四十六事件的關系和運算(時間:45分鐘分值:95分)【基礎全面練】1.(5分)從1,2,3,4這4個數中,任取2個數求和,若“這2個數的和大于4”為事件A,“這2個數的和為偶數”為事件B,則A∩B包含的樣本點數為()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.從1,2,3,4這4個數中,任取2個數求和,則試驗的樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.其中事件A包含4個樣本點:(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),事件B包含2個樣本點:(1,3),(2,4),所以事件A∩B包含1個樣本點:(2,4).2.(5分)拋擲一枚質地均勻的骰子,事件A表示“向上的點數是奇數”,事件B表示“向上的點數不超過3”,則A∪B表示()A.向上的點數為奇數B.向上的點數不超過3C.向上的點數為1,3D.向上的點數為1,2,3,5【解析】選D.A包含向上的點數是1,3,5的情況,B包含向上的點數是1,2,3的情況,所以A∪B包含了向上的點數是1,2,3,5的情況.3.(5分)(2024·永州高一檢測)從裝有2個紅球和2個白球的盒子中任取兩個球,下列情況是互斥而不對立的兩個事件的是()A.至少有一個紅球;至少有一個白球B.恰有一個紅球;都是白球C.至少一個紅球;都是白球D.至多一個紅球;都是紅球【解析】選B.A中至少有一個紅球包含兩種情形:一紅一白,兩個紅,至少有一個白球包含:一紅一白,兩個白,這兩個事件不互斥,C,D中的兩個事件互斥且對立.4.(5分)(多選)若從1,2,3,…,9中任取兩個數,則下列各組中是對立事件的是()A.恰有一個偶數和恰有一個奇數B.至多有一個奇數和兩個都是奇數C.至少有一個奇數和兩個都是偶數D.至少有一個奇數和至少有一個偶數【解析】選BC.從1,2,3,…,9中任取兩數,有以下三種情況:①兩個均為奇數;②兩個均為偶數;③一個奇數和一個偶數.5.(5分)(多選)對空中飛行的飛機連續射擊兩次,每次發射一枚炮彈,設A={兩彈都擊中飛機},B={兩彈都沒擊中飛機},C={恰有一彈擊中飛機},D={至少有一彈擊中飛機},下列說法正確的是()A.A?D B.B∩D=?C.A∪C=D D.A∪C=B∪D【解析】選ABC.由于至少有一彈擊中飛機包括兩種情況:兩彈都擊中飛機,只有一彈擊中飛機,故有A?D,故A正確;由于事件B,D是互斥事件,故B∩D=?,故B正確;再由A∪C=D成立可得C正確;A∪C=D={至少有一彈擊中飛機},不是必然事件,而B∪D為必然事件,故D不正確.6.(5分)在隨機拋擲一枚骰子的試驗中,事件A=“出現不大于4的偶數點”,事件B=“出現小于6的點數”,則事件A∪B的含義為____________,事件A∩B的含義為________________.

【解析】易知B=“出現6點”,則A∪B=“出現2,4,6點”,A∩B=“出現2,4點”.答案:出現2,4,6點出現2,4點7.(5分)現有語文,數學,英語,物理和化學5本書,從中任取1本,記取到語文,數學,英語,物理,化學書分別為事件A,B,C,D,E,則事件取出的書不是語文和英語可記為__________________.

答案:B∪D∪E(或A∪C)8.(5分)從一副撲克牌(去掉大、小王,共52張)中隨機選取一張,給出如下三組事件:①“這張牌是紅心”與“這張牌是方塊”;②“這張牌牌面是2,3,4,6,10之一”與“這張牌是方塊”;③“這張牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”與“這張牌牌面是A,K,Q,J之一”.其中互為對立事件的是________(寫出所有正確的序號).

【解析】從一副撲克牌(去掉大、小王,共52張)中隨機選取一張,①“這張牌是紅心”與“這張牌是方塊”是互斥事件,但不是對立事件;②“這張牌牌面是2,3,4,6,10之一”與“這張牌是方塊”不是互斥事件,故更不會是對立事件;③“這張牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”與“這張牌牌面是A,K,Q,J之一”是互斥事件,也是對立事件.答案:③9.(10分)甲、乙、丙三人獨立破譯密碼,用事件的運算關系表示:(1)只有甲破譯;(2)恰有一人破譯;(3)至多有一人破譯;(4)密碼被破譯;(5)密碼未被破譯.【解析】用A,B,C分別表示甲、乙、丙破譯密碼,則(1)A∩B∩C;(2)(A∩B∩C)+(A∩B∩C)+(A∩B∩C);(3)(A∩B∩C)+(A∩B∩C)+(A∩B∩C)+(A∩B∩C);(4)A∪B∪C;(5)A∩B∩C.10.(10分)某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱,記事件A為“只訂甲報”,事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每組事件是不是互斥事件.如果是,再判斷它們是不是對立事件:(1)A與C;(2)B與E;(3)B與D;(4)B與C;(5)C與E.【解析】(1)由于事件C“至多訂一種報紙”中包括“只訂甲報”,即事件A與事件C有可能同時發生,故A與C不是互斥事件;(2)事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發生的,故B與E是互斥事件,由于事件B與事件E必有一個發生,故B與E是對立事件;(3)事件B“至少訂一種報紙”中包括“只訂乙報”,即有可能“不訂甲報”,也就是說事件B和事件D有可能同時發生,故B與D不是互斥事件;(4)事件B“至少訂一種報紙”中的可能情況為“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”.事件C“至多訂一種報紙”中的可能情況為“一種報紙也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”.也就是說事件B與事件C可能同時發生,故B與C不是互斥事件;(5)由(4)的分析,事件E“一種報紙也不訂”是事件C中的一種可能情況,所以事件C與事件E可能同時發生,故C與E不是互斥事件.【綜合應用練】11.(5分)(多選)下列命題中為真命題的是()A.若事件A與事件B互為對立事件,則事件A與事件B為互斥事件B.若事件A與事件B為互斥事件,則事件A與事件B互為對立事件C.若事件A與事件B互為對立事件,則事件A∪B為必然事件D.若事件A∪B為必然事件,則事件A與事件B為互斥事件【解析】選AC.對于A,對立事件首先是互斥事件,故A為真命題;對于B,互斥事件不一定是對立事件,如將一枚硬幣拋擲兩次,共出現(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)四種結果,事件M=“兩次出現正面”與事件N=“只有一次出現反面”是互斥事件,但不是對立事件,故B為假命題;對于C,事件A,B為對立事件,則在一次試驗中A,B一定有一個發生,故C為真命題;對于D,事件A∪B表示事件A,B至少有一個要發生,A,B不一定互斥,如拋擲一枚骰子,事件A=“擲出點數為奇數”,事件B=“擲出點數大于等于2”,則A∪B為必然事件,但A與B不互斥,故D為假命題.12.(5分)(多選)(2024·亳州高一期末)中國四大名樓是一種泛稱,特指山西永濟鸛雀樓,江西南昌滕王閣,湖北武漢黃鶴樓,湖南岳陽岳陽樓.記事件E=“只去黃鶴樓”,事件F=“至少去兩個名樓”,事件G=“只去一個名樓”,事件H=“一個名樓也不去”,事件I=“至多去一個名樓”,則下列命題正確的是()A.E與H是互斥事件B.F與I是互斥事件,且是對立事件C.I=G∪HD.E=G∩I【解析】選ABC.對于A,事件E,H不可能同時發生,是互斥事件,故A正確;對于B,事件F與I不可能同時發生,且發生的概率之和為1,是互斥事件,且為對立事件,故B正確;事件I=“至多去一個名樓”剛好包含事件G=“只去一個名樓”與事件H=“一個名樓也不去”,所以I=G∪H,G=G∩I,故C正確,D錯誤.13.(5分)打靶3次,事件Ai表示“擊中i次”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示____________.

【解析】A1∪A2∪A3所表示的含義是A1,A2,A3這三個事件中至少有一個發生,即可能擊中1次、2次或3次.答案:至少有一次擊中14.(10分)從一堆產品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件,觀察正品件數與次品件數,判斷下列每組事件是不是互斥事件.如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”;(2)“至少有1件次品”和“全是次品”;(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”.【解析】依據互斥事件的定義,即事件A與事件B在一次試驗中不會同時發生可知:(1)中“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”不可能同時發生,因此它們是互斥事件,又它們的和事件不是必然事件,所以它們不是對立事件;(2)同理可以判斷這兩個事件不是互斥事件,從而也不是對立事件;(3)中的2個事件不是互斥事件,從而也不是對立事件.15.(10分)(2024·大理高一檢測)用紅、黃、藍三種不同的顏色給大小相同的三個圓隨機涂色,每個圓只涂一種顏色.設事件A=“三個圓的顏色全不相同”,事件B=“三個圓的顏色不全相同”,事件C=“其中兩個圓的顏色相同”,事件D=“三個圓的顏色全相同”.(1)寫出試驗的樣本空間;(2)用集合的形式表示事件A,B,C,D;(3)事件B與事件C有什么關系?事件A和B的交事件與事件D有什么關系?并說明理由.【解析】(1)用數組(a,b,c)表示可能的結果,a,b,c分別表示三個圓所涂的顏色,則試驗的樣本空間Ω={(紅,紅,紅),(黃,黃,黃),(藍,藍,藍),(紅,紅,黃),(紅,紅,藍),(藍,藍,紅),(藍,藍,黃),(黃,黃,紅),(黃,黃,藍),(紅,黃,藍)};(