北大高數考試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共25分）

1.設函數\(f(x)=x^3-3x+2\)，則\(f'(x)\)的零點為：

A.\(x=-1\)

B.\(x=1\)

C.\(x=-2\)

D.\(x=2\)

2.設\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)：

A.1

B.0

C.\(\frac{1}{2}\)

D.不存在

3.若\(\int_0^1x^2\,dx=\)：

A.\(\frac{1}{3}\)

B.\(\frac{2}{3}\)

C.\(\frac{1}{2}\)

D.\(\frac{3}{2}\)

4.設\(y=e^x\sinx\)，則\(y'\)為：

A.\(e^x\sinx\)

B.\(e^x\cosx\)

C.\(e^x(\sinx+\cosx)\)

D.\(e^x(\sinx-\cosx)\)

5.若\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x^2}=\)：

A.0

B.1

C.\(\frac{1}{2}\)

D.無窮大

二、填空題（每題5分，共25分）

1.設\(f(x)=x^3-3x+2\)，則\(f(2)=\)________。

2.\(\int_0^{\pi}\sinx\,dx=\)________。

3.若\(y=e^{2x}\)，則\(y'=\)________。

4.設\(f(x)=x^2-4x+4\)，則\(f'(x)=\)________。

5.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}=\)________。

三、解答題（每題20分，共60分）

1.求函數\(f(x)=x^3-3x+2\)的導數，并求出其極值。

2.設\(y=e^x\sinx\)，求\(y\)的二階導數。

3.求定積分\(\int_0^{\pi}\sinx\,dx\)的值。

4.設\(f(x)=x^2-4x+4\)，求\(f(x)\)的極值。

四、解答題（每題20分，共60分）

1.求函數\(f(x)=x^3-3x+2\)的導數，并求出其極值。

解答：\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=\pm1\)。當\(x<-1\)或\(x>1\)時，\(f'(x)>0\)；當\(-1<x<1\)時，\(f'(x)<0\)。因此，\(x=-1\)是極大值點，\(x=1\)是極小值點。計算得\(f(-1)=4\)，\(f(1)=0\)。

2.設\(y=e^x\sinx\)，求\(y\)的二階導數。

解答：\(y'=e^x(\sinx+\cosx)\)，\(y''=e^x(\sinx+\cosx)+e^x(\cosx-\sinx)=2e^x\cosx\)。

3.求定積分\(\int_0^{\pi}\sinx\,dx\)的值。

解答：\(\int_0^{\pi}\sinx\,dx=-\cosx\Big|_0^{\pi}=-\cos(\pi)+\cos(0)=2\)。

4.設\(f(x)=x^2-4x+4\)，求\(f(x)\)的極值。

解答：\(f'(x)=2x-4\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=2\)。\(f''(x)=2\)，因為\(f''(2)>0\)，所以\(x=2\)是極小值點。計算得\(f(2)=0\)。

五、證明題（每題20分，共40分）

1.證明：\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。

證明：由三角函數的有界性，得\(-1\leq\sinx\leq1\)。當\(x\neq0\)時，有\(\frac{1}{|x|}\leq\frac{\sinx}{x}\leq1\)。根據夾逼定理，得\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。

2.證明：\(\int_0^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)。

證明：令\(I=\int_0^{\infty}e^{-x^2}\,dx\)，則\(I^2=\int_0^{\infty}e^{-x^2}\,dx\int_0^{\infty}e^{-y^2}\,dy\)。通過變換\(x=\sqrt{xy}\)和\(y=\sqrt{xy}\)，得到\(I^2=\int_0^{\infty}e^{-u^2}\,du\)，其中\(u=\sqrt{xy}\)。由高斯積分，得\(I^2=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)，從而\(I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)。

六、應用題（每題20分，共40分）

1.設\(y=\ln(x^2+1)\)，求\(y\)在\(x=1\)處的切線方程。

解答：\(y'=\frac{2x}{x^2+1}\)，\(y'(1)=\frac{2}{2}=1\)。切線方程為\(y-\ln(2)=1(x-1)\)，即\(y=x-1+\ln(2)\)。

2.設\(y=\frac{1}{x}\)，求\(y\)在\(x=3\)處的切線方程。

解答：\(y'=-\frac{1}{x^2}\)，\(y'(3)=-\frac{1}{9}\)。切線方程為\(y-\frac{1}{3}=-\frac{1}{9}(x-3)\)，即\(y=-\frac{1}{9}x+\frac{4}{3}\)。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.B

解析思路：根據導數的定義和求導法則，\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)=0\)解得\(x=\pm1\)，所以\(x=1\)是\(f(x)\)的導數的零點。

2.A

解析思路：利用三角函數的極限性質，當\(x\to0\)時，\(\sinx\approxx\)，所以\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。

3.A

解析思路：根據定積分的基本公式，\(\int_0^1x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\Big|_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}\)。

4.D

解析思路：利用乘積法則和鏈式法則，\(y'=e^x\sinx+e^x\cosx=e^x(\sinx+\cosx)\)。

5.A

解析思路：利用極限的性質，當\(x\to\infty\)時，\(\lnx\)的增長速度小于\(x^2\)，所以\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x^2}=0\)。

二、填空題

1.4

解析思路：將\(x=2\)代入\(f(x)=x^3-3x+2\)，得\(f(2)=2^3-3\cdot2+2=8-6+2=4\)。

2.2

解析思路：根據定積分的基本公式，\(\int_0^{\pi}\sinx\,dx=-\cosx\Big|_0^{\pi}=-\cos(\pi)+\cos(0)=-(-1)+1=2\)。

3.\(e^x\)

解析思路：根據指數函數的導數公式，\(y=e^x\)的導數仍然是\(e^x\)。

4.\(2x-4\)

解析思路：根據多項式的導數公式，\(f(x)=x^2-4x+4\)的導數是\(f'(x)=2x-4\)。

5.0

解析思路：利用極限的性質，當\(x\to0\)時，\(\tanx\approxx\)和\(\sinx\approxx\)，所以\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{x-x}{x^3}=0\)。

三、解答題

1.\(f'(x)=3x^2-3\)，極值點為\(x=\pm1\)，極大值為\(f(-1)=4\)，極小值為\(f(1)=0\)。

解析思路：求導數，找出導數的零點，判斷極值類型，計算極值。

2.\(y''=2e^x\cosx\)。

解析思路：求\(y'\)的導數，利用乘積法則和鏈式法則。

3.\(\int_0^{\pi}\sinx\,dx=2\)。

解析思路：利用定積分的基本公式和三角函數的性質。

4.極小值點為\(x=2\)，極小值為\(f(2)=0\)。

解析思路：求導數，找出導數的零點，判斷極值類型，計算極值。

四、證明題

1.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。

解析思路：利用三角函數的有界性和夾逼定理