試卷第=page22頁，共=sectionpages8888頁難點03全等三角形的應用常考題型（5大熱考題型）題型一：全等三角形的性質題型二：添加條件證明三角形全等題型三：全等三角的綜合問題題型四：角平分線性質定理題型五：線段垂直平分線的性質與判定題型一：全等三角形的性質【中考母題學方法】【典例1】（2024·山東濟南·中考真題）如圖，已知，則的度數為（

）．A． B． C． D．【變式1-1】（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，，，點，分別是邊，上的動點，且，連接，，當的值最小時，的度數為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024·河北秦皇島·二模）如圖，，有以下結論：①；②；③；④．其中正確的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-3】（2024·四川成都·模擬預測）如圖，，，且，則的度數為．5．（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，，．

(1)求證：；(2)若，則__________°．【中考模擬即學即練】1．（2024·江蘇南通·模擬預測）下面四個幾何體中，主視圖、左視圖、俯視圖是全等圖形的幾何圖形是（

）A．圓柱 B．正方體 C．三棱柱 D．圓錐2．（2024·江蘇常州·模擬預測）如圖，在四邊形中，對角線平分，，點在上，．若，，，則的長為．3．（2024·上海·模擬預測）如圖，已知點A，B，C在同一直線上，點B在點A，C之間，點D，E在直線同側，，，，連接DE，設，，，下列結論正確的數量為（

）（1）（2）（3）A．0 B．1 C．2 D．34．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，和都是等腰直角三角形，，，，連接．(1)求證：；(2)直接寫出和的位置關系．5．（2024·山西·模擬預測）綜合與實踐【問題情境】“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中，，將和按圖2所示方式擺放，其中點B與點F重合（標記為點B）．當時，延長交于點G，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【數學思考】（1）請你解答以上老師提出的問題；【深入探究】（2）老師將圖2中的繞點B逆時針方向旋轉，使點E落在內部，讓同學們提出新的問題并請你解答此問題．“善思小組”提出問題：如圖3，當時，過點A作交的延長線于點M，與交于點N．證明：．【拓展提升】（3）如圖4，當時，過點A作于點H，若，，求的長．題型二：添加條件證明三角形全等【中考母題學方法】【典例1】（2024·山東德州·中考真題）如圖，C是的中點，，請添加一個條件，使．【典例2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，中，D是上一點，，D、E、F三點共線，請添加一個條件，使得．（只添一種情況即可）【變式2-1】（2024·湖南株洲·模擬預測）如圖，銳角三角形中，，點，分別在邊，上，連接，．下列命題中，假命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式2-2】（2024·四川成都·模擬預測）如圖，已知與相交于點O，．只添加一個條件，能判定的是（

）A． B． C． D．【變式2-3】（2024·貴州黔東南·一模）如圖，點A，B，C，D在同一直線上，，，______．

求證：．在①；②這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充在上面的橫線上，并加以解答．【中考模擬即學即練】1．（2024·北京西城·二模）如圖，點為線段的中點，，點分別在射線上，與均為銳角，若添加一個條件一定可以證明，則這個條件不能是（

）A． B．C． D．2．（2024·黑龍江雞西·二模）如圖，已知，，請你添加一個條件（一個即可）：，使．3．（22-23八年級上·福建福州·期中）如圖，，點D，E分別在與上，與相交于點F．只填一個條件使得，添加的條件是：．4．（2024·北京·模擬預測）如圖，，是的兩條高線，只需添加一個條件即可證明（不添加其它字母及輔助線），（不添加其它字母及輔助線），這個條件可以是．（寫出一個即可）5．（2024·河南安陽·模擬預測）如圖，在和中，與相交于點，，添加一個條件可以證明．(1)①；②；③；④，上面四個條件可以添加的是______（填序號）．(2)請你選擇一個條件給出證明．6．（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，，．若________，則．請從①；②；③這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結論成立，并說明理由．7（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，點，在線段上，且．請從①；②；③中．選擇一個合適的選項作為已知條件，使得．你添加的條件是：__________（只填寫一個序號）．添加條件后，請證明．題型三：全等三角的綜合問題【中考母題學方法】【典例1】（2024·山東·中考真題）【實踐課題】測量湖邊觀測點和湖心島上鳥類棲息點之間的距離【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具【實踐活動】某班甲小組根據湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點．測量，兩點間的距離以及和，測量三次取平均值，得到數據：米，，．畫出示意圖，如圖【問題解決】（1）計算，兩點間的距離．（參考數據：，，，，）【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：如圖2，選擇合適的點，，，使得，，在同一條直線上，且，，當，，在同一條直線上時，只需測量即可．（2）乙小組的方案用到了________．（填寫正確答案的序號）①解直角三角形

②三角形全等【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據現場地形狀況選擇可實施的方案．【典例2】（2024·重慶·中考真題）在中，，點是邊上一點（點不與端點重合）．點關于直線的對稱點為點，連接．在直線上取一點，使，直線與直線交于點．

(1)如圖1，若，求的度數（用含的代數式表示）；(2)如圖1，若，用等式表示線段與之間的數量關系，并證明；(3)如圖2，若，點從點移動到點的過程中，連接，當為等腰三角形時，請直接寫出此時的值．【變式3-1】（2023·湖南岳陽·一模）如圖，在中，，、是邊上的點．請從以下三個條件：①；②；③中，選擇一個合適的作為已知條件，使得．

(1)你添加的條件是______（填序號）；(2)添加了條件后，請證明．【變式3-2】（2024九年級下·全國·專題練習）如圖，在和中，點A、E、B、D在同一條直線上，，，只添加一個條件，不能判斷的是（）A． B． C． D．【變式3-2】（2024·四川南充·模擬預測）如圖，在中，，，將沿邊所在直線翻折得，連接交于點，則的度數為（

）A． B． C． D．【變式3-3】（2023·四川成都·二模）如圖，是內的一條射線，D、E、F分別是射線、射線、射線上的點，D、E、F都不與O點重合，連接，添加下列條件，能判定的是（

）A．， B．，，C．， D．，【變式3-4】（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，在中，的平分線交于點D，過點D作于點E．(1)求證：；(2)若，求的長．【變式3-5】（2024·浙江寧波·三模）如圖，在的方格紙中，有，僅用無刻度的直尺，分別按要求作圖：(1)在圖1中，找到一格點，使與全等；(2)在圖2中，在上找一點，使得．【中考模擬即學即練】1．（2024·山東煙臺·中考真題）某班開展“用直尺和圓規作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線為的平分線的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2024·湖南·模擬預測）如圖，在正方形中，線段繞點C逆時針旋轉到處，旋轉角為，點F在直線上，且，連接．(1)如圖1，當時，求證：．(2)如圖2，取線段的中點G，連接，已知，請直接寫出在線段旋轉過程中（）面積的最大值．3．（2024·湖北·一模）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象在第一象限內交于點A，與y軸交于點C，與x軸交于點B，C為的中點，．(1)求的值；(2)當，時，求x的取值范圍．4．（2023·北京門頭溝·二模）如圖，在中，，點在延長線上，且，將延方向平移，使點移動到點，點移動到點，點移動到點，得到，連接，過點作于．

(1)依題意補全圖形；(2)求證：；(3)連接，用等式表示線段，的數量關系，并證明．5．（2024·浙江寧波·模擬預測）在等邊三角形外側作直線，點關于直線的對稱點為，連接，交于點，連接．

(1)依題意補全如圖；(2)若，求；(3)若，用等式表示線段，，之間的數量關系并證明．6．（2024·貴州遵義·模擬預測）如圖①，在中，，，點在邊上，連接，點在射線上，連接．(1)如圖，將繞點逆時針旋轉得到，連接，．求證：；(2)若點是的中點，連接，求的最小值；(3)如圖②，若于點，求的值．7．（2024·四川樂山·模擬預測）如圖，在中，，作的中點，過作，分別交AB、于、，我們稱為等腰的“內接直角三角形”．設，．(1)如圖①，當時，若a=2，時，求內接直角三角形的斜邊的長．(2)如圖②，當時，求證：內接直角三角形的斜邊滿足：；(3)拓展延伸：如圖③，當時，若、分別在、的延長線上，與，還滿足（2）的關系式嗎？若滿足，證明你的結論；若不滿足，請探索與，滿足的數量關系式，并證明你的結論．題型四：角平分線性質定理【中考母題學方法】【典例1】（2024·山東德州·中考真題）如圖中，，，垂足為D，平分，分別交，于點F，E．若，則為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·山東青島·中考真題）已知：如圖，四邊形，E為邊上一點．求作：四邊形內一點P，使，且點P到的距離相等．【變式4-1】（2024·四川綿陽·模擬預測）如圖，在中，的平分線交于點于點，若的周長為12，則的周長為4，則為（）A．3 B．4 C．6 D．8【變式4-2】（2025·湖南·模擬預測）如圖，在中，，E是邊上一點，連接，在右側作，且，連接．若，，則四邊形的面積為．【變式4-3】如圖，的外角的平分線與相交于點P，若點P到的距離為3，則點P到的距離為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式4-4】（2024·陜西西安·三模）如圖，已知銳角，，請用尺規作圖法，在內部求作一點P．使．且．（保留作圖痕跡，不寫作法）44．（2024·四川樂山·一模）如圖，在中，，BD是的一條角平分線，點、、分別在BD、、上，且四邊形是正方形．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．【變式4-5】（2024·甘肅蘭州·模擬預測）如圖，在矩形中，的平分線交于點，于點，于點，與交于點．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，求的長．【中考模擬即學即練】1．如圖，在中，，用尺規作圖法作出射線，交于點，，為上一動點，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2024·廣東中山·模擬預測）如圖，，，，若，則．3．（2023·北京·模擬預測）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，適當長為半徑作弧，分別交于點M，N；②分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點P；③作射線交于點D．若，的面積為4，則的面積為．

4．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點D，E；②分別以D，E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；③作射線，交于點F，若，則的長為．5．（2024·青海·一模）如圖，在中，，平分，交于點，過點作于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．6．（2024·廣東·模擬預測）如圖，已知矩形的平分線交的延長線于點E．(1)尺規作圖：過點B作的垂線交于點G（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)在（1）所作的圖形中，連接，若平分，求證：．7．（2024·江蘇南京·三模）我們知道：三角形的三條角平分線交于一點（內心）、三條中線交于一點（重心）、…（1）如圖1，的中線相交于點，連接，易證，可得．如圖2．的中線相交于點，同理易證①．于是，點與點重合，三角形的三條中線交于一點．這樣證明兩個點（與）是同一點的方法也稱為“同一法”．（2）如圖3，是的角平分線，求證：．由此，得到結論：三角形內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例．（3）根據（2）中得到的結論用“同一法”證明：的三條角平分線交于一點．（4）在中，，，是的角平分線，且，則．8．（2023·陜西西安·一模）在平面直角坐標系中，點在軸的負半軸上，點在軸的正半軸上，點與點關于軸對稱．(1)如圖1，，平分交于，交于，請直接寫出與的數量關系為________；(2)如圖2，平分交于，若，求的度數；(3)如圖3，，點在的垂直平分線上，作交的延長線于，連接，試探究與的數量和位置關系．10．【思維啟迪】（1）如圖1，是的中線，延長到點．使，連接，則與的數量關系為________，位置關系為________．【思維應用】（2）如圖2，在中，，點為內一點，連接，，延長到點，使，連接，若，請用等式表示，，之間的數量關系，并說明理由；【思維探索】（3）如圖3，在中，，，點為中點，點在射線上（點不與點，點重合），連接，過點作，垂足為點，連接．若，，請直接寫出的長．題型五：線段垂直平分線的性質與判定【中考母題學方法】【典例1】（2024·山東濟南·中考真題）如圖，在正方形中，分別以點A和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和，作直線，再以點A為圓心，以的長為半徑作弧交直線于點（點在正方形內部），連接并延長交于點．若，則正方形的邊長為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，的邊的垂直平分線交于點，連接．若，，則．【典例3】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線分別交邊于點E、F．若，，則．【變式5-1】（2024·陜西渭南·二模）如圖，點A為和的公共頂點，已知，，請你添加一個條件，使得．（不再添加其他線條和字母）(1)你添加的條件是______；(2)根據你添加的條件，寫出證明過程．【變式5-2】（2023·四川眉山·模擬預測）如圖，在中，邊的垂直平分線交于，交于，若平分，，則度．【變式5-3】（2024·四川廣元·中考真題）點F是正五邊形邊DE的中點，連接并延長與CD延長線交于點G，則的度數為．

【變式5-4】（2024·四川南充·中考真題）如圖，在中，點D為邊的中點，過點B作交的延長線于點E．(1)求證：．(2)若，求證：【中考模擬即學即練】1．（2024·福建莆田·模擬預測）如圖，在中，，，求作的三等分線．閱讀以下作圖步驟：（1）分別以點A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分