模型36類單擺問題

模型概述

1.對/、g的理解

1）公式中/是擺長，即懸點到擺球球心的距離。

①普通單擺，擺長/=/'+?,廠為擺線長，。為擺球直徑。

2

②等效擺長：（a）圖中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來效果是相同的，甲擺的等效擺長為/sina,

其周期7=2萬不生『。（b）圖中，乙在垂直紙面方向擺動時，其等效擺長等于甲擺的擺長；乙在紙面內小

角度擺動時，等效擺長等于丙擺的擺長。

2）等效重力加速度

①公式中g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。

②等效重力加速度：一般情況下，公式中g的值等于擺球靜止在平衡位置時，擺線的拉力與擺球

質量的比值。

如圖中等效重力為g'=gsina,其周期7=2%

2.幾種類單擺模型

1）一切在豎直放置的光滑圓弧形內軌道上的小幅度振動（運動范圍遠小于圓弧半徑）都可以等效成單擺

R

模型，其等效擺長/即為圓弧半徑R,質點的振動周期為7=2萬

g

2）非慣性參考系中的單擺

周期公式T=適合于慣性系中單擺在豎直平面內做小幅振動的情況，如果單擺處于做勻變速運

動的非慣性參考系中，仍可類比豎直平面內的單擺，通過求解平衡位置（相對參考系靜止的位置）時細線

拉力的平衡力而得到等效重力加速度。

①參考系具有豎直方向的加速度時

如：在一升降機中有一擺長為L的單擺，當升降機以加速度a豎直向上勻加速運動時，如圖所示，平衡

位置仍在懸點正下方，根據牛頓第二定律易知擺球靜止在平衡位置時，擺線拉力巧■的平衡力尸=%g+%a,等

F

效重力加速度g'=—=g+。故其振動周期7=2萬

m

同理知，當升降機以加速度。減速上升時單擺振動周期7=2萬

②參考系具有水平方向加速度時

如：在沿水平路面向左勻加速行駛的車廂內有一單擺，當它做小幅振動時，平衡位置（相對車廂靜止

的位置）不在懸點正下方,根據受力分析知擺球靜止在平衡位置時，擺線拉力的平衡力F=&mg）2+（ma￥,

F產生的等效重力加速度g'=￡=7g2+?2，故此單擺的振動周期T=2〃

3)復合場中的單擺

①在重力場和電場中的單擺

如：單擺處于豎直向下的科強電場中，擺球的平衡位置在懸點的正下方，帶正電的擺球靜止在平衡位

置時，擺線拉力FT的平衡力尸=〃?g+Eq,所以等效重力加速度g'=土=g+也，振動周期

?E

如圖所示，單擺處于水平向右的勻強電場中，擺球平衡位置與懸點的連線偏離豎直方向。角

(tan6=￡Z),當擺球在平衡位置處于靜止時，擺線拉力FT的平衡力：F=[(mg)2+(Eq)2

mgcos0

所以等效重力加速度8'=￡=、"2+(四)2=工二，故其振動周期：7=2〃

mVrncos。\g

如：庫倫力始終沿著擺線方向，產生的等效重力加速度仍為g,故周期仍為7=2%,世。

(±)

②在磁場與重力場中的單擺

如：勻強磁場與單擺擺動平面垂直，擺球的平衡位置仍在懸點正下方，當擺球在平衡位置靜止時，擺

線拉力與重力平衡，F=mg,擺動時受到洛倫茲力始終與速度方向垂直沿著擺線，產生的等效重力加速度仍為

L

g,故周期仍為7=2〃

g

xw

典題攻破

L等效擺長問題

【典型題1】（2024?廣東?模擬預測）如圖，用兩根完全相同、不可伸長的輕繩將小沙包（大小可忽略）對

稱地吊在空中，輕推小沙包，測得其在垂直紙面平面內做簡諧運動的周期為《（已知在一根豎直繩懸掛

下做簡諧運動的小物體的周期為7=2萬,工，/為繩長，g為重力加速度），已知每根輕繩的長度為力小

沙包的質量為如則小沙包靜止時，每根繩子張力為（

2mL兀?4mL兀2

A.9B.——『

年年

【答案】A

【詳解】依題意，小沙包做簡諧運動，設等效擺長為1,則有

對小沙包受力分析，如圖

2mLn2

聯立解得7=

故選Ao

2.等效重力加速度問題

【典型題2】（2024?湖南長沙?一模）如圖所示，小球懸掛在箱子頂端的拉力傳感器上，球心到懸掛點的距

離為乙當箱子沿豎直方向做變速運動時，傳感器的示數會變大或者變小，當箱子的加速度向上為0時,

可認為重力加速度由g變為g'=g+a,當箱子的加速度向下為。時，可認為重力加速度由g變為g'=g-a,

小球好像處在一個重力加速度為g'的環境里，可把這個g'稱為等效重力加速度。下列說法正確的是（）

A.當箱子向上做減速運動時，等效重力加速度g'大于重力加速度g

L

B.當箱子向上的加速度等于3g時，且小球做單擺運動（最大擺角小于5。），則小球的運動周期為萬

C.當箱子向上的加速度等于3g時，同時小球在箱子中做單擺運動（最大擺角小于5。），則運動過程小

球的機械能守恒

D.拉力傳感器的示數廠與小球的重力機g的合力與小球的質量m之比等于等效重力加速度

【答案】B

【詳解】A.當小球向上做減速運動時，加速度向下，等效重力加速度g'小于重力加速度g,故A錯誤;

B.當小球向上的加速度等于3g時，由g'=g+。

可得g'=4g

單擺的周期公式7=2萬仁=萬《

故B正確；

C.由于小球一直向上加速，則機械能一直在增加，故C錯誤；

D.由牛頓第二定律可知=。或尸=

FF

即一=g一0=g，或一=g+q=g，

mm

則拉力傳感器的示數F與小球的質量m之比等于等效重力加速度，故D錯誤。

故選Bo

【典型題3】（2023?北京?模擬預測）在光滑水平面上的。點系一長為L的絕緣細線，線的另一端系一質量

為加、帶電量為q的小球。當沿細線方向加上場強為￡的勻強電場后，小球處于平衡狀態，如圖所示。

現給小球一垂直于細線的初速度%，使小球在水平面上開始運動。若%很小，則小球第一次回到平衡位

置所需時間為（）

【答案】A

【詳解】若%很小，則小球擺動的幅度很小，即擺角很小，則小球的運動是簡諧運動，小球處于平衡狀

態時，繩的彈力”=夕￡

則等效重力加速度為g』=%

mm

小球簡諧運動的周期7=2萬4

小球第一次回到平衡位置所需時間f=

2

”/口mL

解得？=%J—

\qE

故選Ao

3.類單擺問題

【典型題4】(2024?浙江湖州?二模)如圖甲，小球在光滑球面上的/、3之間來回運動。尸0時亥IJ將小球從

/點由靜止釋放，球面對小球的支持力大小尸隨時間:變化的曲線如圖乙，若弧長N3遠小于半徑，則

()

O

C.小球的質量為0.05kgD.小球的最大速度約為0.10m/s

【答案】C

【詳解】A.小球在一個周期內經過兩次最低點，根據圖乙可知，小球的運動周期為0.4萬s,故A錯誤;

B.小球在光滑球面上做簡諧振動，根據周期公式7=2萬

式中的Z即為光滑球面的半徑R,代數數據可得R=L=0.4m

故B錯誤；

CD.設小球在光滑球面上最高點時與其做圓周運動的圓心連線與豎直方向的夾角為e，小球到達最低點

時的速度的最大值為V,則在最高點有機geos。=片

2

=m

在最低點有F2-mg~^

從最高點到最低點由動能定理有mgR(l-cos0)=^mv2

其中片=0.495N,n=0.510N

聯立以上各式解得冽=0.05kg,v=—m/s

5

故C正確，D錯誤。

故選C。

針對訓練

1.（2024?江蘇南通?模擬預測）如圖所示，小球在半徑為R的光滑圓弧軌道上/、8間來回運動，軌道弧長

遠小于R,則（）

A.弧長48變小，周期不變B.弧長變小，周期變大

C.小球質量變小，周期變小D.小球質量變小，周期變大

【答案】A

【詳解】因為弧長遠小于半徑R,小球都做單擺運動，根據單擺的周期公式？=2萬/|

可知小球的周期與弧長大小和小球質量無關。

故選Ao

2.（2021?浙江寧波?模擬預測）如圖所示為相同的小球（可看作質點）構成的單擺，所有的繩子長度都相同,

在不同的條件下的周期分別小石、專4,關于周期大小關系的判斷，正確的是（）

A.T1>T2>T3>TAB.T^<TX=T3<T2

C.T^>TX=T3>T2D.T1<T2<T3<T4

【答案】c

【詳解】設單擺擺長均為L,根據單擺的周期公式可得

Ti=2萬心

則

故選c。

3.（2023?江蘇?模擬預測）一單擺在豎直平面內做小角度擺動。擺球從左側最高點/運動到最低點。時，

擺線被懸點。（未畫出）正下方的釘子尸擋住，之后球運動到右側最高點8,該過程中的頻閃照片如圖

所示，已知閃光的時間間隔相等，PC=L則。、P兩點間的距離為（）

Ac

C

79

A.-1B.-1C.-1D.-1

4444

【答案】B

【詳解】設相鄰兩次閃光的時間間隔為七則擺球在左側的擺動周期為（=12,

擺球在右側的擺動周期為《=&

可得彳：g=3:2

根據單擺周期公式7=2萬舊

可解得臺

Lpc，24

則o、p兩點間的距離為4P1c=,

故選Bo

4.（2024?江蘇南京?二模）如圖所示，一帶正電的小球用絕緣細繩懸于。點，將小球拉開較小角度后靜止

釋放，其運動可視為簡諧運動，下列操作能使周期變小的是（）

A.增大擺長

B.初始拉開的角度更小一點

C.在懸點。處放置一個帶正電的點電荷

D.在此空間加一豎直向下的勻強電場

【答案】D

【詳解】單擺周期公式為7=2萬《

A.增大擺長，周期變大，A錯誤；

B.初始拉開的角度更小一點，不影響周期，B錯誤；

C.在懸點O處放置一個帶正電的點電荷，則庫侖力始終沿繩的方向，不影響回復力，則單擺周期不變,

C錯誤；

D.在此空間加一豎直向下的勻強電場，小球所受電場力與重力同向，即等效重力加速度增大，周期變

小，D正確。

故選D。

5.（2024?全國?模擬預測）如圖所示，有直角三角形光滑軌道框架V/2C,其中豎直。ZC=90°,光滑

圓弧軌道C3為VN5C的外接圓上的一部分。小球1、2分別沿軌道/8、NC從/點由靜止開始運動，到

B、C點對應的時間分別為乙、，2，小球3沿軌道C2從C點由靜止開始運動，到3點的時間為小小球

4在圓弧軌道C2上某一點（對應的圓心角很小）由靜止開始運動，到2點的時間為右。則下列時間的

關系正確的是（)

A.B.

tx>t2t2<t4C.t3>t4D.「％

【答案】C

1.

【詳解】設AB為2R,小球1做自由落體運動，則有2A=5卬：

解得Y

設NA4C=e,根據幾何關系可知AC為2Rcos。，根據牛頓第二定律可知外=gcos。

貝!］有2AcosO=ggcos0片

解得：2=欄

同理可知小球3的位移為2Rsin。，加速度為%=gsin。

貝U有2Asin夕=；gsin/;

解得G=欄

小球4的運動可看作是擺長為R的單擺運動，則時間為4="x2%3R

g

綜上分析可知。=，2=%3>%4

故選Co

6.（2024?湖北?二模）如圖所示，水平面上固定一半圓形凹槽，凹槽的質量為M，半圓弧的圓心為。點,

最低點為A點，半徑為R。現將一質量為小的光滑小球從圓弧上的。點釋放，已知。。與CM的夾角為

e（e<5°）,重力加速度為g,小球大小可以忽略不計。從。點運動到A點的過程中，小球對凹槽的彈力

的沖量大小為（）

A.m+2gE(1-cos

C?m兀NjR+m^2gR(l-cos。)

【答案】A

【詳解】OZ）與。/的夾角為。5。），可知小球做單擺運動，從。點運動到A點的過程中，小球運動時

間為qX2萬譽荒

從。點運動到A點的過程中，根據動能定理機gA（l-cosO）=；/丫2

從0點運動到A點的過程中，小球對凹槽的彈力的沖量大小為4+（加VP

重力的沖量大小為/G=加gr

聯立解得4+2g7?(l-cos6)

故選Ao

7.（2024?江蘇蘇州?三模）如圖所示，單擺在光滑斜面上做簡諧運動，若要使其做簡諧運動的周期變大，可

以（）

A.使斜面傾角變大B.使單擺擺長變長

C.使擺球質量變大D.使單擺振幅變大

【答案】B

［詳解】在斜面上單擺的等效重力加速度為g'=遙衛"=gsin，

m

單擺在光滑斜面上做簡諧運動的周期T=^\-L—

\gsm，

若要使其做簡諧運動的周期變大，可以讓擺長變大或斜面傾角變小都可以。

故選B。

8.（2024?河北張家口?三模）“桿線擺”結構如圖所示，輕桿一端通過活動絞鏈與立柱。O'垂直連接，另一端

安裝質量為"的擺球，細線一端拉住擺球，另一端系在立柱上的/點，給擺球一垂直于紙面的較小速度,

使輕桿垂直于立柱。。'來回擺動，擺動角度小于5。，擺球的運動軌跡被約束在一個傾斜的平面內。已知

立柱OO'與豎直方向的夾角及細線與輕桿的夾角均為。=30。，重力加速度為g。下列說法正確的是（）

A.擺球在擺動過程中細線上的拉力大小為6加g

B.擺球靜止在平衡位置時輕桿對擺球作用力大小為6加g

C.擺球向平衡位置運動過程中輕桿對球作用力增大

D.若增大細線長度使/點上移則擺球運動周期增大

【答案】A

【詳解】ABC.擺球在平衡位置靜止時，對球受力分析，如圖所示

由平衡條件得桿對球為支持力，大小為加g,細線上的拉力大小巴=百加8

小球擺動過程中，運動軌跡被約束在一個傾角為30。的平面內，垂直該平面小球一直處于平衡狀態，故

細線拉力大小不變，向平衡位置擺動過程中沿桿方向向心力大小不斷增大，桿上支持力逐漸減小，故A

正確，BC錯誤；

D.增大細線長度使A點上移，擺球運動平面不變，等效為一個在斜面上的單擺，周期為7=2%口三

Vgsm"

擺長為桿的長度不變，擺球運動周期不變，故D錯誤。

故選Ao

9.（2024?貴州黔西?一模）（多選）如圖所示，一小球（質量為加、電荷量為q）用長為乙的絕緣輕質細線

懸掛于天花板上做單擺運動，此單擺可以視為簡諧運動，O點為最低點，周期為7。現給空間加上豎直

方向的勻強電場，此時單擺的最大擺角不變，周期為27。已知重力加速度為g,不計空氣阻力，下列說

法正確的是（）

B.電場強度大小為警

A.電場方向豎直向下

4q

C.單擺做簡諧運動的周期與振幅無關D.單擺做簡諧運動的周期與振幅有關

【答案】BC

【詳解】AB.未加電場前，單擺的周期為7=2萬

加電場后，單擺的周期為27=2萬

則加電場后，等效重力加速度為g=Jg

4

根據牛頓第二定律mg-qE=mg'

解得電場強度大小為￡=.

4q

電場方向豎直向上，故A錯誤，B正確;

CD.根據單擺周期公式，單擺做簡諧運動的周期與振幅無關，故C正確，D錯誤。

故選BCo

10.（2024?江西?一模）（多選）如圖所示為某演示機械能守恒的實驗示意圖。細繩的一端固定于。點，另

一端系一個小球，擺長為/。在。點的正下方釘一個釘子A,已知。/=:，擺球質量為加，小球從一定

高度位置尸擺下，擺角。小于5。，向右擺到最高點°,擺角夕也小于5。，不計阻力，重力加速度為g。

下列說法正確的是()

A.擺球受到繩子最大拉力為等(ll-8cosO)

B.擺球到達最低點時，繩子拉力的功率為等(11-子os0)J2g/(I-cos0)

c.擺球擺動的周期為[i+g],口

I2JNg

D.擺球從P到M和從。到M過程中重力做功的平均功率相等

【答案】AC

_v2

【詳解】A.擺球擺到M點以A為圓心做圓周運動時，繩子拉力最大，根據牛頓第二定律"P

I--

4

擺球從P到M,根據動能定理有mgl(l-cosO)=^mv2

解得尸=詈(11-8cos0)

故A正確；

B.擺球到達最低點時，由于拉力與速度垂直，因而繩子拉力功率為零，故B錯誤;

故C正確;

D.根據能量守恒，擺球從P到M和Q到M過程中重力做功相等，由于

但時間不同，因而做功的平均功率不同，故D錯誤。

故選AC。

11.（2024?云南曲靖?一模）（多選）惠更斯發現“單擺做簡諧運動的周期7與重力加速度的二次方根成反比”。

為了通過實驗驗證這一結論，某同學創設了“重力加速度”可以人為調節的實驗環境。如圖1所示，在水

平地面上固定一傾角夕可調的光滑斜面，把擺線固定于斜面上的。點，使擺線平行于斜面。拉開擺球至

/點，靜止釋放后，擺球在/3C之間做簡諧運動，擺角為口。擺球自然懸垂時，通過力傳感器（圖中未

畫出）測得擺線的拉力為片，擺球擺動過程中，力傳感器測出擺線的拉力隨時間變化的關系如圖2所示,

其中瑪、瑪、十均已知。當地的重力加速度為g。下列選項正確的是（）

圖1圖2

A.多次改變圖1中。角的大小，即可獲得不同的等效重力加速度

B.單擺"次全振動的時間為〃”

C.多次改變擺角a,只要得出7口7二就可以驗證該結論成立

y/sma

D.在圖2的測量過程中，滿足￡=3/-2丹的關系

【答案】AD

【詳解】A.對小球進行受力分析可知，小球的垂直于斜面的分力始終與斜面的支持力平衡，令等效重

力加速度為go,則有刃gsine=mgo

解得go=gsind

可知，多次改變圖1中。角的大小，即可獲得不同的等效重力加速度，故A正確；

B.單擺在運動過程中，A、C兩位置擺線的拉力最小，根據圖2可知，相鄰兩個擺線拉力最小的位置的

時間間隔為半個周期，可知，單擺〃次全振動的時間為z=〃r=2〃T

故B錯誤;

L

C.根據單擺周期公式有r=2萬,

gsin。

1

可知，多次改變斜面傾角8,只要得出73就可以驗證該結論成立,故C錯誤;

Jsin。

D.擺球自然懸垂時，通過力傳感器（圖中未畫出）測得擺線的拉力為耳，根據平衡條件有耳=mgsin。

在圖2的測量過程中，擺球在A位置有區=7〃gsin。cosa

擺球在B位置有F}-mgsinO=

擺球從A位置運動到B位置過程有mgsin0（Z-Z,cosa）=^-mv2

解得月=3￡-2月

故D正確。

故選AD。

12.（2024?重慶?一模）如圖，光滑圓槽的半徑￡遠大于小球運動的弧長。甲、乙、丙三小球（均可視為質

點）同時由靜止釋放，開始時乙球的位置2低于甲球位置/,甲球與圓心連線和豎直方向夾角為仇丙球

釋放位置C為圓槽的圓心，。為圓槽最低點；重力加速度為g。若甲、乙、丙三球不相碰，求：

（1）求甲球運動到。點速度大小；

（2）通過計算分析，甲乙丙三球誰先第一次到達。點；

（3）若單獨釋放甲球從釋放到第15次經過。點所經歷的時間。