【DOC】-初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)一、二次函數(shù)概念:1(二次函數(shù)的概念:一般地，形如yax2,bx,c(a，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這b，c是常數(shù)，a0)里需要強調(diào):和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a0，而b，c可以為零(二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)(2.二次函數(shù)yax2,bx,c的結(jié)構(gòu)特征:?等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2(?a，b，c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項(二、二次函數(shù)的基本形式二次函數(shù)的基本形式y(tǒng)a,x,h,,k的性質(zhì):a的絕對值越大，拋物線的開口越小。2三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟:k,;方法一:?將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)a,x,h,,k，確定其頂點坐標(biāo),h，k,處，具體平移方法如下:?保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點平移到,h，2向右(h>0)【或左(h平移|k|個單位【或左(h<0)】2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負左移;k值正上移，負下移”(概括成八個字“左加右減，上加下減”(方法二:?yax,bx,c沿y軸平移:向上(下)平移m個單位，yax,bx,c變成22第1頁共9頁yax2,bx,c,m(或yax2,bx,c,m)?yax,bx,c沿軸平移:向左(右)平移m個單位，yax,bx,c變成22ya(x,m)2,b(x,m),c(或ya(x,m)2,b(x,m),c)四、二次函數(shù)ya,x,h,,k與yax2,bx,c的比較從解析式上看，ya,x,h,,k與yax2,bx,c是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前b4ac,b2b4ac,b2者，即yax,,，其中h,，(k2a4a2a4a222五、二次函數(shù)yax2,bx,c圖象的畫法五點繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)yax2,bx,c化為頂點式y(tǒng)a(x,h)2,k，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為:頂點、與y軸c,、以及,0，c,關(guān)于對稱軸對稱的點,2h，c,、與x軸的交點,x1，0,，,x2，0,(若與x軸的交點,0，沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點).畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點:開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.六、二次函數(shù)yax2,bx,c的性質(zhì)b4ac,b2b1.當(dāng)a0時，拋物線開口向上，對稱軸為x,，頂點坐標(biāo)為,(2a4a2a當(dāng)x,bbb時，y隨x的增大而減小;當(dāng)x,時，y隨x的增大而增大;當(dāng)x,時，y有最小2a2a2a4ac,b2值(4ab4ac,b2bb2.當(dāng)a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x,，頂點坐標(biāo)為,時，y隨(當(dāng)x,2a4a2a2a4ac,b2bb(x的增大而增大;當(dāng)x,時，y隨x的增大而減小;當(dāng)x,時，y有最大值4a2a2a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式:yax2,bx,c(a，b，c為常數(shù)，a0);2.頂點式:ya(x,h)2,k(a，h，k為常數(shù)，a0);3.兩根式:ya(x,x1)(x,x2)(a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)).注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b2,4ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示(二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項系數(shù)a二次函數(shù)yax2,bx,c中，a作為二次項系數(shù)，顯然a0(a決定了拋物線開口的大小和方向，a第2頁共9頁的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小(2.一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸(ab的符號的判定:對稱軸x,b在y軸左邊則ab0，在y軸的右側(cè)則ab0，概括的說就是2a“左同右異”3.常數(shù)項cc決定了拋物線與y軸交點的位置(總之，只要a，b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的(二次函數(shù)解析式的確定:根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法(用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便(一般來說，有如下幾種情況:1.已知拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式;2.已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大(小)值，一般選用頂點式;3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式;4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式(九、二次函數(shù)與一元二次方程:1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點情況):一元二次方程ax2,bx,c0是二次函數(shù)yax2,bx,c當(dāng)函數(shù)值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數(shù):?當(dāng)b2,4ac0時，圖象與x軸交于兩點A,x1，0,，B,x2，0,(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程ax,bx,c0,a0,的兩根(這兩點間的距離ABx2,x1?當(dāng)0時，圖象與x軸只有2一個交點;?當(dāng)0時，圖象與x軸沒有交點.1'當(dāng)a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有y0;2'當(dāng)a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有y0(2.拋物線yax2,bx,c的圖象與y軸一定相交，交點坐標(biāo)為(0，c);3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié):?求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程;?求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式;?根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2,bx,c中a，b，c的符號，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合;?二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標(biāo)，或已知與x軸的一個交點坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo).二次函數(shù)考查重點與常見題型1(考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如:已知以x為自變量的二次函數(shù)y(m,2)x,m,m,2的圖像經(jīng)過原點，則m的值是2(綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如:如圖，如果函數(shù)ykx,b的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)ykx,bx,1的圖像大致是()第3頁共9頁2223(考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如:已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為x5，求這條拋物線的解析式。34(考查用配方法求拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如:3已知拋物線yax2,bx,c(a?0)與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)是,1、3，與y軸交點的縱坐標(biāo)是,2(1)確定拋物線的解析式;(2)用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo).5(考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。由拋物線的位置確定系數(shù)的符號例1(1)二次函數(shù)yax2,bx,c的圖像如圖1，則點M(b,)在()A(第一象限B(第二象限C(第三象限D(zhuǎn)(第四象限(2)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a?0)的圖象如圖2所示，?則下列結(jié)論:?a、b同號;?當(dāng)x=1和x=3時，函數(shù)值相等;?4a+b=0;?當(dāng)y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是()A(1個B(2個C(3個D(4個ca(1)(2)【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵(2例2.已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸交于點(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，與y軸的正半軸的交點在點(O，2)的下方(下列結(jié)論:?a<b<0;?2a+c>O;?4a+c<O;?2a-b+1>O，其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A1個B.2個C.3個D(4個答案:D會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例3.已知:關(guān)于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一個根為x=2，且二次函數(shù)y=ax+bx+c的對稱軸是直線22x=2，則拋物線的頂點坐標(biāo)為()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D((3，2)答案:C例4、已知拋物線y=125x+x-(22(1)用配方法求它的頂點坐標(biāo)和對稱軸((2)若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長(【點評】本題(1)是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第(2)問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(函數(shù)主要關(guān)注:通過不同的途徑(圖象、解析式等)了解函數(shù)的具體特征;借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù);將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型;滲透函數(shù)的思想;關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。第4頁共9頁二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題1.二次函數(shù)yx,4x,7的頂點坐標(biāo)是()222A.(2,,11)B.(,2，7)C.(2，11)D.(2，,3)2.把拋物線y,2x向上平移1個單位，得到的拋物線是()A.y,2(x,1)B.y,2(x,1)C.y,2x,1D.y,2x,13.函數(shù)ykx,k和y2222k(k0)在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的()x4.已知二次函數(shù)yax,bx,c(a0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:?a,b同號;?當(dāng)x1和x3時,函數(shù)值相等;?4a,b0?當(dāng)y,2時,x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個5.已知二次函數(shù)yax,bx,c(a0)的頂點坐標(biāo)(-1，-3.2)及部分圖象(如圖),2由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程ax,bx,c0的兩個根分別是x11.3和x222(),(,,.,B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函數(shù)yax,bx,c的圖象如圖所示，則點(ac,bc)在()A(第一象限B(第二象限C(第三象限D(zhuǎn)(第四象限7.方程2x,x222的正根的個數(shù)為()xA.0個B.1個C.2個.3個8.已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與y軸交于點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為A.yx,x,2B.y,x,x,2C.yx,x,2或y,x,x,2D.y,x,x,2或yx,x,2222222二、填空題9(二次函數(shù)yx,bx,3的對稱軸是x2，則b_______。-2(x+3)?+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的10(已知拋物線y=取值范圍是_______.11(一個函數(shù)具有下列性質(zhì):?圖象過點(,1，2)，?當(dāng)x,0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大;滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是(只寫一個即可)。12(拋物線y2(x,2),6的頂點為C，已知直線y,kx,3過點C，則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為。13.二次函數(shù)y2x,4x,1的圖象是由y2x,bx,c的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到的,則b=,c=。14(如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是(π取3.14).2222三、解答題:15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x,30,圖象經(jīng)過(1,-6),且與y軸的交點為(0,,(1)求這個二次函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)x為何值時,這個函數(shù)的函數(shù)值為0?(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時,這個函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而增大?16.某種爆竹點燃后，其上升高度h(米)和時間t(秒)符合關(guān)系式hv0t,25).2第15題圖12，其中重gt(0<t?2)2力加速度g以10米/秒計算(這種爆竹點燃后以v0=20米/秒的初速度上升，(1)這種爆竹在地面上點燃后，經(jīng)過多少時間離地15米,(2)在爆竹點燃后的1.5秒至1.8秒這段時間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由.17.如圖，拋物線yx,bx,c經(jīng)過直線yx,3與坐標(biāo)軸的兩個交點A、B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線頂點為D.(1)求此拋物線的解析式;(2)點P為拋物線上的一個動點，求使SAPC:SACD5:4的點P的坐標(biāo)。18.紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結(jié)算，未售出的由廠家負責(zé)處理)(當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸(該建材店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價的方式進行促銷(經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):當(dāng)每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸(綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元(設(shè)每噸材料售價為x(元)，該經(jīng)銷店的月利潤為y(元)((1)當(dāng)每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量;(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍);(3)該建材店要獲得最大月利潤，售價應(yīng)定為每噸多少元,(4)小靜說:“當(dāng)月利潤最大時，月銷售額也最大(”你認為對嗎,請說明理由(2練習(xí)試題答案一，選擇題、1(A2(C3(A4(B5(D6(B7(C8(C二、填空題、9(b,410(x,-311(如y,2x,4,y2x,4等(答案不唯一)212(113(-8714(15三、解答題15((1)設(shè)拋物線的解析式為yax2,bx,c,由題意可得b,2a,3a,b,c,65c,2解得a,1515,b,3,c,所以y,x2,3x,2222(2)x,1或-5(2)x,316((1)由已知得，1520t,110t2，解得t13,t21當(dāng)t3時不合題意，舍去。所以當(dāng)爆竹點燃222后1秒離地15米((2)由題意得，h,5t,20t,,5(t,2),20，可知頂點的橫坐標(biāo)t2，又拋物線開口向下，所以在爆竹點燃后的1.5秒至108秒這段時間內(nèi)，爆竹在上升(17((1)直線yx,3與