x0ρ=常數:

=常數:球面S動點M(ρ,

,

)球面坐標下的三坐標面分別為

Cρ=常數:球面S

=常數::S半平面P動點M(ρ,

,

)M

yz

x0

P

=常數:錐面Cρ

dρd

ρsin

xz

y0圓錐面

ρd

球面ρ圓錐面+d

球面ρ+dρ元素區域由六個坐標面圍成：d

ρsin

d

球面坐標下的體積元素半平面

及+d

；

半徑為ρ及ρ+dρ的球面圓錐面

及+d

ρ

dρd

xz

y0d

ρd

元素區域由六個坐標面圍成：ρsin

d

ρ2sin

dρd

d

dVdV=半平面

及+d

；

半徑為ρ及ρ+dρ的球面；圓錐面

及+d

三重積分在球面坐標系下的表達式為通常化為先對再對

后對

的三次積分.例7計算其中

是由錐面

與平面所圍的立體.解采用球面坐標所以例8求其中

由半球面

解與錐面所圍成.因

由關于yOz面對稱,同理,因

由關于xOz面對稱,所以,利用球面坐標計算11.4

重積分的應用11.4.1幾何應用1.求體積

由二重積分的幾何意義,xOy面上的閉區域D為底的以連續曲面

曲頂柱體的體積為為頂,由三重積分的性質知,

占有空間區域

的立體的體積為axz

y0例1求圓柱面所圍立體體積.Dy=0x

=0aaaaxoyDxz

y0解解例2

求區域與的公共部分的體積.由

由錐面和球面圍成,采用球面坐標所求體積

(1)設光滑曲面Σ的方程為:設小區域作母線平行于z軸的小柱面,2.求曲面的面積它在xOy面上的投影區域為,——曲面Σ的面積元素曲面面積為則有而(3)設曲面Σ的方程為：曲面面積為(2)設曲面Σ的方程為：曲面面積為它在yOz面上的投影區域為

,它在xOz面上的投影區域為解于是

表面積

例3

求球面

的表面積.上半球面方程為

axz

y0解設圓柱面為考慮第一卦限例4兩相同正圓柱面的軸互相直交,圓柱的底半徑為a,求一柱面被另一柱面所割出部分的面積.Daaxz

y0aaxoyD則該質點系的重心的坐標為設有n個質點組成的一個平面質點系,它們分別質量分別為1.重心(質心)11.4.2物理應用其中為質點系的總質量.

類似地,空間質點系的重心坐標公式為當薄片是均勻的,重心稱為D的形心.設有一平面薄片,為xOy面上的閉區域D,

在點(x,y)處的面密度為在D上連續,則平面薄片的重心坐標為其中S是閉區域D的面積其體質量密度為

類似地,若

是空間幾何體,

的體積為V,則

的重心坐標為其中為體積的重量.

其中為物體的體積.

的形心坐標為例5求位于兩圓之間的均勻薄片的質心.解薄片關于x軸對稱.則質心Oy

x112x+y=1x+y>1由重積分的性質I1<

I2二重積分習題課解例1比較與的大小,其中D由所圍.Oyx

D:x+y=1,x–y=1，x=0所圍.11–1先對

y積分y=1–xy=x–1例2將二重積分化成二次積分解Oy

x11–1先對

x積分D1D2x=1–yx=y+1D:Oy

xaax=y例3將二次積分換序解2R區域邊界:x=0Oy

x

即

r=2Rsin

r=2Rsin

例4將變為極坐標形式.解或例5計算其中D由圍成.解例6計算其中解先去掉絕對值,如圖

證例7證明例8

計算二次積分

解oxy解R由對稱性例9設D為圓域求C解積分區域D:例10設是連續函數,則C解積分區域關于坐標軸對稱.1例11設則二重積分可以化為()因被函數是偶