第一次月考（壓軸38題12種題型）

范圍：七年級下冊第一-第二單元

同底數(shù)塞的乘法（共4小題）

1.已知=Qwi,°wo）,求力的值7.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：，.力.a2*1=@25“1,“wo）,

."3+22用+1—25,

.*?3+m+2徵+1=25,

解得m=l,

故填7.

2.閱讀材料：求1+2+22+23+24+-+22013的值.

解：5=1+2+22+23+24+-+22012+22013,將等式兩邊同時(shí)乘2得：

2S=2+22+23+24+25+--+22013+22014

將下式減去上式得2s-S=22014-1

即S=22014-1

即1+2+22+23+24+--+22013=22014-1

請你仿照此法計(jì)算：

（1）1+2+22+23+24+---+210

（2）l+3+32+33+34+-+3n（其中”為正整數(shù)）.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）5=1+2+22+23+24+-+210,

將等式兩邊同時(shí)乘2得：2s=2+2?+23+24+…+210+2”，

將下式減去上式得：2S-S=2n-1,即S=2“-l,

貝ij1+2+22+23+24+…+21°=2"-1；

(2)設(shè)5=1+3+32+33+34+…+3”①，

兩邊同時(shí)乘3得：3S=3+32+33+34+-+3n+3n+1@,

②-①得：3S-S=3"+1-1,即5=A(3n+1-1),

2

貝Ul+3+32+33+34+—+3n=A(3,,+1-1).

2

3.如果那么我們規(guī)定(a,b)=c,例如：因?yàn)?3=8,所以(2,8)=3

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：

(3,27)=3,(4,1)=0(2,0.25)=-2；

(2)記(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c.求證：a+b=c.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)(3,27)=3,(4,1)=0,(2,0.25)=-2,

故答案為：3,0,-2；

(2)證明：(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c,

：.3a=5,3b=6,3c=30,

：.3aX3b=30,

：.3aX3b=3c,

??ci^~b=c.

4.閱讀下列材料：一般地，〃個(gè)相同的因數(shù)。相乘…，記為a”.如2X2X2=23=8,

此時(shí)，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為log28(即log28=3).

一般地，若a"=b(。>0且,b>0),則"叫做以。為底6的對數(shù)，記為loga6(即

logab=n).如34=81,則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為log381(即log381=4).

(1)計(jì)算以下各對數(shù)的值：10224=2,log216=4,10￡264=6.

(2)寫出(1)log24、log216、log264之間滿足的關(guān)系式Iog24+log216=)g264.

(3)由(2)的結(jié)果，請你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論：logaM+losaJV=loga(MN)(a

>0且M>0,N>0).

(4)設(shè)/=N,am=M,請根據(jù)暴的運(yùn)算法則以及對數(shù)的定義說明上述結(jié)論的正確性.

【答案】(1)2,4,6；

(2)Iog24+log216=log264；

(3)log?(MN)；

(4)證明過程詳見解析.

【解答】解：(1)log24=2,log216=4,log264=6,

故答案為：2,4,6；

(2)?/4X16=64,log24=2,log216=4,log264=6,

Iog24+log216=log264,

故答案為：Iog24+log216=log264；

(3)logjll+loglog?QMN),

故答案為：log。(MN)；

(4)證明：設(shè)log〃M=Ai,k)g〃N=A2,

則12=N,

cLa.

：.MN=bi?b2

AaAa

_b】+b-

a

.?.》l+02=loga(MN),

\ogaM+\ogaN=\oga(MN).

二.塞的乘方與積的乘方(共3小題)

5.定義：如果/=N(a>0,〃W1),那么x叫做以〃為底N的對數(shù)，記做x=logJV.例如：

因?yàn)?2=49,所以log749=2；因?yàn)?3=125,所以log5125=3.則下列說法正確的個(gè)數(shù)

為()

①log61=0；

(2)log323=31og32；

③若log2(3-4)=logs27,貝！J4=0;

@log2ry=logzx+log2y(x>0,y>0).

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解答】解：???60=1,

/.Iog61=0,說法①符合題意；

由于產(chǎn)?^=泮+%設(shè)加=心，N=^,

貝!Jm=\ogdM,n=k)gdN,

于是logd(MN)=m+n=log^Af+log6riV,說法④符合題意；

則Iog323=log3(2X2X2)=log32+log32+log32=3k)g32,說法②符合題意；

設(shè)p=logab,則aP=b,

兩邊同時(shí)取以。為底的對數(shù)，

logap=logb，則plogca=logcE

log^alog^b

所以P=「3,即10gab=L^，

logcbalogca

log227i4

則I°g827^^-=51og227=log2273=log23，

"/log2(3-a)=log827=log23,

.\a=0,說法③符合題意；

故選：A.

6.如果2a+b=3,那么4a+2b=6；當(dāng)3m+2〃=4時(shí)，則8"?4"=16

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：：2a+b=3,

，4a+26=6；

gm?4〃=2?血+2〃，

?3m+2n=4,

.'.23m+2n=16.

故答案為：6；16.

7.計(jì)算：22018?,工)2019=_1_

~2—~2~

【答案】-工.

2

【解答】解：原式=22°18.(-工)2018.(_2)

22

=[2X產(chǎn)°18.(」)

122

=(-1)2。18,(」)

'2'

=-1

2,

故答案為-1.

2

三.同底數(shù)塞的除法(共1小題)

8.已知(am)”=〃6,(〃加)2+〃九=〃3

(1)求mn和2m-n的值;

(2)求4序+〃2的值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)V(am)』6,(0)2M=3

???C^lmn——C—l6>CJlim~n——C「l3,

貝llmn=6>2m-〃=3；

(2)當(dāng)M〃=6、2根-九=3時(shí)，

4m2+n2=(2m-ri')2+4mn

=32+4X6

=9+24

=33.

四.平行線的判定(共1小題)

9.將一副三角板中的兩根直角頂點(diǎn)。疊放在一起(如圖①)，其中NA=30°,ZB=60°,

ND=NE=45°.

(1)若N3CD=150°,求NACE的度數(shù)；

(2)試猜想N5CD與NACE的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；

(3)若按住三角板ABC不動(dòng)，繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)三角板DCE,試探究N8CD等于多少度時(shí),

CD//AB,并簡要說明理由.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)-：ZBCA=ZECD=90°,ZBCD=150°,

：.ZDCA=ZBCD-ZBCA=150°-90°=60°,

ZACE=ZECD-ZDCA=90°-60°=30°；

(2)ZBCZ)+ZACE=180°,理由如下：

/ZBCD=ZACB+ZACD=90°+ZAC￡>,

ZACE=ZDCE-ZACD=90°-ZACD,

AZBCD+ZACE=180°；

(3)當(dāng)N3CO=120°或60°時(shí)，CD//AB.

如圖②，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，

當(dāng)N8+/BC￡>=180°時(shí)，CD//AB,此時(shí)N8CO=180°-ZB=180°-60°=120°；

如圖③，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，

當(dāng)/2=/2。￡)=60°時(shí)，CD//AB.

A

10.如圖，AB//CD,尸為上方一點(diǎn)，H、G分別為A3、C￡>上的點(diǎn)，ZPHB,ZPGD

的角平分線交于點(diǎn)E,/PGC的角平分線與即的延長線交于點(diǎn)下，下列結(jié)論：

?EG.LFG；

②/P+/PHB=ZPGD；

③/P=2/E；

④若/AHP-/PGC=/F,則/尸=60。.

其中正確的結(jié)論有()個(gè).

【答案】D

【解答】解：?.?G尸平分NPGC,GE平分NPGD,

:?NPGF=L/PGC,NPGE=L/PGD,

22

:?/EGF=/PGF+/PGE=^(/PGC+/PGD)=A.X1800=90。，

即EG,尸G,故①正確；

^AB//CD,

：.ZPMB=ZPGD,

,/ZPMB=ZP+ZPHM,

:?/P+/PHB=/PGD,故②正確；

?:HE平分NBHP,GE平分/PGD,

:?/PHB=2/EHB,/PGD=2/EGD,

9：AB//CD,

：.ZPMB=ZPGD,NENB=NEGD,

:?NPMB=2NENB,

■:/PMB=/P+/PHB,NENB=NE+NEHB,

???NP=2NE,故③正確；

ZAHP-ZPMC=/P,NPMH=NPGC,

ZAHP-NPGC=/F,

:,/P=/F,

VZFGE=90°,

：.ZE+ZF=9Q°,

：.ZE+ZP=90°,

VZP=2ZE,

；.3/E=90,

解得NE=30°,

ZF—ZP—60°,故④正確.

綜上，正確答案有4個(gè)，

故選：D.

11.如圖，已知CE、的交點(diǎn)為E,現(xiàn)作如下操作：

第一次操作，分別作/A8E和/OCE的平分線，交點(diǎn)為妨，

第二次操作，分別作和NOCE1的平分線，交點(diǎn)為&,

第三次操作，分別作乙48&和/。CE2的平分線，交點(diǎn)為￡3,

???，

第n次操作，分別作NABE”一1和/。C&-1的平分線，交點(diǎn)為En.

圖①圖②

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖①，過E作E尸〃AB,

'JAB//CD,

：.AB//EF//CD,

.\ZB=Z1,ZC=Z2,

VZBEC=Z1+Z2,

ZBEC=ZABE+ZDCE；

如圖②，：/ABE和NOCE的平分線交點(diǎn)為Ei,

ZCEiB=ZABEi+ZDCEi=l.ZABE+^ZDCE=^-ZBEC.

222

?；ZABEi和/OCEi的平分線交點(diǎn)為Ei,

：.NBEzC=ZABE2+ZDCE2^^ZABEI+1.ZDCEI^XZCEIB^^ZBEC；

2224

如圖②，?.?/A3E2和NOCE2的平分線，交點(diǎn)為E3,

ZBE3C=NABE3+/DCE3=L/ABE2+工/DCE2=L/CE2B=LNBEC；

2228

以此類推，NE"=L/BEC.

2n

當(dāng)/瓦=1度時(shí)，/BEC等于2"度.

故答案為:2".

12.如圖a是長方形紙帶，ZDEF=a°,將紙帶沿EF折疊成圖6,再沿8尸折疊成圖c,

則圖c中的/CTE的度數(shù)是（180-3a）°（用含a的代數(shù)式表示）.

圖a

【答案】180-3a.

【解答】1￥：'JAD//BC,ZDEF^a,

：.ZBFE=ZDEF=a,

.\ZEFC=180°-a°（圖a）,

.".ZBFC=ZBFC=1800-a-a=180°-2a°（圖b）,

AZCFE=180°-2a°-a°=180°-3a°（圖c）.

故答案為：180-3a.

13.如圖1,已知A8〃C。，ZB=30°,ZD=120°；

(1)若NE=60。，則/U=90°；

(2)請?zhí)剿鱊E與/斤之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；

(3)如圖2,已知EP平分/8ERFG平分/EFD,反向延長尸G交EP于點(diǎn)P,求/P

的度數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)如圖1,分別過點(diǎn)E,尸作FN//AB,

J.EM//AB//FN,

:./B=NBEM=30°,ZMEF=ZEFN,

又■:AB〃CD,AB//FN,

C.CD//FN,

：.ZD+ZDFN=l80°,

又?.?/￡>=120°,

：.ZDFN=60°,

：.ZBEF=ZMEF+300,NEFD=NEFN+60°,

：.ZEFD=ZMEF+600

；.NEFD=/BEF+30°=90°；

故答案為：90°；

(2)如圖1,分別過點(diǎn)E,尸作EM〃/IB,FN//AB,

J.EM//AB//FN,

:.NB=NBEM=30°,/MEF=NEFN,

5L'：AB//CD,AB//FN,

：.CD//FN,

AZD+ZDFN=180°,

又:/。=120°,

：.ZDFN=60°,

AZBEF=ZMEF+300,NEFD=NEFN+60。,

:.NEFD=NMEF+60°,

：.ZEFD=ZBEF+300；

(3)如圖2,過點(diǎn)尸作也〃￡尸，

由(2)知，ZEFD=ZBEF+30°,

設(shè)/BEF=2x°,則NEF￡>=(2x+30)°,

■:EP平分NBEF,GF平分NEFD,

：.ZPEF=^ZBEF=x°,/EFG=Z/EFD=(x+15)°,

22

'JFH//EP,

Z.PEF=ZEFH=x°,Z.P=ZHFG,

'：ZHFG=ZEFG-NEFH=15°,

.*.ZP=150.

ApA_____________7B

圖1圖2

14.如圖，已知直線/l〃/2,且/3和/i,/2分別交于A,8兩點(diǎn)，/4和/1,/2相交于C,。兩

點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB上，

(1)當(dāng)點(diǎn)尸在A,B兩點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問/I,Z2,23之間的關(guān)系是否發(fā)生變化？并說

明理由；

(2)如果點(diǎn)尸在A,2兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究NACP,ZBDP,NCPD之間的關(guān)系，

并說明理由.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】證明：（1）如圖1,過點(diǎn)P作P。〃/1,

'：PQ//h,

=（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

"：PQ//h,11//12（已知），

：.PQ//l2（平行于同一條直線的兩直線平行），

；./5=/2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

VZ3=Z4+Z5,

.*.Z3=Z1+Z2（等量代換）；

(2)如圖2,過/^點(diǎn)作/^a^^交^^于f點(diǎn),

'：AC//BD,

:.PF〃AC,

：.NACP=ZCPF,ZBDP=ZDPF,

:./CPD=/DPF-NCPF=NBDP-AACP-,

同理，如圖/CPD=ZACP-NBDP；

15.如圖，己知直線h〃a直線/3和直線h、/2交于點(diǎn)C和D、A、B兩點(diǎn)分別在A和h

上，直線/3上有一動(dòng)點(diǎn)尸

（1）如果尸點(diǎn)在C、。之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜測/B4C,ZAPB,/尸8。之間有什么關(guān)系，證

明你的結(jié)論

（2）若點(diǎn)P在。C的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZPAC,ZAPB,/PBD之間的關(guān)系為/PBD

（3）在（2）的條件下，NB4C和/尸8。的角平分線相交于點(diǎn)。，探索/APB和/AQB

的關(guān)系，并證明.

【解答】解：（1）結(jié)論：如圖①，當(dāng)尸點(diǎn)在C、￡＞之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZAPB=ZPAC+ZPBD.

理由如下:

過點(diǎn)P作PE〃/1,

"：h//l2,

：.PE//h//l\,

：.APAC=Z.\,NPBD=N2,

：.ZAPB=Zl+Z2=ZPAC+ZPBD；

(2)結(jié)論：如圖②，當(dāng)點(diǎn)尸在C、。兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)，且在人上方時(shí)，/PBD=/MC+

ZAPB.

理由如下：

'：h//l2,

：.ZPEC=ZPBD,

'：NPEC=ZPAC+ZAPB,

：.NPBD=ZFAC+ZAPB.

故答案為NB4C+NAPB.

(3)結(jié)論：NAPB=2/AQB.

理由：由(2)可知-NE4C,同理NAQ8=NQB￡>-NQ4C,

：A。平分/RIC,BQ平分/PBD,

：.ZFAC=2ZQAC,ZPBD=2ZQBD,

：.ZAPB=ZPBD-ZR\C=2ZQBD-2ZQAC=2(.ZQBD-ZQAC)=2ZAQB.

16.將一副三角板按如圖放置，ZBAC=ZDAE=90°,ZB=45°,ZE=60°,貝！J：①

/l=/3；②/CAZ)+/2=180°；③如果N2=30°，則有AC〃Z)E；④如果/2=45°,

則有3c〃AD上述結(jié)論中正確的是①②③④(填寫序號).

【答案】①②③④.

【解答】解：①,

.?.Zl+Z2=Z2+Z3=90°,

AZ1=Z3,故①正確；

@VZ1+Z2+Z2+Z3=18O°,

：.ZCAD+Z2=1SQ°,故②正確；

③；/2=30°,

；./l=/E=60°,

J.AC//DE,故③正確；

@VZ2=45°,

；./3=48=45°,

J.BC//AD,故④正確.

故答案為：①②③④.

17.如圖，直線MN與直線45、CZ)分別交于點(diǎn)E、F,AB//CD,/8跖與NEFD的角平

分線交于點(diǎn)P,EP與CD交于點(diǎn)G,點(diǎn)、H是MN上一點(diǎn)，且GHLEG,連接PH,K是

GH上一點(diǎn)、使/PHK=/HPK,作PQ平分NEPK,交A/N于點(diǎn)。，ZHPQ：ZQFP=3：

2,則NEHG=30°.

【解答】解：：AB〃C。，

AZB￡T+Z￡FD=180°,

,:/BEF與NEFD的角平分線交于點(diǎn)P,

:.NPEF=LNBEF,ZPFE=^ZEFD,

22

AZPEF+ZPFE=1.(NBEF+NEFD)=90°,

2

VZEPF=180°-CZPEF+ZPFE)=90°,

'：GH±EG,

：.ZEGH=ZEPF=90°,

J.FP//HG,

：.ZFPH=ZPHK,ZQFP=ZEHG,

設(shè)/P”K=x°,則NHPK=NPHK=x°,ZFPK=ZFPH+ZHPK=2x°,

AZEPK=ZEPF+ZFPK=90°+2x°,

■:PQ平分NEPK,

：.ZQPK=1ZEPK=A(90°+2x°)=45°+x°,

22

NHPQ=ZQPK-NHPK=45°,

??ZHPQ：ZQFP=3：2,

：.ZQFP=3Q°,

；.NEHG=NQFP=30°；

故答案為：30°.

18.如圖1,E點(diǎn)在8c上，ZA=ZD,ZACB+ZBED=180°.

(2)如圖2,AB//CD,BG平分NABE,與/即尸的平分線交于X點(diǎn)，若/DEB比/

DHB大60°,求/。班的度數(shù).

(3)保持(2)中所求的/。￡8的度數(shù)不變，如圖3,BM平分NEBK,DN平濟(jì)/CDE,

作BP//DN,則NP8M的度數(shù)是否改變？若不變，請求值；若改變，請說明理由.

【答案】(1)證明過程請看解答；

(2)100°；

(3)40°.

【解答】(1)證明：如圖1,延長DE交A2于點(diǎn)R

D

VZACB+ZBED=180°,NCE0+N5ED=180°,

:./ACB=/CED,

：.AC//DF,

：.NA=NDFB,

'：NA=NO,

:./DFB=/D,

J.AB//CD；

(2)如圖2,gEM〃CD,HN//CD,

J.AB//EM//HN//CD,

.*.Zl+ZEDF=180°,/MEB=NABE,

??,5G平分NA3E,

???NABG=//A甌

■:XB//HN,

：.Z2=ZABG,

■:CF〃HN,

???N2+N0=N3,

???DH平分NEOR

：.Z3=^^/EDF,

：.-1/ABE+ZP=-1/EDF,

.\ZR=A(ZEDF-ZABE),

2

：.ZEDF-NABE=2N0,

設(shè)/。EB=Na,

VZa=Zl+ZMEB=1800-ZEDF+ZABE=180°-(ZEDF-ZABE)180°-2

4，

ZDEB比ZDHB大60°,

Za-60°=Zp,

；./a=180°-2(Za-60°)

解得/a=100°

班的度數(shù)為100°；

(3)/PBM的度數(shù)不變，理由如下：

如圖3,過點(diǎn)E作ES〃CD設(shè)直線。廠和直線3尸相交于點(diǎn)G,

；BM平分NEBK,DN平分/CDE,

：.ZEBM=/MBK=//EBK,

ZCDN=ZEDN=-1/CDE,

'JES//CD,AB//CD,

：.ES//AB//CDf

：.ZDES=ZCDE,

ZBES=ZABE=180°-NEBK,

ZG=ZPBKf

由(2)可知：ZDEB=100°,

.*.ZCDE+1800-ZEBK=100°,

：.ZEBK-ZC￡)E=80°,

?；BP〃DN,

：.ZCDN=ZG,

NPBK=NG=/CDN=上/CDE,

：.ZPBM=ZMBK-ZPBK

=L/EBK-工/CDE

22

=A(ZEBK-NCDE)

2

=-80。

2

=40°.

19.(1)證明：兩條平行線被第三條直線所截，一對同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直.

已知：如圖①，AB//CD,直線分別交直線AB,CD于點(diǎn)E,F,OE、。歹分別平

分/AEF、NCFE.

求證：OEL。/.

證明：

(2)如圖②，AB〃CD,點(diǎn)E、尸分別在直線A8、CD±,EM//FN,/AEM與NCFN

的角平分線相交于點(diǎn)。求證：EOLFO.

(3)如圖③，AB//CD,點(diǎn)、E、F分別在直線A3、CD±.,EM//PN,MP//NF,ZAEM

與/C/W的角平分線相交于點(diǎn)O,ZP=102°,求/O的度數(shù).

【答案】(1)證明過程見解答；

(2)證明過程見解答；

(3)51°.

【解答】(1)已知：如圖①，AB//CD,直線MN分別交直線AB,CD于點(diǎn)、E,F,OE、

。尸分別平分NAEP、NCFE,

求證：OELOF；

證法I：'：AB//CD,

：.ZAEF+ZCFE=180°,

'：OE,OP分另lj平分/AEF、ZCFE,

：.ZOEF+ZOFE=1ZAEF+^ZCFE=90°.

22

VZO￡F+ZOFE+Z￡OF=180°,

：.ZEOF=90°.

C.OELOF-,

證法2：如圖，過點(diǎn)。作OP〃。交直線MN于點(diǎn)P.

①

"：AB//CD,

：.ZA￡F+ZCF￡=180°,

：OE、OF分另lj平分/AEF、ZCFE,

：.ZAEO+ZCFO=AZA￡F+AZCFE=90°.

22

"：OP//CD,AB//CD,

J.OP//AB.

：.ZEOF=ZEOP+ZPOF=ZAEO+ZCFO=9Q°.

：.OE±OF；

故答案為：直線MN分別交直線AB,CD于點(diǎn)、E,F,OE、OP分別平分/AEEZCFE,

OELOF-,

(2)證明：如圖，延長EM交CD于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作OP〃CQ交ME于點(diǎn)P,

-B

②

\9AB//CD.

：.ZAEG+ZCGE=180°,

'：EM//FN9

：.ZCGE=ZCFN.

,：OE、。廠分別平分NAEM、ZCFN,

：.ZAEO+ZCFO=AZAEM+-1ZCFN=^ZAEM+^ZCGE=90°,

2222

VOP//CD,AB//CD,

：.OP//AB.

：.ZEOF=ZEOP+ZPOF=ZAEO+ZCFO=90°.

：.OE±OF；

(3)解：如圖，延長EM、FN交于點(diǎn)、Q,過點(diǎn)。作。G〃C。交”石于點(diǎn)G.

③

■:EM//PN,FN//MP,

:?NEQF=NEMP=NP=102°,

由(1)證法2可知NA￡M+NC/W=NE。/=102°,

?：OE、。廠分別平分NAEM、ZCFN,

：.ZEOF=/AEO+/CFO

=^ZAEM+^ZCFN=^X102°=51°.

222

20.已知直線人〃/2,點(diǎn)A,C分別在/i,/2上，點(diǎn)8在直線人，/2之間，且4BCN<N8AM

W90°.

（1）如圖①，求證：NABC=/BAM+/BCN.

閱讀并將下列推理過程補(bǔ)齊完整：

過點(diǎn)8作8G〃NC,因?yàn)槿恕?2,

所以BG（平行于同一條直線的兩條直線平行）.

所以ZCBG^ZBCN（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

所以/ZABG+ZCBG=ZBAM+ZBCN.

（2）如圖②，點(diǎn)。，E在直線/1上，且BE平分NABC.

求證：ZDEB=ZDBE；

（3）在（2）的條件下，如果/CBE的平分線8尸與直線A平行，試確定與NBCN

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）8G,平行于同一條直線的兩條直線平形，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;

（2）證明過程見解答；

（3）/BAM=3/BCN.理由見解答.

【解答】（1）解：如圖①，過點(diǎn)B作3G〃MC,因?yàn)?i〃/2,

所以AM〃BG（平行于同一條直線的兩條直線平行）.

所以ZCBG=ZBCN（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

所以/ABC=ZABG+ZCBG=NBAM+NBCN.

故答案為：BG,平行于同一條直線的兩條直線平形，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

（2）證明：如圖②，過點(diǎn)B作BG〃NC,因?yàn)椤啊?2,

D

Ei

..............G

N________________12

C

所以AM〃BG,

所以/DEB=/EBG,ZCBG=ZBCN,

由（1）知：ZABC=ZBAM+ABCN.

又NDBC=/BAM,

所以NA8C=/r>BC+/BCN.

因?yàn)镹ABC=ZABD+ZDBC.

所以/ABO=N8CN,

所以/A8O=/C2G,

因?yàn)锽E平分/ABC.

所以NABE=NEBC,

所以NDBE=/EBG,

所以NDEB=NDBE；

（3）解：NBAM=3NBCN,理由如下:

備用圖

因?yàn)镹DBC=/DBE+NEBF+NFBC,BF//AM,

所以NEBF=NDEB,

因?yàn)?尸平分NCBE,

所以NCBF=NEBF,

由（2）知：/DEB=/DBE,

所以NQBC=3/FBC,

因?yàn)镃N//h,

所以CN//BF,

所以NFBC=NBCN,ZDBC=3ZBCN,

所以/BAM=3NBCN.

21.已知，BC//OA,NB=/A=108°,試解答下列問題：

（1）如圖①，則/。=72。，則OB與AC的位置關(guān)系為平行

（2）如圖②，若點(diǎn)E、尸在線段8C上，且滿足NR9C=NAOC,并且OE平分則

ZEOC的度數(shù)等于36°；

（3）在第（2）題的條件下，若平行移動(dòng)AC到如圖③所示位置.

①在AC移動(dòng)的過程中，/OCB與/OEB的比值是否發(fā)生改變，若不改變求出其比值，

若要改變說明理由；

②當(dāng)/OEB=/OCA時(shí)，求/OCA.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）'.,BC//OA,

.,.ZB+ZO=180°,

VZB=108°,

：.20=72°,

VZA=108°,

.,.NO+NA=180°,

：.OB//AC,

故答案為：72。，平行；

(2)'：ZFOC=ZAOC,OE平分NBOF,NBOA=72°,

0

ZEOC=ZEOF+ZFOC=1ZBOF+1ZFOA=1.^BQ^=36,

故答案為：36°；

(3)①不變,

"JBC//OA,

：.ZOCB=ZAOC,

ZFOC=ZAOC,

：.ZFOC=ZOCB,

又：8C〃OA,

ZOFB=ZF0A=2ZF0C,

：./OFB=2/OCB,

即NOCB：NOFB=1：2.

即ZOCB與NOFB的比值為』；

2

②由（1）知：OB//AC,

：.ZOCA=ZBOC,

由（2）可以設(shè)：NBOE=NEOF=a,ZFOC=ZCOA^^,

：.ZOCA=NBOC=2a+0

由（1）知：BC//OA,

NO￡3=NEOA=a+0+B=a+20

'：ZOEB=ZOCA

2a+B=a+20

a=P

VZAOB=12°,

.?.a=0=18°

???NOCA=2a+0=36°+18°=54°.

七.三角形的面積（共4小題）

22.在如圖的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，點(diǎn)A、8是方格紙中的兩個(gè)格

點(diǎn)（即正方形的頂點(diǎn)），在這個(gè)5X5的方格紙中，找出格點(diǎn)C使△ABC的面積為2個(gè)平

方單位，則滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【解答】解：滿足條件的C點(diǎn)有5個(gè)，如圖平行于AB的直線上，與網(wǎng)格的所有交點(diǎn)就

是.

故選：A.

23.如圖，/XABC面積為1,第一次操作：分別延長A8,BC,CA至點(diǎn)Ai,Bi,Ci,使43

=AB,BiC=BC,C1A=CA,順次連接Ai,Bi,C\,得到△A1B1C1.第二次操作：分別

延長AiBi,BiCi,GAi至點(diǎn)AbBI,CI,使A2BI=48I,22cl=BICI,C2A1—C1A1,

順次連接A2,B2,C2,得到282c2,…按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2010,

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解答】解：ZVIBC與底相等高為1：2(BBi=2BC),故面積比

為1：2,

：△ABC面積為1,

???SAA1BTB=2.

同理可得，SAC1B1C=2,SAA41C=2,

SAAIBICI=SACIBIC+SAA41C+SAAIBIB+SAABC=2+2+2+1=7；

同理可證SAA2B2C2=7SAA1B1Cl=49,

第三次操作后的面積為7X49=343,

第四次操作后的面積為7X343=2401.

故按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2010,最少經(jīng)過4次操作.

故選：C.

24.如圖，對面積為1的△A8C逐次進(jìn)行以下操作：第一次操作，分別延長AB,BC,CA

至點(diǎn)Ai,Bi,Ci,使得AiB=2AB,BiC=2BC,CiA=2CA,順次連接Ai,Bi,Ci,得

到△AiBiCi,記其面積為Si；第二次操作，分別延長ALBI,BICI,QAi至點(diǎn)A2,BI,

C2,使得4281=2481,B2CI=2BICI,C2AI=2G4,順次連接&2,Bi,Ci,得到△?1222c2,

記其面積為S2;…；按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到△A5B5C5,則其面積$5=195.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：連接4C,根據(jù)48=248,得到：AB：AiA=l：3,

因而若過點(diǎn)2,4作△ABC與△AA1C的AC邊上的高，則高線的比是1：3,

因而面積的比是1：3,則△ALBC的面積是△ABC的面積的2倍，

設(shè)AABC的面積是a,則△A1BC的面積是2a,

同理可以得到△4B1C的面積是△4BC面積的2倍，是4a,

則△A181B的面積是6a,

同理△B1C1C和△4C1A的面積都是6a,

△AiBiCi的面積是19a,

即△421Q的面積是△ABC的面積的19倍，

同理△A2B2C2的面積是△4B1C1的面積的19倍，

即△A1B1C1的面積是19,AA2B2c2的面積192,

依此類推，585c5的面積是$5=195=2476099.

25.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。，E,尸分別是BC,AD,EC的中點(diǎn)，若AABC的面積等于

36,則AB跖的面積為9

A

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：：點(diǎn)D,E,尸分別是BC,AD,EC的中點(diǎn),

.\A￡=D￡=AAD,EF=CF=LCE,BD=DC=LBC,

222

?..△ABC的面積等于36,

S"BD=SMCD=ySAABC=18,

===

S/^ABES^BEDS△黜口=9，S/\AEC=SACDE=—?$AACD9,

S^BEC—SABDE+SACDE—9+9=18,

:.SABEF=SABCF=XNEC=工x18=9,

22

故答案為：9.

A.三角形內(nèi)角和定理(共7小題)

26.已知△ABC,

(1)如圖1,若P點(diǎn)是/ABC和/AC8的角平分線的交點(diǎn)，則NP=90°+lzA；

2

(2)如圖2,若尸點(diǎn)是NABC和外角NACE的角平分線的交點(diǎn)，則/尸=90°-ZA；

(3)如圖3,若尸點(diǎn)是外角/CB尸和NBCE的角平分線的交點(diǎn)，則/尸=90°-IzA.

2

【答案】c

【解答】解：(1)若尸點(diǎn)是/ABC和NAC3的角平分線的交點(diǎn),

則ZPCB=^ZACB

22

則(ZABC+ZACB)=A(180°-NA)

22

在△BCP中利用內(nèi)角和定理得到：

ZP=180-(NPBC+NPCB)=180-A(180°-/A)=90°+AZA,

22

故成立；

(2)當(dāng)△ABC是等腰直角三角形，/A=90°時(shí)，結(jié)論不成立；

(3)若尸點(diǎn)是外角/C2F和/2CE的角平分線的交點(diǎn)，

則(180°-ZABC)=90°-1ZABC,

222

ZBCP=l.ZBCE=90o-AZACB

22

：.ZPBC+ZBCP=1SO°-A(ZABC+ZACB)

2

XVZABC+ZACB=180°-ZA

：.ZPBC+ZBCP=9Q°+1ZA,

2

在△BCP中利用內(nèi)角和定理得到：

ZP=180-CZPBC+ZPCB)=180-A(180°+ZA)=90°-AZA,

22

故成立.

說法正確的個(gè)數(shù)是2個(gè).

故選：C.

27.如圖，在第1個(gè)△A8A1中，ZB=40°,ZBAAi=ZBAiA,在Ai2上取一點(diǎn)C,延長

A41到A2,使得在第2個(gè)△4C42中，NAICA2=ZA1A2C；在A2c上取一點(diǎn)D,延長AiAi

到A3,使得在第3個(gè)△A2D43中，ZA2DA3=ZA2A3D；按此做法進(jìn)行下去，第3個(gè)

三角形中以加為頂點(diǎn)的內(nèi)角的度數(shù)為17.5°；第n個(gè)三角形中以4為頂點(diǎn)的底角的

度數(shù)為迎

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：：在△A2A1中，ZB=40°,AB=AiB,

：.ZBAiA=A(180°-ZB)=工(180°-40°)=70°,

22

VAIA2=AIC,ZBAIA是△41A2c的外角，

.\ZCA2AI=AZBAIA=AX70°=35°；

22

同理可得，ZDA3A2=AX70°=17.5°,Z￡A4A3=AX70°,

48

以此類推，第"個(gè)三角形的以4為頂點(diǎn)的底角的度數(shù)=型丁.

2kl

故答案為：17.5°,生丁.

2nH

28.己知：如圖1,線段A3、C。相交于點(diǎn)。，連接A。、CB,我們把形如圖1的圖形稱之

為“8字形”，試解答下列問題：

(1)在圖1中，請直接寫出/A、/B、NC、/￡＞之間的數(shù)量關(guān)系NA+ND=NC+/

(2)在圖2中，若ND=40°,/B=36°,/D4B和/BC。的平分線AP和CP相交

于點(diǎn)P,并且與CD、AB分別相交于M、N,利用(1)的結(jié)論，試求NP的度數(shù)；

(3)如果圖2中/。和為任意角時(shí)，其他條件不變，試問/P與NB之間存

在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

D

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等，可得結(jié)論：ZA+ZD=ZC+

NB；

故答案為：ZA+ZD=ZC+ZB；

(2)由(1)可知，Z1+ZD=ZP+Z3,①

Z4+ZB=Z2+ZP,②

?/ZDAB和NBCO的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

由①+②得：Z1+ZD+Z4+ZJB=ZP+Z3+Z2+ZP,

即2NP=ND+NB,

又：/。=40°,ZB=36°,

.?.2/P=40°+36°=76°,

.*.ZP=38°；

(3)/P與ND、N2之間存在的關(guān)系為2/尸=/。+/艮

VZ1+ZD=ZP+Z3,①

Z4+ZB=Z2+ZP,②

?；/DAB和NBCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,

.*.Z1=Z2,Z3=Z4,

由①+②得：Z1+ZD+Z4+ZB=ZP+Z3+Z2+ZP,

即2NP=/D+/B.

29.同學(xué)們以“一塊直角三角板和一把直尺”開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，提出了很多數(shù)學(xué)問題，請你解

答：

(1)如圖1,/a和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

(2)如圖2,ZDFC的平分線與/EGC的平分線相交于點(diǎn)Q,求/PQG的大小；

(3)如圖3,點(diǎn)尸是線段上的動(dòng)點(diǎn)(不與A,。重合)，連接PRPG,NDFP+NFPG

ZEGP

【答案】（1）a+0=9O°,理由詳見解答過程.

（2）135°.

⑶不變，

【解答】解：（1）如圖1,延長AM交EG于

Zp+Za=90°,理由如下：

由題意知：DF//EG,NACB=90°.

：.Za=ZGMC,ZACB=ZGMC+ZCGM=90°.

：NEGB和NCGM是對頂