難點08與圓有關的位置關系常考題型

（8大熱考題型）

題型一：點與圓的位置關系

題型二：確定圓的條件

題型三：三角形的外接圓問題

題型四：直線與圓的位置關系

題型五：切線的證明

題型六：切線的性質

題型七：三角形內切圓問題

題型八：切線長定理

題型一：點與圓的位置關系

【中考母題學方法】

【典例1】（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，O中，弦AB的長為43，點C在O上，OCAB，

ABC30．O所在的平面內有一點P，若OP5，則點P與O的位置關系是（）

A．點P在O上B．點P在O內C．點P在O外D．無法確定

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點與圓的位置關系，銳角三角函數，掌握圓的相關性質是解

題關鍵．由垂徑定理可得AD23，由圓周角定理可得AOC60，再結合特殊角的正弦值，求出O的半

徑，即可得到答案．

【詳解】解：如圖，令OC與AB的交點為D，

OC為半徑，AB為弦，且OCAB，

1

ADAB23，

2

ABC30

AOC2ABC60，

在△ADO中，ADO90，AOD60，AD23，

AD

sinAOD，

OA

AD23

OA4

sin603，即O的半徑為4，

2

OP54，

點P在O外，

故選：C．

【變式1-1】（2022·吉林·中考真題）如圖，在VABC中，ACB90，AB5，BC4．以點A為圓心，r

為半徑作圓，當點C在A內且點B在A外時，r的值可能是（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【分析】先利用勾股定理可得AC3，再根據“點C在A內且點B在A外”可得3r5，由此即可得出

答案．

【詳解】解：在VABC中，ACB90，AB5，BC4，

ACAB2BC23，

點C在A內且點B在A外，

ACrAB，即3r5，

觀察四個選項可知，只有選項C符合，

故選：C．

【點睛】本題考查了勾股定理、點與圓的位置關系，熟練掌握點與圓的位置關系是解題關鍵．

【變式1-2】（2021·上海·中考真題）如圖，已知長方形ABCD中，AB4,AD3，圓B的半徑為1，圓A

與圓B內切，則點C,D與圓A的位置關系是（）

A．點C在圓A外，點D在圓A內B．點C在圓A外，點D在圓A外

C．點C在圓A上，點D在圓A內D．點C在圓A內，點D在圓A外

【答案】C

【分析】根據內切得出圓A的半徑，再判斷點D、點E到圓心的距離即可

【詳解】

∵圓A與圓B內切，AB4，圓B的半徑為1

∴圓A的半徑為5

∵AD3<5

∴點D在圓A內

在RtABC中，ACAB2BC242325

∴點△C在圓A上

故選：C

【點睛】本題考查點與圓的位置關系、圓與圓的位置關系、勾股定理，熟練掌握點與圓的位置關系是關鍵

【變式1-3】（2021·青?！ぶ锌颊骖}）點P是非圓上一點，若點P到O上的點的最小距離是4cm，最大距離

是9cm，則O的半徑是．

【答案】6.5cm或2.5cm

【分析】分點P在O外和O內兩種情況分析；設O的半徑為xcm，根據圓的性質列一元一次方程并求

解，即可得到答案．

【詳解】設O的半徑為xcm

當點P在O外時，根據題意得：42x9

∴x2.5cm

當點P在O內時，根據題意得：2x94

∴x6.5cm

故答案為：6.5cm或2.5cm．

【點睛】本題考查了圓、一元一次方程的知識；解題的關鍵是熟練掌握圓的性質，從而完成求解．

【中考模擬即學即練】

1．（2023九年級上·江蘇·專題練習）已知O的半徑是4，OP3，則點P與O的位置關系是（）

A．點P在圓上B．點P在圓內C．點P在圓外D．不能確定

【答案】B

【分析】本題主要考查了點與圓的位置關系，若點與圓心的距離d，圓的半徑為，則當d>r時，點在圓外；

當dr時，點在圓上；當dr時，點在圓內，據此求解即可．

【詳解】解：∵43，

∴點P到圓心的距離小于O的半徑，

∴點P在圓內，

故選：B．

2．（2024·云南怒江·一模）平面內，O的半徑為cm，若點P在O內，則OP的長可以是（）

A．8cmB．cmC．1120cmD．14cm

10

【答案】A

【分析】本題考查了點與圓的位置關系．熟練掌握點在圓內，則點到圓心的距離小于圓的半徑是解題的關

鍵．

根據點在圓內，則點到圓心的距離小于圓的半徑判斷作答即可．

【詳解】解：∵點P在O內，

∴OP10，

∴OP的長可以是8cm，

故選：A．

3．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）已知O的半徑為1，點A到圓心O的距離為a，若關于x的方程x22xa0

不存在實數根，則點A與O的位置關系是（）

A．點A在O外B．點A在O上

C．點A在O內D．無法確定

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別方法和點與圓的位置關系，根據一元二次方程根的情況，判斷a

的取值范圍，再根據點與圓心的距離，判斷點與圓的位置關系，熟練掌握根的判別方法和判斷點與圓的位

置關系的方法是解題的關鍵．

【詳解】解：由題意，得b24ac44a0，

解得a1，

∴ar1，則點A在O外，

故選：A．

4．（2024·河北滄州·模擬預測）小明手中有幾組大小不等的三角板，分別是含45度，30度的直角三角板．從

中選擇兩個各拼成如圖所示的圖形，則關于兩圖中四個頂點A，B，C，D的說法，正確的是（）

A．甲圖四點共圓，乙圖四點共圓B．甲圖四點共圓，乙圖四點不共圓

C．甲圖四點不共圓，乙圖四點共圓D．甲圖四點不共圓，乙圖四點不共圓

【答案】C

【分析】本題考查圓的定義，點和圓的位置關系，直角三角形斜邊中線性質，熟練掌握這些定義和性質是

解題的關鍵．甲圖中，取AC中點M，連接DM，BM，得出DMAMCM，得點D、A、C是以點M

為圓心，AM為半徑的圓上，再判斷點B在圓M外即可；乙圖中，取AC中點N，連接DN，BN，得

DNANCNBN，即可判斷．

【詳解】解：如甲圖中，取AC中點M，連接DM，BM，

∵ADC90，

∴DMAMCM，

∴點D、A、C是以點M為圓心，AM為半徑的圓上，

BCM為直角三角形，

∴BMCM，

∴點B在圓M外，

∴甲圖四點不共圓；

如乙圖中，取AC中點N，連接DN，BN，

∵ADCABC90，

∴DNANCNBN，

∴點D、A、C、B是以點N為圓心，AN為半徑的圓上，

∴乙圖四點共圓，

綜上，甲圖四點不共圓，乙圖四點共圓，

故選：C．

5．（2024·浙江·模擬預測）如圖，X，Y，Z是某社區的三棟樓，XY40m，YZ30m，XZ50m．若在XZ

中點M處建一個5G網絡基站，該基站的覆蓋半徑為26m，則這三棟樓中在該基站覆蓋范圍內的是（）

A．X，Y，ZB．X，ZC．Y，ZD．Y

【答案】A

【分析】本題考查點和圓的位置關系，勾股定理的逆定理，解題的關鍵是求出三角形三個頂點到M點的距

離．根據勾股定理的逆定理證得VXYZ是直角三角形，可以根據直角三角形斜邊中線的性質求得YM的長，

然后與26m比較大小，即可解答本題．

【詳解】解：XY40m，YZ30m，XZ50m．

XY2YZ2XZ2，

XYZ是直角三角形，

XYZ90，

點N是斜邊XZ的中點，

XMMZ25m，

XYZ是直角三角形，YM是斜邊XZ的中線，

1

YMXZ25m，

2

2625，

點X、Y、Z都在圓內，

這三棟樓都在該5G基站覆蓋范圍內．

故選：A

6．（2024·河北邯鄲·模擬預測）如圖，在網格（每個小正方形的邊長均為l）中選取9個格點（格線的交點

稱為格點），如果以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內，則r的取值范圍為

（）

A．17r32B．22r17

C．17r5D．5r29

【答案】A

【分析】本題考查了點與圓的位置關系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格點到點A的距離，結合點與

圓的位置關系，即可得出結論．

【詳解】解：給各點標上字母，如圖所示．

AB222222，ACAD421217，AE323232，

AF522229，AGAMAN42325，

17r32時，以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內．

故選：A．

7．（2024·浙江紹興·二模）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點O，A，B，C在格

點（兩條網格線的交點叫格點）上，以點O為原點建立直角坐標系．

(1)過A，B，C三點的圓的圓心M坐標為______；

(2)請通過計算判斷點D(3,2)與M的位置關系．

【答案】(1)(1,2)

(2)D在圓M外

【分析】本題考查了垂徑定理推論，勾股定理，平面坐標系中點的坐標，點與圓的位置關系，根據垂徑定

理得出圓心位置是解答本題的關鍵．

（1）連接AB，AC，分別作AB，AC的垂直平分線，兩直線交于點M，就是過A，B，C三點的圓的圓

心，由圖形可得M的坐標；

（2）分別求出MD和MB的長度進行比較即可作出判斷．

【詳解】（1）解：如圖，連接AB，AC，分別作AB，AC的垂直平分線，兩直線交于點M，

M是過A，B，C三點的圓的圓心，

M1,2．

（2）M1,2，D3,2，B0,1，

2

MD1(3)4，MB122110，

MDMB，

點D在M的外部．

題型二：確定圓的條件

【中考母題學方法】

【典例1】（2023·江西·中考真題）如圖，點A，B，C，D均在直線l上，點P在直線l外，則經過其中任

意三個點，最多可畫出圓的個數為（）

A．3個B．4個C．5個D．6個

【答案】D

【分析】根據不共線三點確定一個圓可得，直線上任意2個點加上點P可以畫出一個圓，據此列舉所有可能

即可求解．

【詳解】解：依題意，A,B；A,C；A,D；B,C；B,D，C,D加上點P可以畫出一個圓，

∴共有6個，

故選：D．

【點睛】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不共線三點確定一個圓是解題的關鍵．

【變式2-1】（2023·江蘇徐州·中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到；

玉璧，玉環為我國的傳統玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；

肉好若一，調之環．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關系見圖示，以考古發現看，這兩

種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關系．

(1)若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環的“肉”的面積之比為；

(2)利用圓規與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關系是否符合“肉好若

一”？

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關系符合“肉倍好”，請畫出內孔．

【答案】(1)32:27

(2)①符合，圖見詳解；②圖見詳解

【分析】（1）根據圓環面積可進行求解；

（2）①先確定該圓環的圓心，然后利用圓規確定其比例關系即可；②先確定好圓的圓心，然后根據平行線

所截線段成比例可進行作圖．

【詳解】（1）解：由圖1可知：璧的“肉”的面積為32128；環的“肉”的面積為321.526.75，

∴它們的面積之比為8:6.7532:27；

故答案為32:27；

（2）解：①在該圓環任意畫兩條相交的線，且交點在外圓的圓上，且與外圓的交點分別為A、B、C，則分

1

別以A、B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，交于兩點，連接這兩點，同理可畫出線段AC的垂直平分線，

2

線段AB,AC的垂直平分線的交點即為圓心O，過圓心O畫一條直徑，以O為圓心，內圓半徑為半徑畫弧，

看是否滿足“肉好若一”的比例關系即可

由作圖可知滿足比例關系為1:2:1的關系；

②按照①中作出圓的圓心O，過圓心畫一條直徑AB，過點A作一條射線，然后以A為圓心，適當長為半徑

畫弧，把射線三等分，交點分別為C、D、E，連接BE，然后分別過點C、D作BE的平行線，交AB于點F、

G，進而以FG為直徑畫圓，則問題得解；如圖所示：

【點睛】本題主要考查圓的基本性質及平行線所截線段成比例，熟練掌握圓的基本性質及平行線所截線段

成比例是解題的關鍵．

【中考模擬即學即練】

1．（2023·山東青島·二模）已知：如圖，點P是ABC的邊BC上的一點．

求作：O，使點O在ABC的角平分線上，且O經過B、P兩點．

【答案】見解析

【分析】作ABC的角平分線交BP的中垂線于一點即為O．

【詳解】解：如圖所示，點O為所求：

【點睛】本題主要考查的是角平分線以及中垂線等綜合知識，靈活掌握角平分線以及中垂線的作圖是解題

的關鍵．

2．（2024·江西上饒·一模）平面上有4個點，它們不在同一直線上，過其中3個點作圓，可以作出不重復的

圓n個，則n的值不可能為（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】C

【分析】本題考查了確定圓的條件，分為三種情況：①當四點都在同一個圓上時，②當三點在一直線上時，

③當A、B、C、D四點不共圓，且其中的任何三點都不共線時，根據不在同一直線上的三點可以畫一個圓，

畫出圖形，即可得出答案．

【詳解】解：分為三種情況：①當四點都在同一個圓上時，如圖1，此時n1，

②當三點在一直線上時，如圖2，

分別過A、B、C或A、C、D或A、B、D作圓，共3個圓，即n3，

③當A、B、C、D四點不共圓，且其中的任何三點都不共線時，

分別過A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圓，共4個圓，即此時n4，

即n不能是2，

故選：C．

3．（2023·貴州貴陽·二模）下列四個命題，正確的是（）

①經過三點一定可以畫一個圓；

②三角形的內心是三角形三條角平分線的交點；

③三角形的外心一定在三角形的外部；

④三角形的外心到這個三角形三個頂點的距離都相等．

A．①②B．①④C．②④D．③④

【答案】C

【分析】根據確定圓的條件、三角形的內心和外心的概念判斷．

【詳解】解：①經過不在同一直線上的三點一定可以畫一個圓，故本小題說法錯誤；

②三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，說法正確；

③鈍角三角形的外心一定在三角形的外部，直角三角形的外心是斜邊的中點，銳角三角形的外心在三角形

的內部，故本小題說法錯誤；

④三角形的外心到這個三角形三個頂點的距離都相等，說法正確；

故選：C．

【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，掌握確定圓的條件、三角形的內心和外心的概念是解題的關鍵．

4．（2024·吉林長春·三模）將邊長為2的小正方形ABCD和邊長為4的大正方形EFGH如圖擺放，使得C、

E兩點剛好重合，且B、C、H三點共線，此時經過A、F、G三點作一個圓，則該圓的半徑為．

【答案】25

【分析】本題考查確定圓的圓心，由題意可知，ABBC2，CFCHHG4，取CH的中點O，連接OA，

OF，OG，由勾股定理可得OAOFOG25，可知點O為A、F、G三點所作圓的圓心，進而可得答案．

【詳解】解：由題意可知，ABBC2，CFCHHG4，

取CH的中點O，則OCOH2，OB4，

連接OA，OF，OG，

由勾股定理可得：OAAB2OB225，OFOG25，

∴OAOFOG，

即：點O為A、F、G三點所作圓的圓心，

則該圓的半徑為25，

故答案為：25．

5．（2024·上海奉賢·二模）上海之魚是奉賢區的核心景觀湖，湖面成魚型．如圖，魚身外圍有一條圓弧形水

道，在圓弧形水道外側有一條圓弧形道路，它們的圓心相同．某學習小組想要借助所學的數學知識探索上

海之魚的大?。?/p>

(1)利用圓規和直尺，在圖上作出圓弧形水道的圓心O．（保留作圖痕跡）

(2)如圖，學習小組來到了圓弧形道路內側A處，將所攜帶的200米繩子拉直至圓弧道路內側另一點B處，

并測得繩子中點C與圓弧形道路內側中點D的距離為10米，圓弧形水道外側到道路內側的距離DE為22

米（點D、C、E在同一直線上），請計算圓弧形水道外側的半徑．

【答案】(1)見解析

(2)圓弧形水道外側的半徑為483米

【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，線段垂直平分線的尺規作圖：

（1）如圖所示，分別在圓弧形水道，圓弧形道路上取一條弦，分別作兩條弦的垂直平分線，二者的交點即

為點O；

1

（2）如圖所示，連接OA，OC，OD，由垂徑定理可得OC⊥AB，OD⊥AB，ACAB100米，則

2

2

O、E、C、D四點共線，設OAODr米，則OCr10米，由勾股定理得r2r101002，解得

r505，則OEODDE50522483米．

【詳解】（1）解：如圖所示，分別在圓弧形水道，圓弧形道路上取一條弦，分別作兩條弦的垂直平分線，

二者的交點即為點O；

（2）解：如圖所示，連接OA，OC，OD，

∵C為AB的中點，點D為圓弧形道路內側中點，

1

∴OC⊥AB，OD⊥AB，ACAB100米，

2

∴O、E、C、D四點共線，

設OAODr米，則OCr10米，

在RtAOC中，由勾股定理得OA2OC2AC2，

2

∴r2r101002，

解得r505，

∴OEODDE50522483米．

答：圓弧形水道外側的半徑為483米．

6．（2024·吉林長春·三模）圖①、圖②、圖③中每個小正方形的頂點稱為格點，圖中點A、B、C、D、E、F、

G分別是圓上的格點，僅用無刻度直尺，分別確定圖①、圖②、圖③中的圓心O（保留適當的作圖痕跡）

【答案】見解析

【分析】本題考查了直角所對的弦是直徑，根據圓周角定理確定兩條直徑，進而即可求解．

【詳解】解：如圖所示，

題型三：三角形的外接圓問題

【中考母題學方法】

【典例1】（2020·河北·中考真題）有一題目：“已知；點O為的外心，BOC130，求A．”嘉嘉的

解答為：畫以及它的外接圓O，連接OB，OC，如圖．?由???BOC2A130，得A65．而淇淇

說：“嘉嘉考?慮??的?不周全，A還應有另一個不同的值．”，下列判斷正確的是（）

A．淇淇說的對，且A的另一個值是115°

B．淇淇說的不對，A就得65°

C．嘉嘉求的結果不對，A應得50°

D．兩人都不對，A應有3個不同值

【答案】A

【分析】直接利用圓內接四邊形的性質結合圓周角定理得出答案．

【詳解】解：如圖所示：

∵∠BOC=130°，

∴∠A=65°，

∠A還應有另一個不同的值∠A′與∠A互補．

故∠A′＝180°?65°＝115°．

故選：A．

【點睛】此題主要考查了三角形的外接圓，正確分類討論是解題關鍵．

【變式3-1】（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，VABC是O的內接三角形．若ABC45，AC2，

則O的半徑是．

【答案】1

【分析】連接OA、OC，根據圓周角定理得到AOC=90，根據勾股定理計算即可．

【詳解】解：連接OA、OC，

ABC45，

AOC2ABC90，

OA2OC2AC2，即2OA22，

解得：OA1，

故答案為：1．

【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、勾股定理是解題的關鍵．

【變式3-2】（2023·內蒙古·中考真題）如圖，O是銳角三角形ABC的外接圓，ODAB,OEBC,OFAC，

垂足分別為D,E,F，連接DE,EF,FD．若DEDF6.5,△ABC的周長為21，則EF的長為（）

A．8B．4C．3.5D．3

【答案】B

【分析】根據三角形外接圓的性質得出點D、E、F分別是AB、BC、AC的中點，再由中位線的性質及三角

形的周長求解即可．

【詳解】解：∵O是銳角三角形ABC的外接圓，ODAB,OEBC,OFAC，

∴點D、E、F分別是AB、BC、AC的中點，

111

∴DFBC,DEAC,EFAB，

222

∵DEDF6.5,△ABC的周長為21，

∴CBCAAB21即2DF2DE2EF21，

∴EF4，

故選：B．

【點睛】題目主要考查三角形外接圓的性質及中位線的性質，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質是

解題關鍵．

【變式3-3】（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點B作

1

BEAC于點E，點P為線段BE上一動點（點P不與B，E重合），則CPBP的最小值為．

2

【答案】6

【分析】過點P作PDAB，連接CO并延長交AB于點F，連接AO，根據等邊三角形的性質和圓內接三

1

角形的性質得到OAOB4，CFAB，然后利用含30角直角三角形的性質得到OEOA2，進而求

2

1

出BEBOEO6，然后利用CPBPCPPDCF代入求解即可．

2

【詳解】如圖所示，過點P作PDAB，連接CO并延長交AB于點F，連接AO

∵VABC是等邊三角形，BEAC

1

∴ABECBEABC30

2

∵O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4

∴OAOB4，CFAB，

∴OBAOAB30

1

∴OAEOABBAC30

2

∵BEAC

1

∴OEOA2

2

∴BEBOEO6

∵PDAB，ABE30

1

∴PDPB

2

1

∴CPBPCPPDCF

2

1

∴CPBP的最小值為CF的長度

2

∵VABC是等邊三角形，BEAC，CFAB

∴CFBE6

1

∴CPBP的最小值為6．

2

故答案為：6．

【點睛】此題考查了圓內接三角形的性質，等邊三角形的性質，含30角直角三角形的性質等知識，解題的

關鍵是熟練掌握以上知識點．

【變式3-4】（2022·廣西玉林·中考真題）如圖，在57網格中，各小正方形邊長均為1，點O，A，B，C，

D，E均在格點上，點O是VABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除VABC外把你認為外心也是O

的三角形都寫出來．

【答案】ADC、BDC、ABD

【分析】先△求出A△BC的外△接圓半徑r，再找到距離O點的長度同為r的點，即可求解．

△

【詳解】由網格圖可知O點到A、B、C三點的距離均為：12225，

則外接圓半徑r5，

圖中D點到O點距離為：12225r，

圖中E點到O點距離為：123210，

則可知除ABC外把你認為外心也是O的三角形有：ADC、ADB、BDC，

故答案為：△ADC、ADB、BDC．△△△

【點睛】本題△考查了△外接圓的△性質、勾股定理等知識，求出ABC的外接圓半徑r是解答本題的關鍵．

【變式3-5】（2023·山東日照·中考真題）在探究“四點共圓的條△件”的數學活動課上，小霞小組通過探究得出：

在平面內，一組對角互補的四邊形的四個頂點共圓．請應用此結論．解決以下問題：

如圖1，VABC中，ABAC，BAC（60180）．點D是BC邊上的一動點（點D不與B，C重

合），將線段AD繞點A順時針旋轉到線段AE，連接BE．

(1)求證：A，E，B，D四點共圓；

(2)如圖2，當ADCD時，O是四邊形AEBD的外接圓，求證：AC是O的切線；

(3)已知120，BC6，點M是邊BC的中點，此時P是四邊形AEBD的外接圓，直接寫出圓心P與點

M距離的最小值．

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

3

(3)

2

【分析】（1）根據旋轉的性質得到AEAD，∠DAE，證明BAECAD，進而證明ABE≌ACD，

可以得到AEBADC，由ADCADB180，可得AEBADB180，即可證明A、B、D、E四

點共圓；

（2）如圖所示，連接OA，OD，根據等邊對等角得到∠ABC∠ACB∠DAC，由圓周角定理得到

∠AOD2∠ABC2∠DAC，再由OAOD，得到OADODA，利用三角形內角和定理證明

DACOAD90，即OAC90，由此即可證明AC是O的切線；

（3）如圖所示，作線段AB的垂直平分線，分別交AB、BC于G、F，連接AM，先求出BC30，

11

再由三線合一定理得到BMCMBC3，AMBC，解直角三角形求出AB23，則BGAB3，

22

再解RtBGF得到BF2，則FM1；由P是四邊形AEBD的外接圓，可得點P一定在AB的垂直平分線

上，故當MP⊥GF時，PM有最小值，據此求解即可．

【詳解】（1）證明：由旋轉的性質可得AEAD，∠DAE，

∴BACDAE，

∴BACBADDAEBAD，即BAECAD，

又∵ABAC，

∴△ABE≌△ACDSAS，

∴AEBADC，

∵ADCADB180，

∴AEBADB180，

∴A、B、D、E四點共圓；

（2）證明：如圖所示，連接OA，OD，

∵ABAC，ADCD，

∴∠ABC∠ACB∠DAC，

∵O是四邊形AEBD的外接圓，

∴AOD2ABC，

∴∠AOD2∠ABC2∠DAC，

∵OAOD，

∴OADODA，

∵OADODAAOD180，

∴2∠DAC2∠OAD180，

∴DACOAD90，即OAC90，

∴OAAC，

又∵OA是O的半徑，

∴AC是O的切線；

（3）解：如圖所示，作線段AB的垂直平分線，分別交AB、BC于G、F，連接AM，

∵ABAC，BAC120，

∴BC30，

∵點M是邊BC的中點，

1

∴BMCMBC3，AMBC，

2

BM

∴AB23，

cosB

1

∴BGAB3，

2

BG

在RtBGF中，BF2，

cosB

∴FM1，

∵P是四邊形AEBD的外接圓，

∴點P一定在AB的垂直平分線上，

∴點P在直線GF上，

∴當MP⊥GF時，PM有最小值，

∵∠PFM∠BFG90∠B60，

3

∴在Rt△MPF中，PMMFsin∠PFM，

2

3

∴圓心P與點M距離的最小值為．

2

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，等邊對等角，解直角三角形，圓周角定理，切線的判定，三角形外

接圓的性質，垂線段最短等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．

【中考模擬即學即練】

1．（2023·河北秦皇島·一模）在VABC中，B45，AB6．甲、乙、丙分別給出了一個條件，想使BC

的長唯一，其中正確的是（）

甲：AC4；

乙：AC8；

丙：VABC的外接圓半徑為4

A．只有甲B．只有乙C．只有丙D．乙和丙

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心、勾股定理等，掌握三角形的外接圓與外心是解題的關鍵．

根據題意畫出圖形，使B45，AB6，點C在射線BE上，作ADBE于點D，根據等腰直角三角形的

性質可得AD的長，再由AD和AC的長作比較即可判斷甲乙；由AD和AB的長，結合該三角形外接圓的半

徑長，即可判斷該外接圓的圓心可以在AB的上、下兩側，即可判斷丙．

【詳解】解：如圖，B45，AB6，點C在射線BE上，作ADBE于點D，

2

ADBDAB32，

2

324，

不存在AC4的VABC，故甲不符合題意；

AB6，AD32，AC8，

而AC6，

存在AC8的VABC，使得BC的長唯一成立，如上圖中的點C即是，故乙符合題意；

AD324，AB68，

當VABC的外接圓半徑為4時，

如圖，

B45，

AOC90，

AC42，

4324268，

存在兩個C使VABC的外接圓半徑為4，兩個外接圓的圓心分別在AB的上、下兩側，故丙不符合題意；

綜上所述，只有乙符合題意．

故選：B．

2．（2024·寧夏固原·模擬預測）如圖，在已知的VABC中，按以下步驟作圖：①分別以B,C為圓心，以大于

1

BC長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M,N；②作直線MN交AB于點D，連接CD．若CDAD，B25，

2

則下列結論中錯誤的是()

A．ACD65B．ACB90

C．CAD50D．點D是VABC的外心

【答案】C

【分析】本題考查的是作圖-基本作圖，線段垂直平分線的作法，等邊對等角，三角形內角和定理的應用，

三角形的外心的定義；由題意可知直線MN是線段BC的垂直平分線，故BNCN，BC，故可得出

CDA的度數，根據CDAD可知DCACAD，故可得出CAD的度數，進而可得出結論．

【詳解】解：由題意可知直線MN是線段BC的垂直平分線，

BDCD，BBCD，

B25，

BBCD25，

CDA252550．

CDAD，

18050

ACDCAD65，

2

A正確，C錯誤；

CDAD，BDCD，

CDADBD，

點D為ABC的外心，故D正確；

ACD65，BCD25，

ACB652590，故B正確．

故選：C．

1

3．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，在VABC中，已知BC42，cosA，D是BC的中點，點O是VABC

3

的外接圓圓心，則OD（）

2

A．2B．2C．1D．

2

【答案】C

【分析】本題考查了三角形外接圓，等腰三角形的性質，圓周角定理，解直角三角形的應用，連接OB，OC，

1

以OB為半徑作VABC的外接圓，由等腰三角形的性質可得ODBC，BDCDBC22，

2

11

BODCODBOC，進而由圓周角定理可得BODA，即得cosBOD，得到OB3OD，再

23

22

利用勾股定理得到3ODOD222，解之即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．

【詳解】解：連接OB，OC，以OB為半徑作VABC的外接圓，

∵O是VABC的外接圓，

∴OBOC，

∵D是BC的中點，BC42，

11

∴ODBC，BDCDBC22，BODCODBOC，

22

∵BOC2A，

∴BODA，

1

∵cosA，

3

1

∴cosBOD，

3

OD

在RtBOD中，cosBOD，

OB

OD1

∴，

OB3

∴OB3OD，

∵OB2OD2BD2，

22

∴3ODOD222，

解得OD1，

故選：C．

4．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，正方形紙片ABCD的中心O剛好是ABM的外心，則AMB（）

A．135B．125C．115D．105

【答案】A

【分析】本題考查了圓內接四邊形對角互補，正方形的性質，根據題意可得A,M,B,C是四點共圓，再利用

圓內接四邊形的性質即可求解

【詳解】解：如圖所示，連接AC，

∵正方形紙片ABCD的中心O剛好是ABM的外心，且O是VABC的外心，

∴A,M,B,C是四點共圓，

∴ACBAMB180

∴AMB18045135，

故選：A．

5．（2024·山東淄博·二模）如圖，在VABC中，BAC60，ADBC于點D，且AD4，則VABC面積的

最小值為．

【答案】163

3

【分析】本題考查了圓周角定理，三角形的外接圓的半徑，垂徑定理，作VABC的外接圓O，連接OA，OB，

OC，過點O作OEBC于點E，根據圓周角定理可得BOC120，則OBCOCB30，設O的

11331

半徑為r，則OEOBr，BEOBr，根據OAOEAD得出r+r34，求得半徑的范圍，

22222

進而根據三角形的面積公式即可求解．

【詳解】作VABC的外接圓O，連接OA，OB，OC，過點O作OEBC于點E，

BAC60，

BOC120，

OBOC，

OBCOCB30，

1133

設O的半徑為r，則OEOBr，BEOBr，

2222

BC3r，

OAOEAD，

1

r+r34，

2

8

解得：r，

3

83

BC，

3

1183163

SBCAD4，

ABC2233

163

VABC的面積的最小值為，

3

163

故答案為：.

3

6．（2023·廣東湛江·模擬預測）如圖，已知VABC．

(1)用直尺和圓規作VABC的外接圓O；（不寫作法，保留作圖痕跡）

(2)若AB2，ACB45，求O的半徑．

【答案】(1)圖見解析

(2)O的半徑為1

【分析】（1）作線段AB，BC的垂直平分線交于點O，連接OA．以O為圓心，OA為半徑作O即可；

（2）由圓周角定理求出AOB90，然后利用勾股定理求解即可．

【詳解】（1）解：如圖，O即為所求．

（2）解：連接OB．

由題意得，OAOBr，

∵ABAB，ACB45，

∴AOB90．

在RtAOB中，OA2OB2AB2，

∵AB＝2，

∴OAOB1，

∴O的半徑為1．

【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，圓周角定理，三角形的外接圓與外心等知識，解題的關鍵是理解題意，

靈活運用所學知識解決問題．

7．（2024·陜西西安·模擬預測）（1）如圖1，已知點A為線段BC外一點，連接AB，AC，且BAC45，

BC6，求VABC面積的最大值；

（2）如圖2，某城市有一個廢舊機車工廠，現在想利用這個廢舊機車工廠改造為機車主題公園，其中AP為

原有機車的鐵軌，長500m，計劃保留放置各種年代的機車頭作為網紅留念打卡地標．AP兩側為面積相等

的現代與未來兩個主題活動區，要求BAC120，點P為BC的中點，按照設計要求，求出符合條件的VABC

的最大面積．

【答案】（1）VABC面積的最大值為929；（2）VABC面積的最大值為2500003m2

【分析】本題考查了三角形的外接圓和外心、等邊三角形性質、勾股定理、解直角三角形，熟練掌握外心

性質是解答本題的關鍵．

（1）以BC為一條弦作O，且BAC45，連接OB、OC，當ADBC且過點O時，VABC面積最大，

根據已知數據和勾股定理求出最大面積即可；

（2）延長AP到M，使APMP，連接MC，作AMC的外接圓O，連接AO，MO，連接PO并延長，

交O于點H，當點C與點H重合時，AMC的面積最大，解直角三角形，求得PH，即可得到最大面積．

【詳解】解：（1）如圖1，作VABC的外接圓O，當點A運動到ADBC時，VABC的高達到最大值，VABC

面積最大，延長AO交BC于點D，

BAC45，

BOC90，

BC6，

1

OBOC32，ODBC3，

2

11

．

SABCBCAD6323929

22

答：VABC面積的最大值為929；

（2）如圖2，延長AP到M，使APMP，連接MC，

∵點P為BC的中點，

∴BPCP，

∵APBMPC，

∴ABP≌CPMSAS，

∴BAPCMP，S△APCS△APBS△APCS△MCP，

∴SABCSAMC，

∵BAC120，

∴BAPPAC120，

∴CMPPAC120，

∴ACM60°，作AMC的外接圓O，

連接AO，MO，連接PO并延長，交O于點H，

當點C與點H重合時，AMC的面積最大，

1

此時AHPAHM30，

2

AP500

∴PH5003m，

tan30tan30

11

∴AMC面積的最大值AMPH500250032500003m2，

22

2

即SABC最大2500003m．

題型四：直線與圓的位置關系

【中考母題學方法】

【典例1】（2022·四川涼山·中考真題）如圖，已知半徑為5的⊙M經過x軸上一點C，與y軸交于A、B兩

點，連接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6

(1)判斷⊙M與x軸的位置關系，并說明理由；

(2)求AB的長；

(3)連接BM并延長交圓M于點D，連接CD，求直線CD的解析式．

【答案】(1)⊙M與x軸相切，理由見解析

(2)6

1

(3)yx2

2

【分析】（1）連接CM，證CM⊥x即可得出結論；

（2）過點M作MN⊥AB于N，證四邊形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，設AN=x，則OA=5-x，

MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂徑定理得AB=2AN即可求解；

（3）連接BC，CM，過點D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所

以OB=8，C（4，0），在RtBOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=45，在RtBCD中，∠BCD=90°，

由勾股定理，即可求得CD△，在RtCPD和在RtMPD中，由勾股定理，求得CP=2△，PD=4，從而得出點D

坐標，然后用待定系數法求出直線△CD解析式即△可．

【詳解】（1）解：⊙M與x軸相切，理由如下：

連接CM，如圖，

∵MC=MA，

∴∠MCA=∠MAC，

∵AC平分∠OAM，

∴∠MAC=∠OAC，

∴∠MCA=∠OAC，

∵∠OAC+∠ACO=90°，

∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，

∵MC是⊙M的半徑，點C在x軸上，

∴⊙M與x軸相切；

（2）解：如圖，過點M作MN⊥AB于N，

由（1）知，∠MCO=90°，

∵MN⊥AB于N，

∴∠MNO=90°，AB=2AN，

又∵∠CON=90°，

∴四邊形OCMN是矩形，

∴MN=OC，ON=CM=5，

∵OA+OC=6，

設AN=x，

∴OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，

在RtMNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得

x2+(1△+x)2=52，

解得：x1=3，x2=-4（不符合題意，舍去），

∴AN=3，

∴AB=2AN=6；

（3）解：如圖，連接BC，CM，過點D作