期中真題必刷壓軸60題（10個考點專練）

【含江蘇各市八年級上學期期中壓軸題】

考點一全等三角形的判定與性質壓軸題

1.（23-24八年級上?江蘇連云港?期中）如圖，在V4DE和V48C中，NE=NC,DE=BC,AE=AC,過A

作加垂足為ROE交C2的延長線于點G,連接/G.四邊形。GA4的面積為16,AF=4,則尸G的

【答案】A

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質以及三角形面積等知識.過點A作于石，證

△ABCmAAED,得4F=4H,再證RSNFG當RS/77G,同理R3ZD產學RS4BH,得S四邊形DGB〃=16,進而

得到尸G的長.

【詳解】解：過點A作/于如圖所示:

在V48c和V/OE中,

BC=DE

ZC=ZE,

CA=EA

.,?△48C%4ED（SAS）,

二.ED

AD=AB,SyABC=5A，

X9：AFA.DE,

：.-xDExAF=-xBCxAH,

22

：.AF=AH,

VAFVDE,AHIBC,

：.ZAFG=ZAHG=9（T,

在Rt△/尸G和Rt^AHG中,

[AG=AG

[AF=AH'

Rt△/尸GgRtz\/HG（HL）,

同理：RtAADF^RtAABH（HL）,

S四邊形OGA4=S四邊形4FGH=16,

??SRMFG=8,

???AF=4,

/.-xFGx4=8,

2

解得：FG=4；

故選：A.

2.（23-24八年級上?江蘇無錫?期中）如圖，四邊形/BCD中，ZADB=ZCDB=60°,ZDCA=ZDBA,AB=BC,

則V/5。是三角形；若AB=BC=25,AD=2,CD=4f則B。的長為.

【答案】等邊6

【分析】設交80于點廠，則NBAC=/BEC-/DBA=/BEC-NDCA=/CDB=60。,證明V/BC是等

邊三角形，則有48=/。，在上截取。尸=',連接4尸，所以尸是等邊三角形，根據性質得

DF=AF=AD=2,/FAD=60。,則/A4尸=/C4。=60。—/C4尸，然后證明也“CQ（SAS）,再根

據全等三角形的性質和線段和差即可求解.

【詳解】解：設4c交3。于點尸，

VACDB=60°,ZDCA=ZDBA,

???ABAC=/BEC-/DBA=/BEC-ZDCA=/CDB=60°,

??AB=BC,

???V4BC是等邊三角形，

AB=AC,

在DB上截取。尸=。4,連接力尸，

*.?ZADB=60°,

???尸是等邊三角形，

：.DF=AF=AD=2,NFAD=60。,

：./BAF=/CAD=60°-ZCAF,

在2X45b和△4CQ中，

AB=AC

</BAF=/CAD,

AF=AD

：.^ABF^ACD（SAS）f

：.BF=CD=4,

：?BD=BF+DF=4+2=6,

故答案為：等邊，6.

【點評】此題考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質、三角形的一個外角等于與它不

相鄰的兩個內角的和等知識，正確地作出所需要的輔助線，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

3.(23-24八年級上?江蘇南京?期中)(1)【舊題重現】《學習與評價》P19有這樣一道習題：

如圖①，AD、4。分別是V/BC和的3C、邊上的中線，AD=AD,，AB=AB，BC=B'C'.求

證：△ABC四△48'C'.

圖①

證明的途徑可以用下面的框圖表示，請填寫其中的空格.

(2)【深入研究】

如圖②，40、分別是V4BC和A/'8'C'的3C、B'C'邊上的中線,AD=AD',AB=AB,，AC=A'C'.^\

斷VABC與AA'B'C'是否仍然全等.

【答案】(1)見解析(2)VN8C和9C仍然全等，理由見解析

【分析】(1)根據中點可得運用“邊邊邊"可證"由江A，B'D'(SSS),可得=在運用“邊

角邊''可證△/8C烏△N'B'C'(SAS)；

(2)延長40至￡,使。￡=刈)，連接3E,延長4。至使。宜=/邊,連接夕￡,

可得AD=CD,B'D'=C'D',可證△NOC之△￡O3(SAS),同理可證/BE用”0E(SSS),由此即可求證

△N8C2△/'B'C'(SAS).

本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握中點的運用，倍長中線的運用，全等三角形的判定和性質是

解題的關鍵.

【詳解】解：(1)證明：???//)是V/3C的中線，

:.BD=-BC,

2

vA'D'分別是^A'B'C的中線,

:.B'D'=-B'C',

2

BC=B'C,

:.BD=BD^

在△48。和△457/中,

BD=B'D'

<AD=A'D',

AB=A'B'

:.AABD^AAB'D'(SSS),

ZB=ZB'，

在V4BC和”的。中,

AB=A'B'

<ZB=ZB',

BC=B'C'

:.^ABC^AA'B'C(SAS),

故答案為：①BD=gBC；②"。=g*C；③/。=/方；@ZB=ZB'-，

(2)解：V4BC和A/2'C'仍然全等,理由如下：

延長40至E,使。七=4>連接8E,延長4。至夕，使。宜=/邊，連接5?,

AAr

AD和A'D9分別是VABC和△45C的BC和B'C邊上的中線,

EE'

:.BD=CD,B'D'=C'D'.

在△4DC和△ED5中,

AD=DE

<NADC=NBDE,

BD=CD

.?.△ZDC2△mB(SAS),

:.AC=EB,/DAC=/E,

同理4C'=E'B',ND/'C'=NE',

AC=A'C,

:.EB=E'B',

VAD=A'D',AD=DE,A'D'=D'E',

AE=A'E',

■：AB=A'B',

:.&ABE^AA'B'E'(SSS),

ZBAE=NB'A'E',ZE=ZE',

ADAC=ZD'A'C,

ABAC=NB'A'C',

又4B=/B'，AC=A'C',

：.L4BC出△A'B'C'(SAS).

4.(23-24八年級下?江蘇鹽城?期中)如圖，在V4BC中，是2c邊上的中線，E是/。的中點，過點A作

BC的平行線交BE的延長線于點尸，連接CF.

⑴求證：AAEF=ADEB；

(2)若AC=1,AB=叵，求四邊形/OCF的面積.

【答案】(1)見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的面積，解決問題的關鍵是理解全等三角

形的面積相等，三角形的中線將原三角形分成兩個面積相等的三角形；

(1)由￡是40的中點得/E=Z)E,再根據4F〃5c得=尸，ZFAE=ZBDE,由此可得出結論;

(2)由(1)的結論得/尸=應)=CD,由此可證“FC和ACAD全等，則邑皿=S^CAD,進而得SmADCF=況/,

根據/。是BC邊上的中線得丹謝=2S.c〃,則SmADCF=S^ABC,然后求出VZ3C的面積可得四邊形4DCF的

面積.

【詳解】（1）證明：???￡是40的中點，

/.AE=DE,

AF//BC,

:.ZAFE=/DBF,ZFAE=ZBDE,

在AAEF和小DEB中，

ZAFE=ZDBF

<NFAE=/BDE,

AE=DE

:公AEF*DEB（AAS）；

（2）解：由（1）可知：AAEF=ADEB,

/.AF=BD,

?.,4D是BC邊上的中線，

BD=CD，S?D=S.BAD，

AF=CD,

vAF//BC,

ZEAC=ZACD,

在和△C4D中，

AF=CD

</EAC=/ACD,

AC=CA

:△AFC二八CAD（ASA）,

-SAAFC=SdCAD'

..S四邊形NDC尸=2sAe3，

,S&CAD=SRAD，

-S“BC=2szCAD，

11I-y/Z

S四邊形ZDCF=S4ABe=-AC=—Xv2x1=.

5.（23?24八年級上?江蘇南通?期中）（1）如圖1,V45C與V4DE均是頂角為40。的等腰三角形，BC、DE

分別是底邊，求證：BD=CE；

（2）如圖2,△4C5和△DCE均為等邊三角形，點4、D、E在同一直線上，連接BE.

填空：的度數為二線段BE與力。之間的數量關系是

(3)拓展探究

如圖3,ZUCB和△OCE均為等腰直角三角形，//C8=/DC￡=90。，點/、。、E在同一直線上，CM為

△OCE中DE邊上的高，連接BE.請判斷乙4￡2的度數及線段CM、AE、8E之間的數量關系，并說明理

由.

【答案】(1)見解析；(2)60度，相等；(3)DAEB=90°,AE=BE+2CM

【分析】此題主要考查了全等三角形的判定方法和性質，等腰直角三角形的性質和應用，要熟練掌握，解

答此題的關鍵是要明確：在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件.

(1)根據全等三角形的判定方法，判斷出△助?？铡饕浴?即可判斷出3D=CE.

(2)由題意得/C=3C,CD=CE,ZACB=NDCE=60。,NCDE=NCED=60。,據此判斷出

ZACD=ZBCE；然后根據全等三角形的判定方法，判斷出即可判斷出

BE=AD,NBEC=NADC,進而判斷出乙4班的度數為60。即可.

(3)由題意得/C=3C,CD=CE,ZACB=ZDCE=9Q°,據此判斷出乙4cD=/BCE；然后根據全等三角

形的判定方法，判斷出△/CD四△BCE,即可判斷出BE=4D,BE=AD,NBEC=NADC,進而判斷出

N/EB的度數為90。即可；最后根據/DCE=90。，CD=C￡CMLDE,可得CM=DM=EM,所以

DE=DM+EM=2CM,據此判斷出/E=8E+2cAz即可.

【詳解】(1)證明：..,NBZC=ND4￡=40。，

ABAC-ADAC=ZDAE-ADAC,

即ABAD=NCAE,

又：AB=AC,AD=AE

：./\BAD咨△C4E

：.BD=CE.

(2)解：?.,△NC8和△OCE均為等邊三角形，

AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,ZCDE=ACED=60°,

ZACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB,BPZACD=ZBCE,

JZ\ACD沿ABCE,

：.BE=AD,ABEC=ZADC,

???點/,D,E在同一直線上，

???ZADC=180°-ZCDE=180。一60°=120°,

：.ZBEC=120°,

：.ZAEB=/BEC-ZCED=120°-60°=60c,

故答案為：60度，相等.

(3)解：???△4C5和△￡＞色均為等腰直角三角形，

AAC=BC,CD=CE,/CDE=/CED=45。,

ZACB=/DCE=90。,

：.ZACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB,^ZACD=ZBCEf

：.Z\ACD義ABCE,

：.BE=AD,NBEC=ZADC,

???點/,D,E在同一直線上，

???ZL4DC=1800-ZCDE=180°-450=135°,

；?NBEC=135。,

JZAEB=/BEC-ZCED=135°-45°=90c,

,:/DCE=9。。,CD=CECMLDE,

:.CM=DM=EM,

：.DE=DM+EM=2CM,

AE=AD+DE=BE+2CM.

考點二全等三角形各類模型壓軸題

1.(23-24八年級下?四川達州?期末)如圖，已知5尸是。的平分線，4尸_15尸，若以血=12cn?,則V/BC

的面積（）

A

C.36cm2D.不能確定

【答案】A

【分析】延長/尸交5C于點G根據題意，易證△力5尸也△QBP(ASA),因為△/PC和△小。同高等底，所

以面積相等，根據等量代換便可得出S“BC=2S"=24cm2.

【詳解】如圖所示，延長4?，交于點D,

J/APB=NDPB=90。,

???BP是/ABC的角平分線，

/.NABP=NDBP,

在4ABp和^DBP中,

'NABP=/DBP

<BP=BP,

/APB=ZDPB

：.公ABP會八DBP（ASA）,

：.AP=DP,

?v=s

,?—?4DBP'

AAPC和ADPC同底等高，

??S^APC~SDPC，

??SAPBC=SDPB+S公DPC=SAABP+^Z\APC，

NRPC

A/AIO”C=2S=24cm2,

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形的角平分線和全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練運用三角形的角平分線和

全等三角形的判定.

2.（23-24八年級上?江蘇宿遷?期中）如圖，在V/5C中，ZACB=90°,AC=BC,直線"N經過點C,且

AD1MN.BE1A4N,垂足分別為。、E,貝I]/￡＞、DE、8E之間的數量關系是.

【答案】AD+DE=BE

【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定，證明△4DC四△CEB(AAS)即可.

【詳解】解：:ADLMN、BEVMN,

：.DACB=DBEC=DADC=90°,

/.ZACD=ZCBE=90°-ZBCE,

'：AC=BC,NBEC=ZADC=90°,

△/DC也△CEB(AAS),

AD=CE,BE=CD,

：.DE=CD-CE=BE-AD,

即AD+DE=BE,

故答案為：AD+DE=BE.

3.（23-24八年級上?江蘇南通?期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,V/3C中，若

AB=6,AC=4,求3C邊上的中線/。的取值范圍.小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：如

圖1所示，延長到點￡,使DE=AD,連接BE.請根據小明的思路繼續思考：

圖1圖2圖3

(1)由已知和作圖能證得V40c也VED8,得至=在A/BE中求得2/。的取值范圍，從而求得40的

取值范圍是.

方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”.“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系；

⑵如圖2,“O是VABC的中線，AB=AE,AC=AF/BAE+NCAF=180。,試判斷線段4D與斯的數量

關系，并加以證明；

(3)如圖3,在V/3C中，。,石是BC的三等分點.求證：AB+AOAD+AE.

【答案】(1)1<4D<5

(2)EF=2AD,證明見解析

(3)見解析

【分析】本題考查了三角形三邊關系，三角形全等的性質與判定，利用倍長中線輔助線方法是解題的關鍵.

(1)延長40到點E,使。E=3,連接BE,根據題意證明AMDB之A/OC,可.知即/=ZC,在A/EW中，

AB-BM<AM<AB+BM,即可；

(2)延長力。到使得Z)M=4D,連接BM,由(1)的結論以及已知條件證明A/BM會AE/尸，進而

可得=由尸，即可求得4。與EP的數量關系；

(3),取?！曛悬c連接并延長至。點，使得4H=QH,連接。E和。C,通過“倍長中線”思想全等

證明，進而得到/3=C0,/D=E。,然后結合三角形的三邊關系建立不等式證明即可得出結論.

【詳解】(1)解：如圖1所示，延長40到點E,使DE=AD,連接BE.

是A/3C的中線，

BD=CD,

在和"DC中，

BD=CD

<ZBDM=ZCDA,

DM=AD

：.^MDB^AADC(SAS),

BM=AC=4,

在A/W中，AB-BM<AM<AB+BM,

：.6-4<AM<6+4,即2</M<10,

：.1<AD<5,

故答案為：1<4D<5.

（2）EF=2AD,理由:

如圖2,延長4。到“，使得。M=連接BM,

由（1）知，ABDM知CDA（SAS）,

：.BM=AC,ZM=ZMAC

???AC=AF,

：.BM=AF,

VZMBA+ZM+ZBAM=l80°f即/A?/+/B/C=180。，

又,//BAE+ZCAF=180°,

：.ZEAF+ABAC=1^0°,

：.NEAF=ZMBA,

又「AB=EA,

：.AABM^AEAF（SAS）,

???AM=EF,

AD=DM,

：.AM=2AD,

AM=EF,

：.EF=2AD.

（3）證明：如圖所示，取。￡中點〃，連接4H并延長至。點，使得4〃=。〃，連接QE和QC,

A

y

Q

?:H為DE中點、,D、E為BC三等分點,

DH=EH,BD=DE=CE,

：.DH=CH,

在和△QCH中，

BH=CH

<NBHA=ZCHQ,

AH=OH

注AQCH(SAS),

同理可得：AADHOOEH,

：.AB=CQ,AD=EQ,

此時，延長/E交。。于K點,

?.?AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK,

AC+CQ>AK+QK,

*/AK+QK=AEEK+QK>QE,EK+QK>QE,

：.AK+QK>AE+QE,

AC+CQ>AK+QK>AE+QE,

AB=CQ,AD=EQ,

AB+AC>AD+AE.

4.(23-24八年級上?江蘇無錫?期中)閱讀理解

半角模型：半角模型是指有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角兩邊相等，通過翻折或

旋轉，將角的倍分關系轉化為角的相等關系，并進一步構造全等三角形，使條件弱化，這樣可把握問題的

本質.

G

A

【問題背景】

如圖1,在四邊形N8C。中，AB=AD,ZBAD=120°,Z5=ZADC=90°,E,尸分別是8C、C。上的點，

NE4F=60。,試探究圖1中線段BE、EF、陽之間的數量關系.

【初步探索】

小亮同學認為解決此問題可以用如下方法：延長￡0到點G,使=連接/G,先證明△ABE絲ZX/OG,

再證明"EF當"GF,則可得到線段BE、EF、FD之間的數量關系是.

【探索延伸】

如圖2,在四邊形/BC。中，AB=AD,AB+ZD=\^°,分別是8C、CD上的點，NE4F=gzBAD,

上述結論是否仍然成立，并說明理由.

【結論運用】

如圖3,在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30。的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70。的

B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，

艦艇乙沿北偏東50。的方向以80海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達

E、F處,且兩艦艇之間的夾角NEO尸為70。，則此時兩艦艇之間的距離為海里.

圖3

【答案】【問題背景】EF=BE+DF,理由見詳解；【初步探索】E尸=尸；【探索延伸】仍然成立,

理由見詳解；【結論運用】210

【問題背景】將繞點A逆時針旋轉120。得△/DG,N8與ND重合，可證點G,D,尸，。共線，可證

^EAF^GAF(SAS),GF=EF,由此即可求證；【初步探索】根據作圖可證△/BE也,再證

△E47名AG4F(SAS)即可；【探索延伸】證明方法與“初步探索”的證明方法相同；【結論運用】如圖所示，連

接好,過點B作軸于點H,證明AOB尸名△CMP,LEOFSAEOF,由此即可求解.

【詳解】解：【問題背景】EF=BE+DF,理由如下，

如圖所示，

G

A

???將△/HE繞點A逆時針旋轉120。得△4QG,N5與重合，

,LABE出LADG,

AZBAE=ZDAG,BE=DG,AE=AG,

*.*/B=ZADF=90°,

???Z5+Z^DF=180°,

???點G,ARC共線，

VZBAD=nO°,ZEAF=60°,

???/BAE+ZDAF=ABAD-NEAF=120。—60°=60°,

???ZGAD+NDAF=/BAE+ZDAF=60°,即ZGAF=60°=ZEAF,

在△￡/尸,AG/尸中，

GA=EA

<ZGAF=ZEAF,

AF=AF

：.AEAF%GAF(SAS),

：.GF=EF,

GF=GD+DF=BE+DF9

:.EF=BE+DF；

【初步探索】根據題意，i)ADF=90°,延長ED至點G,

???ZADG=ZADF=/B=90°,

在△/BE,△NOG中，

AB=AD

<ZABE=ZADG,

BE=DG

：.絲△ZQG(SAS),

/.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

VZBAD=120°,ZEAF=60。,

：./BAE+ZDAF=ABAD-/LEAF=120°-60°=60°,

ZGAD+ZDAF=/BAE+ZDAF=60°,即ZGAF=60°=ZEAF,

在△口廠,ZiGZ/中，

GA=EA

<ZGAF=ZEAF,

AF=AF

：.AEAF^AGAF(SAS)f

：.GF=EF,

'：GF=GD+DF=BE+DF,

JEF=BE+DF,

故答案為：EF=BE+DF；

【探索延伸】仍然成立，理由如下，

如圖所示，延長FQ至點使得DH=BE,

H

VZ5+Z^DF=180°,ZADF+ZADH=\S00,

JZB=ZADH,

在AABE,/\ADH中,

BE=HD

<ZB=ZADH,

AB=AD

：?"BEaADH(SAS),

???AE=AH,/BAE=ADAH,

?.*ZEAF=-ZBAD,

2

ABAE+ZFAD=/BAD-；/EAF=?BAD,即/HAD+ZDAF=ZHAF=g/BAD,

ZHAF=ZEAF,

在"EFQAHF中，

AH=AE

<ZHAF=ZEAF,

AF=AF

：.AAEF知AHF(SAS),

：.HF=EF=HD+DF,且DH=BE,

：.EF=BE+DF；

【結論運用】如圖所示，連接過點3作跳/__Lx軸于點H,

根據題意可得，OA=OB,AAOM=30°,/20眩=90。-70。=20。，ZHBF=50°,

...在RtZU（W,RtA8O〃中，ZOAM=60°,ZOBH=70°,則尸=+=70°+50°=120°,

ZAOB=NAOM+AMON+ZBON=30°+90°+20°=140°,

/EOF=70°,

NAOE+ZBOF=ZAOB-乙EOF=140°-70°=70°,

?艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙以80海里/小時的速度前進，形式1.5小時，

二/E=60x1.5=90（海里），5F=80xl,5=120（海里），

如圖所示，延長跖4至點尸'，使得4F'=BF,則NGMF=180°-NCMM=180°-60°=120°,

OB=04

-ZOBF=AOAF',

BF=AF'

：.△OBI名SAS）,

OF=OF',ZBOF=ZAOF',

：./EOF'=NAOE+NAOF'=ZAOE+ZBOF=140°-70°=70°=ZEOF,

,在△￡。9',乙￡。尸中，

OF'=OF

/EOF'=/EOF,

OE=OE

△EOF'%AEOF（SAS）,

：.EF'=EF=AE+AF'=AE+BF,

￡^=90+120=210（海里），

此時兩艦艇之間的距離為210海里，

故答案為：210.

【點睛】本題主要考查四邊形的綜合，全等三角形的判定和性質的綜合，方位角的運用，理解圖示，掌握

全等三角形的判定和性質是解題的的關鍵.

5.（23-24八年級上嘿龍江哈爾濱?階段練習）（1）如圖1,NMAN=90。,射線4D在這個角的內部，點3、C

分別在的邊4W、/N上，且48=/C,CF_L4D于點尸_L于點￡.求證：EF+FC=BE-

（2）如圖2,點5、C分別在/血伍N的邊4W、/N上，點E、尸都在/MZN內部的射線4D上，/I、/2分

別是的外角.已知48=/C,且/I=/2=/8/C,點E是4F的中點，BE=8.求尸C的長；

（3）如圖3,在V/BC中，AB=AC,點。在邊8c上，點E、廠在線段40上，點E是/月的中點，

N1=N2=NBAC,連接EC.若AOEC的面積為4,求ABED的面積.

圖1圖2圖3

【答案】（1）證明見解析；（2）FC=4；（3）△E5D的面積為8

【分析】（1）利用等角的余角相等得到ZABE=NCAF，證明"BE知C4尸（AAS），推出/￡=C尸，BE=/尸，

即可證明結論成立；

（2）利用三角形的外角性質求得NABE=ZCAF,ZBAE=ZFCA,證明AABE/ACAF，推出/￡=CF,

BE=AF,據此求解即可；

（3）過點B作5KL4D垂足為K,過點。作C7?，40垂足為K,得到邑/砧=5“口/，利用三角形的面積公

式即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖,

M,

ACN

*：CFLAD,BE工AE,ZMAN=90°,

：.ZBEA=ZAFC=90°f

:?ZABE+ZBAE=90。,ZBAE+ZCAF=90°,

：./ABE=ZCAF,

'/BEA=/AFC

在八ABD和VC4尸中，｛AABE=NCAF,

AB=AC

.?."BE知C4F(AAS),

AE=CF,BE=AF,

?；AF=AE+EF,

：.EF+FC=BE-

(2)解：VZ1=Z2=ABAC,/T=NBAE+NABE,ABAC=ZBAE+ZCAF,/2=/FCA+/CAF,

:?ZABE=/CAF,/BAE=/FCA,

ZABE=ZCAF

在△/5￡和丫口尸中，［AB=AC,

ZBAE=ZFCA

.?.△/BE絲/(ASA),

AE=CF,BE=AF,

???點E是4廠的中點，BE=8,

：.AE=-AF=-BE=4,

22

M,

ACN

：.FC=4；

（3）解：過點3作BK，/。垂足為K,過點。作垂足為R,

由（2）得YABE，CAF,

?v-v

,,2AABE_2ACAF?

：.-AE-BK=-AF-CR

22f

,點E是AF的中點，

???AF=2AE,

：.-AE-BK=-x2AE-CR,

22

：.BK=2CR,

SQDBE=；DE-BK=；DE-2CR=2X：DE-CR=2s-E=2X4=8,

的面積為8.

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，三角形面積的計算，熟練掌握三角形全等的判定方法,

是解題的關鍵.

考點三等腰三角形的判定與性質壓軸

1.（23-24八年級上?江蘇無錫?期中）如圖，在等腰AANBC中，/Z=90。，BD平分NABC,BE平分/DBC,

M、N分別為射線BE、8c上的動點，若8。=10,則CM+MN的最小值為（）

A

D

A.7B.6C.5D.10

【答案】C

【分析】過點C作CF，3D,交AD的延長線于點凡則CM+MN的最小值為CF.延長84c戶兩線交于

點G,證明△/BQgZX/CG,^GBF^CBF,根據全等三角形的性質，得到微=W=，CG.

22

【詳解】過點。作WLAD,交3。的延長線于點R則CM+MN的最小值為CF,

延長54c/兩線交于點G,

?；ZA=NDFC=90。,ZADB=ZFDC

：.ZABD=ZFCD,

ZABD=ZACG

?：\AB=AC,

ZDAB=ZGAC

：.AABD也A4CG,

???BD=CG；

ZGBF=ZCBF

?：\BF=BF,

/GFB=/CFB=90。

：.ABFaCBF,

GF=CF=-CG=-BD-

22

?「AD=10,

：.CF=5,

CM+MN的最小值為5,

故選D.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，三角形全等的判定性質，垂線段最短原理，熟練掌握三角形

全等的判定和性質，垂線段最短原理是解題的關鍵.

2.（23-24八年級上?江蘇泰州?階段練習）如圖，V/5C中，乙4=30。,乙4圓=90。,2。=6,點。是邊/（^上

的動點，連接以為邊在的左下方作等邊ADBE,連接CE,則點。在運動過程中，線段CE長

度的最小值是.

【答案】3

【分析】如圖，取N8的中點0,連接C。/。，由AEBC絳PBQ,推出￡。=尸0,推出當。尸，/C時，PQ

最小，此時EC的值最小.

【詳解】解：如圖，取的中點。，連接C。,尸。，

,/ZACB=90°,ZA=30°,

ZCBQ=60°,AB=2BC=U,

VBQ=AQ,

：.CQ=BQ=AQ=6,

；?叢BCQ是等邊三角形，

BC=BQ,

"：NPBE=ZCBQ=60°,

NEBC=ZPBQ,

?：EB=PB,CB=QB,

:sEBCg△尸BQ(SAS),

.?.EC=PQ,

???當0P時，尸。最小，此時EC的值最小，

在中，VAQ=6,ZA=30°,

PQ=^AQ=3,

CE的最小值為3.

故答案為：3

【點睛】本題旋轉的性質，考查全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形30度角

的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問

題.

3.(23-24八年級上?江蘇蘇州?期中)如圖，己知點。為V/8C內一點，CD平分/ACB,BDLCD,

NA=NABD.若/C=18,BC=10,則CD的長為.

【答案】2收

【分析】本題主要考查等腰三角形的判定與性質，勾股定理,延長BD與AC交于點E,由題意可推出BE=AE,

依據等角的余角相等，即可得等腰三角形8CE,可推出BC=CE,AE=BE=2BD,根據/C=9,BC=5,

即可推出8。的長度.

【詳解】解：延長8。與NC交于點E,

A

ZA=ZABD，

BE=AE，

?「BD^CD,

，BELCD,

〈CD平分NACB,

/./BCD=/ECD,

NEBC=ZBEC,

.1△BEC為等腰三角形，

/.BC=CE,

?;BE工CD,

2BD=BE,

???ZC=18,BC=10,

:.CE=10,

/.AE=AC-EC=lS-10=8f

:.BE=8,

.?.BD=4,

:.CD=^CE--DE-=V100-16=2收，

故答案為：2后.

4.（23-24八年級上?江蘇泰州?期中）己知△ABD中，NADB=9Q°,AD=BD,。為邊AD上一點，點C在

NO延長線上，連接8C、CD.

(1)如圖1,已知。8=28,AO=CO,當ND=12時，求0OC的面積；

(2)如圖2,過點3作ZC的垂線，分別交NC、CD于點、H、E,過點。作小_LCO交NC于尸，連接防，

求/DE尸的度數；

(3)如圖3,當點。在上運動，且//C5始終為90。時，過點。作。GL/C,垂足為G,則.△個一般由

、4CDG

的值是否發生改變？若不變，求出這個值；若發生改變，說明理由.

【答案】⑴48

(2)45°

(3)不發生改變，2

221

【分析】()由可得S由。，可得^BOC=S“BO=/了，

1AADB—90°,OB=2OD,AAOB=-S^ABD,NO=CABD,

計算求解即可；

(2)由CDLDR4DLBD,可得ZADF=NBDE,由三角形內角和定理，對頂角相等可得ND4尸=ND8E,

證明”。尸部△以龍(ASA),則。9=Z)E,進而可得SEF是等腰直角三角形，ZDEF=45°；

(3)如圖，作。尸，CD交/C于點P,同理(2)可證，"DP知BDC(ASA),則DP=DC,△CZJP是等

腰直角三角形，G是C尸的中點，SACDP=2SACDG,由

S—S

S“BD—S/BC=+S"。)—(2"C一LB。)=SKS.BCD=S?P=2S?G，進而可求得△儂=，

3CDG

然后作答即可.

【詳解】(1)解：???4405=90。，OB=2ODf

?c一”

??°“OB~，

?c__2v

?,口“OB-34"BD'

*.?AO=CO,

℃

S△ZBJCZO=S△ABRUn=-3--2AD-BD=3-X2-X12x12=48,

???一OC的面積為48；

(2)解：CD1DF,ADLBD,

：.ZADF+ZBDF=90°=/BDC+ZBDF,

；?ZADF=ZBDE,

ZDAF+ZADO+ZAOD=180°=ZDBE+ZBHO+/.BOH,ZAOD=ZBOHZADO=90°=ZBHO,

ZDAF=ZDBE,

ZDAF=ZDBE,AD=BD,ZADF=ZBDE,

：."DF知BDE(ASA),

：.DF=DE,

,：Z.CDF=90°,

A￡>EF是等腰直角三角形，NDEF=45°；

(3)解：如圖，作小，CD交NC于點尸，

D

同理(2)可證，"DP^ABDC(ASA),

：.DP=DC,是等腰直角三角形，

---DG1CP,

G是C尸的中點，

??QACDP_3QG，

**?SqABD一S4ABe=(S"O0+S^ABO)—(SBOC—S“BO)

=S"OD-S^BOC

=(SA/OO+S^CDO)—(SASOC—SACDO)

=S4ACD-S&BCD

=S4ACD-S4ADP

~SQP

=2SKDG，

?S4ABD-S4ABe_n

??o-

口ACDG

...S△弋-SAABC的值不發生改變,值為2.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，中線與面積，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定

理等知識.熟練掌握等腰三角形的判定與性質，中線與面積，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定

理是解題的關鍵.

5.(23-24八年級上?江蘇蘇州?期中)在等邊V48c中，點尸，。是8C邊上的兩個動點(不與瓦C重合)，點

尸在點0的左側，且/尸=,。

(2)在圖1中，求證：BP=CQ

(3)如圖2,點M在邊/C上，CM=CQ,點。為的中點，連接并延長交于點N,連接尸監尸N.猜

想APW的形狀是,并說明理由.

【答案】⑴85

(2)證明見解析

(3)跖V是等邊三角形，理由見解析

【分析】⑴由V/8C是等邊三角形，得到4=60。，由外角的性質得到乙4PQ=85。，由/P=N。，得至AAPQ

是等腰三角形，即可得到結論；

(2)證明△N8QgA4CP(AAS),則50=CP,BQ-PQ=CP-PQ,即可得到結論；

(3)連接M。，先證明△cw是等邊三角形，再證明最后證明

△AMN四2CPM(SAS),則/C7W+/CW=18(F-/C=12(F,得到/CMP+/4W=12。，貝U

ZPW=180°-120o=60°,即可得到結論.MN=PM

【詳解】(I)解：:v/BC是等邊三角形，

4=60。，

ZBAP=25°,

NAPQ=ZB+ZBAP=8S5,

?/AP=AQ,

：.△，尸。是等腰三角形，

NAQB=NAPQ=85°,

故答案為：85；

(2)證明：是等邊三角形,

Z5=ZC=60°,AB=AC

?：AP=AQ,

尸。是等腰三角形，

ZAQB=ZAPQ,

：.△ABQ^AACP(AAS),

BQ=CP,

：.BQ-PQ=CP-PQ,

：.BP=CQ.

(3)APMN是等邊三角形，

證明：連接

?/CM=CQ,

.?.△G呦是等腰三角形，

ZC=60°,

.?.△。呦是等邊三角形，

ZCMQ=ZCAB=60°,

MQ//AB,

ADQM=ADAN,ZAND=ZQMD,

:點。為的中點，

AD=QD,

：.AAND沿AQMD（AAS）,

AN=QM,

?：CM=QM=CQ=BP,

：.CMAN,

?：AC=BC,

：.AC-CM=BC-BP,

：.AM=CP,

?：ZMAN=ZC=6(f,

AAMN公ACPM(SAS),

ZAMN=2cpM,MN=PM,

VZCPM+ZCMP=180P-ZC=12QP,

NCMP+NAMN=120P,

：.NPMN=180°-120°=60°,

APAW是等邊三角形.

【點睛】此題考查了等邊三角形的性質和判定、全等三角形的判定和性質等知識，熟練掌握全等三角形的

判定和性質是解題的關鍵.

6.(23-24八年級上?江蘇宿遷?期中)規定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那

么稱這兩個三角形互為“形似三角形”.從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂

點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，

另一個與原來三角形是“形似三角形，，，我們把這條線段叫做這個三角形的“形似分割線”.

理解概念應用：

⑴如圖1,在RtZ\4BC中，44c2=90。，CDLAB,請寫出圖中的“形似三角形”(寫出兩對即可).

(2)如圖2,在V48C中，CD為角平分線，44=40。，4=60。.求證：CD為VNBC的形似分割線.

(3)在V/3C中，若N/=48。，CO是VN8C的形似分割線，直接寫出N/C8的度數.

【答案】(DV/5C與A/CD,YABC與ACBD,"CD與4CBD；

(2)見解析;

(3)96°或114°或104°或88°.

【分析】本題是三角形綜合題，考查了“形似三角形”的定義、等腰三角形的性質、三角形內角和定理，靈活

運用分情況討論思想是解題的關鍵.

(1)根據“形似三角形”的定義進行解答即可；

(2)根據題意證明A/CD為等腰三角形，△CD3的各個內角等于V/8C的各個內角即可證明結論；

(3)分A/CD是等腰三角形：DA=DC^DA=AC-△BC。是等腰三角形：BD=BC或BD=DC；四種情

況，根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理計算即可.

【詳解】(1)解:NABC馬”CD,VABCACBD,與△CB。是形似三角形”.

(2)解：：在V/8C中，NN=40。，ZB=60°,

：.ZACB=180°-ZA-ZB=80°,

為角平分線，

NACD=ZDCB=-ZACB=4CP,

2

ZACD=ZBCD=ZA,

CD=AD,

A/C。為等腰三角形，

?.?在△￡>5c中，ZDCB=40°,NB=60。，

NBDC=180°-NDCB-ZB=80°,

NBDC=AACB.

?：CD=AD,NBDC=ZACB,ZDCB=ZA,NB=NB,

：.CO為V4BC的形似分割線.

(3)解：當ANCD是等腰三角形，4D=Z)C時，如圖：

ZA=ZACD=48°,

：.ZACB=ZBDC=48°+48°=96°,

當“C。是等腰三角形，D/=NC時，如圖:

c

180。—48。

ZACD=ZADC==66°

2

*.*/BCD=乙4=48。，

???a4cB=66。+48。=114。；

當△/CO是等腰三角形，4C=CO的情況不存在;

當△BCD是等腰三角形，=時，如圖：

：?4BDC=/BCD,

設/BDC=/BCD=x,

貝j=180。-2x,

ZADC=ZB，

.,.x=180°-2x+48°,

解得：x=76。,

：.Z^CZ)=180°-2x=28°,

J44。5=28。+76。=104。；

當△BCD是等腰三角形，。時，如圖:

唾』二。,

ZACD=ZBCD=ZB=44

JzL4C5=2x44°=88°,

當△BCD是等腰三角形，C5=QC時不存在，

綜上所述，的度數為96。或114?；?04。或88。.

考點四軸對稱中多結論問題

1.（23?24八年級上?陜西商洛?期末）如圖，在V/5C中，ZBAC=60°fBE、CD為V的角平分線.BE與

C。相交于點RFG平分NBFC,有下列四個結論：①