PAGEPAGE1第2講命題及其關系、充分條件與必要條件一、學問梳理1．命題用語言、符號或式子表達的，可以推斷真假的陳述句叫做命題．其中推斷為真的語句叫做真命題，推斷為假的語句叫做假命題．2．四種命題及其關系(1)四種命題間的相互關系(2)四種命題的真假關系①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．3．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qeq\o(?,\s\up0(/))pp是q的必要不充分條件peq\o(?,\s\up0(/))q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件peq\o(?,\s\up0(/))q且qeq\o(?,\s\up0(/))p[留意]不能將“若p，則q”與“p?q”混為一談，只有“若p，則q”為真命題時，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，則q”為真命題．常用結論1．充要條件的兩個結論(1)若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件．(2)若p是q的充分不必要條件，則綈q是綈p的充分不必要條件．2．一些常見詞語及其否定詞語是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一個是不等于不大于二、習題改編1．(選修1-1P8A組T2改編)命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是()A．“若x<y，則x2<y2” B．“若x>y，則x2>y2”C．“若x≤y，則x2≤y2” D．“若x≥y，則x2≥y2”解析：選C.依據原命題和逆否命題的條件和結論的關系得命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”．故選C.2．(選修1-1P10練習T3(2)改編)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B.若x＝1，則(x－1)(x＋2)＝0明顯成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，則x的值也可能為－2.故選B.一、思索辨析推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命題．()(2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”．()(3)若原命題為真，則這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個為真．()(4)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．()(5)q不是p的必要條件時，“peq\o(?,\s\up0(/))q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易錯糾偏eq\a\vs4\al(常見誤區)(1)不明確命題的條件與結論；(2)對充分必要條件推斷錯誤；(3)含有大前提的命題的否命題易出錯．1．命題“若△ABC有一內角為eq\f(π,3)，則△ABC的三個內角成等差數列”的逆命題()A．與原命題同為假命題B．與原命題的否命題同為假命題C．與原命題的逆否命題同為假命題D．與原命題同為真命題解析：選D.原命題明顯為真，原命題的逆命題為“若△ABC的三個內角成等差數列，則△ABC有一內角為eq\f(π,3)”，它是真命題．2．已知p：a<0，q：a2>a，則綈p是綈q的________條件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：綈p：a≥0；綈q：a2≤a，即0≤a≤1，故綈p是綈q的必要不充分條件．答案：必要不充分3．已知命題“對隨意a，b∈R，若ab>0，則a>0”，則它的否命題是____________．答案：存在a，b∈R，若ab≤0，則a≤0.四種命題的相互關系及其真假推斷(師生共研)(2024·長春質量檢測(二))命題“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是()A．若x2≥1，則x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，則x2<1C．若x>1或x<－1，則x2>1D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1【解析】命題的形式是“若p，則q”，由逆否命題的學問，可知其逆否命題為“若綈q，則綈p”的形式，所以“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是“若x≥1或x≤－1，則x2≥1”．故選D.【答案】Deq\a\vs4\al()(1)推斷命題真假的兩種方法(2)由原命題寫出其他三種命題的方法由原命題寫出其他三種命題，關鍵要分清原命題的條件和結論，將原命題的條件與結論互換即得逆命題，將原命題的條件與結論同時否定即得否命題，將原命題的條件與結論互換的同時進行否定即得逆否命題．1．命題“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是()A．若a2＋b2≠0，則a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，則a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，則a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0解析：選D.“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是“若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0”，故選D.2．(2024·甘肅酒泉敦煌中學一診)有下列四個命題，其中真命題是()①“若xy＝1，則lgx＋lgy＝0”的逆命題；②“若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)”的否命題；③“若b≤0，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實根”的逆否命題；④“等邊三角形的三個內角均為60°”的逆命題．A．①② B．①②③④C．②③④ D．①③④解析：選B.①“若xy＝1，則lgx＋lgy＝0”的逆命題為“若lgx＋lgy＝0，則xy＝1”，該命題為真命題；②“若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)”的否命題為“若a·b≠a·c，則a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，據此可知a不垂直(b－c)，該命題為真命題；③若b≤0，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判別式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有實根，為真命題，則其逆否命題為真命題；④“等邊三角形的三個內角均為60°”的逆命題為“三個內角均為60°的三角形為等邊三角形”，該命題為真命題．綜上可得，真命題是①②③④.故選B.充分條件、必要條件的推斷(師生共研)(1)(2024·高考天津卷)設x∈R，則“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)(2024·高考北京卷)設函數f(x)＝cosx＋bsinx(b為常數)，則“b＝0”是“f(x)為偶函數”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】(1)由x2－5x<0可得0<x<5，由|x－1|<1可得0<x<2.由于區間(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分條件．(2)b＝0時，f(x)＝cosx，明顯f(x)是偶函數，故“b＝0”是“f(x)是偶函數”的充分條件；f(x)是偶函數，則有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，又cos(－x)＝cosx，sin(－x)＝－sinx，所以cosx－bsinx＝cosx＋bsinx，則2bsinx＝0對隨意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函數”的必要條件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函數”的充分必要條件，故選C.【答案】(1)B(2)Ceq\a\vs4\al()充分條件、必要條件的三種推斷方法(1)定義法：依據p?q，q?p進行推斷．(2)集合法：依據p，q成立的對應的集合之間的包含關系進行推斷．(3)等價轉化法：依據一個命題與其逆否命題的等價性，把推斷的命題轉化為其逆否命題進行推斷．這個方法特殊適合以否定形式給出的問題．1．設U為全集，A，B是集合，則“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A.由A?C，B??UC，易知A∩B＝?，但A∩B＝?時未必有A?C，B??UC，如圖所示，所以“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的充分不必要條件．2．設x∈R，則“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B.2－x≥0，則x≤2，(x－1)2≤1，則－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，據此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分條件．3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，則p是q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A.因為p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因為綈q?綈p但綈peq\o(?,\s\up0(/))綈q，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件．故選A.充分條件、必要條件的應用(典例遷移)已知條件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，條件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若p是q的必要條件，求m的取值范圍．【解】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由p是q的必要條件，知S?P.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以0≤m≤3.所以當0≤m≤3時，p是q的必要條件，即所求m的取值范圍是[0，3]．【遷移探究1】(變結論)若本例條件不變，問是否存在實數m，使p是q的充要條件．解：若p是q的充要條件，則P＝S，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,m＝9，))即不存在實數m，使p是q的充要條件．【遷移探究2】(變結論)本例條件不變，若綈p是綈q的必要不充分條件，求實數m的取值范圍．解：由例題知P＝{x|－2≤x≤10}，因為綈p是綈q的必要不充分條件，所以p?q且q?p.所以[－2，10][1－m，1＋m]．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m＞10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10.))所以m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞)．eq\a\vs4\al()已知充分、必要條件求參數取值范圍的解題策略(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合的包含、相等關系，然后列出有關參數的不等式(組)求解．(2)涉及參數問題，干脆解決較為困難時，可用等價轉化思想，將困難、生疏的問題轉化為簡潔、熟識的問題來解決，如將綈p，綈q之間的關系轉化成p，q之間的關系來求解．[留意](1)留意對區間端點值的處理；(2)留意條件的等價變形．設p：－eq\f(m＋1,2)<x<eq\f(m－1,2)(m>0)；q：x<eq\f(1,2)或x>1，若p是q的充分不必要條件，則實數m的取值范圍為______．解析：因為p是q的充分不必要條件，又m>0，所以eq\f(m－1,2)≤eq\f(1,2)，所以0<m≤2.答案：(0，2]思想方法系列1等價轉化思想在充要條件中的應用等價轉化思想就是對原問題換一個方式、換一個角度、換一個觀點加以考慮，把要解決的問題通過某種轉化，再轉化，化歸為一類已經解決或比較簡潔解決的問題，從而使問題得到圓滿解決的思維方式．已知條件p：|x－4|≤6；條件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)．若綈p是綈q的充分不必要條件，則m的取值范圍為______．【解析】條件p：－2≤x≤10，條件q：1－m≤x≤1＋m，又綈p是綈q的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件．故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≥－2,1＋m≤10，))，所以0<m≤3.【答案】(0，3]eq\a\vs4\al()本例涉及參數問題，干脆解決較為困難，先用等價轉化思想，將困難、生疏的問題化歸為簡潔、熟識的問題來解決．一般地，在涉及字母參數的取值范圍的充分、必要條件問題中，經常要利用集合的包含、相等關系來考慮，這是解此類問題的關鍵．1．假如x，y是實數，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件解析：選C.法一：設集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，則A的補集C＝{(x，y)|x＝y}，B的補集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，明顯CD，所以BA，于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分條件．法二(等價轉化法)：因為x＝y?cosx＝cosy，而cosx＝cosyeq\o(?,\s\up0(/))x＝y，所以“cosx＝cosy”是“x＝y”的必要不充分條件，故“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分條件．2．(2024·寧夏銀川一中模擬)王昌齡的《從軍行》中兩句詩為“黃沙百戰穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的()A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B.“攻破樓蘭”不肯定“返回家鄉”，但“返回家鄉”肯定是“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的必要非充分條件．故選B.[基礎題組練]1．已知命題p：若x≥a2＋b2，則x≥2ab，則下列說法正確的是()A．命題p的逆命題是“若x＜a2＋b2，則x＜2ab”B．命題p的逆命題是“若x＜2ab，則x＜a2＋b2”C．命題p的否命題是“若x＜a2＋b2，則x＜2ab”D．命題p的否命題是“若x≥a2＋b2，則x＜2ab”解析：選C.命題p的逆命題是“若x≥2ab，則x≥a2＋b2”，故A，B都錯誤；命題p的否命題是“若x＜a2＋b2，則x＜2ab”，故C正確，D錯誤．2．已知p：a≠0，q：ab≠0，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B.a≠0eq\o(?,\s\up0(/))ab≠0，但ab≠0?a≠0，因此p是q的必要不充分條件．3．已知a，b，c是實數，下列結論正確的是()A．“a2>b2”是“a>b”的充分條件B．“a2>b2”是“a>b”的必要條件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分條件D．“|a|>|b|”是“a>b”的充要條件解析：選C.對于A，當a＝－5，b＝1時，滿意a2>b2，但是a<b，所以充分性不成立；對于B，當a＝1，b＝－2時，滿意a>b，但是a2<b2，所以必要性不成立；對于C，由ac2>bc2得c≠0，則有a>b成立，即充分性成立，故正確；對于D，當a＝－5，b＝1時，|a|>|b|成立，但是a<b，所以充分性不成立，當a＝1，b＝－2時，滿意a>b，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要條件．故選C.4．已知命題α：假如x<3，那么x<5；命題β：假如x≥3，那么x≥5；命題γ：假如x≥5，那么x≥3.關于這三個命題之間的關系中，下列說法正確的是()①命題α是命題β的否命題，且命題γ是命題β的逆命題；②命題α是命題β的逆命題，且命題γ是命題β的否命題；③命題β是命題α的否命題，且命題γ是命題α的逆否命題．A．①③ B．②C．②③ D．①②③解析：選A.本題考查命題的四種形式，逆命題是把原命題中的條件和結論互換，否命題是把原命題中的條件和結論都加以否定，逆否命題是把原命題中的條件與結論先都否定然后互換所得，故①正確，②錯誤，③正確．5．“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________條件．解析：因為(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0eq\o(?,\s\up0(/))x＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2?(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分條件．答案：必要不充分6．已知命題p：x≤1，命題q：eq\f(1,x)<1，則綈p是q的______．解析：由題意，得綈p：x>1，q：x<0或x>1，故綈p是q的充分不必要條件．答案：充分不必要條件7．若命題“ax2－2ax－3>0不成立”是真命題，則實數a的取值范圍是________．解析：由題意知ax2－2ax－3≤0恒成立，當a＝0時，－3≤0成立；當a≠0時，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝4a2＋12a≤0，))解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.答案：[－3，0]8．已知命題p：(x＋3)(x－1)>0；命題q：x>a2－2a－2.若綈p是綈q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．解：已知p：(x＋3)(x－1)>0，可知p：x>1或x<－3，因為綈p是綈q的充分不必要條件，所以q是p的充分不必要條件，得a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，即a∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[綜合題組練]1．(創新型)(2024·撫州七校聯考)A，B，C三個學生參與了一次考試，A，B的得分均為70分，C的得分為65分．已知命題p：若及格分低于70分，則A，B，C都沒有及格．則下列四個命題中為p的逆否命題的是()A．若及格分不低于70分，則A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，則及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，則及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，則及格分高于70分解析：選C.依據原命題與它的逆否命題之間的關系知，命題p的逆否命題是若A，B，