2023八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章三角形的證明4角平分線第1課時(shí)角平分線的性質(zhì)定理及逆定理教學(xué)實(shí)錄（新版）北師大版學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具設(shè)計(jì)思路本節(jié)課以“2023八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章三角形的證明4角平分線第1課時(shí)角平分線的性質(zhì)定理及逆定理”為主題，結(jié)合北師大版教材，通過(guò)實(shí)際操作、小組討論等方式，引導(dǎo)學(xué)生掌握角平分線的性質(zhì)定理及逆定理，提高學(xué)生的邏輯思維能力和證明能力。課程設(shè)計(jì)注重理論與實(shí)踐相結(jié)合，注重培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，通過(guò)角平分線性質(zhì)定理及逆定理的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用演繹推理的方法，理解數(shù)學(xué)證明的基本過(guò)程。增強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象能力，讓學(xué)生在幾何圖形的觀察中提煉出角平分線的性質(zhì)，提高抽象思維水平。同時(shí)，通過(guò)合作探究，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際情境中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

-理解角平分線的性質(zhì)定理：在三角形中，角平分線將對(duì)邊等分。

-掌握逆定理：三角形一邊上的中線、高、角平分線互相垂直。

-舉例：通過(guò)具體三角形，如等腰三角形或直角三角形，演示角平分線的性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)角平分線將角平分和對(duì)邊等分的重要性。

2.教學(xué)難點(diǎn)

-推理能力的培養(yǎng)：學(xué)生需要從已知條件推導(dǎo)出角平分線的性質(zhì)定理。

-逆定理的應(yīng)用：學(xué)生可能難以理解逆定理的成立條件，以及如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用。

-舉例：在證明角平分線的性質(zhì)定理時(shí)，學(xué)生可能難以理解如何從角度關(guān)系推導(dǎo)出邊的關(guān)系。在應(yīng)用逆定理時(shí)，學(xué)生可能難以找到合適的三角形邊和角來(lái)驗(yàn)證定理。教學(xué)資源-軟硬件資源：幾何畫(huà)板、白板、多媒體投影儀

-課程平臺(tái)：北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教學(xué)平臺(tái)

-信息化資源：三角形角平分線性質(zhì)定理的動(dòng)畫(huà)演示、相關(guān)教學(xué)視頻

-教學(xué)手段：實(shí)物教具（如三角板、直尺）、學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)材料教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

-利用多媒體展示三角形的基本圖形，提問(wèn)學(xué)生是否知道三角形中有哪些特殊的線段。

-引導(dǎo)學(xué)生回顧之前學(xué)過(guò)的角平分線的概念，并提出問(wèn)題：“角平分線有什么特殊性質(zhì)？”

-通過(guò)提問(wèn)激發(fā)學(xué)生的興趣，自然過(guò)渡到本節(jié)課的主題“角平分線的性質(zhì)定理及逆定理”。

2.新課講授（15分鐘）

-講解角平分線的性質(zhì)定理：在三角形中，角平分線將對(duì)邊等分。

-舉例：展示一個(gè)等腰三角形，引導(dǎo)學(xué)生觀察并指出角平分線將對(duì)邊等分的現(xiàn)象。

-講解逆定理：三角形一邊上的中線、高、角平分線互相垂直。

-舉例：展示一個(gè)直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生觀察并指出角平分線與中線、高垂直的現(xiàn)象。

-分析證明過(guò)程：講解如何從已知條件推導(dǎo)出角平分線的性質(zhì)定理。

-舉例：通過(guò)等腰三角形的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出角平分線的性質(zhì)定理。

-應(yīng)用逆定理解決實(shí)際問(wèn)題：講解如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用逆定理。

-舉例：給出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生運(yùn)用逆定理解決問(wèn)題。

3.實(shí)踐活動(dòng)（15分鐘）

-學(xué)生獨(dú)立完成課本上的練習(xí)題，鞏固角平分線的性質(zhì)定理和逆定理。

-分組討論：每組學(xué)生選擇一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決。

-展示與分享：每組學(xué)生匯報(bào)自己的解題過(guò)程和結(jié)果，其他學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)和補(bǔ)充。

4.學(xué)生小組討論（15分鐘）

-學(xué)生討論以下三個(gè)方面內(nèi)容：

-角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用：舉例說(shuō)明如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理。

-回答舉例：在測(cè)量未知角度時(shí)，利用角平分線的性質(zhì)定理可以簡(jiǎn)化測(cè)量過(guò)程。

-逆定理的證明：討論如何證明逆定理的正確性。

-回答舉例：通過(guò)構(gòu)造輔助線，利用三角形全等或相似的性質(zhì)證明逆定理。

-角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的聯(lián)系：分析兩者之間的關(guān)系。

-回答舉例：角平分線的性質(zhì)定理是逆定理的基礎(chǔ)，逆定理是角平分線性質(zhì)定理的逆命題。

5.總結(jié)回顧（5分鐘）

-教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)角平分線的性質(zhì)定理和逆定理的重要性。

-總結(jié)本節(jié)課的重難點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在證明和應(yīng)用過(guò)程中需要注意的細(xì)節(jié)。

-提出課后作業(yè)，要求學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，并嘗試解決一些實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)資源拓展1.拓展資源

-幾何證明中的輔助線作法：介紹輔助線在幾何證明中的作用，以及如何通過(guò)作輔助線來(lái)解決幾何問(wèn)題。

-三角形全等的判定條件：復(fù)習(xí)和拓展三角形全等的判定條件，如SSS、SAS、ASA、AAS等，以及它們的實(shí)際應(yīng)用。

-幾何圖形的對(duì)稱性：討論幾何圖形的對(duì)稱性，包括軸對(duì)稱和中心對(duì)稱，以及它們?cè)趲缀巫C明中的應(yīng)用。

-幾何圖形的變換：介紹幾何圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換，以及這些變換在證明中的利用。

2.拓展建議

-針對(duì)輔助線作法，建議學(xué)生通過(guò)練習(xí)冊(cè)或在線資源中的習(xí)題，練習(xí)不同類(lèi)型的輔助線作法，提高解題能力。

-在三角形全等的判定條件方面，建議學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，如折疊紙片，來(lái)直觀理解這些判定條件。

-對(duì)于幾何圖形的對(duì)稱性，建議學(xué)生通過(guò)制作對(duì)稱圖形，如剪紙藝術(shù)，來(lái)加深對(duì)對(duì)稱性的理解。

-在幾何圖形的變換方面，建議學(xué)生利用軟件或教具進(jìn)行圖形變換的實(shí)驗(yàn)，觀察變換前后的圖形關(guān)系。

具體拓展學(xué)習(xí)建議如下：

-**輔助線作法**：

-練習(xí)題目：在課本的練習(xí)冊(cè)中，選擇一些需要作輔助線的題目，如證明兩三角形全等或證明線段平行。

-拓展活動(dòng)：設(shè)計(jì)一個(gè)幾何證明題目，要求學(xué)生自己設(shè)計(jì)輔助線，并解釋為什么這樣的輔助線是必要的。

-**三角形全等的判定條件**：

-練習(xí)題目：在課本或補(bǔ)充材料中找到一些需要運(yùn)用三角形全等判定條件的題目，如證明兩三角形相似或全等。

-拓展活動(dòng)：通過(guò)實(shí)際操作，如使用三角板和直尺，來(lái)驗(yàn)證不同的全等判定條件。

-**幾何圖形的對(duì)稱性**：

-練習(xí)題目：在課本中找到一些關(guān)于對(duì)稱性的題目，如判斷圖形是否對(duì)稱，或找到圖形的對(duì)稱軸。

-拓展活動(dòng)：創(chuàng)作對(duì)稱圖案，如設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)稱的幾何圖案，并解釋其對(duì)稱性質(zhì)。

-**幾何圖形的變換**：

-練習(xí)題目：在課本或補(bǔ)充材料中找到一些關(guān)于圖形變換的題目，如證明圖形變換后形狀不變。

-拓展活動(dòng)：使用軟件或教具進(jìn)行圖形變換的實(shí)驗(yàn)，如使用幾何軟件來(lái)演示平移、旋轉(zhuǎn)和翻折的效果。教學(xué)反思與總結(jié)今天的課，我覺(jué)得還是有不少收獲的。首先，我想談?wù)劷虒W(xué)反思。

在導(dǎo)入新課的部分，我嘗試通過(guò)提問(wèn)的方式激發(fā)學(xué)生的興趣，讓他們回顧之前學(xué)過(guò)的知識(shí)，這個(gè)方法似乎挺有效的，學(xué)生們都能積極參與進(jìn)來(lái)。但是，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對(duì)于角平分線的概念還是有些模糊，這說(shuō)明我在課前準(zhǔn)備的時(shí)候，可能需要更詳細(xì)地復(fù)習(xí)和鞏固基礎(chǔ)知識(shí)。

在新課講授的過(guò)程中，我著重講解了角平分線的性質(zhì)定理和逆定理，通過(guò)具體的例子來(lái)幫助學(xué)生理解。我覺(jué)得這個(gè)方法還是不錯(cuò)的，因?yàn)閷W(xué)生們能夠通過(guò)直觀的例子來(lái)把握住核心知識(shí)。不過(guò)，在講解逆定理的時(shí)候，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生還是不太理解，這可能是因?yàn)槟娑ɡ淼倪壿嬓员容^強(qiáng)，需要學(xué)生有一定的推理能力。所以，我可能需要在今后的教學(xué)中，更多地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

實(shí)踐活動(dòng)部分，我讓學(xué)生們分組討論，嘗試解決實(shí)際問(wèn)題。這個(gè)環(huán)節(jié)我覺(jué)得做得不錯(cuò)，學(xué)生們?cè)谟懻撝心軌蚧ハ鄦l(fā)，共同進(jìn)步。但是，我也注意到，有些學(xué)生在討論時(shí)顯得比較被動(dòng)，可能是因?yàn)樗麄儾惶朴诒磉_(dá)自己的觀點(diǎn)。因此，我需要在今后的教學(xué)中，更多地鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論，提高他們的表達(dá)和溝通能力。

接下來(lái)，我想談?wù)劷虒W(xué)總結(jié)。

總體來(lái)說(shuō)，這節(jié)課的教學(xué)效果還是不錯(cuò)的。學(xué)生們對(duì)于角平分線的性質(zhì)定理和逆定理有了更深入的理解，他們的邏輯推理能力和解決問(wèn)題的能力也有所提高。在情感態(tài)度方面，學(xué)生們?cè)谛〗M討論中表現(xiàn)出了良好的團(tuán)隊(duì)合作精神。

當(dāng)然，教學(xué)中也存在一些問(wèn)題和不足。比如，部分學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢固，導(dǎo)致他們?cè)诶斫庑轮R(shí)時(shí)遇到困難。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我計(jì)劃在今后的教學(xué)中，更加注重基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)和鞏固。

另外，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生在討論時(shí)不夠積極，這可能是因?yàn)樗麄兊淖孕判牟蛔恪榱私鉀Q這個(gè)問(wèn)題，我打算在今后的教學(xué)中，更多地鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)自己的觀點(diǎn)，提高他們的自信心。

最后，我想提出一些建議和改進(jìn)措施。首先，我會(huì)在課前準(zhǔn)備時(shí)，更加細(xì)致地分析學(xué)生的基礎(chǔ)情況，確保教學(xué)內(nèi)容適合他們的學(xué)習(xí)水平。其次，我會(huì)在課堂上更多地關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，針對(duì)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，提供個(gè)性化的指導(dǎo)。此外，我還會(huì)通過(guò)多種教學(xué)方法，如小組合作、討論、實(shí)驗(yàn)等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的學(xué)習(xí)效果。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：

-學(xué)生們對(duì)角平分線的性質(zhì)定理和逆定理表現(xiàn)出較高的興趣，課堂參與度較高。

-在講解過(guò)程中，大部分學(xué)生能夠積極思考，提出問(wèn)題，對(duì)知識(shí)的理解較為深刻。

-個(gè)別學(xué)生在理解逆定理時(shí)存在困難，但通過(guò)同學(xué)的互助和教師的引導(dǎo)，最終克服了難點(diǎn)。

2.小組討論成果展示：

-學(xué)生們?cè)谛〗M討論中能夠主動(dòng)分享自己的想法，互相啟發(fā)，共同解決問(wèn)題。

-展示環(huán)節(jié)中，各小組能夠清晰地闡述自己的解題思路和過(guò)程，體現(xiàn)了良好的團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。

-通過(guò)討論，學(xué)生們對(duì)角平分線的性質(zhì)定理和逆定理的應(yīng)用有了更深的認(rèn)識(shí)。

3.隨堂測(cè)試：

-測(cè)試結(jié)果顯示，學(xué)生對(duì)角平分線的性質(zhì)定理和逆定理的理解較為扎實(shí)。

-部分學(xué)生在證明過(guò)程中出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤，說(shuō)明在今后的教學(xué)中需要加強(qiáng)對(duì)推理能力的培養(yǎng)。

-通過(guò)測(cè)試，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在應(yīng)用定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能夠較好地將所學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)際能力。

4.學(xué)生自評(píng)與互評(píng)：

-學(xué)生在課后填寫(xiě)了自我評(píng)價(jià)表，反思自己在課堂上的表現(xiàn)，包括參與度、學(xué)習(xí)效果等。

-互評(píng)環(huán)節(jié)中，學(xué)生們能夠客觀地評(píng)價(jià)同伴的表現(xiàn)，提出了建設(shè)性的意見(jiàn)和建議。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：

-針對(duì)學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，教師給予了積極的評(píng)價(jià)，鼓勵(lì)他們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中繼續(xù)努力。

-對(duì)于學(xué)生在討論和測(cè)試中暴露出的問(wèn)題，教師提出了具體的改進(jìn)措施，如加強(qiáng)邏輯推理能力的訓(xùn)練、提高解題速度等。

-教師建議學(xué)生在課后加強(qiáng)練習(xí)，通過(guò)大量的習(xí)題鞏固所學(xué)知識(shí)，并嘗試解決一些有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。

-教師強(qiáng)調(diào)，學(xué)生們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中要注重基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，為更高層次的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。板書(shū)設(shè)計(jì)①角平分線的性質(zhì)定理

-定理內(nèi)容：在三角形中，角平分線將對(duì)邊等分。

-關(guān)鍵詞：三角形、角平分線、對(duì)邊、等分

②角平分線的逆定理

-定理內(nèi)容：三角形一邊上的中線、高、角平分線互相垂直。

-關(guān)鍵詞：三角形、中線、高、角平分線、垂直

③證明方法

-方法一：輔助線作法

-方法二：三角形全等判定

-方法三：幾何變換

-關(guān)鍵詞：輔助線、全等判定、幾何變換

④應(yīng)用實(shí)例

-實(shí)例一：測(cè)量未知角度

-實(shí)例二：證明線段平行

-實(shí)例三：構(gòu)造輔助線證明全等

-關(guān)鍵詞：測(cè)量、平行、全等、構(gòu)造重點(diǎn)題型整理1.題型一：證明角平分線性質(zhì)定理

-題目：在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分線，證明BD=CD。

-解答：連接DB和DC，由于AD是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD。又因?yàn)锳B=AC（等腰三角形性質(zhì)），根據(jù)SAS（邊-角-邊）全等條件，三角形ABD和ACD全等，因此BD=CD。

2.題型二：逆定理應(yīng)用

-題目：在三角形ABC中，若BD是AC邊上的中線，且∠ABD=90°，證明AD是∠BAC的角平分線。

-解答：由于BD是中線，所以AD=CD。又因?yàn)椤螦BD=90°，所以三角形ABD是直角三角形。根據(jù)勾股定理，AB2=AD2+BD2。同理，在三角形ACD中，AC2=AD2+CD2。由于AD=CD，所以AB2=AC2，即AB=AC。因此，三角形ABC是等腰三角形，AD是∠BAC的角平分線。

3.題型三：證明三角形全等

-題目：在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分線，BD=CD，證明三角形ABD和ACD全等。

-解答：由于AD是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD。又因?yàn)锽D=CD，所以三角形ABD和ACD有兩邊和夾角分別相等，根據(jù)SAS（邊-角-邊）全等條件，三角形ABD和ACD全等。

4.題型四：構(gòu)造輔助線證明角平分線

-題目：在三角形ABC中，若AB=AC，證明∠BAC的角平分線AD垂直于BC。

-解答：作輔助線DE⊥BC于點(diǎn)E，由于AB=AC，三角形ABC是等腰三角形，所以∠ABC=∠ACB。又因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD。在直角三角形ADE和AED中，∠ADE=∠AED=90°，且∠BAD=∠CAD，根據(jù)AAS（角-角-邊）全等條