實戰演練02三次函數的圖像與性質

考點歸納

①三次函數的零點

②三次函數的極值、極值點

③三次函數的切線

④三次函數的對稱性

必備知識速記

一、三次函數概念

定義:形如/（%）=ax3+bx2+ex+d（a。0）叫做三次函敞

-=3ax2+2bx+c,把/=4b2-12ac叫做三次函數導函數的判別式

當/＞。時，令r（x）=o,記兩根為孫=土等近，冷=土等畫

二、三次函數的圖像及單調性

\增區間(-8,%1),(%2，+8)

減區間(%1，冷)

[a>0(a>0[/

A>0=1爐>3。。

/(%)有兩個極值點

0xX/XiX

N極大值極小值/(%2)

V

增區間(久I，x2)

減區間(-8,xj,(x,+oo)

fa<0Ca<02

A>0今〔房>3這

0f(x)有兩個極值點

V\極大值/(冷)，極小值/O1)

三、三次函數的零點個數

設/'(X)=a%3+b/+cx+d(a40)的三個零點分別為Xi，x2,x3,則

⑴久1+x2+x3--

(2)*62+久2X3+久3久1=2

/-、d

(3)%62%3=~~

Illc

(4)五+元+云

五、三次函數的對稱性

結論1三次函數/(x)=a/+/+?久+d(a40)的圖象關于點(―g-9)中心對稱

32

結論2已知三次函數/(久)=ax+bx+cx+d(a豐0)中心對稱點的橫坐標為兩個極值點分別為打，%2>

則怨詈=|廣(無。)=々/FA

結論3若丫=/(x)圖像關于點(m,幾)對稱，則y=尸(尤)圖像關于軸光=M對稱

點對稱函數的導數是軸對稱函數，軸對稱函數的導數是點對稱函數

奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數

名校模擬探源

①三次函數的零點

一、單選題

1.(2024?陜西西安?模擬預測)若函數/(x)=x3-3x+a在區間(0,2)內有兩個零點，則實數。的取值范圍是

()

A.(0,2)B.(2,+8)C.(0,1)D.(1,+⑹

【答案】A

/(0)>0

【分析】利用導數說明函數的單調性，依題意可得了⑴<。，解得即可.

/⑵>0

【詳解】因為，'(X)=3X2_3=3(X+1)(X-1),所以當X>1或X<-1時/(x)>o,

即〃x)在(1,+8),上單調遞增,

當-1<X<1時/'(x)<0,即/(x)在上單調遞減,

7(0)>0Q〉0

根據題意可得,即<1-3+Q<0解得0<a<2.

〃2)>08—6+。>0

故選：A

2.(2024?湖南長沙?一模)函數/(x)=ax，-ad+6x(°,6eR)有3個零點的充分不必要條件是()

A.且a>4bB.。>0,且。<46

C.a<0,且。>4瓦b/0D.a<0,且a<4瓦6/0

【答案】D

【分析】由題意可得函數〃x)=ax3-ax2+bx(a,beR)有3個零點的充要條件為a2-4ab>0且"0/w0,

逐個選項分析其是否為/一4仍>0且。N。力力0的充分不必要條件即可得.

［詳解］〃尤)=/2+bx=x^ax1-ax+b^,有/⑼=0,

若，(x)有三個零點，則有/一4仍>0且awO/wO,

故函數〃x)=ax3-ax2+6x(a,6eR)有3個零點的充要條件為：

a2一4ab>0且”0,6*0,

對A：a/0,且a>4b,則當a<0時，有/<4",不符，故A錯誤；

對B：可能6=0,不符，故B錯誤；

對C：a<0且。>46力片0,則/<4",不符，故C錯誤；

對D：a<0,且。<46,620,則/>4"，

即由a<0,且a<片0能得到a2-4ab>0Ra^0,b^0,

但/-4">0且aR0,6Ho并不意味著a<0,且a<4瓦6W0,

故a<0,且a<46,6WO是/一4仍>0且中01片0的充分不必要條件，

即是函數〃力="3_辦2+爾.,6€2有3個零點的充分不必要條件，故D正確.

故選：D.

3.(2024?寧夏銀川三模)己知函數/3=/-7尤2+14%-4有3個零點X1,鼻(工<為<丁)，有以下

四種說法：

①%>0

②W<4

③存在實數4,使得大，出，七成等差數列

④存在實數4,使得為，4，W成等比數列

則其中正確的說法有()種.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由題意設g(x)=x3-7/+14x,根據g(x)=a,求導分析g(x)的單調性，進而數形結合分析，根

據g(x)=x［-曰+:可判斷①，根據函數的極大值可判斷②，根據三次函數的對稱性可判斷③，舉

例可判斷④.

【詳解】由〃x)=0,得/一7/+14工=0,

設g(x)=x3-7/+14x,貝(jg<x)=3x2-14x+14=3

則g(x)的極小值為g,極大值為g

y

Jay=g^

對①，因為g(x)=x(x?-7x+14)=x[x-g[+：,

所以g>0,當且僅當x<0時，g(x)<0,所以占>0,①正確.

IJJ

(7—674-B、

對②，因為g(x)在^上單調遞減，且8⑵二8⑸，

I33J

<7_尺、

所以g>g(4),所以七<4未必成立，②錯誤.

IJJ

對③，設°(x)=g<x)=3x2-14x+14,令"(x)=6x-14=0有x=g,則有gg+xj+gQ?-x)=2gg

故g(x)圖象存在對稱中心[,

所以存在實數a=g]：j,使得多，x?,X3成等差數列，③正確.

對④，因為g(l)=g(2)=g(4)=8,所以存在實數a=8,使得不，x2,馬成等比數列，④正確.

故選：C.

4.(23-24高三上?云南?階段練習)關于函數/(》)=4丁_3》-。，則下列說法正確的是()

A.函數在(-U)上單調遞減

B.當a>0時，函數/(x)<0在(0,1)上恒成立

C.當。>1或”-1時，函數/(x)有2個零點

D.當■時，函數/(x)有3個零點，記為西,%,馬,則%+々+退=0

【答案】D

【分析】利用導數求出函數單調性可得A錯誤；畫出函數y=4d_3x的圖象可求得BC錯誤，根據零點個

數可求得-1<a<1,令4x；-3x,=1(/=1,2,3)再利用三角函數值域以及倍角公式即可求得D正確.

【詳解】對于A,因為函數"X)=12/-3,令/'(X)=0,貝！)x=±g;

當或時，f'(x)>0,此時函數/(X)單調遞增,

當時，f\x)<0.此時函數/(x)單調遞減，

作出函數/(x)的大致圖象如圖，故A錯；

對于B,由A選項可知，易知/(0)=_a<0,/⑴=—,

又易知0<x<；時，函數/(x)單調遞減，g<x<l時，函數/(x)單調遞增；

當0<x<l時，若。<a<l,/(x)<0不一定成立，例如當時，>0,

所以當0<a<l,〃x)<0不一定成立，故B錯；

對于C,方程/(x)=0的根即為V=。與函數y=4無3_3x的交點橫坐標，

由A可知，函數了=4尤3-3%在x=-1■時取得極大值1,在x=g時取得極小值7；

作出函數>=4爐-3x的圖象如圖，

當。>1或。<-1時，函數/⑴有1個零點，故C錯；

對于D,函數/(x)有3個零點，貝!|可得-且再,馬,退

記4x”3x,=；C=l,2,3),

1冗5冗7冗

令工=8$9(0<夕<兀)，貝[]4(cosO)3-3cose=cos38=5,所以3夕=§，不，彳，

-r-E3/I兀7157r八77t

于是演=cosq=cos—,x2=cos02=cos——，演=cos^=cos—,

兀5兀7兀（4兀3兀）5兀/4兀3711c4兀3兀5兀

M+X,+XR=cos—Fcos----Fcos——cos-----------+cos-------Fcos-----1------2cos—cos-------Fcos—

99999J999）999

,14兀5兀八

=2x—cos---bcos——=0,

299

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于將函數〃x）有3個零點國,Z,三的范圍限定在（-1,1）上，再

x=cos3{0<0<兀）利用倍角公式即可得出結論.

二、多選題

5.(23-24高三上?安徽?階段練習)已知三次函數/(x)="3+6x2+c(a>0,b,ceR),下列結論正確的是

()

A.當。=6=2時，/⑴單調遞減區間為，j。］

B.當。=6=2時，/⑴單調遞增區間為，

C.當。=-4。時，若函數“X)恰有兩個不同的零點，則”3

a

D.當6=c=0時，〃x)>lnx恒成立，則a的取值范圍為

【答案】ACD

【分析】利用導數研究"X)區間單調性判斷A、B,由函數/(X)恰有兩個不同的零點，則有一個極值為0,

易得=0或/(。)=。判斷C；將不等式恒成立化為。>營恒成立，對右側構造函數，應用導數求其

最大值即可判斷D.

【詳解】f(%)=a/+bx2+c(a>0,b,cGR),則=x(3ax+2b),

當a=b=2時/(x)=2x(3x+2),在區間上廣⑺<0,

所以/(x)在［j。］上單調遞減區間，A正確，B錯誤；

要使函數/(x)恰有兩個不同的零點，則/(x)有一個極值為0,

由上分析知：。或〃0)=0,而/(。)=。時a=0,不滿足題意；

所以c=_4a,有一空+竺一4。=0,化簡可得2=3,C正確；

I27a29a2a

當6=c=0時/(x)>lnx恒成立，即a>與恒成立，

令/z(x)=學，貝(］"。)=匕等，故〃(&)=0,

XX

在(0,泥)上〃'(x)>o,以幻單調遞增，在(我,+8)上1(%)<0,7z(x)單調遞減，

；j7(X)max=〃(/)=］，故。>［，D正確.

\，3e3e

故選：ACD

6.(23-24高三下?重慶沙坪壩?階段練習)已知三次函數/(力=/+/+4+，有三個不同的零點

x1,x2,x3(x1<x2<x3),函數g(x)=/(x)T.則()

A.3ac<1

B.若%,%,%成等差數列，貝Uae(-l,0)u(0,l)

C.若g(x)恰有兩個不同的零點"7,"(/<〃)，則2〃?+"=-：

D.若g(x)有三個不同的零點4則才+考+后=片+片

【答案】ABD

【分析】對于A,由題意可得/''(工人。有兩個不同實根，則由A>0即可判斷；對于B,若占62戶3成等差數

列，則/刑)=4-；1=2+￡:9℃=0,從而結合即可判斷；對于C,若g(x)恰有兩個零點，則加

或〃必為極值點，分類討論即可判斷；對于D,由韋達定理即可判斷.

【詳解】f(x)=ax3+x2+cx+^,f'(x)=3ax2+2x+c,a*0,對稱中心為1■”對A：因為了⑺

有三個零點，所以/(x)必有兩個極值點，所以A=4-12ac>0,3ac<l,A正確；

對B,由玉,當成等差數列，及三次函數的中心對稱性可知超=-4，

3a

所以〃6小;1可等二°，

\3a)27a

又ac<；,故2+/=9ac<3,所以孑<1,所以ae(-1,0)5。」)，故B正確；

26

C：g(x)—0,即cix^+x2+ex—=0,

若g(x)恰有兩個零點，則加或“必為極值點；

若加為極值點，則該方程的三個根為加，m,n,由一元三次方程的韋達定理可知：2m+?=--

a;

若〃為極值點，同理可得機+2"=-1，故C錯；

a

1

玉+毛

%2+=4+/2+'3=----a--

對D：由韋達定理<

c

%］々+工2*3+工3、1=t，?+/2/3+‘3‘1=-

a

得(X]+x2+x3-2+x2x3+退再)=(%+芍+L-2(幫2+”3+V]),

即無;+x；+x；=『+/；+",故D正確.

故選：ABD.

【點睛】關鍵點點睛：判斷C選項得關鍵是得出加或〃必為極值點，由此即可順利得解.

三、填空題

7.(23-24高三上?黑龍江牡丹江?期末)函數有且只有3個零點，則實數。的取

值范圍是.

【答案】0,2]

【分析】根據分段函數中各段函數的單調性，分成。>0,兩種情況并結合導數進行討論即可.

32

【詳解】當〃〉0時，x>0時，f[x^=x-3ax+2f/,(x)=3x-3a,

當0<x<G時，/'(x)<0;當%時，

所以/(x)=d-3辦+2在(0,單調遞減，在(G,+8)單調遞增，

所以當x=〃'時，/(x)=x3-3ax+2取最小值.

函數/(x)有且只有3個零點，又/(x)=2川-。在(-叫0]上單調遞增，

所以/(x)=丁_3辦+2,在(0,+功有兩個零點且此時/(0)=2>0,

而〃x)=2印-。在(-8,0]上有一個零點，

如圖，

所以/(夜)=-2°6+2<0,解得a>l,且/(O)=2-aNO,所以aV2.

所以W2.

32

當時，％>0時，/(x)=x-3ax+2f/,(%)=3x-3^>0,

故/(x)在(0,+。)上單調遞增，且此時/⑼=2〉0,

又/(x)=2*-a>0在(-％0]上恒成立，所以此時不合題意.

綜上，l<aV2,即ae(l,2].

故答案為：(1,2].

【點睛】方法點睛：已知函數零點個數求參數范圍常用的方法：

(1)分離參數法：通常解法為從中分離出參數，然后利用求導的方法求出由參數構造的新函數的最值，根

據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；

(2)分類討論法：通常解法為結合單調性，先確定參數分類的標準，在每個小范圍內研究零點的個數是否

符合題意，將滿足題意的參數的各小范圍并在一起，即為所求參數范圍.

8.(2024高三下?全國?專題練習)已知a,6eR,函數/(x)=加+,+x+l(a<0)恰有兩個零點，則0+6

的取值范圍為.

【答案】,哈￡|

【分析】根據導數判斷單調性，結合零點和極值點求出6,構造函數，求導可得“+6的取值范圍.

【詳解】；/(力=/+涼+尤+1且”0,

.-.f'(x)^3ax2+2bx+l,A=4Z?2-12O!>0.

則方程/'(x)=0必有兩個不等的實根不，Z.

2b]

設%1<x,貝!Jx+x=——,xx=—<0.

2一3xa23ai2

貝!I必有再<0</，且/'(再)=3辦;+2bx1+1=0①.

當％<否或時,/'(工)<0；當％]〈TV/時，/'(工)〉0.

因此函數了=/(x)的單調遞增區間為(占,乙)，單調遞減區間為(-8,占)和后,+8).

由于/⑼=1>0,若函數y=/(x)有兩個零點，貝!!/&)="：+如2+石+1=0②.

3ax；+2bxi+1=0

聯立①②得

ax[+bx；+$+1=0

32

令才=一<0,^g(t)=2t-2t-2t9貝！|Q+6=g?).

從而〃=2/+/="(2/+1)<0,解得，<—,?

因此g'(0=6/2_4f_2=2(3/_2%_l)=2(3，+l)?_l).

故當,<-g時，g'⑺>0,函數g⑺單調遞增.

因此Q+b=g?)<g

故答案為：(――]

②三次函數的極值點

一、單選題

1.(2024?福建泉州?一模)已知再,%2，是函數/(x)=(xT)3-x兩個極值點，則()

A.項+々=一2B.再+工2=1C./(再)+/(%2)=-2D./(再)+/(工2)=2

【答案】C

【分析】求出函數導數，解方程得出極值點，計算可判斷選項.

【詳解】r(x)=3(x-l)2-l,令f(x)=0,解得打2=1±[，

所以國+%=2,故AB不正確；

/(網)+/52)=|9J-1-Y+^Y]T+等=一2,故C正確D錯誤.

故選：C

2.(2024高三下?全國?專題練習)若函數/(x)=x(x+“y在x=l處有極大值，則實數”的值為()

A.1B.-1或-3

C.-1D.-3

【答案】D

【分析】借助極值點定義可得/⑴=。，即可得。=-1或。=-3,再分類進行討論排除極小值情況即可得.

【詳解】/〈X)=(x+a)2+2x(x+a)=(x+a)(3x+a),

貝!1有/''(1)=(1+。)(3+。)=0,解得。=-1或。=一3,

當a=-l時，/,(x)=(x-l)(3x-l),

則當xeg,11時，/[x)<0,當xe(l,+8)時，/(x)>0,

所以在gj上單調遞減，在(1,+動上單調遞增，

/'(x)在x=l處有極小值，不符合題意；

當a=_3時，/,(x)=(x-3)(3x-3)=3(x-l)(x-3),

當xe(-8,1)時，/,(x)>0,當xe(1,3)時，/'(x)<0,

所以在上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，

/'(x)在x=l處有極大值，符合題意.

綜上可得，a=-3.

故選：D.

3.(2024?新疆烏魯木齊?二模)設演,是函數/(工)=X3+0?+工+1的兩個極值點，若演+3尤?=-2,貝！|。=

()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】先求導，再結合已知條件與韋達定理即可求出結果.

【詳解】由題意得了'(x)=3Y+2ax+l,又4%是函數的兩個極值點，

則x?x2是方程3/+2ax+1=0的兩個根，

,,2a1

故王+/=-y,X)X2--)

又再+3工2=-2,則再=-3%2-2,即中2=(-3苫2-2)無2=g，則々=-；,

則項=-1,所以%+%=-g-l=-等，解得。=2,

此時A=42-4x3xl=4>0.

故選：C.

4.(2024?全國,模擬預測)己知函數〃x)的導函數/'卜)=。+2乂/+》+機)，若函數“X)有一極大值點

為-2,則實數小的取值范圍為()

A.(-2,+8)B.(-4,-2]

C.D.(-<?,-2)

【答案】D

【分析】令g(x)=f+x+加且g(x”0恒成立，根據/(x)的極值點得到矛盾，g(x)有兩個不同的零點，

利用三次函數性質判斷了(x)單調性，進而求參數范圍.

【詳解】由題意/'(xha+zXY+x+M),令g(x)=x2+x+m,

若g(x)20恒成立，易知：當xe(—e,—2)時乙(x)40,當xe(-2,+a5)時/⑺皿

所以-2是的極小值點，不合題意，故g(x)有兩個不同零點.

設g(x)的兩個零點分別為再廣2(玉<%),則。(x)=(xf)(x+2)(x-X2),

結合三次函數的圖象與性質知：玉<-2<z,

在(一8,3)、(-2,尤2)上/'(0<0,4X)單調遞減，在(再,-2)、(尤2，+8)上/'(》)>0,/(X)單調遞增,-2

是〃尤)的極大值點，符合題意，

此時需g(-2)=2+7“<0,得加<-2,所以實數加的取值范圍為

故選：D.

5.(2024?河北秦皇島?三模)已知0是函數/(》)=X3+0?+1的極大值點，貝壯的取值范圍為()

A.(-?,0)B.(0,+e)C.D.

【答案】A

【分析】分類討論。<0、。=0與。>0三種情況，結合導數與極值點的定義即可得解.

【詳解】因為/(X)=/+辦2+],所以/(%)=312+2辦=x(3x+2a),

令/(x)=0,可得『=0或.=號，

S-y>0,即a<0時，

令尸(x)>0,得x<0或x>-與；令/'(x)<0,得0<x<T；

所以“X)在(-8,0),上單調遞增，在上單調遞減,

所以x=0是函數/(x)的極大值點，滿足題意；

當一三=0,即4=0時，/'(x)=x(3x+0)20恒成立，

則/(x)在R上單調遞增，沒有極值點，不滿足題意；

3-y<0,即a>0時，

令尸(x)>0,得x<_g或》>0；令/(x)<0,得T<x<0；

所以〃x)在「哈-7:(0,+功上單調遞增，在上單調遞減,

所以x=0是函數/(x)的極小值點，不滿足題意;

綜上，a<0,即。的取值范圍為(-叫0).

故選：A.

6.(2024?云南大理?模擬預測)若加為函數〃X)=7"(X-7")2(W-X)(其中加*0)的極小值點，貝I](

A.m>n>0B.m<n<0

Cc.mn>m2D.mn<m2

【答案】C

【分析】加=〃時/(x)為單調函數，無極值點不符合題意；令/'(x)=0有兩根為x或"二產，分

加>0、m<。討論，根據加為極小值點需滿足的條件，結合不等式性質可得答案.

【詳解】若加=〃，則〃%)=-鞏工-加)3為單調函數，無極值點，不符合題意，故加

由于/'(工)=加(工一冽)(一3%+加+2〃)，且加故/'(x)=0有兩根為x=加或％=個」

①當用>0時，若加為極小值點，則需滿足：加〈竺詈，故有0〈加〈力，

可得加〃>m2;

②當機<0時，若機為極小值點，則需滿足：拉〉T^，故有：0>加>〃，

可得mn>m2.

故A,B選項錯誤，綜合①②有：mn>m2.

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是根據加為極小值點得到九〃的關系再結合不等式的性質解題.

7.(23-24高三下?四川綿陽?開學考試)若函數一加h-1的兩個極值點都大于2,

則實數冽的取值范圍是()

A.(-co,-5)U(-5,-4]B.(-oo,-4]C.(-co,-2]D.(-5,-4)

【答案】D

【分析】由題，f(x)=x2+(zn-2)x+(5-,則方程/'(x)=0的兩根都大于2,由根的分布知識可

得答案.

【詳解】f(x)=x2+(m-2)x+(5-m),對于方程/'(x)=0,

△=(〃7-2)~-4(5-加)>0n加e(-co,-4)U(4,+oo)

設方程兩根為三,9,由韋達定理，

%%=2—m,x1x2=5-m.

因〃X)的兩個極值點都大于2,則方程/'(X)=0的兩根都大于2,

[xi+x2>4

則|(xj-2)(X2-2)=再％2—2(再+x2)+4>0

(2-m>4__

=>X/、=>—5<m<—2.

[5—加一2(2—加)+4>0

結合加G(-8,-4)U(4,+00),可得加￡(-5,-4),

故選：D

8.(2024?全國?模擬預測)設項用為函數/(x)=x(x-2)(—〃)(其中〃>0)的兩個不同的極值點，若不

等式/(再)+/(馬”0成立，則實數。的取值范圍為()

A.[1,4]B.(0,4]C.(0,1)D.(4,+oo)

【答案】A

【分析】導函數為二次函數，為戶2為對應的一元二次方程的兩根，由/（再）+/（工2）20,代入函數解析式,

結合韋達定理化簡，可解出實數。的取值范圍.

【詳解】因為/（x）=x（x-2）（x-a）,所以廣（x）=3x2-2（2+a）x+2a.

A=4(a?—2a+4)〉0,

2(2+67)

又函數/（X）有兩個不同的極值點玉，三，所以?X]+%=3,

2a

X1X2?

解法一：由/(須)+/(%2)2。,得x；+W-(a+2乂x：+x；)+2a(X]+x2)N0,

2

即(X]+X2)](x1+x2)-3x1x2]-(a+2)(再+%)?-2xtx2+2a(x]+x2)>0(*).

將西+乙廣論的值代入（*）式，得/一5a+4V0,解得14.W4,

故選:A.

解法二：函數＞="3+履（〃工0）為奇函數，圖象的對稱中心為（0,0）,

貝!I函數y=Q（x-次丫+左（x-加）+〃圖象的對稱中心為（加，幾）

設g（x）-+bx2+cx+d=—加丫+左（x-m）+〃,

a（x—加丫+左（1—加）+〃=-3amx2+（3am2+k^x+^n-am3-kmj,

-3am=b

比較系數，有＜3a/+左二。,

n-am3-km=d

bb22b3be(b\

解得加=—,k=c---,n=--------+a=g\----

3a3a27a173a{3aJ

所以函數g（x）=/+bx2+cx+d（aw0）圖象的對稱中心為

即若〃X）存在兩個相異的極值點%三,則其對稱中心為點（再,〃再））和點（尤2，/5））的中點，即

〃西）+/5）=于[再+%]

由題設得即（已受）0,即/（丁10,

a＞0,

所以＜。+2（。+22）[。+2°]＞0解得I""""。

故選:A.

二、多選題

9.（23-24高三上?全國?開學考試）已知函數〃幻=；尤3+辦2+工的兩個極值點分別為不代，若過點

傘,〃西））和8伍,小））的直線/與坐標軸圍成三角形面積為點，則直線/方程為（）

16c16,

A.y----x+2B.y=---X—L

33

161ci

C.y=--—x+lD.y=-3x+1

【答案】BC

【分析】由題意/（X）有兩個不同的零點，則A>o求參數a范圍，再根據卜：=：咐二代入〃國）、“再）

x2=-2ax2-1

確定已知點所在直線，進而求截距并列方程求a值.

【詳解】由題意/'⑴=/+2〃％+1有兩個不同零點，

貝!M=4〃2—4〉0,所以/>1,即或”―1,

由x；+2axi+1=0即x；=-2ax1-1

x；+2ax2+1=0=—2〃工2—1

/(項)=g1；++$=g$(_2q』-1)+aXy+x1

aa,、八22/1\a

=yxi2+］玉=§(_2辦］-1)+-^=-(1-a2,

同理有=-力卜,一］,

所以（再卜2J"?））均在了=:（1-">-三上,

4-y=|（l-a2）x--^=0,則x二°;八,

j31口一a）

令x=0,貝!lv=—|,

則直線/與坐標軸圍成三角形面積S=(x即三/

22(1-a)I3J323(1-(

即9(1-4)=±8。2,

33

綜上，q=3,a2=-3,a3=~r=^&=一-隹，

A/17717

因為即a>l或〃<一1,故q=3,a2=-3,得y=—gx±l,

故選：BC

10.(23-24高二下?山西晉城?階段練習)函數/■(x)=1x4-6x2+cx有三個不同極值點國,X2，X3,且

4

ce[-l,0).則()

A.6＞次B.%]2+xf+＞3-^2

C.x；+*+石的最大值為3D.工也當的最大值為1

【答案】BCD

【分析】選項A可根據求導后分析單調性，得到g(x)的最小值大于1恒成立可得；選項B可由

(X]+3+工3'=0分析求出；選項C可由x；+x；+x；=-2bxx-c-1bx1-c-2bx3-c=一3c及ce[-1,0)求出;

選項D可由丁-2bx+c=(x-x1)(x-x2)(x-x3)^[Ix1x2x3=-c求出；

【詳解】對于A：/(工)=9,-#+cx有三個不同極值點占,％,￡,

貝！|f'(x)=x3-2bx+c=0有三個不等實根為國,馬,%,貝！Ix3-2bx=-c定有三個解.

設g(x)=x3-2bx=g'(x)=3x2-2b,

當640,g，(x)=3x2-26N0恒成立，

得g(x)單調遞增，x3-2to=一c不會有三個解，

所以，＞0,g＜x)=3/-26=0=x=±J竺，

得g(x)在單調遞增.

+2b總＞1,得6＞述，故A錯誤;

即g

V34

對于D：設-2bx+°=(%一玉)(1_%2)(%一%3)

32XXXXXXXX

=X-(玉+x2+X3)X+(西12+13+23)~\23

故項+工2+工3=0，再%2+%入3+%2%3=一2人，%入2%3=一。，故再工2%3^(°，"，故D正確;

2

對于B：又(再+x2+x3)=x；+xl+xf+2X1X2+2x^3+2x2x3=0

x1+xI+xj=-(2x^2+2X/3+2X2X3)=4b>3y/2,故B正確;

對于C：又x：+2尻1+c=0,只+26工2+0=0,X?+26x3+0=0,

貝||x：+%2+%；=—2bxi—c—2bx2—c—2bX3—c——3c,

又ce[T,O),放-3ce(0,3],

X：+只+X：的最大值為3,故C正確.

故選：BCD

【點睛】關鍵點點睛：本題A選項關鍵在于由導數分析單調性，得到g(x)的最小值大于1恒成立從而得到

6的范圍；選項BCD根據方程根的特征求解.

11.(2024?河南信陽?模擬預測)已知函數/(X)=2X3-3X2-12X,項,%e(%")且滿足"xj=/("),

f(x2)=f(m)>對任意的xe[加,向恒有/(")4/耳)4有("),且與為y=/'(%)的極值點，則下列等式成立

的是()

A.X[+x2=2x0B.2(x2-xj=n-m

C.3再=2X2+mD.3X2-xx=2n

【答案】ABD

【分析】根據給定條件，可得%,三分別為函數/(無)的極大值點和極小值點，由此求出占戶2，機,”，再逐項

判斷即可得解..

【詳解】由/(x)=2x3-3x2-12x,求導得/'(x)=6x?-6x-12=6(x+l)(x—2),

當x<-l或x>2時，r(x)>0,當-l<x<2時，f\x)<0,

函數/(x)在(-叫-1),(2,+8)上單調遞增，在(-1,2)上單調遞減，

因此當x=-1時,“乃取得極大值〃T)=7,在x=2時，/⑴取得極小值〃2)=-20,

對任意的xe[加，司恒有/⑹/(x)1nhi=/(w),/(xL=/(〃)，

又當占，電€("〃)且滿足〃再)=/("),又無2)=/⑻,

則占凡分別為函數/(X)的極大值點和極小值點，

7

則玉=一1/2=2,由/（$）=/（〃），得2"—3/—12〃=7,即（〃+1）2（2〃—7）=0,解得〃=,,

由/（工2）=/（加），#2m3-3m2-12m=-20,即（加一2『（2加+5）=0,解得加二一"|,

對于A,由>=6——61-12,求導得了=12%-6,顯然x是歹'=12%-6的變號零點，

即/=5，占+々=1=2%,A正確；

對于B,2（X2-x1）=6,n-m=^-（-^）=6,B正確；

53

對于C,3^=—3,2X2+//i=4――=—,C錯誤；

對于D,3x2-xl=6-（-1）=7=2H,D正確.

故選：ABD

12.（2024?山西太原?三模）己知%,是函數/■（》）=苫3+鵬+〃（加<0）的極值點，若/（%）=/（王）（玉，

則下列結論正確的是（）

A./（x）的對稱中心為（0,"）B./（-占）>/（再）

C.2x1+x2=0D.x{+x2>0

【答案】AC

【分析】利用〃0+x）+〃0-x）=2",可判斷A；令分（力=0,解得x,代入/（f）-/（再）可判斷B；利

用導數判斷出了=〃x）的單調性并求出極值點，結合圖像分情況由〃馬）=〃網）（工尸乙）解出入2,可得

2再+%=0可判斷C；利用C選項，若再=樣，9=-2?,得出國+工2<0可判斷D.

【詳解】對于A,因為f^0+x^+f^0-x^=x3+mx+n-x3-mx+n=2n,

所以/（x）的對稱中心為（0，〃），故A正確；

對于B,f'（x）=3x2+m,令/（x）=0,解得工=±巨，

/（一百）一/（%）=.X：-mxx+〃_%：_mxi-n

/（一七）一/（再）=-xf-mxx+〃_%：_mx{-n

因為加＜0,所以＜0,可得/'（一項）＜/（再），

故B錯誤;

對于C,令/'(x)=0,解得x=±.-m

當x>9或x<-?子時，r（x）＞0,y=/（x）是單調遞增函數,

當一—-—<x<?子時，r（x）＜o,v=/a）是單調遞減函數,

所以歹=/（"在"=—舊時有極大值，在x）三時有極小值，

如下圖，當國=-［時，若〃X2）=/（xJ（x尸X2）,貝!!

/（石）―/（%2）=%：+mXl+〃一￡一加9一幾=（%—%2乂%；+X1X2+%；+初）=°,

可得工：+國馬+考+加=0,即（一營七+工；+m=0,解得馬=斐區，

當石=j子時'如下圖,若〃x2）=/a）aN/）,則

mx

/（%）一/（%）=X：+\+拉一只-mx2一〃=（再一12乂X；+玉入2+X；+機）=0,

可得工；+玉工2+工；+加=°，即于+^^^X2+X；+加=0，解得々二_2'；加，

所以2芭+々=°;

m

綜上所述，2玉+%=0,故C正確;

對于D,由C選項可知，若無］=

故選：AC.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是利用導數研究函數的單調性和極值點.

13.(23-24高三上?山西臨汾?階段練習)已知曲線+l在點(1J⑴)處的切線斜率為3,

且X是>=/(x)的極值點，則函數的另一個極值點為.

【答案】-2

【分析】對函數求導，結合已知有了'(l)=3+2a+b=3,且d3=g+++6=°，求得”=21=-4,再根

據導數的符號判斷單調區間，進而確定另一個極值點即可.

【詳解】由題設仆)=3/+2姓+6,貝1)/3=3+2“+b=3,且/''0=。+++6=0,

所以a=2,6=—4,即/'(x)=3/+4x-4=(3x_2)(x+2),

當》€(-8,-2)11(才+8),/'(x)>0,則(-oo,-2)q,+8)上y=/(x)遞增；

當xe(-2,令,r(x)<0,則(-2,令上y=〃x)遞減；

所以x=-2、x=(都是j=/(x)的極值點，故另一個極值點為x=-2.

故答案為：-2

14.(2024?云南?一模)已知/(x)=：x3-3辦?+8辦-100在(2,6)上只有一個極值點，則實數。的取值范圍

8

327

【答案】

8?56

【分析】求導，分離參數，轉化為函數交點個數求解即可.

【詳解】因為〃力=：尤3一3加+8辦-100在（2,6）上只有一個極值點,

O

則r⑺=_6"+8。=0在（2,6）上有唯一解，且左右函數值異號.

O

日口2

即8一--X---,

36x-8

令6X-8=/￡（4,28）,

易知8（。="亍在（4,8）單調遞減，在（8,28）單調遞增，

且g（4）=4++20,g（28）=28+*竽

（20+16）+16^,解得

36V7336（7）856

327、

故答案為：.

56；

15.2024?江蘇南京?二模）已知函數/（x）=j?-G+l（qeR）的兩個極值點為多，々（占<x?）,記J（xj）,

C（%,7（