投影與視圖(2大知識(shí)點(diǎn)14類(lèi)題型)

(全章知識(shí)梳理與題型分類(lèi)講解)

第一部分【知識(shí)梳理與題型目錄】

【知識(shí)點(diǎn)1】投影

(1)投影：用光線照射物體，在某個(gè)平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影

(projection),照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。

(2)平行投影：有時(shí)光線是一組互相平行的射線，例如太陽(yáng)光或探照燈光的一束光中的光線。由平

行光線形成的投影是平行投影(parallelprojection).

(3)中心投影：由同一點(diǎn)(點(diǎn)光源發(fā)出的光線)形成的投影叫做中心投影(centerprojection)。

(4)正投影：投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。

注：物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)。

【知識(shí)點(diǎn)2】三視圖

(1)三視圖：是指觀測(cè)者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形。

將人的視線規(guī)定為平行投影線，然后正對(duì)著物體看過(guò)去，將所見(jiàn)物體的輪廓用正投影法繪制出來(lái)該圖

形稱為視圖。一個(gè)物體有六個(gè)視圖：從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖一一能反映物體的前面

形狀，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖能反映物體的上面形狀，從物體的左面向右面投

射所得的視圖稱左視圖一一能反映物體的左面形狀，三視圖就是主視圖、俯視圖、左視圖的總稱。

(2)特點(diǎn)：一個(gè)視圖只能反映物體的一個(gè)方位的形狀，不能完整反映物體的結(jié)構(gòu)形狀。三視圖是從

三個(gè)不同方向?qū)ν粋€(gè)物體進(jìn)行投射的結(jié)果，另外還有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表

達(dá)物體的結(jié)構(gòu)。

一個(gè)視圖只能反映物體的一個(gè)方位的形狀，不能完整反映物體的結(jié)構(gòu)形狀。三視圖是從三個(gè)不同方向

對(duì)同一個(gè)物體進(jìn)行投射的結(jié)果，另外還有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達(dá)物體的結(jié)構(gòu)。

知識(shí)點(diǎn)與題型目錄

【知識(shí)點(diǎn)一】投影

【題型1】平行投影..........................................................2

【題型2】中心投影..........................................................4

【題型3】正投影............................................................6

1

【題型4】視點(diǎn)、視角和盲區(qū).............................................................8

【知識(shí)點(diǎn)二】三視圖

【題型5】判斷簡(jiǎn)單的幾何或幾何組合體三視圖........................................n

【題型6】判斷非實(shí)心幾何體三視圖....................................................13

【題型7】已知一種或兩種視圖，判斷其他視圖........................................15

【題型8】畫(huà)簡(jiǎn)單幾何體或組合幾何體三視圖...........................................17

【題型9】畫(huà)小立方塊堆砌圖形的三視圖................................................19

【題型10］由三視圖還原幾何體........................................................20

【題型n】由三視圖求幾何體邊長(zhǎng)、面積、體積.......................................22

【題型12］由三視圖求小立方塊最多個(gè)數(shù)和最少個(gè)數(shù)..................................24

【題型13］直通中考....................................................................26

【題型14］拓展延伸....................................................................29

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型1】平行投影

【例1】(2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè))某一時(shí)刻高度為2.5m的甲樹(shù)在太陽(yáng)光照射下的示意圖如圖，線段3C

表示甲樹(shù)在太陽(yáng)光下的影子，且BC=2m.

⑴請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出統(tǒng)一時(shí)刻乙數(shù)的影子所；

(2)此時(shí)距離兩棵樹(shù)不遠(yuǎn)處身高為1.7m的小華的影長(zhǎng)是多少？

D

BCE

【答案】⑴畫(huà)圖見(jiàn)解析；⑵小華的影長(zhǎng)是1.36米.

【分析】(1)根據(jù)相似三角形畫(huà)出圖形；(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出小華的影長(zhǎng)；

本題考查了平行投影，相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用.

解:(1)如圖，連接4C,過(guò)。作。尸〃NC,交8E于點(diǎn)尸，

??.E尸即為所求；

(2)設(shè)小華的影長(zhǎng)是x米，

2x

由題意得：,

2

解得：x=1.36，

D

答：小華的影長(zhǎng)是1.36米.

【變式1】（2024九年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）下列四幅圖，表示兩棵樹(shù)在同一時(shí)刻陽(yáng)光下的影子是（）

【答案】B

【分析】本題考查平行投影的意義，掌握平行投影的特征和性質(zhì)是正確判斷的前提.

根據(jù)平行投影的意義和性質(zhì)，得出影子與實(shí)物的位置和大小關(guān)系得出答案.

解：太陽(yáng)光和影子，同一時(shí)刻，樹(shù)高和影長(zhǎng)成正比例，且影子的位置在物體的同一方向上，可知選項(xiàng)B中

的圖形符合題意，

故選:B.

【變式2］（23-24九年級(jí)上?河南鄭州?階段練習(xí)）為了測(cè)得一棵樹(shù)的高度48,一個(gè)小組的同學(xué)進(jìn)行了如下

測(cè)量：在陽(yáng)光下，測(cè)得一根與地面垂直、長(zhǎng)為1米的竹竿的影長(zhǎng)為0.8米.同時(shí)發(fā)現(xiàn)這棵樹(shù)的影子不全落

在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖），測(cè)得墻壁上的影長(zhǎng)CZ）為1.5米，落在地面上的影

長(zhǎng)2C為3米，則這棵樹(shù)的高度4B為.

21

【答案】9米

【分析】本題考查了平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵明確在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，經(jīng)過(guò)樹(shù)在教學(xué)樓上

的影子的頂端作樹(shù)的垂線和經(jīng)過(guò)樹(shù)頂?shù)奶?yáng)光線以及樹(shù)所成三角形，與竹竿，影子光線形成的三角形相似,

這樣就可求出垂足到樹(shù)的頂端的高度，再加上墻上的影高就是樹(shù)高.

解：設(shè)從墻上的影子的頂端到樹(shù)的頂端的垂直高度是X米.

3

解得X=?

4

樹(shù)高是?15+L5=2?1（米）.

44

故答案為21?米.

【題型2】中心投影

【例2】（24-25九年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，晚上，王叔叔走在大街上，他發(fā)現(xiàn)：當(dāng)他站在大街

兩邊甲、乙兩盞路燈（路燈足夠亮）之間，并且自己被兩邊的路燈照在水平干燥地面上的影子成一直線時(shí),

甲燈照射的影子長(zhǎng)3m,乙燈照射的影子長(zhǎng)1.5m,又王叔叔的身高為L(zhǎng)8m,兩盞路燈的高度相同，路燈相

距12m,求路燈的高.

甲乙

串、>

y

_____________小、

DGBHF

【答案】6.6m

【分析】根據(jù)題意，得AB〃CD〃EF,CD=EF,繼而得到AG/3s△G￡F,^HAB^^HCD,列比例式,

解答即可.

本題考查了中心投影，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

解：根據(jù)題意，得AB〃CD〃EF,CD=EF,

LGABS^GEF,小HABs小HCD,

GBABHBAB

‘?專(zhuān)一而‘HD~'CD"

GB_HB

???G8=1.5m,HB=3m,

1.5_3

'GF~HD

??.HD=2GF,

設(shè)方H,

???DF=12m,

：A2-y=2（GB+BH+HF）=9+2y,

解得y=l(m),

4

??.GF=GB+BH+HF=5.5(m),

1,5_1.8

一而‘

解得跖=6.6(m),

甲乙

DGBHF

答：路燈高為6.6m.

【變式1］（23-24九年級(jí)上?河北保定?期末）在燈光下，四個(gè)選項(xiàng)中，燈光與物體的影子最合理的是（）

【答案】A

【分析】本題考查了中心投影，根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)點(diǎn)光源即可判斷求解，掌握中心投影的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

解：???對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)點(diǎn)光源，

???燈光與物體的影子最合理的是A,

故選：A.

【變式2】（2024?廣東茂名?二模）如圖，如圖，安裝路燈48的路面。比種植樹(shù)木的地面P。高

CP=1.2m,在路燈的照射下，路基CP留在地面上的影長(zhǎng)￡尸為0.4m,通過(guò)測(cè)量知道8c的距離為1.5m,

則路燈的高度是m.

【答案】4.5

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，中心投影，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可得：ABLCD,CP±PQ,CD||PQ,從而可得/ABC=NCPE=90。,ZACB=ZCEP,然后

5

證明△ZCBs^CEP,從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

解：由題意得：ABLCD,CPLPQ,

??.NABC=/CPE=90。,

由題意得:CD\\PQ,

；"ACB=/CEP,

???AACBS^CEP,

AB_CB

,?不一百‘

AB1.5

解得：AB=4.5,

???路燈48的高度是4.5m,

故答案為：4.5.

【題型3】正投影

【例3】（17-18九年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖所示，AABC被平行光線照射，CD1AB于D,AB在投影面

上.

⑴指出圖中AC的投影是什么？CD與BC的投影呢？

（2）探究：當(dāng)AABC為直角三角形（NACB=90。）時(shí)，易得AC』AD-AB,此時(shí)有如下結(jié)論：直角三角形一直角

邊的平方等于它在斜邊射影與斜邊的乘積，這一結(jié)論我們稱為射影定理.通過(guò)上述結(jié)論的推理，請(qǐng)證明以

下兩個(gè)結(jié)論.

①BC2=BD-AB；（2）CD2=ADBD.

【答案】⑴AC的投影是AD,CD的投影是點(diǎn)D,BC的投影是BD；（2）證明見(jiàn)解析.

解：試題分析：（1）在平行投影中，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影，根據(jù)正投影的定義求解

即可；

（2）①，結(jié)合兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，可得△BCDMBaC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可證明

結(jié)論；

②同理可證△/。。?△。臺(tái)。，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可證明結(jié)論成立.

試題解析：

6

解：⑴?:CDL4B,

而平行光線垂直

.??/C的投影是40,C。的投影是點(diǎn)。，BC的投影為AD；

（2）①?.?2C8=90°,CDLAB于D,

:.AACB=LCDB=90°.

?:（B=（B,

:.ABCD?ABAC,

BC_BD

,,花一茄’

：,BC2=BD?AB；

②同理可得：AACDFCBD,

CDAD

“訪一五’

.-.CD2=AD?BD.

點(diǎn)撥：本題考查了正投影的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記正投影的定義是解決（1）的關(guān)鍵，結(jié)

合圖形得出相似三角形是解決（2）的關(guān)鍵.

【變式1］（2024九年級(jí)?全國(guó)?競(jìng)賽）某同學(xué)身高140cm,那么這名同學(xué)的正投影的長(zhǎng)（）.

A.小于140cmB.等于140cmC.大于140cmD.小于或等于140cm

【答案】D

【分析】本題考查了正投影的定義，在物體的平行投影中，投影線垂直于投影面，則該平行投影稱為正投

影，分兩種情況：當(dāng)投影線垂直于地面時(shí)，當(dāng)投影線平行于地面時(shí)，即可得出答案，熟練掌握正投影的定

義是解此題的關(guān)鍵.

解：當(dāng)投影線垂直于地面時(shí)，此時(shí)這名同學(xué)的正投影的長(zhǎng)為小于140cm,

當(dāng)投影線平行于地面時(shí)，此時(shí)這名同學(xué)的正投影的長(zhǎng)為等于140cm,

綜上所述，某同學(xué)身高140cm,那么這名同學(xué)的正投影的長(zhǎng)小于或等于140cm,

故選：D.

【變式2】（23-24九年級(jí)下,江西贛州,階段練習(xí)）一根長(zhǎng)為小的木棒在平行光線上形成的正投影為3,則相

的取值范圍為.

【答案】m>3

【分析】本題考查正投影的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正投影的定義和性質(zhì)?根據(jù)正投影的定義

和性質(zhì)解答即可一

7

解：當(dāng)木棒與光線平行時(shí)，正投影為一條線段，長(zhǎng)度為3,此時(shí)m=3;

當(dāng)木棒與光線不平行時(shí)，正投影為一條線段，長(zhǎng)度為3,此時(shí)機(jī)＞3;

故答案為：加23.

【題型4】視點(diǎn)、視角和盲區(qū)

【例4】(22-23九年級(jí)上?陜西漢中,期末)如圖，為一盞路燈的燈桿，已知該路燈的燈泡尸位于燈桿0M

上，地面上豎立著一個(gè)矩形單杠已知單杠右側(cè)CD桿在路燈燈泡尸的照射下的影子末端位于點(diǎn)￡

處，已知。、B、C、E在一條直線上，且ABLOE,DCYOE.

⑴請(qǐng)?jiān)趫D中找出路燈燈泡P的位置，并畫(huà)出單杠左側(cè)N3桿在燈泡P的照射下的影子班'；

(2)經(jīng)測(cè)量。8=4米，3尸=2米，單杠的高度居=2米，請(qǐng)你計(jì)算路燈燈泡距地面的高度。P.

【答案】⑴見(jiàn)解析(2)6米

【分析】(1)連接即并延長(zhǎng)交0M于點(diǎn)尸，連接尸/并延長(zhǎng)交OE于R點(diǎn)尸和即即為所求;

(2)先求出。尸=6米，證明AAB尸s△尸。尸，得到包=型，即2=2,則20=6米.

POOFP06

解：(1)解：如圖所示，點(diǎn)尸和跖即為所求；

。尸=05+5尸=6米，

M0L0E,ABLOE,BPPO//AB,

△ABFS^POF,

ABBF22

----=-----，即Rn---=-，

POOFPO6

???P0=6米，

??.路燈燈泡距地面的高度為6米.

8

【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用舉例，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

【變式1】（20-21九年級(jí)上?河北唐山?期末）如圖，從點(diǎn)。觀測(cè)建筑物/C的視角是（）

水平地面

A.NADCB./DABC.ZDCAD.ZDCE

【答案】A

【分析】根據(jù)視角的定義，由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角，即可判斷.

解：如圖所示，根據(jù)視角的定義，建筑物NC兩端發(fā)出的光線在眼球內(nèi)交叉的角為/4DC,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了視角的定義，解題的關(guān)鍵是熟悉并掌握視角的定義.

【變式2】（17-18九年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，大樓4BCD（可以看作不透明的長(zhǎng)方體）的四周都是

空曠的水平地面.地面上有甲、乙兩人，他們現(xiàn)在分別位于點(diǎn)/和點(diǎn)N處，M、N均在3的中垂線上,

且/、N到大樓的距離分別為60米和206米，又已知襤長(zhǎng)40米，長(zhǎng)120米，由于大樓遮擋著，所

以乙不能看到甲.若乙沿著大樓的外面地帶行走，直到看到甲（甲保持不動(dòng)），則他行走的最短距離長(zhǎng)為

米.

【答案】（40V3+20V2）

【分析】據(jù)已知首先得出DH=HP寸米，NO=（20V3+40-X）米，PO=（60+x）米，再利用平行線分線段成比

例定理和三角形面積求出即可.

解：連接MD并延長(zhǎng)，連接NC并延長(zhǎng)，使其兩延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,

作POLMN于O,作CG1MP于G,

根據(jù)題意可得出：

ME=60,DE=HO=FC=60米，F(xiàn)N=20百米，EF=40,

9

■■NC=yjFN2+FC2>

=40百米,

設(shè)EO=x米，

；.DH=x米，

-ME=DE=60米,

/.ZMDE=45°,

.,.DH=HP=x米,A/0=(20VJ+40-力米，PO=(60+x)米,

FCWPO,

FNFC

而一而

20拒60

204+40-x60+x

解得：x=60-20V3,

“0=(120-206)米，A/O=(40百-20)米，

11

-CD-HP=-DP-CG,

22

；*40x(120-206-60)=[206+40-(406-20)]CG,

CG=200米，

???行走的最短距離長(zhǎng)為：A/C+CG=(40百+20行)米.

故答案為4073+2072

A

B

【點(diǎn)撥】此題主要考查了盲區(qū)有關(guān)知識(shí)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已得出宏=會(huì)，求出N。

NOPO

與P。的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

【題型5】判斷簡(jiǎn)單的幾何或幾何組合體三視圖

【例5】（21-22九年級(jí)上,陜西漢中?階段練習(xí)）如圖①是由六棱柱與圓柱組合而成的幾何體，右邊是它的

兩種視圖，在右邊橫線上填寫(xiě)出兩種視圖名稱，并畫(huà)出第三種視圖.

10

/主視方向

圖①

【分析】找到從正面、上面、左面看所得到的圖形即可，注意所有看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在視圖中.

解：如圖如下:

左視圖

【點(diǎn)撥】本題考查幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三視圖觀察的角度.

【變式1】（24-25九年級(jí)上?內(nèi)蒙古包頭?階段練習(xí)）巴黎2024年奧運(yùn)會(huì)的領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)如圖所示，是由三個(gè)長(zhǎng)方

形組合而成的幾何體，則這個(gè)幾何體的左視圖是（）

【答案】B

【分析】本題考查三視圖的畫(huà)法；左視圖是從物體的左邊觀察得到的圖形，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.注意

實(shí)際存在又沒(méi)有被其他棱所擋，在所在方向看不到的棱應(yīng)用虛線表示.

解：從左邊看，可得如下圖形，

11

故選：B.

【變式2］（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖是由五個(gè)相同的正方體搭成的幾何體.

（1）這個(gè)幾何體的主視圖是（填序號(hào)）;

（2）這個(gè)幾何體的左視圖是（填序號(hào)）;

（3）這個(gè)幾何體的俯視圖是（填序號(hào)）.

【答案】③⑤②

【分析】本題考查三視圖.根據(jù)三視圖的定義判斷即可.

解：這個(gè)幾何體的主視圖是③，左視圖是⑤，俯視圖是②.

故答案為：③，⑤，②.

【題型6】判斷非實(shí)心幾何體三視圖

【例6】（2024九年級(jí)下?四川成都?專(zhuān)題練習(xí)）如圖是一根空心方管，它的俯視圖是（）

A.B.''C.?'D.

【答案】B

【分析】本題考查了三視圖中的俯視圖，正確理解俯視圖的概念是解答本題的關(guān)鍵.俯視圖是從物體的上

面看所得到的圖形；注意看到的用實(shí)線表示，看不到的用虛線表示.根據(jù)俯視圖的概念，即可得到答案.

解：俯視圖如圖所示：

12

故選：B.

【變式】（2024?河南駐馬店?二模）如圖，該幾何體的俯視圖是（)

【分析】本題考查的是三視圖，俯視圖,從上面看到的平面圖形,注意能看到的棱都要畫(huà)成實(shí)線，不能看

到的線畫(huà)成虛線.

解：從上面看這個(gè)幾何體看到的是三個(gè)長(zhǎng)方形,

所以俯視圖是:

故選C

【題型7】已知一種或兩種視圖，判斷其他視圖

【例7】（20-21七年級(jí)上?山西太原?階段練習(xí)）一個(gè)幾何體由幾個(gè)大小相同的小立方體搭成，從上面觀察

這個(gè)幾何體，看到的形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方體的個(gè)數(shù).請(qǐng)分別畫(huà)出

從正面、左面看到的形狀圖.

【分析】根據(jù)三視圖的定義畫(huà)出圖形即可.

解：圖形如圖所示：

13

主視圖左視圖

【點(diǎn)撥】本題考查作圖-三視圖，解題的關(guān)鍵是理解三視圖的定義，屬于中考?？碱}型.

【變式1］（2024?山西大同?模擬預(yù)測(cè)）如圖是某幾何體的俯視圖，圖中所表示數(shù)字為該位置小正方體的個(gè)

數(shù)，則該幾何體的左視圖是（）

【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，根據(jù)左視圖是從左邊看到的圖形求解即可.

解：從左邊看看到的圖形分為上中下三層，共兩列，從左邊數(shù)起，第一列，中下兩層各有一個(gè)小正方形,

第二列上中下各有一個(gè)小正方形，即看到的圖形如下：

故選：B.

【變式2】（22-23六年級(jí)上,山東煙臺(tái),期中）幾個(gè)大小相同，且棱長(zhǎng)為1的小正方體所搭成幾何體的俯視

圖如圖所示，圖中小正方形中的數(shù)字表示在該位置小正方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的左視圖的面積

為.

22

122

【答案】4

【分析】根據(jù)該幾何體的俯視圖以及該位置小正方形的個(gè)數(shù)，可以畫(huà)出左視圖，從而求出左視圖的面積；

解：由俯視圖以及該位置小正方體的個(gè)數(shù)，左視圖共有兩列，第一列兩個(gè)小正方形，第二列兩個(gè)小正方形,

可以畫(huà)出左視圖如圖，

14

所以這個(gè)幾何體的左視圖的面積為4.

故答案為4

【點(diǎn)撥】本題考查了物體的三視圖，解題的關(guān)鍵是根據(jù)俯視圖，以及該位置小正方體的個(gè)數(shù)，正確作出左

視圖.

【題型8】畫(huà)簡(jiǎn)單幾何體或組合幾何體三視圖

【例8】（24-25九年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，是一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的正方體挖掉一個(gè)直徑為1cm的

圓柱組成的幾何體.

俯視圖

⑴請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中依次畫(huà)出這個(gè)幾何體的三視圖（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1cm）；

⑵求該幾何體的表面積.

【答案】⑴答案見(jiàn)解析（2）54+1^

【分析】本題考查了作圖一一三視圖，幾何體的表面積等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解二視圖的定義.

（1）根據(jù)三視圖的定義畫(huà)出圖形即可；

（2）根據(jù)表面積的定義求解即可.

解：（1）解：該幾何體的三視圖如圖所示

主視圖左視圖

俯視圖

15

（2）解：由圖可知，該幾何體的表面積=3x3x6-2萬(wàn)xI|+?xlx3=54+"|?.

【變式1］（2023?廣東深圳二模）如圖，幾何體的主視圖是（）

D.

【答案】A

【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖即可解答.

解：從正面看圖形為

【點(diǎn)撥】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，掌握從正面看得到的圖形是主視圖成為解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，右邊的圖形是物體的—圖.

【答案】主視

【分析】根據(jù)幾何體分別畫(huà)出主視圖、左視圖、俯視圖，對(duì)比后即可得出答案.

解：此幾何體的三視圖如下：

俯視圖

故答案為主視.

16

【點(diǎn)撥】本題考查了三視圖的識(shí)別.準(zhǔn)確畫(huà)出幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵.

【題型9】畫(huà)小立方塊堆砌圖形的三視圖

【例9】(24-25七年級(jí)上?山東青島?階段練習(xí))如圖，把邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的9個(gè)相同小正方體擺成簡(jiǎn)單幾

⑴畫(huà)出該幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖；(友情提示：用28鉛筆畫(huà)圖)

⑵直接寫(xiě)出該幾何體的表面積為;

⑶如果保持這個(gè)幾何體的左視圖和俯視圖不變，那么最多可以再添加個(gè)小正方體.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)36(3)3

【分析】此題考查了三視圖的畫(huà)法、求幾何體的表面積等知識(shí).

(1)根據(jù)三視圖的定義結(jié)合幾何體畫(huà)出即可；

(2)求出幾何體的表面積即可；

(3)根據(jù)左視圖和俯視圖不變進(jìn)行添加即可.

主視圖左視圖俯視圖

(2)幾何體的表面積：6x2+5x2+6x2+2=36,

故答案為：36

【變式1】(24-25七年級(jí)上?遼寧沈陽(yáng),單元測(cè)試)如圖是某幾何體的俯視圖，其中小正方形中的數(shù)字表示

該位置小立方塊的個(gè)數(shù)，則該幾何體從左面看到的形狀圖是()

17

【答案】B

【分析】本題考查了從不同方向看組合圖形，三視圖的含義.先細(xì)心觀察，從左面看去，一共兩列，左邊

有2個(gè)小正方形，右邊有3個(gè)小正方形，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)選出答案.

解：從左面看去，一共兩列，左邊有2個(gè)小正方形，右邊有3個(gè)小正方形，

???從左面看到的形狀圖是

故選：B.

【變式2】（22-23七年級(jí)上?遼寧丹東?階段練習(xí)）用小正方體搭一個(gè)幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖

所示，則這個(gè)幾何體至少有個(gè)小正方體組成，至多又是個(gè).

主視圖俯視圖

【答案】911

【分析】根據(jù)主視圖和俯視圖把圖形還原，找出每處可能的正方體個(gè)數(shù).判斷至少需要正方體的個(gè)數(shù)，即

可進(jìn)行解答.

解：由主視圖可知，圖形有三層，則最少有：2+14-3+1+1+1=9（個(gè)）；

主視圖俯視圖

最多有：2+1+3+2+1+2=11（個(gè)）,

18

主視圖俯視圖

故答案為：9,11.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了三視圖，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖將幾何題還原.

【題型10］由三視圖還原幾何體

【例10］（23-24九年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）由一些大小相同的小正方體組成的一個(gè)幾何體的主視圖和左

視圖如圖所示.

⑴請(qǐng)你畫(huà)出這個(gè)幾何體的俯視圖;

（2）若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為〃，請(qǐng)你寫(xiě)出〃的所有可能值.

主視圖左視圖

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵〃=3或，=4或〃=5

【分析】本題主要考查了對(duì)三視圖的理解應(yīng)用及空間想象能力.

（1）由左視圖可得第一層立方體的可能個(gè)數(shù)，由主視圖可以看出每一層小正方體的層數(shù)和個(gè)數(shù)，畫(huà)出幾

何體可能的俯視圖即可；

（2）易得這個(gè)幾何體共有2層，由左視圖可得第一層立方體的個(gè)數(shù)，由主視圖可得第二層立方體的可能

的個(gè)數(shù)，相加即可.

解：（1）解：由題中所給出的主視圖知這個(gè)幾何體共二列，且右側(cè)一列高兩層，左側(cè)一列最高一層，由左

視圖可知左側(cè)一層，右側(cè)兩層；

，后面一行有1或2個(gè)小正方體，而前面一行可能有2個(gè)或3個(gè)小正方體，

這個(gè)幾何體的俯視圖如圖所示：

（2）解：由（1）知圖中的小正方體最少3塊，最多5塊,

〃=3或"=4或"=5.

19

【變式1］（2024九年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體是（）

C.圓錐D.棱柱

【分析】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷幾何體，掌握三視圖的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀即可；

解：由已知三視圖可知，主視圖、左視圖為長(zhǎng)方形，俯視圖為圓，則符合條件的立體圖形是圓柱；

故選：A.

【變式2】（23-24七年級(jí)上?江蘇南京?期末）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)主視圖、左視圖和俯視圖完全一樣的幾何體.

【答案】正方體（答案不唯一）

【分析】本題考查學(xué)生對(duì)三視圖的掌握程度以及靈活運(yùn)用能力.主視圖、左視圖、俯視圖是物體分別從正

面、左面和上面看，所得到的圖形.

解：球的三視圖都為圓；正方體的三視圖都為正方形.

故答案為：正方體（答案不唯一）.

【題型11］由三視圖求幾何體邊長(zhǎng)、面積、體積

【例11】（20-21九年級(jí)上?山東淄博?期末）（1）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，依據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，求

出這個(gè)幾何體的側(cè)面積.

22

⑵如圖2是圖1長(zhǎng)方體的三視圖，若用S表示面積，S±=a,S￡=a+a,求出S腑.

20

主視圖左視圖

口匚。

'1Z7

正面俯視圖

圖1圖2

【答案】(1)65n；(2)a2+a

【分析】(D根據(jù)三視圖知，原幾何體是一個(gè)圓錐，且已知圓錐的底面直徑和母線長(zhǎng)，從而可求得側(cè)面積;

(2)根據(jù)主視圖和左視圖的面積，易得俯視圖的長(zhǎng)和寬，從而求得俯視圖的面積.

解：(1)由三視圖可知，原幾何體為圓錐，

S網(wǎng)=兀尸?/=n：x5xl3=65n:.

答：這個(gè)幾何體的側(cè)面積是65Tl.

(2)S^(a+1),

二俯視圖的長(zhǎng)為a+L寬為a,

■?Sdf—a(a+1)=a2+a.

【點(diǎn)撥】本題考查了三視圖，關(guān)鍵會(huì)由三視圖還原幾何體.

【變式1】(24-25七年級(jí)上?浙江?開(kāi)學(xué)考試)如圖，把15個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體重疊起來(lái)拼成一個(gè)立體

圖形，則這個(gè)立體圖形的表面積為()平方厘米.

A.22B.23C.44D.46

【答案】D

【分析】本題考查了幾何體表面積.掌握立體圖形的三視圖是解題的關(guān)鍵.由立體圖形可知，上表面共有

8個(gè)正方形，下表面共有8個(gè)正方形，前表面共有7個(gè)正方形，后表面共有7個(gè)正方形，右表面共有8個(gè)

正方形，左表面共有8個(gè)正方形，將各面積相加即可求解.

解：圖中每一個(gè)正方形面積1X1=10/,

7x2+8x2+8x2=46(cm2),

故選：D.

【變式2】(24-25七年級(jí)上?江西吉安?階段練習(xí))如圖，一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的

體積為?

21

俯視圖

【答案】24萬(wàn)

【分析】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖確定該幾何體是圓柱體，再根據(jù)圓柱體的體積公式

即可求解，理解簡(jiǎn)單幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵.

解：由三視圖確定該幾何體是圓柱體，底面半徑是4+2=2,高是6,

則這個(gè)幾何體的體積為萬(wàn)x2?x6=24萬(wàn).

故答案為：24萬(wàn).

【題型12］由三視圖求小立方塊個(gè)數(shù)

【例12］（23-24七年級(jí)上?重慶銅梁?開(kāi)學(xué)考試）人們從不同的方向觀察某個(gè)物體，可以看到不同的圖

形.一般地，我們把從正面看到的圖形稱為正視圖，把從左面看到的圖形稱為左視圖，把從上面看到的圖

形稱為俯視圖.

在桌面上，由十個(gè)完全相同的小正方體搭成了一個(gè)幾何體，如圖所示.

⑴請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)幾何體的三視圖.

（2）若將此幾何體的表面噴上紅漆（接觸桌面的一面不噴），則三個(gè)面上是紅色的小正方體有（）個(gè).

⑶若現(xiàn)在你的手頭還有一些相同的小正方體可添放在幾何體上，要保持正視圖和左視圖不變，則最多可以

添加（）個(gè)小正方體.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）1（3）4

【分析】本題考查了從不同角度觀察物體，求三視圖求最多或最少的小立方塊的個(gè)數(shù).需熟練掌握三視圖

22

的概念以及畫(huà)法是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意中三視圖的概念畫(huà)出平面圖形即可；

（2）根據(jù)立體圖形可以直接分析，只有最下層中間排最右端一個(gè)小正方體三個(gè)面上是紅色;

（3）要保持正視圖和左視圖不變，最底層可以加3個(gè)，第二層可以加1個(gè)，共可加4個(gè).

解：（工）解：由題意作圖如下：

d口

正視圖左視圖俯視圖

（2）解：由題意知，若將此幾何體的表面噴上紅漆（接觸桌面的一面不噴），則三個(gè)面上是紅色的小正方

體有1個(gè)，

故答案為：1;

（3）解：由題意知，若現(xiàn)在還有一些相同的小正方體可添放在幾何體上，要保持正視圖和左視圖不變，

則最多可以添加4個(gè)小正方體，

故答案為：4.

【變式1］（2024?廣東中山?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的是由一些相同的小正方體構(gòu)成的幾何體的三視圖，則

這個(gè)幾何體中小正方體的個(gè)數(shù)（）

主視圖左視圖

俯視圖

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】本題考查學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查.掌

握口訣"俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章"是關(guān)鍵.

根據(jù)該幾何體的俯視圖可確定該幾何體共有兩行三列，再結(jié)合主視圖，即可得出該幾何體的小正方體的個(gè)

數(shù).

23

解：綜合三視圖可知，這個(gè)幾何體的底層應(yīng)該有4個(gè)小正方體，

第二層左邊有1個(gè)小正方體，

因此搭成這個(gè)幾何體所用小正方體的個(gè)數(shù)是4+1=5個(gè).

故選B.

【變式2】（2022?山東青島?模擬預(yù)測(cè)）如圖，是一個(gè)由若干個(gè)相同的小正方體組成的幾何體的三視圖，

則組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是個(gè).當(dāng)用14個(gè)小正方體搭建這個(gè)幾何體時(shí)，滿足條

【分析】本題考查俯視圖小正方形的個(gè)數(shù)即為最底層的小正方體的個(gè)數(shù)，主視圖第二層和第三層小正方形

的個(gè)數(shù)即為其余層數(shù)小正方體的最少個(gè)數(shù).

由俯視圖易得這個(gè)幾何體共有3層，由俯視圖可得第一層正方體的個(gè)數(shù)，由主視圖可得第二層和第三層正

方體的可能的最少個(gè)數(shù)，相加即可，再根據(jù)小正方體的個(gè)數(shù)最少的情況，判斷得用14個(gè)小正方體搭建這

個(gè)幾何體時(shí)，只需再最少的情況中，小正方體個(gè)數(shù)為1的位置再放1個(gè)即可.

解：由俯視圖易得最底層有8個(gè)正方體，由主視圖第二層最少有3個(gè)正方體，第三層最少有2個(gè)正方體,

則組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是：8+3+2=13.

根據(jù)三視圖可畫(huà)圖小正方體的個(gè)數(shù)最少的情況如下：

則用14個(gè)小正方體搭建這個(gè)幾何體時(shí)，只需再最少的情況中，小正方體個(gè)數(shù)為1的位置再放1個(gè)即可，

.??滿足條件的幾何體一共有10種擺法，

故答案為：13,10.

【題型12］由三視圖求小立方塊最多個(gè)數(shù)和最少個(gè)數(shù)

【例13】（24-25七年級(jí)上?遼寧沈陽(yáng),階段練習(xí)）一個(gè)幾何體由幾個(gè)相同的小立方塊搭成，從上面和從正

面看到的形狀如圖所示，從上面看到的形狀圖中，小正方形中的字母表示在該位置小立方塊的個(gè)數(shù).

24

(2)這個(gè)幾何體最少由_______個(gè)小立方塊搭成，最多由________個(gè)小立方塊搭成；

(3)當(dāng)d=3,e=l時(shí)，請(qǐng)畫(huà)出從左面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖.

【答案】(1)2,1,1；(2)8,10；⑶見(jiàn)解析

【分析】本題考查由從不同方向看幾何體，解題的關(guān)鍵是理解從不同方向看幾何體得出的圖形.

(1)根據(jù)從正面和上面看到的形狀判斷即可；

(2)根據(jù)從正面和上面看到的形狀判斷即可；

(3)根據(jù)從左面看到的形狀圖畫(huà)出圖形.

解：(1)解：觀察從正面看到的圖可知a=2,b=c=\

故答案為：2,1,1；

(2)解：這個(gè)幾何體最少由2+1+1+3+1=8個(gè)小立方塊搭成，最多由2+1+1+3+3=10個(gè)小立方塊搭成.

故答案為：8,10；

(3)解：從左面看到的圖形如圖所示：

【變式1](24-25七年級(jí)上?河南鄭州?階段練習(xí))用若干大小相同的小立方塊搭一個(gè)幾何體，使得從正面

和上面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖如圖所示.則搭成這樣的幾何體需要小立方塊個(gè)數(shù)為()

從正面看從上面看

A.最多需要8塊，最少需要7塊B.最多需要8塊，最少需要6塊

C.最多需要7塊，最少需要6塊D.最多需要6塊，最少需要5塊

【答案】C

【分析】本題考查了由三視圖求最多或最少的小立方塊的個(gè)數(shù).熟練掌握幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵.

由圖可知，底層需要4塊小立方塊，頂層最少需要2塊，最多需要3塊，然后求解作答即可.

25

解：由圖可知，底層需要4塊小立方塊，頂層最少需要2塊，最多需要3塊，

???搭成這樣的幾何體需要小立方塊個(gè)數(shù)為最多需要7塊，最少需要6塊，

故選：C.

【變式2】（23-24七年級(jí)上?福建泉州?階段練習(xí)）由〃個(gè)相同的小正方體堆成的一個(gè)幾何體，其主視圖和

俯視圖如圖所示，貝卜的最小值是.

主視圖俯視圖

【答案】6

【分析】本題考查了由三視圖判斷幾何體，從主視圖和俯視圖分別判定上層和下層的小正方體個(gè)數(shù)即可.

解：由主視圖和俯視圖可知，下層小正方體為5個(gè)，上層在俯視圖左邊則至少有一個(gè)小正方體，要使得〃

最小，則上層只有一個(gè)小正方體，此時(shí)"=1+5=6,

故答案為：6.

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

【題型13】直通中考

【例1】（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）由5個(gè)形狀、大小完全相同的小正方體組合而成的幾何體，其主

視圖和左視圖如圖所示，則搭建該幾何體的方式有（）

主視圖左視圖

A.1種B.2種C.3種D.4種

【答案】C

【分析】本題考查了三視圖，解題的關(guān)鍵是理解三視圖的定義.根據(jù)小正方體一共5個(gè)，以及主視圖和左

視圖，畫(huà)出俯視圖即可.

解：由主視圖可知，左側(cè)一列最高一層，右側(cè)一列最高三層，由左視圖可知，前一排最高三層，后一排最

高一層，可知右側(cè)第一排一定為三層，可得該幾何體俯視圖如圖所示，

26

13133

故選：c.

【例2】（2024?四川自貢?中考真題）為測(cè)量水平操場(chǎng)上旗桿的高度，九（2）班各學(xué)習(xí)小組運(yùn)用了多種測(cè)

量方法.

圖1（利用影子）圖2（利用鏡子）圖3（利用標(biāo)桿）

⑴如圖1,小張?jiān)跍y(cè)量時(shí)發(fā)現(xiàn)，自己在操場(chǎng)上的影長(zhǎng)昉恰好等于自己的身高可.此時(shí)，小組同學(xué)測(cè)得旗

桿襤的影長(zhǎng)3c為11.3m,據(jù)此可得旗桿高度為m；

⑵如圖2,小李站在操場(chǎng)上￡點(diǎn)處，前面水平放置鏡面C,并通過(guò)鏡面觀測(cè)到旗桿頂部小組同學(xué)測(cè)得

小李的眼睛距地面高度〃￡=1.5m,小李到鏡面距離EC=2m,鏡面到旗桿的距離C2=16m.求旗桿高度;

⑶小王所在小組采用圖3的方法測(cè)量，結(jié)果誤差較大.在更新測(cè)量工具，優(yōu)化測(cè)量方法后，測(cè)量精度明顯

提高，研學(xué)旅行時(shí)，他們利用自制工具，成功測(cè)量了江姐故里廣場(chǎng)雕塑的高度.方法如下：

圖4（找水平線）圖5（定標(biāo)高線）圖6（測(cè)雕塑高）

如圖4,在透明的塑料軟管內(nèi)注入適量的水，利用連通器原理，保持管內(nèi)水面M,N兩點(diǎn)始終處于同一水

平線上.

如圖5,在支架上端尸處，用細(xì)線系小重物0,標(biāo)高線P0始終垂直于水平地面.

如圖6,在江姐故里廣場(chǎng)上E點(diǎn)處，同學(xué)們用注水管確定與雕塑底部3處于同一水平線的。，G兩點(diǎn)，并

標(biāo)記觀測(cè)視線與標(biāo)高線交點(diǎn)C,測(cè)得標(biāo)高CG=L8m,DG=1.5m.將觀測(cè)點(diǎn)。后移24nl到。處，采用

同樣方法，測(cè)得C'G'=1.2m,D'G'=2m.求雕塑高度（結(jié)果精確到1m）.

【答案】（1）11.3⑵旗桿高度為12m；⑶雕塑高度為29m.

【分析】本題考查平行投影，相似三角形的應(yīng)用.

27

(1)根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例，進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)鏡面反射性質(zhì)，可求出4c8=得出A4CBSADCE,最后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即

可求出答案;

(3)BG=xm,由題意得：△DGCSADB4,^D'G'C'^AD'BA,利用相似三角形的性質(zhì)列出式子，計(jì)

算即可求解.

解：(1)解：由題意得/用尸，由題意得：空=竺，

AB-BC=11.3m,

故答案為：11.3；

?:AB工BE,DELBE,

：.ZABC=ZDEC=90°,

:AACBSADCE,

ABCBAB16

/.——=——,即Hn——=—,

DECE1.52

/.AB=12f

答：旗桿高度為12m；

（3）解：設(shè)BG=xm,

由題意得：ADGCs^DBA,八D'GC'SA