2024-2025學年九年級數學上學期期末模擬測試卷

（無錫專用）

（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓

名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用25鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

3.回答第H卷時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，用25鉛筆作圖畫出必要的線

條與圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在試卷中中對應的位置上，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：蘇科版九年級上冊第1章-第6章.

5.難度系數：0.65.

第I卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.拋物線丁=必-2x的對稱軸為（）

A.x=—lB.x=lC.x=-2D.x=2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了二次函數的性質，熟練運用對稱軸公式.也可以運用配方法寫成頂點式求對稱軸.先根

據拋物線的解析式得出。、6的值，再根據其對稱軸方程即可得出結論.

【詳解】解：：拋物線丁=必一2%中a=l,。=-2,

b

???對稱軸是直線x=——=1.

2a

故選：B.

2.將方程x2+4x+3=0配方后，原方程變形為（）

A.（x+2）2=1B.（x+4）2=1C.（x+2）2=-3D.（x+2）2=-1

【答案】A

【解析】

第1頁/共31頁

【分析】把常數項3移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數4的一半的平方.

【詳解】移項得X2+4X=-3,

酉己方得,X?+4X+4=-3+4,

即（x+2）2=l.

故答案選A.

【點睛】本題考查了一元二次方程，解題的關鍵是根據配方法解一元二次方程.

3.如圖，。。的半徑為5,弦AB=8,P是弦A3上的一個動點（不與A,2重合），下列符合條件的。尸的

值是（）

A.6.5B.5.5C.3.5D.2.5

【答案】C

【解析】

【分析】連接08,作與根據垂徑定理和勾股定理，求出OP的取值范圍即可判斷.

【詳解】解：連接03,作。與

'JOMLAB,

1

：.AM=BM=-AB=4,

2

在直角中，'：0B=5,BM=4,

OM=4OB2-BM2=A/52-42=3-

：.3<OP<5,

故選：c.

【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，常把半弦長，半圓心角，圓心到弦距離轉換到同一直角三角形

中，然后通過直角三角形予以求解.

4.將拋物線y=（x-1）2+2向左平移1個單位，再向下平移5個單位后所得拋物線的解析式為（）

第2頁/共31頁

A.丁=（》-2）一+7B.>=(%-2)一+3

C.y=x2-3D.y=x2+1

【答案】C

【解析】

【分析】根據拋物線平行的規律解答.

【詳解】???拋物線y=（x-1）?+2向左平移1個單位，再向下平移5個單位，

...得到拋物線的解析式為y=（x—1+1）?+2—5=/一3,

故選：C.

【點睛】此題考查拋物線平移的規律：拋物線左右平移時，自變量左加右減，上下平移時，函數值上加下

減，掌握規律即可解答此類問題.

5.2023年杭州亞運會有三種吉祥物，分別是“宸宸”“琮琮”和“蓮蓮”，這三種吉祥物各自代表著杭州

的一處世界文化遺產.現甲、乙兩名同學從三種吉祥物中挑選一個作為紀念品，則兩人挑選的吉祥物相同

的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.—■

5432

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查的列表法與樹狀補法利用列表或樹狀圖法展示所有或樹狀圖法展示所有可能的結果，求

出％再從中選出符合事件。或。的結果數目內然后根據概率公式計算事件a或事件6的概率，畫樹狀

圖展示所有9種等可能的情況數.找出符合條件的情況數，然后根據概率公式求解即可.

【詳解】解：畫樹狀圖為：

開匕

席U**Sfl

共有9種等可能的情況數.其中甲和乙拿到同一種吉祥物的有3種情況，

31

則甲和乙拿到同一種吉祥物的概率是一=

93

故選：C.

6.如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DB上,DF=2BF,連接ER并延長，與C5的延長線相交于

點若BC=8,則線段CM的長為（）

第3頁/共31頁

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【解析】

【分析】根據三角形中中位線定理證得。石〃BC,求出。E,進而證得口。所/，根據相似三角

形的性質求出即可求出結論.本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質和判定，熟練掌

握三角形中位線定理和相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵.

【詳解】解：???DE是△ABC的中位線，

/.DE//BC,DE=-BC=-x8=4,

22

:UDEF—BMF,

DEDF2BF。

?____=____=_____=2

"BMBFBF'

BM=2,

：.CM=BC+BM=10.

故選：D.

7.如圖，A3是口。的直徑，點C,D,E在口。上，若NA瓦>=15。，則NBCD的度數為（

A.125°B.120°C.105°D.75°

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角等于90度，圓的內接四邊形，連接AD,BD,

得出NABO=NAEr>=15°,ZADB=90°,進而可得出答案.

【詳解】解：連接AD,BD,

第4頁/共31頁

:同弧所對的圓周角相等，

ZABD=ZAED=15°,

:AB是口。的直徑，

ZADB=90°,

ZBAD=90°-15°=75°,

ZBCD=180°-75°=105°,

故選：C.

8.如圖，在中，AB=5,AC=6,點。在邊A5上，且4。=2,在AC上找一點E,使得△ADE

"335

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質.分類討論是解題的關鍵.

由題意知，分△ADESAABC,兩種情況求解即可.

【詳解】解：由題意知，分△ADES^ABC,△AEDs/kABC兩種情況求解;

AEADAE2

當△ADESZ\ABC時，—=——，即nn——=—,

ACAB65

解得，AE=2.4；

AEADAE2

當時，—=—,a即n——=—，

ABAC56

第5頁/共31頁

解得，AE=-；

3

綜上所述，AE的長是2.4或*,

3

故選：C.

9.如圖，在正方形A3CD中，點E是CD上一點，延長CB至點R使8尸=。￡，連接AE,AF,EF,EF

交A5于點K,過點A作AGLET"垂足為點H,交于點G,連接HD,HC.下列四個結論：①

FH=HC；②NDCH=675°；③NDAE=NDHE；@AK-HD=42AH2.其中正確結論的個數為

C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】①證明是等腰直角三角形，得FH=EH」EF,再根據直角三角形斜邊中線可得

2

CH=-EF,可得①正確；②證明ZDAH與NAHQ不一定相等，則AD與。”不一定相等，可知②不正

2

確；③證明口4。“竺CDH,則NADH=NCDH=45。,再由等腰直角三角形的性質可得結論正確；④

證明口AKFsoHED,列比例式可得結論正確.

【詳解】解：①???四邊形A3CD是正方形，

AD=AB=BC=CD,ZADE=ZABC=ZBCD=ZBAD=90°,

ZADE=ZABF=90°,

;DE=BF,

AADEABF(SAS),

AE=AF,NDAE=NBAF,

?：ZDAE+ZEAB=90°,

：.ZBAF+ZEAB=90°,即NE4E=90。，

AAEF是等腰直角三角形，

第6頁/共31頁

AG1EF,

：.EH=FH=AH=-EF,

2

Rt口ECT中，=

CH=-EF,

2

FH=CH；故①正確；

③?.?AH=CH,AD=CD,DH=DH,

：.DADH^OCDH(SSS),

ZADH=ZCDH=45°,

?/AAEF為等腰直角三角形，

ZAFE=45°,

ZAFK=NEDH=45°,

?.?四邊形A5CD為正方形，

Z.AB//CD,

：.ZBKF=ACEH,

；?ZAKF=ZDEH,

ZFAB=ZDHE,

:ZDAE=ZBAF,

ZDAE=ZDHE,故③正確；

@'：ZADH=ZAEF,

：.ZDAE=ZDHE,

/BAD=ZAHE=90°,

ZBAE=ZAHD,

,：ZDAE與NBAG不一定相等，

/.ZDAH與ZAHD不一定相等，

則AD與DH不一定相等，即DH與CD不一定相等,

NCDH=45°,

所以，NDCH不一定等于67.5°,故②不正確；

④：ZFAB=ZDHE,NAFK=ZEDH,

,PAKFSUHED,

第7頁/共31頁

AKAF

EH—DH

，AK?DH=AF-EH,

在等腰直角三角形AE口中，AF=6FH=?EH，

又EH=AH,

：.AF=s[2EH=6AH,

AKHD=42AH2-故④正確；

本題正確的結論有①③④，共3個.

故選：C.

【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形“三線合一”的性質，直角三角

形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形

“三線合一”的性質，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質是解題的關鍵.

10.如圖，拋物線丁=奴2+笈+。與*軸正半軸交于人，B兩點，與y軸負半軸交于點C.若點5（4,0）,

則下列結論中：①abc>0；②4a+0>0；③"（%，%）與N（%,%）是拋物線上兩點，若0<再<%,

則%>為；④若拋物線的對稱軸是直線x=3,m為任意實數，則。（加一3）（m+3）<僅3-m）；⑤若

AB>3,則46+3c〉0,正確的個數是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據圖像得出a<0,c<0,b>0,可判斷①；再由圖像可得對稱軸在直線x=2右側，可得

b

———>2,可判斷②；再根據二次函數在y軸右側時的增減性，判斷③；根據拋物線對稱軸為直線x=3,

2a

得出人=-6a,再利用作差法判斷④；最后根據ABN3,則點A的橫坐標大于。且小于等于1,得出

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4b+c

a+b+c>0,再由當x=4時，得出16a+4b+c=0,變形為a=---------，代入，可得4b+5cK),結合c的符號可判

-16

斷⑤.

【詳解】解：如圖，拋物線開口向下，與y軸交于負半軸，對稱軸在y軸右側,

.b八

?'?aVO,cVO,------>0,

2a

Ab>0,

Aabc>0,故①正確；

如圖，??,拋物線過點B(4,0),點A在x軸正半軸，

b

???對稱軸在直線x=2右側，即——>2,

2a

.??2+2=3<0,又a<0,

lala

A4a+b>0,故②正確；

?.?MOL%)與N(%2，y2)是拋物線上兩點，。<玉<%2，

b

可得：拋物線丁=改20+區+。在0<%<——上，y隨X的增大而增大，

2a

b

在丁上，y隨x的增大而減小，

2a

???%>%不一定成立，故③錯誤；

b

若拋物線對稱軸為直線x=3,則——=3,即6=—6a,

2a

則a(m-3)(m+3)-b(3-m)

=o(m-3)(m+3)+6a(3—加)

=(z(m-3)(/n+3-6)

。(加一3)(m+3)<6(3-加)，故④正確；

VAB>3,則點A的橫坐標大于0且小于等于1,

當x=l時，代入，y=a+b+c>0,

當x=4時，16a+4b+c=0,

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4/7+c

4/7+c

則------+b+c>0,整理得：4b+5c>0,

-16

則4b+3c>-2c,又c<0,

-2c>0,

.*.4b+3c>0,故⑤正確，

故正確的有4個.

故選B.

【點睛】本題考查了二次函數的圖像和性質，解題的關鍵是能根據圖像得出二次函數表達式各系數的符號.

第n卷

二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)

11.方程(尤+1)2=3(了+1)的解為.

【答案】石=一1,%=2

【解析】

【分析】利用因式分解法即可求解.

【詳解】解：(X+1)2-3(X+1)=0

(x+l)(x+l-3)=0,BP(x+l)(x-2)=0

再=-l,x2=2

故答案為：x；=-1,%2=2

【點睛】本題考查因式分解法求解一元二次方程.掌握相關方法即可.

12.甲乙丙三組各有7名成員，測得三組成員體重數據的平均數都是58,方差分別為標=36,

S1=25,5^=16,則數據波動最小的一組是

【答案】丙組##丙

【解析】

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【分析】本題考查方差的意義.方差越大，說明數據越離散，波動越大；方差越小，說明數據越集中，波動

越小.由此可得答案.

【詳解】解：?.?編=36,Si=25,5^=16,

S]<S|1Vs看,

,數據波動最小的一組是丙組.

故答案為：丙組.

13.因為物價上漲，某商品連續兩次提價，每件由100元提高到121元.則平均每次提高的百分率為

【答案】10%

【解析】

【分析】設平均每次提高的百分率為x,根據題意得100(1+x)2=121,進行計算即可得.

【詳解】解：設平均每次提高的百分率為工,

100(1+%)2=121,

(1+x)2=1.21,

l+x=l.l或l+x=-Ll,

%1=0.1=10%,x2=—2.1,

故答案為：10%.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，根據等量關系列出方程.

14.如圖，ZSABC與口。所是位似圖形，點。是位似中心，OB-.BE^l,若S^ABC=2,SADEF=

【解析】

【分析】本題考查的是位似變換的概念、相似三角形的性質，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是

解題的關鍵.根據位似圖形的概念得到△ABCSADM,BC//EF,證明口8。0?￡0尸，求出些，

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根據相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可.

【詳解】解：?.?0。：魴=1,

OB:OE=1:2,

1,?□A5C與ODEF是位似圖形，

.DABC^ODEF,BC//EF,

:.△BOCSXEOF,

?BCOB_1

"EF~OE~2)

???產=/即

^DEF0QDEF

解得：S^DEF=81

故答案為：8.

15.如圖，正方形ABC。的邊長為4,分別以正方形的三邊為直徑在正方形的內部作半圓，則陰影部分的

【解析】

【分析】先判斷出兩半圓交點為正方形的中心，連接OA,OD,則可得出所產生的四個小弓形的面積相

等，先得出2個小弓形的面積，即可求陰影部分面積.

【詳解】解：易知：兩半圓的交點即為正方形的中心，設此點為O,連接AO,DO,

則圖中的四個小弓形的面積相等,

:兩個小弓形面積=；X?IX22-SAAOD,

兩個小弓形面積=2兀-4,

，S陰影=2xS半圓-4個小弓形面積=71x22-2（2兀-4）=8,

第12頁/共31頁

故答案為：8.

【點睛】本題考查了扇形的面積計算，正方形的性質，解答本題的關鍵是得出兩半圓的交點是正方形的中

心，求出小弓形的面積，有一定難度，注意仔細觀察圖形.

16.如圖，正方形A5CD的邊長為10,內部有6個全等的正方形，小正方形的頂點E、F、G、，分別落

在邊A。、AB,BC、CD上，則的長為—.

【答案】j

【解析】

【分析】本題主要考查了利用相似三角形的判定和相似三角形對應邊成比例的性質和勾股定理，綜合性較

強；過點G作GP_LAD,可以得到口36/80尸6￡,再根據相似三角形對應邊成比例的性質列式求解即

可得到DE=2,根據勾股定理可求￡G=Ji。？+6?=2J可，即可求解.

【詳解正方形A3CD的邊長為10,

/A=/B=90°,4B=10

過點G作GPLAD,則N4=N5=90°

四邊形APG3是矩形，

/2+/3=90°,PG=AB=10

V六個大小完全一樣的小正方形如圖放置在大正方形中

Zl+Z2=90°

Zl=Z3

;,tiBGF⑻PGE

BGFGBG1

..---=----,即n-n----=一

PGEG105

第13頁/共31頁

GB=2

：.AP=2

同理￡>E=2

，PE=AD—AP—DE=6

?*-EG=V102+62=2734

小正方形的邊長為獨4

5

DH=」EH?—DE?=.

故答案為：—.

17.如圖，已知點D,E是半圓。上的三等分點，C是弧DE上的一個動點，連結AC和BC,點/是

的內心，若。。的半徑為3,當點C從點。運動到點E時，點/隨之運動形成的路徑長是.

【答案】—7T.

2

【解析】

【分析】連接作OTLAB交。O于7,連接AT,TB,以T為圓心，窗為半徑作。T,在優弧AB上取一點G,

連接AG,2G.證明/A/B+/G=180°,推出A,/,B,G四點共圓，

【詳解】如圖，連接A/,BI,作OTLAB交。。于T,連接AT,TB,以T為圓心，窗為半徑作。T,在優

弧A3上取一點G,連接AG,BG.推出點/的運動軌跡是麻即可解決問題.

第14頁/共31頁

,：AB是直徑，

.../ACB=90°,

是△ABC的內心，

.\ZAIB—135°,

*/OT±AB,OA=OB,

：.TA=TB,ZA7B=90°,

ZAGB=4ZATB=45°,

.,.ZAZB+ZG=180°,

AA,I,B,G四點共圓，

點/的運動軌跡是肋V，

由題意以D=0E=麗＞

.?.NM7M=30。，易知窗=7M=30,

點I隨之運動形成的路徑長是3＞女3拒=旦兀,

1802

故答案為萬.

2

【點睛】本題考查了軌跡，垂徑定理、圓周角定理、三角形的內心和等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵

是正確尋找點的運動軌跡.

18.如圖，RtZ\0A8的頂點A(-2,4)在拋物線＞="2上，將Rt/kOAB向右平移得到△0小山1,平移后

的QA1與拋物線交于點尸，若點P將線段401分成1：3兩部分，則點P的坐標為.

第15頁/共31頁

【答案】（1,1）或（百，3）

【解析】

【分析】先根據待定系數法求得拋物線的解析式，作PQLx軸于Q,得到尸。〃4囪，通過數據線系數從

而求得尸的縱坐標為2,代入求得的解析式即可求得P的坐標.

【詳解】解：?.,RtZ\OAB的頂點A（-2,4）在拋物線>=以2上，

.*.4=4a,解得a=l,

二拋物線為y=K,

:點A（-2,4）,

/.AB=4,OB—2,

???將RtAOAB向右平移得到△OiAiBi,

.*.AiBi=AB=4,O\B\=OB—2,

作PQ_Lx軸于Q,

：.PQ//AxBi,

：.△POiQs/vhBiOi,

?尸Q_尸a

??麗=麗’

???點P將線段401分成1：3兩部分，

PO,13

‘麗丁“

.?.尸。=1或3,

尸的縱坐標為1或3,

當>=1時，代入y=N,解得a=1,x2=-1,

：.P（-1,1）（不合題意舍去）或（1,1）；

當y=3時，代入>=（，解得制=6，X2=-也,

第16頁/共31頁

：.P(-6,3)(不合題意舍去)或(班，3)；

綜上，尸點的坐標為(1,1)或(6，3)；

【點睛】本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，二次函數圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定和性

質，根據題意求得P點坐標是解題的關鍵

二、解答題(本大題共10小題，共66分)

19.用適當的方法解下列方程：

(1)x(x+4)=3(x+4)；

⑵4x2-4x+1=x2+6x+9

【答案】(1)X]=3,x2=-4

2

(2)xl=4,X2=--

【解析】

【分析】本題主要考查解一元二次方程的方法：因式分解法解方程，熟練掌握是解題的關鍵.

(1)先把方程移項，再利用因式分解法求解即可.

(2)先把方程移項，再利用因式分解法求解即可.

【小問1詳解】

解:x(x+4)=3(x+4)

x(x+4)-3(x+4)=0

(x-3)(x+4)=0

x-3=0,x+4=0

xx=3,x2=—4；

第17頁/共31頁

【小問2詳解】

解：4x2-4x+1=x2+6x+9

3x2—lOx-8=0

.?.(x-4)(3x+2)=0

x-4=0,3x+2=0

,2

xi=4,%=?

20.由中宣部建設的“學習強國”學習平臺正式上線，這是推動習近平新時代中國特色社會主義思想，推

進馬克思主義學習型政黨和學習型社會建設的創新舉措.某基層黨組織對黨員的某天學習成績進行了整

理，分成5個小組(x表示成績，單位：分，且203<70),根據學習積分繪制出部分頻數分布表，其中第

2、第5兩組測試成績人數之比為4：1,請結合下表中相關數據回答問題：

學習積分頻數分布表

組別成績X分頻數頻率

第1組203V305

第2組30<x<40

第3組40<x<50150.30

第4組50<x<6010

第5組60<x<70ab

(1)填空：a=,b=；

(2)已知該基層黨組織中甲、乙兩位黨員的學習積分分別為63分、67分，現在從這組中隨機選取2人介

紹經驗，請用列表、畫樹狀圖等方法，求出甲、乙兩人同時被選中的概率.

【答案】(1)。=4、6=0.08；(2)見解析，-

6

【解析】

【分析】(1)由第3組的頻數和頻率計算樣本容量，即可解決問題.

(2)畫樹狀圖，共有12種等可能的結果.甲、乙兩人同時被選中的結果有2種，再由概率公式求解即可.

【詳解】解：(1)樣本容量為：15+0.30=50,

第2、第5兩組測試成績人數之和為50-5-15-10=20,

第18頁/共31頁

因為第2、第5兩組測試成績人數之比為4:1

第2、第5兩組測試成績人數分別為16人、4人，

a=4,6=4+50=0.08

故答案為:4,0.08.

(2)???甲、乙兩位黨員的學習積分分別為63分、67分，

甲、乙兩人在第5組，第5組共有4人，把其余2人記為丙、丁

畫樹狀圖如圖：

共有12種等可能的結果，甲、乙兩人同時被選中的結果有2種

2]

甲、乙兩人同時被選中的概率為二=：.

12o

【點睛】本題考查了列表法和樹狀圖法求概率，公式：概率=所求情況數：總情況數，及頻數分布表.解

題的關鍵是注意放回試驗還是不放回試驗.

21.如圖，等腰4ABC中，AB=AC,。是3c中點，NEDF=NB.

(1)求證：△BDE's△￡)/?￡■；

(2)已知3E=2,EF=3,求DE的長.

【答案】(1)見解析(2)DE=a.

【解析】

【分析】本題考查相似三角形判定與性質.

BEDEBEBD

(1)先證明ABDEs△CFD得到比例式一=—,等量代換得到一=—，由NEDF=NB,從而

CDDFDEDF

證明出^BDEsADFE：

BEDE

(2)由ABDEsADFE,推出——=—,代入數據計算即可求解.

DEEF

【小問1詳解】

第19頁/共31頁

證明：AB=AC,NEDF=NB,

：.NB=NC=NEDF.

-：NEDC=ZEDF+ZFDC=NB+ABED,

Z.ABED=NFDC,

：.LBDEsLCFD,

.BEDE

"~CD~~DF'

又?：BD=CD,

BEDEBEBD

.?----=------，即nn----=----,

BDDFDEDF

,/NEDF=ZB，

4BDEsADFE；

【小問2詳解】

解：,:ABDEsADFE,

.BEDE

,;BE=2,EF=3,

?2DE

??一,

DE3

；?DE=sf6■

22.如圖，以點。為圓心，4B長為直徑作圓，在口。上取一點C,延長4B至點連接OC,

NDCB=ADAC,過點A作AE，交DC的延長線于點E.

(1)求證：CD是口。的切線

(2)若CD=4,DB=2,則AE的長

【答案】(1)見解析(2)6

【解析】

【分析】本題考查了切線的判定和性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定

理的推論，全等三角形的性質和判定，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

第20頁/共31頁

(1)連接。C,如圖，根據圓周角定理得到NAC5=90°,即NBCO+Z1=90。，求得NOC4=NDC8,

得到ZDCO=90°,根據切線的判定定理得到答案；

(2)根據勾股定理得到08=3,求得A3=6,根據切線的性質得到AE=CE根據勾股定理即可得出結論.

【小問1詳解】

證明：連接。C,如圖，

1.?AB為直徑，

:.ZACB=90°,即NBCO+NOC4=90°,

又,:NDCB=NCAD,

???ZCAD=ZOCA,

ZOCA=ZDCB,

ZDCB+ZBCO=90°,

即ZDCO=90°,

-：OC是□。的半徑，

.?.CD是口。的切線；

【小問2詳解】

解：連接OE,

/)

VZDCO=90°,OC=OB,

OC2+CD2=OD2,

032+42=3+2)2,

第21頁/共31頁

/.OB=3,

AB-6,

???AELAD,

ZOAE=/OCE,OC=OC,OE=OE,

:DECO先EAO（HL）,

AE=CE,

”:AD2+AE2=DE2，

（6+2）2+AE2=（4+AE）2,

解得：AE=6.

23.隨著國家鄉村振興政策的推進，鳳凰村農副產品越來越豐富.為增加該村村民收入，計劃定價銷售某土

特產，他們把該土特產（每袋成本10元）進行4天試銷售，日銷量y（袋）和每袋售價x（元）記錄如下:

時間第一天第二天第三天第四天

力元15202530

y/袋25201510

若試銷售和正常銷售期間，日銷量y與每袋售價x的一次函數關系相同，解決下列問題：

（1）求日銷量y關于每袋售價x的函數關系式；

（2）請你幫村民設計，每袋售價定為多少元，才能使這種土特產每日銷售的利潤最大？并求出最大利潤.

（利潤=銷售額-成本）

【答案】（1）日銷量y關于每袋售價x的函數關系式為y=-x+40

（2）每袋售價定為25元時，這種土特產日銷售的利潤最大，最大利潤為225元

【解析】

【分析】本題考查了一次函數和二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，正確找出等量關系.

（1）設日銷售量y（袋）和每袋售價尤（元）的函數關系式為丁=履+人（左H0）代入數據，利用待定系

數法即可求解；

（2）設每袋土特產的售價定為x元，則日銷量為（40-力袋，成本為10（40-力，總利潤為W元，根據銷

售利潤=銷售每袋土特產的利潤x每日的銷售量，得到W與尤的函數關系式，再根據二次函數的性質求解

即可.

第22頁/共31頁

【小問1詳解】

解：i^y=kx+b(kHO)

將(15,25),(20,20)代入y=日+。，

[25=15k+6

得《

20=20左+6

解得上=—1,匕=40

y=-x+40

???日銷量y關于每袋售價尤的函數關系式為y=-x+40；

【小問2詳解】

解：設每袋土特產的售價定為x元，則日銷量為(40-0袋，成本為10(40-%)，總利潤為印元，

W=x(40-x)-10(40-%)(0<x<40)

=-x?+50x—400

=-(x-25『+225,

當x=25時，W最大，最大值為225

答：每袋售價定為25元時，這種土特產日銷售的利潤最大，最大利潤為225元.

24.【閱讀理解】利用完全平方公式，可以將多項式4必+6%+*4/0)變形為水工+機)2+〃的形式，我

們把這樣的變形方法叫做多項式加+bx+c的配方法.

例如：利用配方法將x2+4x-3變形為a(x+機y+n的形式.

x2+4x-3=x2+4x+22-22-3=(x+2)2-7.

【解決問題】根據以上材料，解答下列問題：

(1)利用配方法將多項式12-6x+2化成a(x+m)2+〃的形式.

(2)求證：不論x,y取任何實數，多項式％2+丁+6尸2丁+15的值總為正數.

【答案】⑴(x—3『一7；(2)見解析

【解析】

【分析】(1)根據配方法配方，即可得出答案

第23頁/共31頁

(2)根據配方法把1+y2+6%-2丁+15變形成6+3)2+(廣1)2+5,再根據平方的非負性，可得答案.

【詳解】⑴解：X2-6X+2

=x2-6x+9-9+2

=(x-3)—7；

(2)證明：尤2+/+6x-2y+15

=(X2+6x+9)+(y2-2y+l)+5

=(x+3)~+(y-1)~+525,

故不論x,y取任何實數，多項式尤2+,2+6尸2丁+15的值總為正數.

【點睛】本題考查了配方法的應用、因式分解以及平方差公式，利用完全平方公式:

a2+2ab+b2=(。±力2配方是解題關鍵.

25.在△ABC中，ZAC5=90°,CD1AB,垂足是。點，點E在線段CD上，聯結3E,過點。作BE

的垂線，交AC的延長線于憶交3c于G,交BE于H.

爵用圖

(1)求證：口4。/口口。匹；

(2)求證：AFCE=ACCD-

(3)已知：CD=4,BD=3,當口BOG是等腰三角形時，求DE的長(直接寫出計算結果)

【答案】(1)見解析；

937

(2)見解析；(3)DE的長為一或一或(.

428

【解析】

【分析】(1)只要證明NA=ZBCD,ZADF=ZCEB,即可解決問題；

477AD

(2)由推出——=—,^AF-CE=ADBC,由△AC￡)s^C8。，可得

BCCE

ArAT)

—=—,推出ACCO=4Z>BC,即可解決問題；

BCCD

第24頁/共31頁

(3)分三種情形：①如圖1中，當GD=G3時，作GMLBD于利用相似三角形的性質求出DE即

可；②如圖2中，當=時，連接EG.由DBOE烏JBGE,推出ZBOE=NBGE=90°,

8。=BG=3,設DE=EG=x,,在Rt口ECG中構建方程即可解決問題；③如圖3中，當。G=DB時，

作GM上DB于M,DN上BC于N.利用相似三角形的性質解決問題即可，

【小問1詳解】

解：'：CD1AB,

：.ZADC=ZBDC=90°,

?：ZACB^90°,

：.ZA+ZACD=ZACD+ZBCD=90°,

ZA=NBCD,

同理NCDE=NDBE,

?；ZADF=Z90°+ZCDF=90°+NDBE=NCEB,

：.UADF^OCEB；

【小問2詳解】

-：UADF^nCEB,

.AFAD

,,BC—CE'

：.AFCE=ADBC,

,:NA=/BCD,ZADC=ZCDB,

：.AACDs^CBD,

.AC_AD

''BC~CD'

：.ACCD=ADBC,

：.AFCE=ACCD；

【小問3詳解】

①如圖1中，當GD=G5時，作GMLBD于

第25頁/共31頁

CD上BD,

：.GM//CD,

*：DM=BM,

：.CG=GB,

：.GM=-CD=2,

2

BE±GD,

：.NDHB=NGMD=90。,

：.ZDGM+ZMDG=90°,NBDH+NDBE=90°,

：.ZDGM=ZDBE,

:EBDE阻GMD,

.DEBD

,?DM-GM'

DE_3

.?.丁=5,

2

9

DE=-.

4

②如圖2中，當=時，連接EG.

圖2

第26頁/共31頁

；BD=BG,BEIDG,

:.EB平分NDBC,

；BE=BE，NEBG=NEBD,BD=BG,

:EBDE芬BGE,

：.ZBDE=ZBGE=90°,BD=BG=3,

?：CD=4,

?**BC=y/CD2+BD2=5，

CG=BC—BG=5—3=2,

設DE=EG=x,

在RtOECG中，：EC?=EG2+CG2，

,*.（4-x）2=X2+22,

,3

??x——，

2

3

DE=-.

2

③如圖3中，當。G=D8時，作GMLDB于M,DNLBC于N.

圖3

ZDBN=NCBD,ZDNB=NCDB=90°,

C^BND^BDC,

.BDBN

??茄一茄’

9

BN=-,

5

?:DG=DB,DNLBG,

1Q

BG=2BN=—,

5

-：GM//CD,

第27頁/共31頁

.GM_BG

'~CD~~BC

18

GM,

丁一！"

：.GM=—,

25

BM=^BG1-GM-=—

…II25

r）EBD

由口6四048。￡可得：——

DMGM

3DE

72=,

2525

7

DE=-

8

綜上：DE的長為一9或'3或7

428

【點睛】本題屬于相似三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知

識，解題的關鍵是用分類討論的思想思考問題，利用參數解決問題，屬于中考壓軸題.

26.拋物線y=ax?