專題突破卷09奇偶性、對稱性與周期性

題型預策

奇

偶對稱軸

性

對稱中心

，

對

稱奇偶性，對稱性與周期性的相互轉化

性

與比大小

周

解不等式

期

性

結合導數

1.對稱軸

1.定義在R上的奇函數/(x)滿足/'(2-x)=/(x),且/(x)在區(qū)間上是增函數，給出下列三個命題：

①/⑴的圖象關于點⑵0)對稱；

②/(x)在區(qū)間口,2］上是減函數；

③〃50)=2

其中所有真命題的序號是.

【答案】①②

【分析】根據給定條件，結合賦值法推理判斷①；利用奇函數性質、函數對稱性推理判斷②；導出函數的

周期，計算判斷③作答.

【詳解】因為“X)是R上的奇函數，則〃2-x)=/(x)=-f(T),即/(2-x)+/(-x)=0,

從而/(2+x)+〃x)=0,即有/(2+x)+“2-x)=0,因此/(x)的圖象關于點(2,0)對稱，①是真命題;

因為/(x)是R上的奇函數，且在區(qū)間［7,0］上是增函數，則/(x)在區(qū)間［0,1］上是增函數，

由〃2-x)=/(x)知，函數/(x)的圖象關于直線x=l對稱，因此/(x)在區(qū)間［1,2］上是減函數，②是真命題;

由〃2+x)+/(x)=0知，/(2+%)=-/?-則f(4+x)=-〃2+x)M〃x),即/(x)是周期為4的函數，

因此〃50)=〃4X12+2)=/⑵=-/(0)=0,③是假命題，

所以所有真命題的序號是①②

故答案為：①②

2.已知函數的定義域為R,>=〃x-4)-l是偶函數，當xW-4時，/(X)=(X+4)2-2,則不等式

〃3x-5)>/(2x-4)的解集為.

【答案】(一st)u(l,+s)

【分析】分析可知函數/(x)的圖象關于直線x=-4對稱，且該函數［-4,+8)上單調遞增，由

/(3工-5)>〃2》-4)可得出關于工的不等式，解之即可.

【詳解】因為函數/(無)的定義域為R，V=/(x-4)-l是偶函數，

貝iJ〃r-4)7=〃x-4)-l,即/(一x-4)=/(x-4),

所以，函數〃》)的圖象關于直線x=-4對稱，

當xV-4時,/(X)=(X+4)2-2,則函數/(x)在(7,-4］上單調遞減,

故函數”X)在卜4,+8)上單調遞增，

因為/(3x-5)>/(2x-4),則為-5+4|>|2x-4+4|,gp|3x-l|>2|x|,

即(3天一1『>4/,gp(x-l)(5x-l)>o,解得x<g或X>1,

因此不等式〃3-5)>〃2》-4)的解集為［-巴!N(1,+?0.

故答案為：

3.設函數〃x)的定義域為R,/(-x)=/(x),/(x)=/(2-x),當xe［O,l］時，3(x)=x1則函數

g(X)=|cOS7u|-“X)在區(qū)間［-1,或上零點的個數為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

3

【分析】分析函數/(x)的性質，結合塞函數的圖象，作出/*)在［T2］上的圖象，再作出>=|cosm|在［-1,/

上的圖象，求出兩圖象的交點個數作答.

【詳解】由/Qx)=/(x),得/(x)的圖象關于了軸對稱，由〃x)=〃2-x),得的圖象關于直線》=1對

稱，

令g(x)=|cos7tx|-〃x)=0,得|cos*=/(x),函數了=|cos同是周期為1的偶函數，當xe［o,l］時，

f(x)=x3,

在同一坐標系內作出函數了=/(x)在［-1,2］上的圖象，函數V=|cos7tx|在［-l,］］上的圖象，如圖，

3

觀察圖象知，函數y=/(x)與y=|cos?tr|的圖象在上的交點有7個，

所以函數8(無)=m。5溫|-〃%)在區(qū)間［-1,寸上零點的個數為7.

故選：D

XEXXGOO

4.(多選)若函數/(x)滿足VR,/(+2)=/(2-),且V%i，x2［2,+),

/UH)%,貝()

xx-x2

A.〃x+2)為偶函數B./(0)</(3)

C.f(-a2+a+l)>f^D.若〃用)>/(3),貝ijl〈加<3

【答案】AC

【分析】先由函數的對稱性可找到對稱軸x=2,即可判斷A選項；再由題找到函數的單調性，利用單調性

比較函數值的大小，可判定BCD選項.

【詳解】由題意可得了(無)的圖象關于直線x=2對稱，且/'(x)在［2,+8)上單調遞增，

則〃x)在(-叫2)上單調遞減，且〃x+2)的圖象關于直線x=0對稱，

由偶函數圖象的特征得A正確.

結合函數/'（X）的單調性和/（X）圖象的對稱性得，距離x=2越近，函數值越小，10-2|>|3-2],所以B不

正確.

對C,|-a2+a+l-2|=|a2-a+l|=+---=,所以C正確.

對D,若〃機）>八3）,則直線x=，”距離直線x=2更遠，即帆-2|>1,解得〃?>3或機<1,所以D不正確.

故選：AC.

5.函數〃x）=x（m-x）滿足/（2-x）=f（x）,且在區(qū)間可上的值域是[-3』,則坐標（。8）所表示的點在

A.線段40和線段2c上B.線段4D和線段。。上

C.線段A8和線段DC上D.線段NC和線段上

【答案】B

【分析】根據函數的對稱性，可得函數的對稱軸，結合二次函數的性質，可得函數解析式并畫出圖象，根

據值域，可得的取值范圍，可得答案.

【詳解】??,函數小）=蛔_力滿足

故函數的圖象關于直線x=l對稱，且開口向上下，

所以，機=2,/（x）=x（2-x）.

再根據〃T）=-3=/（3）,/（1）=1,畫出函數〃x）的圖象，

如圖所示:

且當。=一1時，1<Z><3；-l<aVl時，b=3,

故坐標(凡6)所表示的點在圖中的線段ND和線段DC上,

故選：B.

2.對稱中心

6.(多選)已知定義在R上的函數y=滿足=-/(X),且/[x+j為奇函數，=

/(0)=2.下列說法正確的是()

A.3是函數y=/(x)的一個周期

B.函數了=/(%)的圖象關于直線x對稱

C.函數>=/(》)是偶函數

2023

D.=

左=1

【答案】ACD

【分析】根據/￡|=-/(x)可得〃x-3)=/(x)即可確定周期求解選項A；根據/。+皆為奇函數，可

得了，x+=一/1+可求解選項B；根據題設條件可得/(-x)=/(x)即可求解選項C；利用函數的周

期性和函數值可求解選項D.

【詳解】對A,因為=

所以/1x-?￡|=一/1-|j=〃x),B|J/(x-3)=/(x),

所以3是函數y=/(x)的一個周期，A正確;

對B,因為/卜+雪為奇函數，所以/

所以函數歹二/(力的圖象關于點［jo］中心對稱，B錯誤;

對c,因為/卜工+［卜-/1+:1,

所以V"+

即小+g］=-/(X)=,即f(-x)=/(X),

所以函數y=/(x)是偶函數，c正確;

對D,/(1)=/(-1)=-1,/(2)=/(-1)=-1,/(3)=/(0)=2

所以/。)+/(2)+〃3)=0,

2023

所以￡/㈤=[/(1)+/(2)+/(3)]+[/(4)+”5)+/(6)]+[/(2020)+/(2021)+/(2022)]+/(2023)

1=1

=/(2023)=/(1)=-1,D正確；

故選:ACD.

7.(多選)函數Ax)是定義在R上的奇函數，且在(-2,2)上單調遞增，g(x)=〃x-2)也是奇函數，則()

A.函數"X)是周期為4的周期函數

B.函數g(x)是周期為2的周期函數

C.函數/(x)的圖像關于點(4,0)對稱

D.g(2),g0,g(5)大小關系為g(5)<g(2)<gg；

【答案】ACD

【分析】A選項，根據與g(x)均是定義在R上的奇函數，得到"了+2)=/。-2),得到“X)是周期為4

的周期函數；C選項，根據Ax)的周期及對稱性得到C正確；B選項，由g(x)=/(x-2)及/(X)的周期得到

g(x)的周期；D選項，根據對稱性及周期得到g(2)=/(0)=0,g0=/(Jg⑸=/(-1),結合/(x)在(-2,2)上單

調遞增，比較出大小關系，D正確.

【詳解】A選項，由題意得—/(x),g(-x)=-g(x),

又g(x)=/(x-2),所以/(-%-2)=-f(x-2),

又/(幻是定義在R上的奇函數，所以/(-x-2)=-/(X+2),

即/(x+2)=/(x-2),

所以函數/(x)周期為4,故A正確，B錯誤；

C選項，因為/(x)的圖像關于點(0,0)對稱，周期為4,

所以函數/(X)的圖像關于點(4,0)對稱，故C正確；

由g(x)=/(x-2),得g(x+4)=/(x+2)=/(x+2-4)=/(x-2)=g(x),

即函數g(x)是周期為4的周期函數，故B錯誤.

D選項，因為是定義在R上的奇函數，所以/(。)=0,

由g(2)=/(2-2)=/(0)=0^(1]=/[|-2]=/⑸=那-2)=/(3)=/(3-4)=/(-I),

且/(x)在(-2,2)上單調遞增，得所以g⑸<g(2)<g]￡|,故D正確.

故選：ACD.

8.(多選)已知定義在R上的函數y=/(x)滿足條件/(x+l)=-/(x),且函數>=為奇函數，則下

列說法中正確的是()

A.函數〃x)是周期函數

B.函數“X)為R上的偶函數

C.函數“X)的圖象關于點(TO)對稱

D.函數為R上的單調函數

【答案】AC

【分析】由題可得〃x+2)=〃x)即可判斷A；由y=〃x-l)為奇函數可得〃-x-l)+〃x-l)=0,即可

判斷B；由/C-2)、/(》一2)=/@)可得〃一無)=一,(力,即可判斷C；根據/(x)為R上的奇

函數，結合單調函數的定義即可判斷D.

【詳解】A選項，由/(x+1)=—/(",得/(x+2)=—/(x+l)=/(x),即7=2,故A正確;

B選項,因為產/(x-l)為奇函數,1),

用x-1換x,W/(-x)=-/(x-2),又〃x-2)="x),

所以/(r)=-〃x),即函數為R上的奇函數，故B錯誤;

C選項，因為V=/(xT)為奇函數,

所以〃*1)-=+=

則y=〃x)的圖象關于點(-1,0)對稱，故c正確；

D選項，因為函數/(X)為R上的奇函數，其圖象關于原點對稱，

函數/(X)在(-8,0)和(0,+8)的單調性相同，

但函數/(x)在R上不一定為單調函數，故D錯誤.

故選：AC.

9.設函數〃無)的定義域為R,且〃x+2)是奇函數，則〃x)圖像()

A.關于點(2,0)中心對稱B.關于點(-2,0)中心對稱

C.關于直線x=2對稱D.關于直線x=-2對稱

【答案】A

【分析】根據奇函數的性質，結合對稱性，即可得出答案.

【詳解】因為〃尤+2)為奇函數，所以〃x+2)=_〃_x+2),

所以函數7'(x)圖象關于點(2,0)中心對稱.

故選：A.

10.已知函數＞=/(x+l)為奇函數，則函數＞=/(x)+l的圖象()

A.關于點(1,1)對稱B.關于點(1,-1)對稱

C.關于點(-U)對稱D.關于點對稱

【答案】A

【分析】根據V=〃x+1)為奇函數，得到y(tǒng)=〃x)關于(1,0)對稱，進而得到答案.

【詳解】函數y=/(x+i)為奇函數，圖像關于(o,o)對稱，

則函數＞=/(》)關于(1,。)對稱，

所以函數y=/(x)+i的圖象關于(1,1)對稱.

故選：A.

11.已知函數對任意xeR都有/(x)=-/(x+2),且函數/(x+1)的圖象關于(-1,0)對稱，當

時，/(x)=tanx.則下列結論正確的是()

A.函數V=的圖象關于點/O)(keZ)對稱

B.函數＞=/(x)的圖象關于直線》=2左(丘2)對稱

C.函數了=|/(x)|的最小正周期為2

D.當xe[2,3]時,/(x)=tan(x-2)

【答案】C

【分析】根據題中條件可得的周期為4且關于(0,0)對稱，結合xe[T,l]時，〃x)=taiw,即可畫出

函數的圖象，由圖象即可逐一判斷.

【詳解】因為函數〃x)對任意xeR都有〃x)=—〃x+2),即〃同=-〃、+2)=[-/(尤+4)]=/"(%+4)恒

成立，所以〃無)的周期為4.

因為函數/(x+1)的圖象關于(TO)對稱，所以將V=/(x+l)的圖象向右平移一個單位，得到V=/(x)的圖

象，所以y=/(x)的圖象關于(0,0)對稱，

故/(X+2)=/(x)=/(-X),因此/(X)的圖象關于X=1對稱,

設xe[l,3],則

因為函數〃x)對任意xeR都有〃x)=-〃x+2)

所以/'(x)=-/(x-2)=-tan(x-2),

tanx,-l<x<l,

所以/(》)=所以選項D錯誤.

-tan(x-2),l<x<3,

作出＞=/(')的圖象如圖所示:

y

tanl人〔二Y

O156x

-tanl

由圖象可知，函數＞=/(x)的圖象關于點(2左,0)小eZ)中心對稱，關于直線x=2左+1(丘Z)對稱，故A,B

錯誤;

對于C：函數y=|/(x)|的圖象可以看成v=/(x)的圖象X軸上方的圖象保留，把X軸下方的圖象翻折到X軸

上方，所以函數y=|/(x)|的最小正周期為2.故C正確.

故選：C

3.奇偶性，對稱性與周期性的相互轉化

12.(多選)設函數/⑴的定義域為R,“X-芻為奇函數，“x+芻為偶函數，當x/*中時,

乙乙乙乙

/(x)=cosx,則下列結論正確的是()

57r1

A./(y)=-jB.〃X)在(3兀,4兀)上為減函數

C.點(4三7r,0)是函數“X)的一個對稱中心D.方程〃x)-lgx=0僅有3個實數解

【答案】CD

【分析】利用奇偶函數的定義分析、探討函數的性質，并判斷選項ABC；作出函數了=/(x),y=lgx的部分

圖象，數形結合判斷D作答.

【詳解】函數/(x)的定義域為R,由/(X-］)為奇函數，得即=

J?Ji

由/1(X+萬)為偶函數，^f(-x+-)=f(x+-),即/(-X+7T)=/(X),貝l］/(—X+兀)=-/(一X—兀)，

即“x+2兀)=一〃尤),于是fS+4兀)=-“x+2兀)=/(x),函數/(X)是周期為4兀的周期函數，

當xe［一時，y(x)=cosx,

對于A,/(y)=/(^+2K)=-/(^)=-COS=0,A錯誤；

對于B,函數仆)在［。0］上單調遞增，由/(-x-7i)=-/(x),知函數/(x)圖象關于點(一/,0)對稱，

則函數?/'(X)在［r，T上單調遞增，即有函數/(X)在［-兀⑼上單調遞增，因此“X)在(3兀,4兀)上單調遞增，B

錯誤；

對于C,由/(x+27t)=-/(x)及/(-x+7t)=/(x),得/(x+27t)=-/(-X+7C),即“X+3兀)=-/(-x),

因此函數/(幻圖象關于點(三,0)對稱，c正確;

對于D,當時，0"(x)41,由函數/(x)圖象關于點(1,0)對稱，

元冗冗

知當xe[-3三，-手時，T"(x)W0,貝|]當3it時，-1</?<1,

由/(r+兀)=/(x),知函數/(x)圖象關于直線x=g對稱，貝I]當x*,為時，-1</(%)<1,

兀

于是當xe[-3拳拳5it時，T"(x)41,而函數〃工)的周期是4兀，因此函數AX)在R上的值域為

方程〃x)-Igx=0,即〃x)=Igx,因此/(x)-lgx=0的根即為函數y=/(x)與y=Igx圖象交點的橫坐標,

在同一坐標系內作出函數y=/(x)與y=lgx的部分圖象，如圖，

而當了2萬時，/(x)<l,lgx>l,即函數了=/(尤)與y=lgx圖象在(萬,+⑼無公共點，

所以方程/(x)Tgx=0僅有3個實數解，D正確.

故選：CD

【點睛】結論點睛：函數V=/(x)的定義域為。，VXGD,

(1)存在常數a,6使得/(%)+f(2a-x)^2bf(a+x)+f(a-x)=2b,則函數y=f(x)圖象關于點(。,b)對

稱.

(2)存在常數a使得/?="2a-x)of(a+x)=/(a-x),貝|函數y=圖象關于直線x=a對稱.

13.(多選)已知函數〃x),g(x)的定義域均為R,且g(x)+/(-r+2)=lJ(x)-g(x+l)=l,若y=/(x)的

圖象關于直線x=l對稱，則以下說法正確的是()

A.g(x)為奇函數B.g(-1)=0

C.WxeR,f(x)=f(x+4)D.若/(x)的值域為[加,"],則/(x)+g(x)=加+M-1

【答案】BCD

【分析】由g(x)+/(-x+2)=l得g(x+l)+/(l-x)=l,與〃x)-g(x+l)=l聯(lián)立得〃x)+/(l-x)=2,再結

合了=/(幻的圖象關于直線x=l對稱，可得丁=/(x)的周期、奇偶性、對稱中心，可依次驗證各選項正誤.

【詳解】g(x)+/(-x+2)=1,g(x+1)+/(I-x)=1,

/(x)-g(x+l)=l,.-./(x)+/(l-x)=2,

???/(x)關于X=1對稱，.1/(l-X)=/(I+x),

?■?/(^)+/(l+^)=2,.-./(x+l)+/(2+x)=2,:.f(x)=f(2+x),

/(%)=/(%+4),故C正確；

???/(?0關于工=1對稱，:/(刈=/(27),:./0)=/(-外，；./。)為偶函數，

：g(x)+/(-x+2)=l,.?.g(x)+/(x)=l,Ag(-x)+/(-x)=l,Ag(-x)+/(%)=1,;.g(x)=g(-x),.1g(x)

為偶函數，故A錯誤；

?■?/(x)+/(l-x)=2,/(x)圖象關于點中心對稱，

.,.存在一對最小值點與最大值點也關于對稱，：.m+M=2

g(x)+f(x)=l=m+M-i,故D正確；

13

由/(x)+/(l—x)=2得〃])=1,又7=2,所以

由g(x)+/(x)=l得g33)=1,所以g(一e3=0,故B正確;

故選：BCD

【點睛】關鍵點點睛：對含有/(x),g(x)混合關系的抽象函數，要探求/(無),g(x)性質首先要消去一個函數

只剩下另一下函數，消去其中一個函數的方法就是對x進行合理的賦值，組成方程組消去一個函數，再考查

剩余函數的性質.對抽象函數的周期性、奇偶性、單調性以及圖象的對稱性的綜合應用，解決該問題應該注

意的事項：

(1)賦值法使用，注意和題目條件作聯(lián)系；

(2)轉化過程要以相關定義為目的，不斷轉變.

14.(多選)定義在R上的函數/(x)滿足〃l+x)=/(l-x)+2x,函數〃3x+2)的圖象關于(0,1)對稱,則

()

A.的圖象關于(2,1)對稱B.4是“X)的一個周期

2023

C./(o)=-lD.2/(左)=1011x2023

k=\

【答案】ACD

【分析】由函數〃3x+2)的圖象關于(0,1)對稱，可得/(2-x)+/(2+x)=2,即可判斷A；先求出g(x)最小

正周期為4,再推出由〃x+4)=/(x)+4可判斷B；令x=l,求出/(0)=-1可判斷C；求出

g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=-4,可判斷D.

【詳解】對于A,由函數〃3x+2)的圖象關于(0,1)對稱，可推得/(-3x+2)+〃3x+2)=2,

令3x等價于x,則3(2-x)+/(2+x)=2,/(x)的圖象關于(2,1)對稱，所以A正確.

對于B,令g(x)=/(x)-x由/(2-x)+/(2+x)=2,/(2-x)-(2-x)+/(2+x)-(2+x)=-2,

所以，g(2-x)+g(2+x)=-2,所以g(x)關于(2,-1)對稱.

由/(l+x)=/(l-x)+2x,所以/(l+x)-(l+x)=/(l-x)-(l-x),

所以，g(l+x)=g(l-x),所以,g(x)關于X=1對稱.

令X等價于X-1,則g(x)=g(2-x),

又因為g(2-x)=-2-g(2+x),所以g(x)=-2-g(2+x)

令x等價于x+2,g(x+2)=-2-g(4+x)

所以g(x)=-2-g(2+x)=-2-[-2-g(4+x)]=g(4+jc),

所以可得出g(x)最小正周期為4.

/(x+4)-x-4=/(x)-x,/(x+4)=/(x)+4,所以4不是/⑶的周期，所以B錯誤.

對于C,令x=l,則/(2)=/(0)+2=1,所以，所以C正確.

對于D,因為g(x)圖象關于(2,-1)對稱，所以g(2)=-l,g(l)+g(3)=-2

因為〃0)=T，g(0)=/(0)-0=-l,因為g(x)最小正周期為4,

所以g(4)=g(0)=-l,所以g⑴+g⑵+g(3)+g⑷=一4,

g(l)+g(2)+…+g(2023)=-4x505+g⑴+g(2)+g(3)=-2023,

2023202320232023(1+2023)

有E7㈤=逐的+=-2023+——'----------1=1011x2023,選項D正確.

k=lk=\k=\2

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：令g(x)=/(x)-x是解題的關鍵，通過研究g(x)的對稱性和周期性得到/(x)的性質，

即可求解.

15.(多選)已知定義在R上的函數/⑴滿足〃x+2)+/(x)=0,且y=/(2-x)為偶函數，則下列說法一定

正確的是()

A.函數/⑴的周期為2

B.函數Ax)的圖象關于直線x=2對稱

C.函數/(x)為偶函數

D.函數/(x)的圖象關于點(3,0)對稱

【答案】BCD

【分析】根據題意推理論證周期性、對稱性判斷A、B；借助變量替換的方法，結合偶函數的定義及對稱性

意義判斷C、D.

【詳解】對于選項A：因為/(x+2)+/(x)=0,則/(x+4)+/(x+2)=0,

可得/(x+4)=/(x),所以函數/*)的周期為4,故A錯誤；

對于選項B：因為>=/(2-x)為偶函數，則/(2-x)=〃2+x),

所以函數/(x)的圖象關于直線x=2對稱，故B正確；

對于選項C：因為函數，(x)的圖象關于直線x=2對稱，貝U/(-》)=/(4+無)，

由函數/(X)的周期為4,可得f(r)=〃4+x)=/(x),

所以函數/(x)為偶函數，故C正確；

對于選項D：因為〃-x)=〃x),>/(x+2)+/(x)=0,可得〃x+2)+/(-x)=0,

又因為函數/(x)的周期為4,貝|/。+6)+/(-刈=0,

所以函數/(x)的圖象關于點(3,0)對稱，D正確；

故選：BCD.

16.設函數〃x)的定義域為R,/(2x+l)為奇函數,1(x+2)為偶函數,當xe[0,l]時，f(x)=a*+b.若

/(0)+/(3)=-1,則()

A.b=~\B./(2023)=-1

C.為偶函數D./(X)的圖象關于g,0卜寸稱

【答案】C

【分析】根據〃2x+l)為奇函數，〃x+2)為偶函數，求出函數“X)的周期，并結合〃0)+〃3)=-1求出

a,6的值，即可判斷A；由〃x)的周期可求出/(2023)即可判斷B；/(x+2)為偶函數得

“r+2)="x+2),結合了(無)的周期即可判斷C；由〃0)+〃1)=-1片0即可判斷口.

【詳解】［"(2x+l)為奇函數，.?./(_2x+l)=-〃2x+l),

令x=0,則〃1)=0；用x替換2尤,則f(f+l)=-/(x+l),

又?.?〃x+2)為偶函數，.?.〃-x+2)=〃x+2),

令尤=1,則/(3)=/(1)=0；用x+1替換x,則/(一x+l)=/(3+x),

.?./(x+3)=-+用替換x,則/(x+2)=-/(x),

???/(x+4)=-f(x+i)=f(x),則〃x)的一個周期為4,

/f((0l))=+a/(+3b)=0l+Z)=-r解得f1a6==2-2

故A錯誤;

/(2023)=/(505x4+3)=/(3)=0,故B錯誤；

由〃T+2)=/(X+2),得〃f)=/(x+4)=〃x),得/(x)為偶函數，故C正確;

?.?xe[0,l]時，/(x)=2-2,.?./(())+/⑴=-1*0,不關于｝寸稱，故D錯誤，

故選：C.

17.已知〃x)是定義在R上的函數，滿足/(x-4)=/(-x),且滿足〃3x-l)為奇函數，則下列說法一定

正確的是()

A.函數圖象關于直線x=l對稱B.函數/(x)的周期為2

C.函數“X)圖象關于點,；可中心對稱D.7(2023)=0

【答案】D

【分析】由/(x-4)=/(-x)易得/(x)圖象關于直線x=-2對稱，再由〃3x-l)為奇函數，得到〃x)圖象

關于(TO)對稱，進而結合得到f(-2+x)=-/(x),有函數的周期為4判斷.

【詳解】解：因為〃x)滿足/(x-4)=/(-x),所以/[-2+(》-2)]=/[-2-(x-2)],

所以函數〃x)圖象關于直線x=-2對稱，

因為〃3尤-1)為奇函數，

所以/(一3x-l)=-〃3x-l),Bp/(-3x-l)+/(3x-l)=O,

則函數/(x)圖象關于(TO)對稱,貝!1/(一2+耳=一/(尤),

令x=0得-1）=0,

由止2+x）=_/（x）,得/（-4+x）=〃x）,

所以函數/'（X）的周期為4,

所以〃2023）="505x4+3）=〃3）==0,

故選：D

4.比大小

18.已知函數y=/（x）在（0,4）上單調遞增，且y=〃x+4）是偶函數，則（）

A./（2）＜/（3）＜/（7）B./（7）＜/（2）＜/（3）

C./（2）＜/（7）＜/（3）D.〃3）〈/⑺＜〃2）

【答案】B

【分析】根據題意得到函數.y=/（x）關于x=4對稱，所以/（7）=/（1）,結合單調性，即可求解.

【詳解】由函數y=〃x+4）是偶函數，可得函數j=/（x+4）關于x=0對稱，

所以函數V=〃x）關于x=4對稱，所以〃7）=〃1）,

因為函數y=/（x）在（0,4）上單調遞增,且1＜2＜3,所以〃7）＜〃2）＜〃3）.

故選：B.

19.已知函數/（x+1）是偶函數，當1＜再＜工2時，"（々）-/（%）］仁-再）20恒成立，設

。6=/（2）,c=/（3）,則。，b,。的大小關系為（）

A.b＜a＜cB.c＜b＜a

C.b＜c＜aD.a＜b＜c

【答案】A

【分析】利用函數的單調性及偶函數的性質，結合函數的對稱性即可求解.

【詳解】因為1＜玉＜三時，［/（%）-/（網）］口2-xjzo恒成立，

所以〃制“（網），

所以/（X）在（1,+8）上單調遞增,

因為〃X+1)是偶函數，

所以/(X)的圖象關于x=l對稱，

因為。=/(-'=/§)，6=/(2),c=〃3),

因為2<g<3,

所以/⑵</(1)</(3),即/⑵</(-1)</(3),

所以

故選：A.

20.定義域為R的函數/(x)滿足"2-x)=/(2+x),且當天<馬<2時，卜-f)>0恒成立,

(5\

設。=/⑴，Z)=/(lnlO),c=f3a,則“，b,。的大小關系為()

I

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.a>b>c

【答案】B

【分析】根據題意，求得函數的對稱性以及單調性，結合對數函數以及指數函數的單調性，求得3,lnl0,3?

的大小關系，可得答案.

【詳解】因為函數/'(x)滿足〃2-x)=〃2+x),所以函數的圖象關于直線x=2成軸對稱，

因為當再<%<2時，x2-%i>0,由［/(%2)-〃再)］優(yōu)一再)>0,則〃%2)-/(占)>0,即/@2)>/(占)，

所以在(-叫2)上單調遞增，則〃x)在(2,+8)上單調遞減，

由。=-1)=〃4一1)=〃3),

由e2<10<2S<e3,根據函數尸Inx在(0,+8)上單調遞增，貝i］2<lnl0<3；

由1<:，根據函數>=3,在R上單調遞增，則3<3丸

由函數/(x)在(2,+8)上單調遞減，則/>10)>〃3)>/產，即b>a>c.

故選：B.

21.已知〃x)是定義在R上的函數，且為奇函數，〃x+2)為偶函數，當x?0,2］時，

11

〃x)=/+i,若。=/01),z,=/(iog2n),c=/(2),則a,b,c的大小關系為()

A.b>c>aB.b<a<c

C.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【分析】根據給定條件，利用奇偶函數定義探求出函數/(x)的周期性，及在［-2,2］上的單調性即可判斷作答.

【詳解】由/(x)-l為奇函數，得=即一x)=2-/(x),

又由〃x+2)為偶函數，得/(t+2)=〃x+2),即〃f)=〃x+4),

于是〃x+4)=2-即〃x+8)=2-〃x+4)=2-［2-7'(HbAx),因此〃x)的周期為8,

又當xe［0,2］時，/(x)=x2+l,則/(x)在［0,2］上單調遞增，

由/(-x)=2-/(x),得/(%)的圖象關于點(0,1)成中心對稱，則函數/(x)在［-2,0］上單調遞增，

因此函數/(x)在［-2,2］上單調遞增，由/(-x+2)=/(x+2),得“X)的圖象關于直線x=2對稱，

。=/(11)=/(3)=/(I),3<log21K4,b=/(log2ll)=/(4-log211)=/(log2?),

c=/(211)=/(0),顯然0<log2s<1,即有/(0)</(k)g2S)</(l),即a>b>c,

所以a,b,c的大小關系為。>b>c.

故選：D

【點睛】結論點睛：函數V=/(x)的定義域為。，Vxe。，

(1)存在常數a,6使得/(%)+f(2a-x)^2bf(a+x)+f(a-x)=2b,則函數y=f(x)圖象關于點(a,b)對

稱.

(2)存在常數a使得/?="2a-x)of(a+x)=/(a-x),貝|函數y=圖象關于直線x=a對稱.

22.定義在R上函數V=/(x)滿足以下條件：①函數V=/(x)圖像關于x=l軸對稱，②對任意

國,”(-8川，當x產4時都有〃再)一〃")<0,則〃0),/日，〃3)的大小關系為()

xi~x2)

A./Q^>/(0)>/(3)B./(3)>/(0)>/^

C./［|^>/(3)>/(0)D./QA/C”。)

【答案】B

【分析】根據已知條件判斷函數單調性，利用單調性比較函數值大小.

【詳解】解：???函數y=〃x)圖像關于x=i對稱，且對任意再,尤24-8,1］,

當X產9時都有-<0,

X[-x2

.?.y=f(x)在(7,1],上單調遞減，在[1,+8)單調遞增,

/⑼=〃2),

.?/(3)>/(0)>/[1].

故選：B.

5.解不等式

23.(2023?江蘇?統(tǒng)考二模)(多選)己知函數V=〃x)(xeR)的圖象是連續(xù)不間斷的，函數y=的

圖象關于點(1,1)對稱，在區(qū)間(1,+s)上單調遞增.若〃〃?cos0+4cos"2)+〃-4cos2。)>2對任意

ITJT

-，T恒成立，則下列選項中加的可能取值有()

l_42J

A.272-4B.2-272C.72-2D.72-4

【答案】BC

【分析】根據函數的對稱性和單調性得到函數4%)為R上單調遞增，進而得至!J加cose+4cos6-2〉4cos2夕,

利用參變分離和夕的取值范圍求出加的取值范圍，進而求解.

【詳解】由函數V=/(x-l)的圖象關于點(1」)對稱且在區(qū)間(1,+8)上單調遞增可得，函數y=/(x)(xeR)

的圖象關于(0,1)對稱，函數A%)為R上單調遞增，

由/(mcos3+4cos0-2)+/(-4cos26)〉2可得，

f(mcos0+4cos0-2)+f(-4cos2^)>/(-4cos26^)+/(4cos26^),

也艮|jf[mcos0+4cos0-2)>/(4cos2^),

貝lj有mcos0+4cos0-2>4cos29T亙成立,即mcos0>4cos20-4cos6+2

因為，所以cose￡[0,〕E],

[42」L，2」

當cos。=0時,得到0>-2恒成立；

、[,巾[-4cos26+2-4cos°8cos2^-4cos^-22.

當cosOwO時，則有加>-----------------=-----------------=o8cosn6-----------4,

cos0cos0cos0

B2

4COS<9=RG(0,^-],貝勤=8-：-4,

2F)

因為函數歹=8/7-4在(0,+s)上單調遞增，且此(0,學],

所以Nmax=2亞-4，貝!b">2應-4，所以BC適合題意，AD不合題意.

故選：BC.

24.(2023?西藏林芝?統(tǒng)考二模)已知定義在R上的函數〃x)在(-叫2]上單調遞減，且〃x+2)為偶函數,

則不等式〃xT)>/(2x)的解集為()

A.[哈一■|]u(6,+co)B.(一0°,-1)1^1,+co]

Q(-別D/一閆

【答案】D

【分析】由f(x+2)為偶函數求得函數對稱軸，再結合函數的單調性進行求解即可.

【詳解】???函數/(x+2)為偶函數，.?.〃-x+2)=f(x+2),gp/(2-x)=/(2+x),

二函數〃x)的圖象關于直線x=2對稱，

又??.函數/(x)定義域為R,在區(qū)間(-咫2]上單調遞減，

二函數/(x)在區(qū)間(2,+8)上單調遞增，

.?.由/口-1)>〃2》)得，h-1)-2|>|2-2],解得xe"￡|.

故選：D.

25.已知函數"X)的定義域為R,/(x-1)的圖象關于點(1,0)對稱，/(3)=0,且對任意的再巧?(-雙0),

x尸3，滿足"/)一/(改)<0,則不等式+。的解集為()

x2-xl

A.(-oo,l]u[2,+co)B.[-4,-l]u[0,l]

C.[-4,-l]u[l,2]D.[-4,-l]u[2,+co)

【答案】C

【分析】首先根據/(x-l)的圖象關于點(1,0)對稱，得出(x)是定義在R上的奇函數，由對任意的X1，

%e(-8,0),占二%,滿足"馬)一"%)<0,得出〃x)在(-8,0)上單調遞減，然后根據奇函數的對稱性和

x2-Xx

單調性的性質，求解即可.

【詳解】?."(xT)的圖象關于點￡0)對稱，的圖象關于點(0,0)對稱，f(x)是定義在R上的奇函數,

???對任意的X］,x,e(-8,0),X產3,滿足/02)一)(花)<0,，/。)在(-8,0)上單調遞減，所以/(刈在(0,+8)

x2-Xx

上也單調遞減，

又/(3)=0所以〃-3)=0,且〃0)=0,

所以當xe(-8,-3)u(O,3)時，/(x)>0；當xe(-3,0)。(3,+8)時，/(x)<0,

所以由(/1)、小/+1、"。可得［\_3x<—x1+<0l,<。或f［。x-—1>0,3或1=°,

解得-4Mx<-1或lVx<2,即不等式(xT/(x+l"0的解集為［-4,-1卜口,2］.

故選：C.

26.已知函數/(x)=^\+—^+1+」^,則不等式/(2x+3)>/(/)的解集為()

/十/44X1

A.(-2,1)口(1,+8)B.(-l,l)U(3,+?)

C.(一川U(3,+⑹D.(-3,1)U(3,+8)

【答案】B

【分析】確定函數/(X)的圖象關于(1,1)中心對稱，〃x)在(1,+⑹上單調遞減，且不等式轉化為

2x+3<r<1或/<I<2X+3或1<2X+3<X2，解得答案.

【詳解】依題意，xwl,〃x)=上二+二，

'/4x-4x-1

1/-\1—X1^x+lz^x+l

故/(l+x)+f(l-x)=——+1+-+------+1———+------+2=2,

、)\)41-4x41r-4x41-44-4X1

故函數/(x)的圖象關于(14)中心對稱，

1?1

當X>1時，y=——^=—―7，^=1+—；單調遞減，

2+24-4x-1

故〃X)在(1,欣)上單調遞減，M/(x)=^1-+-^o-+l+—1>1,

N十N什441

函數“X)的圖象關于(1,1)中心對稱，/(X)在(-8,1)上單調遞減，/(%)<!,

而〃2》+3)>/華)，故2工+3</<1或Y<1<2X+3^41<2X+3<X2,

解得T<x<l或x>3,故所求不等式的解集為(-U)U(3,+8),

故選：B.

27.已知函數/⑴的定義域為R,其導函數為/'(X),若/(T-3x)為奇函數，/(3x+l)為偶函數，記

g(x)=/'(x),