難點與新考法15圓中相關計算、切線、內切圓、陰影面積等問題（7大熱考題型）題型一：與圓周角有關計算題型二：與垂徑定理有關計算題型三：與圓內接四邊形有關計算題型四：切線的判定問題題型五：與切線性質有關計算題型六：三角形的內心及內切圓題型七：陰影部分面積計算題型一：與圓周角有關計算圓周角定理及其推論常見形式方法找到同弧所對的圓周角和圓心角,通過其角度的2倍關系進行計算根據直徑所對的圓周角是90°進行計算利用同弧或等弧所對的圓周角相等進行計算結論∠ACB=∠AOB∠ACB=90°∠ACB=∠ADB【中考母題學方法】【典例1-1】（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是的內接三角形，若，則．【典例1-2】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，內接于，AD是直徑，若，則．【典例1-3】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，內接于，點在上，平分交于，連接．若，，則的長為．【典例1-4】（2024·陜西·中考真題）如圖，是的弦，連接，，是所對的圓周角，則與的和的度數是．

【典例1-5】（2024·山東泰安·中考真題）如圖，是的直徑，是的切線，點為上任意一點，點為的中點，連接交于點，延長與相交于點，若，，則的長為．

【中考模擬即學即練】【變式1-1】（2024·西藏·中考真題）如圖，為的直徑，點B，D在上，，，則的長為（

）A．2 B． C． D．4【變式1-2】（2024·北京·中考真題）如圖，的直徑平分弦（不是直徑）.若，則

【變式1-3】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，連接．若，則．【變式1-4】（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，是的內接正n邊形的一邊，點C在上，，則．

【變式1-5】（2025·廣東·模擬預測）如圖，點A，B，C在上，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【變式1-6】（2025·湖北黃石·一模）如圖，四邊形內接于，，為對角線，經過圓心O．若，則的度數為（

）A． B． C． D．【變式1-7】（2025·廣西·模擬預測）如圖，是的直徑，點、在上．若，，則的度數是．題型二：與垂徑定理有關計算垂徑定理及其推論1.定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧。2.解題思路:如圖①,有直角三角形,直接利用勾股定理解題:如圖②.③,無直角三角形作半徑和弦心距,構造直角三角形.知識拓展如果一條直線滿足下列5個結論中的2個,便可推出其他3個結論(記為“知二推三”):①過圓心;②垂直于弦:③平分弦(不是直徑):④平分弦所對的優弧:⑤平分弦所對的劣弧.【中考母題學方法】【典例2-1】（2024·四川涼山·中考真題）數學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點，連接，作的垂直平分線交于點，交于點，測出，則圓形工件的半徑為（

）A． B． C． D．【典例2-2】（2023·廣西·中考真題）趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

）

A． B． C． D．【典例2-3】（2023·陜西·中考真題）陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點，連接，與弦交于點，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm【典例2-4】（2023·湖北荊州·中考真題）如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧（），點是這段弧所在圓的圓心，為上一點，于．若，，則的長為（）

A． B． C． D．【典例2-5】（2023·浙江溫州·中考真題）圖1是方格繪成的七巧板圖案，每個小方格的邊長為，現將它剪拼成一個“房子”造型(如圖2)，過左側的三個端點作圓，并在圓內右側部分留出矩形作為題字區域(點，，，在圓上，點，在上)，形成一幅裝飾畫，則圓的半徑為．若點，，在同一直線上，，，則題字區域的面積為．

【中考模擬即學即練】【變式2-1】（2025·廣西柳州·一模）某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于、、、四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為，，．請你幫忙計算紙杯杯底的直徑為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2024·內蒙古包頭·模擬預測）如圖，是的外接圓，是的直徑，點是弧的中點，與相交于點，連接交于點．若為的中點，，則的長為（

）A． B． C．6 D．【變式2-3】（2024·內蒙古通遼·中考真題）如圖，圓形拱門最下端在地面上，為的中點，為拱門最高點，線段經過拱門所在圓的圓心，若，，則拱門所在圓的半徑為（

）A． B． C． D．【變式2-4】（2023·湖南永州·中考真題）如圖，是一個盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面AB的距離為，則水面AB的寬度為．

【變式2-5】（2023·山東東營·中考真題）《九章算術》是中國傳統數學重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?、深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達為：如圖，是的直徑，弦于點E，寸，寸，則直徑長為寸．題型三：與圓內接四邊形有關計算圓內接四邊形的性質性質1:圓內接四邊形的對角互補性質2:任意一個外角等于它的內對角.【中考母題學方法】【典例3-1】（2024·甘肅定西·模擬預測）如圖，是半圓O的直徑，C，D是半圓上兩點，且滿足，，則弧的長為（

）A． B． C． D．【典例3-2】（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，，是的切線，切點為A，D，點B，C在上，若，則（

）A． B． C． D．【典例3-3】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，四邊形是的內接四邊形，是的直徑，若，則的度數為（

）

A． B． C． D．【典例3-4】（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，分別延長圓內接四邊形的兩組對邊，延長線相交于點E，F．若，，則的度數為（

）A． B． C． D．【典例3-5】（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，四邊形是的內接四邊形，點在四邊形內部，過點作的切線交的延長線于點，連接．若，，則的度數為．【中考模擬即學即練】【變式3-1】（2024·吉林·中考真題）如圖，四邊形內接于，過點B作，交于點E．若，則的度數是（

）A． B． C． D．【變式3-2】（2024·湖北宜昌·模擬預測）如圖，在內，若圓周角，則圓心角的度數是（）A． B． C． D．【變式3-3】（2024·湖北宜昌·二模）如圖，點O是的外心，若，求弦所對的圓周角．【變式3-4】（2024·北京·模擬預測）平面中有四個點交于點使得．三角形的外接圓為．表示和的關系題型四：切線的判定問題1.連半徑,證垂直連接圓心與交點,證明直線垂直半徑,即“連半徑,證垂直”.常見的情形如下條件圖形提示已知∠C=90°證明半徑OE//AC已知∠ABC=90°證明△ODC≌△OBC已知AB是⊙0的直徑,D是⊙0上的點,即∠ADB=90°證明∠ADO=∠BDC,結合等腰三角形,利用等角的余角相等“倒角”2.作垂直,證相等過圓心作直線的垂線段,證明垂線段長等于半徑,即“作垂直,證相等”證明圓心到直線的距離等于半徑的常見證明方法:①利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等:②證明三角形全等.【中考母題學方法】【典例4-1】（2023·廣東深圳·中考真題）如圖，在單位長度為1的網格中，點O，A，B均在格點上，，，以O為圓心，為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問題：①過點A作切線，且（點C在A的上方）；②連接，交于點D；③連接，與交于點E．(1)求證：為的切線；(2)求的長度．【典例4-2】（2024·山東東營·中考真題）如圖，內接于，是的直徑，點在上，點是的中點，，垂足為點D，的延長線交的延長線于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，，求線段的長．【典例4-3】（2024·湖北·中考真題）如圖，在中，，點在上，以CE為直徑的經過AB上的點，與交于點，且．(1)求證：AB是的切線；(2)若，，求的長．【典例4-4】（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，將沿過點的直線翻折并展開，點的對應點落在邊上，折痕為，點在邊上，經過點、．若，判斷與的位置關系，并說明理由．【典例4-5】（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖1，是正方形對角線上一點，以為圓心，長為半徑的與AD相切于點，與相交于點．(1)求證：AB與相切．(2)若正方形的邊長為，求的半徑．(3)如圖2，在（2）的條件下，若點是半徑上的一個動點，過點作交于點．當時，求的長．【中考模擬即學即練】【變式4-1】（2024·山西運城·模擬預測）閱讀與思考直線與圓的位置關系學完后，圓的切線的特殊性引起了小王的重視，下面是他的數學筆記，請仔細閱讀并完成相應的任務．歐幾里得最早在《幾何原本》中，把切線定義為和圓相交，但恰好只有一個交點的直線．切線：幾何上，切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點的直線．平面幾何中，將和圓只有一個公共交點的直線叫做圓的切線…證明切線的常用方法：①定義法；②距離法（運用圓心到直線的距離等于半徑）；③利用切線的判定定理來證明．添加輔助線常見方法：見切點連圓心，沒有切點作垂直．圖1是古代的“石磨”，其原理是在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”然后帶動磨盤轉動，將糧食磨碎，物理學上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機構”．圖2是一個“雙連桿”，兩個固定長度的“連桿”，的連接點P在上，，垂足為O，當點P在上轉動時，帶動點A，B分別在射線，上滑動，當點B恰好落在上時，，請判斷此時與的位置關系并說明理由．小王的解題思路如下：與相切．理由：連接．∵點B恰好落在上，．（依據1），．，，．，（依據2），∴與相切．任務：(1)依據1：_____________________________．依據2：________________________________．(2)在圖2中，的半徑為6，，求的長．【變式4-2】（2024·廣東揭陽·模擬預測）如圖，已知是邊上的一點，以為圓心、為半徑的與邊相切于點，且，連接，交于點，連接并延長，交于點．(1)求證：是切線；(2)求證：；(3)若是中點，求的長．【變式4-3】（2024·上海奉賢·三模）如圖1，在邊長為6的正方形中，是邊的動點，以為圓心，為半徑作圓，與相切于點，連接并延長交于點，連接，．(1)求證：；(2)如圖2，與相交于點，連接并延長交于點，當滿足時，試判斷與的位置關系并說明理由．【變式4-4】（2024·廣東東莞·一模）如圖1，是中的平分線，，以為半徑的與相交于點，且．(1)求證：是切線；(2)如圖2，設與的切點為，連接．當時，求的半徑；(3)若是線段的中點，連與交于，在（2）的條件下，求的值．【變式4-5】（2025·云南·模擬預測）如圖，是四邊形的外接圓，是四邊形的對角線，恰為的直徑，，點在劣弧上，過點作，交的延長線于點，平分．

(1)求的度數；(2)求證：是的切線；(3)若，P是劣弧CD上的一個動點，不與C，D重合，連接AP，CP，DP，DG⊥AP于點G，求的值．題型五：與切線性質有關計算1.求角度問題的解題關鍵連接圓心和切點,構造直角三角形,依據三角形內角和定理得到角度,通常還需結合等腰三角形的性質、圓周角定理及推論和平行線性質定理進行角度轉化2.求線段長問題的解題步驟第一步:先將題中已知條件進行轉化,挖掘題中的隱含條件,如:①切線與過切點的半徑垂直,可構造直角三角形:②圓的半徑長相等,可構造等腰三角形;③弦與切線平行則弦與過切點的半徑垂直,可結合垂徑定理;第二步:結合已知解題方法,考慮利用勾股定理、銳角三角函數或相似三角形的性質求解;第三步:作輔助線,構造直角三角形或相似三角形;第四步:論證求解利用勾股定理求解的?？紙D形如下:圖形AB與相切于點A，0B交于點CAB是的切線,CD∥AB,交OA于點E在Rt△ABC中,點O在AB上，交AB于點E,切BC于點D結論ΔOAB為直角三角形,r2+AB2=(r+BC)2△OED為直角三角形△ADE為直角三角形AE2-DE2=CD2+AC2利用相似三角形求解的?？紙D形如下:圖形AB是直徑,切線CD交于點E,交AB延長線于點C,AD⊥CDAB是直徑.CD是的切線,切點為DAB是的直徑,CD是O0的切線,C是切點,AD⊥CD結論△COE∽△CAD△BCD∽△DCA△ABC∽△ACD.【中考母題學方法】【典例5-1】（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，是的直徑，點在的延長線上，與相切于點，若，則°．【典例5-2】（2024·云南昆明·模擬預測）在邊長為10的正方形中，點E是的中點，作射線，在射線上有一點P，若以點P為圓心，半徑長為4的與正方形的其中一邊相切，則的長為．【典例5-3】（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知兩條平行線、，點A是上的定點，于點B，點C、D分別是、上的動點，且滿足，連接交線段于點E，于點H，則當最大時，的值為．【典例5-4】（2024·山東青島·中考真題）如圖，中，，以為直徑的半圓O分別交于點D，E，過點E作半圓O的切線，交于點M，交的延長線于點N．若，，則半徑的長為．【典例5-5】（2024·天津·中考真題）已知中，為的弦，直線與相切于點．(1)如圖①，若，直徑與相交于點，求和的大小；(2)如圖②，若，垂足為與相交于點，求線段的長．【中考模擬即學即練】【變式5-1】（2024·福建·中考真題）如圖，已知點在上，，直線與相切，切點為，且為的中點，則等于（

）A． B． C． D．【變式5-2】（2024·山西·中考真題）如圖，已知，以為直徑的交于點D，與相切于點A，連接．若，則的度數為（）A． B． C． D．【變式5-3】（2024·浙江·中考真題）如圖，AB是的直徑，與相切，A為切點，連接．已知，則的度數為

【變式5-4】（2025·貴州·模擬預測）如圖，是的直徑，點是上一點，過點作的切線，交的延長線于點，過點作于點．(1)若，求的度數；(2)若，，求的長．【變式5-5】（2024·河北邢臺·一模）如圖1，四邊形中，，，，為四邊形的對角線，．

(1)求點到的距離；(2)如圖2，點在邊上，且．以為圓心，長為半徑作，點為上一點，連接交于．．①當與相切時，求的長；②當時，直接寫出的長．題型六：三角形的內心及內切圓重要結論識記圖示條件點O是△ABC的內心⊙0是△ABC的內切圓結論1.點O是ΔABC角平分線的交點:2.∠B0C=90°+∠BAC,∠AOC=90°+∠ABC,∠AOB=90°+∠ACB1.點0是ABC的內心,⊙0分別與AB、BC,AC相切于點D,E,F,則OD=OE=OF；【中考母題學方法】【典例6-1】（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形內接于，則它的內切圓半徑為（

）

A．1 B．2 C． D．【典例6-2】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在中，，，，為的內切圓，過O作分別交、于D、E，則的長為（

）A． B．4 C．5 D．【典例6-3】（2024·山東德州·中考真題）有一張如圖所示的四邊形紙片，，，為直角，要在該紙片中剪出一個面積最大的圓形紙片，則圓形紙片的半徑為cm．【典例6-4】（2024·浙江寧波·一模）如圖，將矩形的邊翻折到，使點D的對應點E在邊上，再將邊翻折到，且點A的對應點F為的內心，則．【典例6-5】（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，是的直徑，內接于，點I為的內心，連接并延長交O于點D，E是上任意一點，連接，，，．(1)若，求的度數；(2)找出圖中所有與相等的線段，并證明；(3)若，，求的周長．【中考模擬即學即練】【變式6-1】（2024·山東聊城·一模）如圖，點為等邊的內心，連接并延長交的外接圓于點，已知外接圓的半徑為，則線段的長為（

）A． B． C． D．【變式6-2】（2024·四川南充·一模）如圖，點是外接圓的圓心．點是的內心．連接．若，則的度數為（

）A． B． C． D．【變式6-3】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在一張紙片中，，，，是它的內切圓．小明用剪刀沿著的切線DE剪下一塊三角形，則的周長為（

）A．9 B．12 C．15 D．18【變式6-4】（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，已知在中，，，，點是的內心．點到邊的距離為；【變式6-5】（2024·福建南平·模擬預測）如圖，以的直角邊為直徑的交斜邊于點，過點作的切線與交于點，弦與垂直，垂足為．(1)求證：為的中點；(2)若的面積為，兩個和的外接圓面積之比為3，求的內切圓面積和四邊形的外接圓面積的比．題型七：陰影部分面積計算方法1公式法面積公式直接計算觀察圖形,所求陰影部分為扇形、三角形或特殊四邊形時,可直接用面積公式進行求解.方法2和差法面積和差運算觀察圖形,所求陰影部分面積可以看成扇形、三角形或特殊四邊形面積的和或者差,則分別計算每部分面積,再加減計算.方法3等積轉化法等積轉化法的解題關鍵觀察圖形,當所求陰影部分可轉化成規則圖形或陰影部分不是一個整體時,可嘗試通過等積轉化法計算.1.通過平行線間三角形面積相等進行等積轉化;2.將兩部分陰影部分面積合二為一進行等積轉化【中考母題學方法】【典例7-1】（2024·河南·中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形的外接圓，點D是的中點，連接，．以點D為圓心，的長為半徑在內畫弧，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【典例7-2】（2024·內蒙古·中考真題）如圖是平行四邊形紙片，，點M為的中點，若以M為圓心，為半徑畫弧交對角線于點N，則度；將扇形紙片剪下來圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），則這個圓錐的底面圓半徑為．【典例7-3】（2024·四川資陽·中考真題）如圖，在矩形中，，．以點為圓心，長為半徑作弧交于點，再以為直徑作半圓，與交于點，則圖中陰影部分的面積為．【典