四川省眉山第一中學2025屆高三一診模擬考試數學試題

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一、單選題

1.已知集合/=卜卜2<》42},5={-1,0,1,2,3,4,5},則4口8=()

A.{-1,0}B.{-1,0,1,2}

C.{-1,0,1}D.{2,3,4,5}

2.已知復數z滿足(l-i)z=4i,則復數z的虛部是()

A.-2B.-2iC.2D.2i

3.已知{為}是正項等比數列，若64，%，生成等差數列，則{為}的公比為()

A.1B.|C.2D.3

4.函數/(X)是尺上的偶函數，且〃x+l)=-/(x),若/(x)在［TO］上單調遞減，則函數

/(x)在［3,5］上是

A.增函數B.減函數C.先增后減的函數D.先減后增的函數

5.已知函數/(尤)=儂5(0>0),若/1為偶函數；且/'(x)在區間(0,兀)內僅有兩個

零點，則。的值是()

A.2B.3C.5D.8

t

6.放射性物質的衰變規律為：其中指初始質量，/為衰變時間，T為

半衰期，“為衰變后剩余的質量.已知甲、乙兩種放射性物質的半衰期分別為工，T2(單位:

天)，若兩種物質的初始質量相同，1024天后發現甲的質量是乙的質量的8倍，則

()

31「13

A.------B.-----C.D.

10245121024512

丁工一在X

7.若函數〃x)==2時取得極小值，則/(x)的極大值為()

x+bx+1

13

A.-B.1C.—eD.e

e8

試卷第1頁，共4頁

8.在等邊三角形4BC的三邊上各取一點D,E,F,滿足DE=3,DF=26,/DEF=90°,

則三角形/8C的面積的最大值是（）

7]3

A.7A/3B.13A/3C.yV3D.—A/3

二、多選題

9.已知函數/（x）的圖象是由函數＞=2sinxcosx的圖象向右平移芻個單位得到，則（）

6

7T7T

A./（X）的最小正周期為nB./（X）在區間-2請上單調遞增

63

C.“X）的圖象關于直線x=5對稱D.“X）的圖象關于點對稱

一I—

10.如圖，V/8C是邊長為1的等邊三角形，=點尸在以CZ＞為直徑的半圓上（含

端點），設萬=+y就，貝!I（）

—1—2—

A.》的值不可能大于1B.AD=—4cT—AB

33

C.萬.商的最小值為g

D.AP.AB的最大值為1

11.已知數列｛氏｝滿足%=：兀

0<an<~,且(2〃+l)sin(a”+i-a,)=sin(%+]+a“)，貝!]()

B.tana=2"-1

A.sina2=2fn

n71V?2+l

C.當〃22時，an>\a?<--------

2n2+]

三、填空題

12.求值sin430°cos320°+cosll00sin40°=.

13.已知函數〃x）=/+x+l,若關于x的不等式“辦-1）+〃-日11乃＞2的解集中有且僅有

2個整數，則實數。的最大值為.

試卷第2頁，共4頁

/(玉)一/(z)

14.已知函數/'(x)=(x-l)e，-xlnx,若V±,/e(0,+oo)且占二々，有>a恒

成立，則實數。的取值范圍是.

四、解答題

15.已知向量及=(1,2),b=(x,4),3=(4,-x),且向量&與3共線.

(1)證明：ale；

⑵求)與己_日夾角的余弦值；

(3)若?a+癥|=Md,求t的值.

16.在V48C中，內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知且

116a

----1----=---;---;---.

tanBtanC2bsinBsinC

(1)求3;

(2)若VNBC的外接圓半徑為R,周長為(6+佝夫，且a>b,求A.

17.已知數列｛。m-2%｝是以3為首項，2為公比的等比數列，且q=L

(1)證明：1金是等差數列；

⑵求數列｛與｝的前〃項和S..

18.已知函數/(x)=lnx.

⑴求過點尸(0,-1)的/(無)圖象的切線方程;

⑵若函數g(尤)=/(X)-7〃X+—存在兩個極值點看,%，求加的取值范圍；

(3)當xe時，均有/(x)<尤-&-2)/+a恒成立，求整數。的最小值.

19.已知函數/(x)=e'一ax-2(aeR).

(1)當。=2時，求，(x)的零點個數；

(2)設函數g(x)=/(尤)-^-+ae*-1.

⑴判斷g(x)的單調性;

試卷第3頁，共4頁

（ii）若g'（加）=g'⑺（機＜〃），求g（冽）+g⑺的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BCCDAADAADBD

題號11

答案ACD

1.B

【分析】根據集合交集的基本運算即可得出結果.

【詳解】由集合N={+2<x42},8={-1,0,1,2,3,4,5}即可得/cB={-1,0,1,2}.

故選：B

2.C

【分析】根據復數的除法運算化簡可得z,進而可得復數z的虛部.

【詳解】由已知(>i)z=4i,

即復數z的虛部為2,

故選：C.

3.C

【分析】由題意設出公比，根據等差中項的性質建立方程，可得答案.

【詳解】設等比數列{%}的公比為0,由數列{%}為正項數列，則4>0,

由6g，%，%為等差數列，貝【J2a4=6%+/，即2%/=6—+%/,

所以2d=6+小整理得(2q+3)(q-2)=0,解得夕=2或(舍去).

故選：C.

4.D

【分析】根據題意，先由/(x+1)=-/(x)確定函數的周期為2,結合函數的奇偶性與在［-

1,0］上單調遞減，分析可得答案.

【詳解】根據題意，,.?/(x+1)=-/(x),

：.f(x+2)=-f(x+1)=/G),...函數的周期是2；

又f3在定義域R上是偶函數，在［-1,0］上是減函數，

函數/(x)在［0,1］上是增函數，

答案第1頁，共14頁

，函數/(x)在［1,2］上是減函數，在［2,3］上是增函數，在［3,4］上是減函數，在［4,5］上

是增函數，

/./(x)在［3,5］上是先減后增的函數；

故選D.

【點睛】本題考查函數奇偶性與單調性的綜合應用，涉及函數的周期性，關鍵是求出函數的

周期.

5.A

【分析】根據偶函數的性質，以及根據余弦函數的零點，列式求。的值.

【詳解】+=+,為偶函數，

兀

所以&一二后1,keZ,co=2k,keZ,

2

當xe(O,TT),0XC(O,5),因為/(x)在區間(o,TT)內僅有兩個零點，

所以3把兀<。兀V53,得32〈/￡5土，則o=2.

2222

故選：A

6.A

1024

【詳解】由題意可得必8A〃x3計算即可得解.

【分析】

10241024

BP^—

T1024

12TX

故選：A.

7.D

【分析】根據函數求導，結合極小值的定義建立方程求得參數，還原函數解析式明確定義域,

求導列表，可得答案.

xex\x2+(/>-2)x+1-b~\

【詳解】由函數/(x)=一一，求導可得/(X)=-^―-------,

\'x-+bx+l(f+6x+l)

由題意可得了'(2)=0,則4+2(6-2)+1-6=0,解得6=-1,

貝！lx2-x+l=[x-口+—>0,

所以/(')=

x~-X+1I2；4

答案第2頁，共14頁

e'卜2—3x+2)e"(x-l)(x-2)

{x1-x+1)12-%+1)

令/'(x)=0,解得x=l或2,

可得下表:

X(-00,1)10,2)2(2,+?)

■T(x)正0負0正

/(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

則函數的極大值為/(1)=苦口=6.

故選：D.

8.A

【分析】首先求出所，設/BEDS,在VADE、△(?￡■尸分別利用正弦定理

表示出8月、CE,由BC=BE+CE,利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出的最大值,

即可求出三角形面積最大值.

【詳解】因為DE=3,DF=25^DEF=90°,所以EF=dDF?—DE?=拒，

27r

啜/BED=e,<?e0,—

所以B￡=2GsinT-4

CE正-2

CEEF

在ACE尸中由正弦定理,即sm71F如

sinZCFEsinC

62

答案第3頁，共14頁

所以C￡=2sin

2A/3sin(g一°)+2sin]￡+“

所以5C=帥+。￡*=

+2c(si,n乃—eos，rj+cos〃-s.m"n

mTcos"-cosrm"I66

=2jJsin(9+4cose=2j7sin(61+(p)(其中tane=R3),

所以3cM=2將，

則凡皿=；3C2sin|：=乎Bc2w,x(26)2=7g，

即三角形48c的面積的最大值是76.

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是用含。的式子表示出5E、CE,再利用三角恒等變換公式

及輔助角公式求出的最大值，進而求出三角形面積最大值.

9.AD

【分析】用二倍角公式化簡了=2sinxcosx,向右平移后得〃x)=sin(2x-：j,代入正弦函

數的單調區間、對稱軸、對稱中心分別對四個選項判斷即可.

【詳解】對于A,因為>=2sinxcosx=sin2x,

向右平移左個單位得/(x)=sin2D=sin,-,

2兀

則最小正周期為丁=二=兀，故A選項正確；

2

ri十W兀兀r_L271c兀兀

對于B,當時，---<2x--<—,

L63J333

由于片sinx在不單調，故〃x)=si12x-手在上不單調，

故B選項錯誤；

對于C,工三時，/W=sin|=^,即〃x)的圖象不關于直線xj對稱，C選項錯誤;

TTJT

對于D,令2%——=ht,尚畢得x=—+左兀，keZ

36

所以函數/(x)的對稱中心為巳+左兀,0左￡Z,

左=0時，即為故D選項正確.

故選：AD.

答案第4頁，共14頁

10.BD

【分析】對于A,利用反例，結合平面向量的基本定理，作平行四邊形，可得答案；對于B,

根據等邊三角形的幾何性質，結合平面向量的線性運算，可得答案；對于C、D,利用平面

向量的線性運算，整理所求數量積僅僅只有一個變量，根據三角函數的值域，可得答案.

【詳解】對于A選項，過點?作PG/〃2交/C延長線于

過點P作尸4///C交于片，作圖如下：

在平行四邊形中，AP=AB^+Aq=xAB+yAC,由|為|>|就則y>l,故A選

項錯誤；

對于B選項，AD^AB+BD=AB+^BC=AB+-^C-AB)=k4C+^4B,故B正確；

3333

對于C、D選項，取線段CZ>中點E,連接/E,PE,作圖如下：

AP-AB=AB-{AE+EP)=AB\A＜：+CE+EP)=+AB^CE+AB^E1,

在等邊三角形4BC中，易知區=所以商?就=1X1XCOS6()O=L

32

Z8-C￡=lx-xcos60°=-,貝屈.而」+■+加麗=4+加麗,

36263

-2萬］一?—?1「11-

設刀與麗的夾角為凡易知0,—,則Z"￡P=1XTCOS6￡,

_3\3|_o3_

所以萬?萬e1,1,故C選項錯誤，D選項正確.

故選：BD.

答案第5頁，共14頁

11.ACD

tan〃+1一.,、

【詳解】根據三角恒等變換計算得二廣=7-,再利用累乘法求得數列｛。“｝的通項公式

為tana,=〃判斷AB；根據三角函數單調性判斷C；由同角三角函數之間的基本關系，結合

函數單調性推理D.

【分析】對于B,由(2〃+l)si于％-a,)=sin(%+]+%),

得(2〃+1)sinq〃+icosan-(2〃+1)cosan+isinan=sinan+icosan+cosan+isinan,

tan〃+1

整理得L±L=—,

BP2nsinan+xcosan=(2n+2)cosan+isinan,

tanann

tanatana_tanann-12

當〃時，--------n-?nx2?tan=--------上〃，

22tan%=一1

tanan_xtanan_2tanq...................n-In-2

tan%=1滿足上式，因此tan%=〃，B錯誤；

對于A,tan“2=2,gpcostz2=-sin<72,又sin?4+cos2a2=1,解得sinqu—^—，A正確;

25

對于C,當〃22時，tan“〃=〃22>百，又OvaavT，因此。〃>三，即a〃〉l,C正確；

22

對于D,由tana〃=〃，得sin%=〃COSQ〃，Xsinan+cosan=\,cos^n>0,

因此sinC1—%)=cosan=:，令函數/(%)=x—sinx,0<xv],求導得/'(%)=l—cosx>0,

jr

函數〃X)在(0,9上單調遞增，/(x)>/(0)=0,即x>sinx,

因此再，即一？1t。正確.

故選：ACD

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用三角函數恒等變換以及累乘法得出數列｛。“｝滿足

tan4=〃，再根據三角函數單調性以及平方關系計算可得相應結論.

12.-/0.5

2

【分析】根據誘導公式和兩角差的正弦公式求解即可.

[詳解】sin430°cos320°+cosll00sin40°=sin70°cos(-40°)-cos70°sin40°

=sin70°cos400-cos70°sin40°=sin(70°-40°)=sin30°=1

故答案為：f

答案第6頁，共14頁

Ir1

13.In3H—

3

【分析】根據函數的對稱性和單調性可得。>lnx+，的解集中有且僅有2個整數，設

X

A(x)=lnx+1,x>0,利用導數討論其單調性后可得實數。的最大值.

【詳解】i5g(x)=/(x)-l=x3+x,

因為>=//=%均為R上的增函數，故g(x)為R上的奇函數，

又g(-x)=-J-x=-g(x),

由不等式可化為/(?X-1)-1+f(-xInx)-1>0,

BPg(6zx-l)+g(-xlnx)>0,故—〉g(xlnx),

故"-l>xlnx的解集中有且僅有2個整數，

故。>lnx+，的解集中有且僅有2個整數，設〃(x)=lnx+±x>0,

XX

y—1

貝!j"(%)=——,x>0,

則當0<x<l時，/iz(x)<0;當x〉l時，

故%(%)在(0,1)上為減函數，在(L+8)上為增函數，

故g+ln2=〃⑵<〃<%⑶=g+ln3,

故。的最大值為;+In3,

故答案為：；+ln3

【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是利用函數的單調性以及奇偶性將問題轉化為不等式

a>lnx+工的解集中的整數個數問題.

X

14H_

【詳解】將條件轉化為g(x)=/(x)-??在(0,包)上單調遞增，再轉化為e、-止-2a在

XX

(0,包)上恒成立，利用導數求函數否(X)=e'-叱-工的最小值，可得結論.

XX

【分析】不妨設再>迎>0,則不等式/4」>0可化為/(再)-小)>a(X；-x；),

%]-X?

所以/"(%)一ax；>/(x2)-(ixf,

答案第7頁，共14頁

設g(x)=fM-ax2,由已知可得g(x)=/(x)-#在(0,”0)上單調遞增,

所以/'(X)-2ax上。在(0,-Hx>)上恒成立，

所以xex-Inx-1-2ax20在(0,+00)上恒成立，

所以e，一皿一L2a在(0,包)上恒成立，

XX

jz、xInx1%1-lnx1%Inxx2ex+\nx

設/z(x)=e--------，則mI/(x)=e"------+—=ex+—=---------,

XXX2X2X2X2

設夕(x)=x2ex+In%,則叫x)=(x2+2x)ex+—>0,

所以函數夕(x)=x2ex+In%在(0,4w)上單調遞增，

又火l)=e>°，?；J==_ln2<：_ln&=0，

所以存在Xoe[；1],滿足夕(%)=0,

c111In—

即需於°+111%=0,所以=乙ln±=ln上ex°,

設〃(x)=xex(x>0),貝!J"(x)=xex+ex>0,

所以〃(x)=龍-在(0,+W)上單調遞增，又X。>0,InL>0,

X。

I1,

所以X。=ln-=_|nx°,

%

所以當x>Xo時，e(x)>0,h'(x)>0,函數%(x)=e，-也-工在(%,+8)上單調遞增，

XX

當0<xVX。時,9(x)<0,h'(x)<0,函數/z(x)=e*--------在(0,x0)上單調遞減，

xx

所以人0)2〃(%)=1。一也區一■又竟e"。+ln/=0,

X0X。

所以+Xoe*°—工=工+i—J_=1,

工010*0

所以2Q?1,所以

2

所以實數。的取值范圍是1-8,g.

故答案為：.

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于將條件轉化為g(x)=/(x)-??在(0,包)上單調遞

增，進一步轉化為g'(x)NO在(0,也)上恒成立.

15.(1)證明見解析

答案第8頁，共14頁

⑵-？

2

1

⑶'=±5

【分析】（i）根據向量共線得a=列方程組解出x,再利用向量垂直的坐標表示證明即

可;

一（

（2）利用cos〈扇3-6）=」u'一c—上及向量數量積和模長的坐標表示求解即可;

|a||c-^I

（3）利用向量數量積的運算律求解即可

【詳解】（1）因為向量&與B共線，所以@=篇（2片0）,

=工

1=Ax2

則23,解得2,

x=2

所以3=(2,4),c=(4,-2),

因為51=lx4+2x(—2)=0,

所以

(2)由(1)得)-*=(2,-6),

a'(c-b)lx2+2x(-6)

所以cos〈扇3-6〉=

同卜一同Vl2+22x-^22+(-6)22，

即，與j夾角的余弦值為-f

(3)因為片=降『=12+2?=5,c2=|c|2=42+(-2)2=20,a-c=0,

所以團+癥『=/+2/G+&2=5+2O/=[0,解得(=±g.

兀

⑹⑴與

⑵乂

v712

【分析】Q）根據弦切互化以及和差角公式可得sm/二嚕=景'即可結合正弦定理

求解;

（2）根據正弦定理邊角互化可得sin/+sinC=逅，即可利用三角恒等變換求解.

2

11sinCeosB+sinBcosC

【詳解】（1）因為------------1------------

tanBtanCsin5sinC

答案第9頁，共14頁

11sin（5+C）_siib4

故r/i----+——

tanBtanCsinBsinCsin5sinC2bsinBsinC

所以sm/=也=?叱l

2b2sinB

A

因為sin/wO,所以sing=——

2

又正嗚,所以8=；.

（2）由正弦定理可知〃=2Rsin4,b=2RsinB,c=2RsinC,

因為4+/）+。=（百+指）氏,所以sin4+sin5+sinC=V3+V6

2

所以sin/+sinC=

2

2兀A/6

sin/+sinC=sin/+si:=—sinAcosA=J~3sii

3222

所以sin〃+971=4

62

兀2兀

又a>b,所以4￡

3'3

所以/+[=?,故/=會.

17.（1）證明見解析

⑵，=（3〃-4）/+2

【分析】（1）由等比數列的定義可得出。用-2%=3x2。、在等式兩邊同時除以2"+'結合

等差數列的定義可得結論;

（2）根據（1）中的結論求出數列｛4｝的通項公式，然后利用錯位相減法可求得S”.

【詳解】（1）因為是以3為首項，2為公比的等比數列，所以。“+「2%=3x2"、

所以翁-2a,3

2〃+i4

又兄，所以3

是首項為公差為a的等差數列.

2n

（2）由（1）知去=；+S—l）x!3〃一1

4

3W-1

所以為=------------X2"=（3/?-1）-2,,-2,

4

101

所以，5?=2-2-+5-2+8-2+---+（3?-1）-2^0

答案第10頁，共14頁

則2S“=2.2°+5-21+---+（3?-4）-2,,-2+（3M-1）-2"-1,

上述兩個等式作差可得S?=-l-3-(2°+21+--+2"-2)+(3n-l)-

=一1一-12〃(3〃_]>2"一=即一4)2修+2，

故S“=(3〃-4)x2i+2.

18.(l),v=x-l

(2)0<7M<^-

(3)-3

【分析】(1)利用導數的幾何意義，結合導數的運算即可得解；

(2)將問題化為方程加--丫+%=0有兩個不相等的正數根，再利用二次函數根的分布即可

得解；

(3)利用參變分離法與構造函數法，將問題轉化為G(x)〈。的恒成立問題，利用導數與隱

零點求得G(x)的最大值的取值范圍，從而得解.

【詳解】(1)由題意得，函數〃x)的定義域為(0,E),/-?=-,

X

設切點坐標為,貝(J切線方程為V=’》+山/-1,

把點尸(0,T)代入切線方程，得-l=，xO+lnXo-1,貝l|lnXo=O,.?.x°=l,

xo

過點m-1)的切線方程為>=X-1.

/八、z\/*/\m1m

(2)g(x)=j(X)-mx-\——=Inx-mx+—,

XX

122

，/、1mx—mx-mmx—x+m

...g(x)=——m--=----3-----=------------>

XXXX

令/z(x)=mx2-x+m,

要使g(X)存在兩個極值點為，％2，

則方程m_%+加=o有兩個不相等的正數根西,x2,

答案第11頁，共14頁

7z(0)=m>0

解得0<m<g,

所以加的取值范圍為o</<g.

(3)由于/(x)<尤-(苫-2)/+。在xey,l上恒成立，

.,.lnx+(x-2)e*-x<a在xe上恒成立，

令G(x)=lnx+(x-2)e*-x,則G(x)〈。在xe上恒成立，

則6'0)=工+0-2)6'+/-l=(x-l)|ex--I，

xvxJ

當Lx<l時，x-l<0,

2

1

令"(x)=e「L貝iK(x)=e'+-T>0,r.w(x)在佶,1］上單調遞增,

又〃('=—2<0,u(Y)=e—1>0,

「?存在/J］”使得"(%)=0，即於。=，，.?.In/=-/，

Jxo

故當xe1；,Xo/寸，w(x)<0,此時G'(x)>0,

當時xe&j),M(X)>0,此時G'(x)<0,

故函數G(x)在］g,xj上單調遞增，在