專題02整式與因式分解

課標要求考點考向

考向一單項式與多項式

1.會把具體數代入代數式進行計算。

2了解整數指數冪的意義和基本性質。考向二同類項

整式

3.理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則。

考向三整式的加減

4.能進行簡單的整式加減運算，能進行簡單的整式乘法運

算。考向四整式的乘除

5.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2，(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公考向五整式的混合運算

式的幾何背景，能利用公式進行簡單的計算和推理。

因式

考向一提公因式法因式分解

6.能用提公因式法、公式法進行因式分解。

分解

考向二公式法因式分解

?考向一單項式與多項式

1．（2024·吉林長春·中考真題）單項式2a2b的次數是．

2．（2024·江西·中考真題）觀察a，a2，a3，a4，…，根據這些式子的變化規律，可得第100個式子為．

nn1

3．（2024·重慶·中考真題）已知整式M:anxan1xa1xa0，其中n,an1,,a0為自然數，an為正整

數，且nanan1a1a05．下列說法：

①滿足條件的整式M中有5個單項式；

②不存在任何一個n，使得滿足條件的整式M有且只有3個；

③滿足條件的整式M共有16個．

其中正確的個數是（）

A．0B．1C．2D．3

?考向二同類項

易錯易混提醒

1.判斷同類項

標準：所含字母相同，且相同字母的指數也分別相等。

注意事項：同類項與系數的大小無關，與它們所含的字母順序無關，所有常數項都是同類項。

2.合并同類項

要點：字母和字母的指數不變，只把系數相加減。

考查角度1同類項的定義

4．（2024·河南·中考真題）請寫出2m的一個同類項：．

考查角度2合并同類項

5．（2024·西藏·中考真題）下列運算正確的是（）

A．x2xxB．x(x3)x23

3

C．2x28x6D．3x24x212x2

?考向三整式的加減

6．（2024·四川德陽·中考真題）若一個多項式加上y23xy4，結果是3xy2y25，則這個多項式為．

7．（2024·重慶·中考真題）一個各數位均不為0的四位自然數Mabcd，若滿足adbc9，則稱這

個四位數為“友誼數”．例如：四位數1278，∵18279，∴1278是“友誼數”．若abcd是一個“友誼數”，

MFMabcd

且bacb1，則這個數為；若Mabcd是一個“友誼數”，設FM，且

913

是整數，則滿足條件的M的最大值是．

?考向四整式的乘除

解題技巧/易錯易混

1.單項式與單項式相乘法則：將系數相乘作為積的系數，相同字母的冪相乘，單獨在一個單項式里的字母

連同它的指數作為積的一個因式。

2.單項式與多項式相乘法則：用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。

3.多項式與多項式相乘法則：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

4.單項式除以單項式法則：把系數、同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，

則連同它的指數一起作為商的一個因式。

5.多項式除以單項式法則：用多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。

考查角度1冪的運算

8．（2024·廣東·中考真題）下列計算正確的是（）

5

A．a2a5a10B．a8a2a4C．2a5a7aD．a2a10

2a2a2a2b2b2b

9．（2024·河北·中考真題）若a，b是正整數，且滿足，則a與b的關系正

8個2a相加8個2b相乘

確的是（）

A．a38bB．3a8bC．a3b8D．3a8b

10．（2024·天津·中考真題）計算x8x6的結果為．

考查角度2單項式乘單項式

11．（2024·湖北·中考真題）2x3x2的值是（）

A．5x2B．5x3C．6x2D．6x3

考查角度3單項式乘多項式

12．（2024·甘肅蘭州·中考真題）計算：2a(a1)2a2（）

A．aB．aC．2aD．2a

考查角度4多項式乘多項式

13．（2024·山東威海·中考真題）因式分解：x2x41．

考查角度5平方差公式

14．（2024·上海·中考真題）計算(ab)(ba)．

考查角度5完全平方公式

11

15．（2024·黑龍江大慶·中考真題）已知a5，則a2的值是．

aa2

?考向五整式的混合運算

5

16．（2024·湖南長沙·中考真題）先化簡，再求值：2mmm2m3m3，其中m．

2

?考向一提公因式法因式分解

17．（2024·浙江·中考真題）因式分解：a27a

18．（2024·江蘇徐州·中考真題）若mn2，mn1，則代數式m2nmn2的值是．

?考向二公式法因式分解

19．（2024·西藏·中考真題）分解因式：x24x4．

20．（2024·四川涼山·中考真題）已知a2b212，且ab2，則ab．

2

21．（2024·陜西·中考真題）先化簡，再求值：xyxx2y，其中x1，y=2．

bc

22．（2024·福建·中考真題）已知實數a,b,c,m,n滿足3mn,mn．

aa

(1)求證：b212ac為非負數；

(2)若a,b,c均為奇數，m,n是否可以都為整數？說明你的理由．

23．（2024·安徽·中考真題）數學興趣小組開展探究活動，研究了“正整數N能否表示為x2y2（x，y均為

自然數）”的問題．

(1)指導教師將學生的發現進行整理，部分信息如下（n為正整數）：

N奇數4的倍數

1120242202

3221283212

53222124222

表示結果

74232165232

95242206242

LL

2

一般結論2n1n2n14n______

按上表規律，完成下列問題：

（ⅰ）24（）2（）2；

（ⅱ）4n______；

(2)興趣小組還猜測：像2，6，10，14，這些形如4n2（n為正整數）的正整數N不能表示為x2y2（x，y均

為自然數）．師生一起研討，分析過程如下：

假設4n2x2y2，其中x，y均為自然數．

分下列三種情形分析：

①若x，y均為偶數，設x2k，y2m，其中k，m均為自然數，

22

則x2y22k2m4k2m2為4的倍數．

而4n2不是4的倍數，矛盾．故x，y不可能均為偶數．

②若x，y均為奇數，設x2k1，y2m1，其中k，m均為自然數，

22

則x2y22k12m1______為4的倍數．

而4n2不是4的倍數，矛盾．故x，y不可能均為奇數．

③若x，y一個是奇數一個是偶數，則x2y2為奇數．

而4n2是偶數，矛盾．故x，y不可能一個是奇數一個是偶數．

由①②③可知，猜測正確．

閱讀以上內容，請在情形②的橫線上填寫所缺內容．

一、選擇題

1．（2024·廣西·模擬預測）若abca，則括號中應填入（）

A．bcB．bcC．bcD．bc

2．（2024·河南鄭州·模擬預測）給出下列判斷：①在數軸上，原點兩旁的兩個點所表示的數都互為相反數；

x2x

②多項式3xy2﹣4x3y12是三次三項式；③任何正數都大于它的倒數；④1變為30x100x15利

0.50.3

用了等式的基本性質．其中正確的說法有（）

A．0個B．1個C．2個D．3個

3．（2024·河南·一模）在學習數與代數領域知識時，小明對代數式做如圖所示的分類，下列選項符合的

是（）

3a+b

A．B．C．abD．2ab

ab3

4．（2024·云南·模擬預測）觀察下列按一定規律排列的n個數：x，3x2，5x3，7x4，……，按照上述規律，

第9個單項式是（）

A．9x9B．17x9C．17x10D．19x9

5．（2024·云南·模擬預測）下列命題正確的是（）

A．對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形

B．“水漲船高”是隨機事件

C．單項式2xy2的次數是2

D．一元二次方程x2x30有兩個不相等的實數根

6．（2024·河北唐山·三模）與39522395552相等的是（）

2

A．3955B．39553955

22

C．3955D．39510

2

7．（2024·河北·模擬預測）下列運算中，與2a2b2b運算結果相同的是（）

223

A．2b2abB．8a2b3C．2ab3D．2a2b

8．（2024·浙江·模擬預測）小江去超市購物，打算購買一件商品，在結賬時遇到了問題（如圖），你選擇

的辦法是（）

A．先打折，再用券B．先用券，再打折

C．都一樣D．無法確定，取決于商品價格高低

9．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）現定義一種新運算“※”，對任意有理數m、n都有m※nmnmn，

則ab※ab（）

A．2ab22b2B．2a2b2b3C．2ab22b2D．2ab2ab2

10．（2024·重慶·模擬預測）有n個依次排列的算式：第1項是a2，第2項是a22a1，用第2項減去第

1項，所得之差記為b1，將b1加2記為b2，將第2項與b2相加作為第3項，將b2加2記為b3，將第3項與b3

相加作為第4項，……，以此類推．某數學興趣小組對此展開研究，得到3個結論①b52a9；②若第6

2

項與第5項之差為4057，則a2024；③當nk時，b1b2b3b4bk2akk；其中正確的個數是

（）

A．0B．1C．2D．3

11．（2024·湖南·模擬預測）下列運算正確的是（）

2

A．a6a2a3B．a2a24

3

C．2m28m6D．2ab3a2b5a3b2

12．（2024·重慶·一模）在多項式a(bc)d（其中abcd）中，對每個字母及其左邊的符號（不包

括括號外的符號）稱為一個數，即：a為“數1”，b為“數2”，c為“數3”，d為“數4”，若將任意兩個數

交換位置，后得到一個新多項式，再寫出新多項式的絕對值，這樣的操作稱為對多項式a(bc)d的“絕

對換位變換”，例如：對上述多項式的“數3”和“數4”進行“絕對換位變換”，得到a(bd)c，將其化簡后

結果為abcd，．下列說法：

①對多項式的“數1”和“數2”進行“絕對換位變換”后的運算結果一定等于對“數3”和“數4”進行“絕對換位變

換”后的運算結果；

②不存在“絕對換位變換”，使其運算結果與原多項式相等；

③所有的“絕對換位變換”共有5種不同運算結果．

其中正確的個數是（）

A．0B．1C．2D．3

二、填空題

13．（2024·甘肅·三模）如果4x3yn1與3x3y是同類項，那么n．

12

14．（2024·福建廈門·二模）已知x1，則2x13xx1的值為．

x

15．（2024·湖北·一模）我國南宋時期數學家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給

n

出了ab展開式的系數規律．

當代數式x39x227x27的值為8時，則x的值為．

16．（2024·湖南·模擬預測）某班開展圖書交換閱讀活動．甲、乙、丙三名同學有相同數量的圖書、甲同學

借給乙同學4本，丙同學借給乙同學2本，一段時間后，他們約定：乙同學須將手中甲、丙兩名同學現有

圖書數量總和的一半，借給甲同學，而后乙同學手上剩余圖書的數量為本．

三、解答題

17．（2024·河北·模擬預測）如圖1是一個長為m，寬為n的矩形（mn）．用7