專題強化八衛星運動的三類問題學習目標1.會分析衛星的變軌過程及各物理量的變化。2.掌握雙星或多星模型的特點。3.會分析衛星的追及與相遇問題。考點一衛星的變軌和對接問題1.變軌原理(1)為了節省能量，在赤道上順著地球自轉方向發射衛星到圓軌道Ⅰ上，衛星在軌道Ⅰ上做勻速圓周運動，有Geq\f(Mm,req\o\al(2,1))＝meq\f(v2,r1)，如圖1所示。圖1(2)在A點(近地點)點火加速，由于速度變大，所需向心力變大，Geq\f(Mm,req\o\al(2,1))<meq\f(veq\o\al(2,A),r1)，即萬有引力不足以提供衛星在軌道Ⅰ上做圓周運動的向心力，衛星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ。(3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道Ⅲ。2.對接航天飛船與宇宙空間站的“對接”實際上就是兩個做勻速圓周運動的物體追趕問題，本質仍然是衛星的變軌運行問題。3.變軌過程各物理量比較速度關系在A點加速：vⅡA＞vⅠ，在B點加速：vⅢ＞vⅡB，即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB(向心)加速度關系aⅢ＝aⅡBaⅡA＝aⅠ周期關系TⅠ＜TⅡ＜TⅢ機械能EⅠ＜EⅡ＜EⅢ例12023年5月10日21時22分，天舟六號貨運飛船發射成功，并于次日5時16分成功與中國天宮空間站對接，為航天員送去所需的服裝、食物、水、實驗設備等物資。現將其發射對接過程簡化如圖2所示，圓軌道1為中國天宮空間站的運行軌道，天舟六號在運載火箭的托舉下沿軌道PA運動至A點“船箭分離”，飛船進入與圓軌道1相切于B點的橢圓軌道2運行，最后擇機與空間站對接。下列相關說法中正確的是()圖2A.天舟六號飛船由P點運動至B點的過程中機械能持續增大B.天舟六號飛船沿橢圓軌道2的運行周期要小于空間站的運行周期C.天舟六號飛船由P點運動至B點的過程中，飛船內的物資始終處于超重狀態D.天舟六號飛船沿橢圓軌道2的運行速度始終小于與空間站對接后在軌道1上的運行速度答案B解析飛船由P點到B點過程中的AB段，飛船只受萬有引力，只有引力做功，機械能守恒，故A錯誤；由開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，可知軌道半長軸越小，周期越小，飛船在軌道2的半長軸比軌道1的小，所以飛船在軌道2運動的周期比空間站的運動周期小，故B正確；飛船由P點到A點，飛船獲得外界提供的動力，加速上升，處于超重狀態，飛船從A點到B點，只受地球對其的萬有引力，處于完全失重狀態，故C錯誤；飛船在軌道2運動到B點要經歷點火加速才能進入軌道1運動，所以飛船在軌道2的B點運動速度比與空間站對接后在軌道1上的運行速度要大，故D錯誤。1.(多選)(2024·廣東茂名模擬)2022年5月5日，我國在太原衛星發射中心使用長征二號丁運載火箭，成功將吉林一號寬幅01C衛星送入預定軌道。已知該衛星發射后在圓軌道做圓周運動，穩定后再變軌為如圖3所示的橢圓軌道，兩軌道相切于P點、P、Q分別為橢圓軌道的近地點和遠地點，忽略空氣阻力和衛星質量的變化，則()圖3A.寬幅01C衛星在橢圓軌道上運動的周期大于在圓軌道上運動的周期B.寬幅01C衛星在橢圓軌道上運動時，在P點的線速度小于在Q點的線速度C.寬幅01C衛星在P點由圓軌道變為橢圓軌道時需要在P處點火加速D.寬幅01C衛星在橢圓軌道從P點運動到Q點的過程中，衛星的機械能增大答案AC解析根據開普勒第三定律知，衛星的軌道半長軸越大，周期越大，故A正確；由開普勒第二定律知，衛星在近地點P的速度大于在遠地點Q的速度，故B錯誤；衛星在P點由圓軌道變為橢圓軌道是離心運動，需要加速，故C正確；衛星從P點運動到Q點的過程中，只有萬有引力做功，衛星的機械能守恒，故D錯誤。2.空間站的運行軌道可近似看作圓形軌道Ⅰ，橢圓軌道Ⅱ為神舟十六號載人飛船與空間站對接前的運行軌道，已知地球半徑為R，兩軌道相切于P點，地球表面重力加速度大小為g，下列說法正確的是()圖4A.空間站在軌道Ⅰ上的運行速度小于eq\r(gR)B.神舟十六號載人飛船在P點的加速度小于空間站在P點的加速度C.神舟十六號載人飛船在P點經點火減速才能從軌道Ⅱ進入軌道ⅠD.軌道Ⅰ上的神舟十六號載人飛船想與前方的空間站對接，只需要沿運動方向加速即可答案A解析根據萬有引力提供向心力，有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，根據地球表面萬有引力等于重力，有eq\f(GMm,R2)＝mg，可知空間站在軌道Ⅰ上的速度小于eq\r(gR)，故A正確；由牛頓第二定律eq\f(GMm,r2)＝ma可知，飛船和空間站在P點的加速度相等，故B錯誤；神舟十六號載人飛船若要從軌道Ⅱ進入軌道Ⅰ，做離心運動，需要在P點點火加速，故C錯誤；軌道Ⅰ上的神舟十六號飛船加速后軌道半徑會變大，無法與空間站對接，故D錯誤。考點二雙星或多星模型1.雙星模型(1)定義：繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統，我們稱之為雙星系統。如圖5所示。圖5(2)特點①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。②兩顆星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關系為r1＋r2＝L。④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)。⑤雙星的運動周期T＝2πeq\r(\f(L3,G（m1＋m2）))。⑥雙星的總質量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)。2.多星模型所研究星體所受萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。常見的多星及規律：常見的三星模型①eq\f(Gm2,（2R）2)＋eq\f(GMm,R2)＝ma向②eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＝ma向常見的四星模型①eq\f(Gm2,L2)×cos45°×2＋eq\f(Gm2,（\r(2)L）2)＝ma向②eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＋eq\f(GmM,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,\r(3))))\s\up12(2))＝ma向例2如圖6所示，“食雙星”是兩顆相距為d的恒星A、B，只在相互引力作用下繞連線上O點做勻速圓周運動，彼此掩食(像月亮擋住太陽)而造成亮度發生周期性變化的兩顆恒星。觀察者在地球上通過望遠鏡觀察“食雙星”，視線與雙星軌道共面。觀測發現每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，已知引力常量為G，則()圖6A.恒星A、B運動的周期為TB.恒星A的質量小于B的質量C.恒星A、B的總質量為eq\f(π2d3,GT2)D.恒星A線速度大于B的線速度答案C解析每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，則兩恒星的運動周期為T′＝2T，故A錯誤；根據萬有引力提供向心力，有Geq\f(mAmB,d2)＝mAeq\f(4π2,（2T）2)rA＝mBeq\f(4π2,（2T）2)rB，又rA<rB，則mA>mB，故B錯誤；由B選項得，兩恒星總質量為m＝mA＋mB＝eq\f(π2d3,GT2)，故C正確；根據v＝ωr，兩恒星角速度相等，則vA<vB，故D錯誤。3.(多選)如圖7所示是宇宙中存在的某三星系統，忽略其他星體的萬有引力，三個星體A、B、C在邊長為d的等邊三角形的三個頂點上繞同一圓心O做勻速圓周運動。已知A、B、C的質量分別為2m、3m、3m，引力常量為G，則下列說法正確的是()圖7A.三個星體組成的系統動量守恒B.A的周期小于B、C的周期C.A所受萬有引力的大小為eq\f(3\r(3)Gm2,d2)D.若B的角速度為ω，則A與圓心O的距離為eq\f(3\r(3)Gm,d2ω2)答案AD解析該系統屬于穩定的三星系統，三個星體的角速度、周期相同，動量大小不變，運動過程中總動量不變，A正確，B錯誤；A所受萬有引力的大小為F＝eq\r(3)Geq\f(3m·2m,d2)＝eq\f(6\r(3)Gm2,d2)，C錯誤；若B的角速度為ω，則A的角速度也為ω，根據eq\f(6\r(3)Gm2,d2)＝2mω2r，則A與圓心O的距離為r＝eq\f(3\r(3)Gm,d2ω2)，D正確。考點三天體中的追及相遇問題1.相距最近：天體“相遇”指兩天體相距最近，以地球和行星“相遇”為例(“行星沖日”)，行星、地球與太陽三者共線且行星和地球的運轉方向相同(如圖8甲)，此時刻行星與地球相距最近。甲從初始時刻到之后再次“相遇”，地球與行星距離最小，三者再次共線，有以下兩種解決方法。(1)角度關系ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…)(2)圈數關系eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝n(n＝1，2，3，…)解得t＝eq\f(nT1T2,T2－T1)(n＝1，2，3，…)2.相距最遠：行星處在地球和太陽連線的延長線上(如圖8乙)，三者共線，運轉方向相同，有關系式ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)或eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝eq\f(2n－1,2)(n＝1，2，3，…)。eq\a\vs4\al(乙,圖8)例3(2023·湖北卷，2)2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為3∶2，如圖9所示。根據以上信息可以得出()圖9A.火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8B.當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大C.火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4D.下一次“火星沖日”將出現在2023年12月8日之前答案B解析火星和地球均繞太陽運動，由于火星與地球的軌道半徑之比約為3∶2，根據開普勒第三定律有eq\f(req\o\al(3,火),req\o\al(3,地))＝eq\f(Teq\o\al(2,火),Teq\o\al(2,地))，可得eq\f(T火,T地)＝eq\r(\f(req\o\al(3,火),req\o\al(3,地)))＝eq\f(3\r(3),2\r(2))，故A錯誤；當火星與地球相距最遠時，兩者的速度方向相反，此時兩者相對速度最大，故B正確；在星球表面，根據萬有引力定律有Geq\f(Mm,R2)＝mg，由于不知道火星和地球的質量比和半徑比，所以無法得出火星和地球表面的自由落體加速度之比，故C錯誤；火星和地球繞太陽做勻速圓周運動，有ω火＝eq\f(2π,T火)，ω地＝eq\f(2π,T地)，要發生下一次火星沖日則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T地)－\f(2π,T火)))t＝2π，得t＝eq\f(T火T地,T火－T地)>T地，可知下一次“火星沖日”將出現在2023年12月8日之后，故D錯誤。例4(多選)當地球位于太陽和木星之間且三者幾乎排成一條直線時，稱之為“木星沖日”，若2023年11月3日出現一次“木星沖日”。已知木星與地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運動，木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍。則下列說法正確的是()A.下一次的“木星沖日”時間在2024年B.下一次的“木星沖日”時間在2026年C.木星運行的加速度比地球的大D.木星運行的周期比地球的大答案AD解析地球公轉周期T1＝1年，由eq\f(req\o\al(3,1),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(req\o\al(3,2),Teq\o\al(2,2))可知，木星公轉周期T2＝eq\r(125)T1≈11.2年，設經時間t，再次出現“木星沖日”，則有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝eq\f(2π,T1)，ω2＝eq\f(2π,T2)，解得t≈1.1年，因此下一次“木星沖日”發生在2024年底，故A正確，B錯誤；設太陽質量為M，行星質量為m，軌道半徑為r，周期為T，加速度為a，由牛頓第二定律可得Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(4π2,T2)r，解得a＝eq\f(GM,r2)，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍，因此，木星運行的加速度比地球的小，木星運行的周期比地球的大，故C錯誤，D正確。4.(多選)(2024·廣東東莞聯考)我國的北斗三號衛星導航系統由24顆中圓地球軌道衛星、3顆地球靜止軌道衛星和3顆傾斜地球同步軌道衛星共30顆衛星組成。如圖10所示，A、C為地球靜止軌道衛星，B為在赤道平面的中圓地球軌道衛星，繞行方向均與地球自轉方向一致。已知地球自轉周期為T1，衛星B的運行周期為T2，圖示時刻，衛星A與衛星B相距最近。下列說法正確的是()圖10A.衛星A、B、C的向心加速度的大小關系為aA＝aC<aBB.衛星C向后噴氣加速可沿圓軌道追上衛星AC.經過時間eq\f(T1T2,T1－T2)，衛星A與衛星B又一次相距最近D.衛星A、C的發射速度小于第一宇宙速度答案AC解析根據Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝Geq\f(M,r2)，由題圖可知rA＝rC>rB，則aA＝aC<aB，A正確；衛星C向后噴氣加速做離心運動，不能追上同軌道的衛星A，B錯誤；根據eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)－\f(2π,T1)))t＝2π，衛星A與衛星B又一次相距最近的時間間隔為t＝eq\f(T1T2,T1－T2)，C正確；第一宇宙速度是最小發射速度，則衛星A、C的發射速度大于第一宇宙速度，D錯誤。A級基礎對點練對點練1衛星的變軌和對接問題1.(多選)(2023·海南卷，9)如圖1所示，1、2軌道分別是天宮二號飛船在變軌前、后的軌道，下列說法正確的是()圖1A.飛船從1軌道變到2軌道要點火加速B.飛船在1軌道的周期大于在2軌道的周期C.飛船在1軌道的速度大于在2軌道的速度D.飛船在1軌道的加速度大于在2軌道的加速度答案ACD解析飛船從低軌道向高軌道變軌時，需要點火加速，A正確；由“高軌低速大周期”的運動規律可知，飛船在1軌道上的線速度、角速度、向心加速度均大于在2軌道上的，周期小于在2軌道上的，B錯誤，C、D正確。2.在地球周圍有許多人造地球衛星繞著它運轉，其中一些衛星的軌道近似為圓，且軌道半徑逐漸變小。若衛星在軌道半徑逐漸變小的過程中，只受到地球引力和稀薄氣體阻力的作用，則下列判斷正確的是()A.衛星的動能逐漸減小B.由于地球引力做正功，引力勢能一定減小C.由于稀薄氣體阻力做負功，地球引力做正功，機械能保持不變D.衛星克服稀薄氣體阻力做的功等于引力勢能的減小量答案B解析在衛星軌道半徑變小的過程中，地球引力做正功，引力勢能一定減小，衛星軌道半徑變小，動能增大，由于稀薄氣體阻力做負功，機械能減小，選項A、C錯誤，B正確；根據動能定理，衛星動能增大，衛星克服稀薄氣體阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力勢能的減小量，所以衛星克服稀薄氣體阻力做的功小于引力勢能的減小量，選項D錯誤。3.如圖2所示，神舟十七號載人飛船與天和核心艙對接前飛船經B點由橢圓軌道Ⅰ變軌至圓形軌道Ⅱ，A、B兩點分別為軌道Ⅰ的近地點和遠地點，已知引力常量G，地球質量M，B點到地心的距離為rB。下列說法正確的是()圖2A.飛船在軌道Ⅰ上從A點運行到B點的過程中速率變大B.飛船在軌道Ⅰ上經過B點時的速率vB>eq\r(\f(GM,rB))C.飛船在軌道Ⅰ上經過B點時需點火減速才能實現變軌D.飛船在軌道Ⅱ上運行時的機械能大于在軌道Ⅰ上運行時的機械能答案D解析根據開普勒第二定律可知，飛船在軌道Ⅰ上從A點運行到B點的過程中速率變小，故A錯誤；若在軌道Ⅱ上做圓周運動，根據萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,req\o\al(2,B))＝meq\f(veq\o\al(2,B),rB)，解得vB＝eq\r(\f(GM,rB))，飛船在軌道Ⅰ上經過B點需加速才能進入軌道Ⅱ，所以飛船在軌道Ⅰ上經過B點時的速率vB<eq\r(\f(GM,rB))，故B錯誤；飛船在軌道Ⅱ上的半徑大于軌道Ⅰ的半長軸，從軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅱ，在B點應點火加速，火箭對飛船做正功，機械能增加，故C錯誤，D正確。4.(2024·廣東湛江一模)2023年10月26日，神舟十七號載人飛船與“天和核心艙”完成對接。對接過程的示意圖如圖3所示，“天和核心艙”處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ；神舟十五號飛船處于半徑為r1的圓軌道Ⅰ，運行周期為T1，通過變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運動到B處與“天和核心艙”對接。則神舟十五號飛船()圖3A.由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需在A點減速B.沿軌道Ⅱ運行的周期為T2＝T1eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2r1,r1＋r3)))\s\up12(3))C.在軌道Ⅰ上A點的加速度大于在軌道Ⅱ上A點的加速度D.在軌道Ⅲ上B點的線速度大于在軌道Ⅱ上B點的線速度答案D解析由低軌道進入高軌道需要點火加速，所以由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需在A點加速，故A錯誤；根據開普勒第三定律，有eq\f(req\o\al(3,1),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r3,2)))\s\up12(3),Teq\o\al(2,2))，解得T2＝T1eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r3,2r1)))\s\up12(3))，故B錯誤；由萬有引力公式可知，在軌道Ⅰ、Ⅱ上A點的合外力相同，加速度也相同，故C錯誤；由軌道Ⅱ進入軌道Ⅲ需在B點加速，所以在軌道Ⅲ上B點的線速度大于在軌道Ⅱ上B點的線速度，故D正確。5.(多選)(2024·福建福州模擬)2021年2月，天問一號火星探測器被火星捕獲，經過系列變軌后從“調相軌道”進入“停泊軌道”，為著陸火星做準備。如圖4所示，陰影部分為探測器在不同軌道上繞火星運行時與火星的連線每秒掃過的面積，下列說法正確的是()圖4A.圖中兩陰影部分的面積不相等B.從“調相軌道”進入“停泊軌道”探測器周期變大C.從“調相軌道”進入“停泊軌道”探測器機械能變大D.探測器在P點的加速度大于在N點的加速度答案AD解析根據開普勒第二定律可知探測器在同一軌道上相等時間內與火星的連線掃過的面積相等，但是圖中兩陰影部分不在同一軌道，不相等，故A正確；根據開普勒第三定律可知，從“調相軌道”進入“停泊軌道”，探測器的軌道半長軸變小，周期變小，故B錯誤；從“調相軌道”進入“停泊軌道”，探測器做向心運動，需要減速，探測器機械能變小，故C錯誤；根據公式eq\f(GMm,r2)＝ma可知探測器在P點的加速度大于在N點的加速度，故D正確。對點練2雙星和多星模型6.(多選)(2024·安徽合肥模擬)如圖5甲所示，河外星系中兩黑洞A、B的質量分別為M1和M2，它們以兩者連線上的某一點O為圓心做勻速圓周運動。為研究方便，簡化為如圖乙所示的示意圖，黑洞A、B均可看成球體，OA>OB。下列說法正確的是()圖5A.黑洞A的運行線速度大小小于黑洞B的運行線速度大小B.若兩黑洞間的距離一定，把黑洞B上的物質移到黑洞A上，他們之間的引力變大C.若兩黑洞間的距離一定，把黑洞A上的物質移到黑洞B上，他們運行的周期變大D.人類要把航天器發射到距黑洞A較近的區域進行探索，發射速度一定大于第三宇宙速度答案BD解析黑洞A、B運行的角速度相同，A的半徑較大，則A的線速度較大，A錯誤；設它們相距為L，角速度為ω，根據eq\f(GM1M2,L2)＝M1ω2LOA，eq\f(GM1M2,L2)＝M2ω2LOB，可得M1<M2，則當B的質量減小，A的質量增加時，兩個質量的乘積變大，故它們之間的引力變大，B正確；根據LOA＋LOB＝L，整理得ω＝eq\r(\f(G\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(M1＋M2)),L3))，根據T＝eq\f(2π,ω)可知角速度不變，周期不變，C錯誤；人類要把航天器發射到距黑洞A較近的區域進行探索，必須沖出太陽系，所以發射速度一定大于第三宇宙速度，D正確。7.如圖6所示為一個簡化的直線三星系統模型。三個星球的質量均為m，a、b兩個星球繞處于二者中心的星球c做半徑為r的勻速圓周運動。已知引力常量為G，忽略其他星體對他們的引力作用，則下列說法正確的是()圖6A.星球a做勻速圓周運動的加速度大小為eq\f(2Gm2,r2)B.星球a做勻速圓周運動的線速度大小為eq\r(\f(Gm,r))C.星球b做勻速圓周運動的周期為4πeq\r(\f(r3,5Gm))D.若因某種原因中心星球c的質量緩慢減小，則星球a、b的線速度均將緩慢增大答案C解析對于a星球，由牛頓第二定律可得Geq\f(m2,r2)＋Geq\f(m2,（2r）2)＝ma，故星球a做勻速圓周運動的加速度大小為a＝eq\f(5Gm,4r2)，A錯誤；由a＝eq\f(v2,r)，可得星球a做勻速圓周運動的線速度大小為v＝eq\r(\f(5Gm,4r))，B錯誤；由a＝eq\f(4π2,T2)r，可得星球a做勻速圓周運動的周期為T＝4πeq\r(\f(r3,5Gm))，由題意可知a與b的運行周期相同，C正確；若因某種原因中心星球c的質量緩慢減小，則星球a、b受到的引力將減小，會做離心運動，線速度將緩慢減小，D錯誤。對點練3天體中的追及相遇問題8.沖日是指某一外行星(火星、木星、土星、天王星、海王星、冥王星)于繞日公轉過程中運行到與地球、太陽成一直線的狀態，已知火星的公轉周期約為地球公轉周期的1.9倍，半徑約為地球的一半，質量約為地球質量的eq\f(1,9)，現認為地球和火星在同一平面上、沿同一方向繞太陽做勻速圓周運動，下列說法中正確的是()A.火星沖日時間間隔約為兩年零一個月B.火星與地球公轉軌道半徑之比約為6∶1C.火星與地球表面重力加速度之比約為2∶9D.火星與地球密度之比約為4∶9答案A解析由(ω地－ω火)t＝2π和T＝eq\f(2π,ω)，可得火星沖日時間間隔t＝eq\f(T地T火,T火－T地)＝2.1年，選項A正確；由開普勒第三定律可得eq\f(Teq\o\al(2,火),Teq\o\al(2,地))＝eq\f(req\o\al(3,火),req\o\al(3,地))，則火星與地球公轉軌道半徑之比約為3∶2，選項B錯誤；由g＝eq\f(GM,R2)，可得火星與地球表面重力加速度之比約為4∶9，選項C錯誤；由ρ＝eq\f(3M,4πR3)，可得火星與地球密度之比約為8∶9，選項D錯誤。9.(多選)“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季。假設火星和地球的冬季時間是各自公轉周期的四分之一，且火星的冬季時長約為地球的1.88倍。火星和地球繞太陽的公轉均可視為在同一平面上的勻速圓周運動，且繞行方向相同。下列說法正確的是()A.火星與地球距離最近時火星相對于地球的速度最小B.火星的運行軌道半徑約為地球的1.88倍C.火星與地球相鄰兩次距離最近的時間間隔約為2.14年D.地球公轉的線速度為火星公轉線速度的1.88倍答案AC解析由于火星和地球運動的線速度大小不變，在距離最近處火星和地球速度方向相同，相對速度最小，故A正確；由題意可知，火星的公轉周期約為地球公轉周期的1.88倍，根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知火星的運行軌道半徑不是地球的1.88倍，故B錯誤；設兩次距離最近的時間間隔為t，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T地)－\f(2π,T火)))t＝2π，解得t＝2.14年，故C正確；根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，結合B選項，可知火星的公轉線速度小于地球的公轉線速度，但不是1.88倍的關系，故D錯誤。B級綜合提升練10.一近地衛星的運行周期為T0，地球的自轉周期為T，則地球的平均密度與地球不因自轉而瓦解的最小密度之比為()A.eq\f(T0,T) B.eq\f(T,T0) C.eq\f(Teq\o\al(2,0),T2) D.eq\f(T2,Teq\o\al(2,0))答案D解析對近地衛星，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))eq\s\up12(2)R，地球的質量M＝ρ1·eq\f(4,3)πR3，聯立解得ρ1＝eq\f(3π,GTeq\o\al(2,0))，以地球赤道處一質量為m0的物體為研究對象，只有當它受到的萬有引力大于等于它隨地球一起旋轉所需的向心力時，地球才不會瓦解，設地球不因自轉而瓦解的最小密度為ρ2，則有Geq\f(Mm0,R2)＝m0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R，M＝ρ2·eq\f(4,3)πR3，聯立解得ρ2＝eq\f(3π,GT2)，所以eq\f(ρ1,ρ2)＝eq\f(T2,Teq\o\al(2,0))，故D正確。11.“天問一號”探測器需要通過霍曼轉移軌道從地球發送到火星，地球軌道和火星軌道看成圓形軌道，此時霍曼轉移軌道是一個近日點M和遠日點P分別與地球軌道、火星軌道相切的橢圓軌道(如圖7所示)，在近日點短暫點火后“天問一號”進入霍曼轉移軌道，接著“天問一號”沿著這個軌道運行直至抵達遠日點，然后再次點火進入火星軌道。已知引力常量為G，地球軌道和火星軌道半徑分別為r和R，地球、火星、“天問一號”運行方向都為逆時針方向。若只考慮太陽對“天問一號”的作用力，下列說法正確的是()圖7A.“天問一號”在霍曼轉移軌道由M點運動到P點過程中機械能增大B.兩次點火噴射方向一次與速度方向相同，一次與速度方向相反C.“天問一號”在地球軌道上的線速度與在火星軌道上的線速度之比為eq\r(\f(R,r))D.“天問一號”運行過程中在轉移軌道上P點的加速度與在火星軌道上P點的加速度之比為eq\f(R