2025屆潮南區(qū)高三摸底測(cè)試試題

數(shù)學(xué)科

本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必用黑色字跡簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學(xué)校、姓名和考生號(hào).

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.不按要求填涂的，答案無效.

3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置

上，請(qǐng)注意每題答題空間，預(yù)先合理安排；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的

答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

A=[\3)B=(x|x2-3x+/n=0)Ar>B=

i.設(shè)集合(')，L若"c萬i則集合8n=()

A.{1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{155}

【答案】B

【解析】

【分析】將x=l代入方程求出加，再求集合2即可.

【詳解】由NC3={1}可知仔一3+加=0n掰=2，

當(dāng)加=2時(shí)，x2-3x+2=0>解得：x=l或x=2,即8={1,2}.

故選：B

2.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,T),則三的模為()

1+1

A.1B.2C.72D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)得出復(fù)數(shù)，再應(yīng)用乘法除法計(jì)算即可得出復(fù)數(shù)，最后計(jì)算求模.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,-1),所以z=l-i,

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所以----二----二7----77---c

1+i1+i(l+i)(l-i)

故選：A.

3.同=6,G為單位向量，當(dāng)2,G的夾角為135。時(shí)，向量Z在向量3上的投影向量為（）

A.V2eB.---ec.3岳D.-3后

2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量公式結(jié)合模長(zhǎng)和夾角的數(shù)量積公式計(jì)算即可.

【詳解】向量值在向量G上的投影向量為

=Ia|cosl35°x-j^j-=6x----x—=-3V2e

問問向I2J1

故選：D.

4.雙曲線。：二￡=1（。>0,6>0）的一條漸近線為y=A，則。的離心率為（)

A.V2B.V3C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】利用雙曲線的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】由雙曲線方程易知C的漸近線為y=±?x,

a

所以r5則八后=匕=2.

故選：C

5.已知數(shù)列%="一［藍(lán)則數(shù)列｛為｝的前100項(xiàng)中的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是（）

A.%，%00C.Q45'"1D.他4，“100

【答案】B

【解析】

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【分析】先化簡(jiǎn)a?=1+包土殳空1eN*),再借助函數(shù)的單調(diào)性分析得解.

〃—J2024''

n-V2024+V2024-72025A/2024-&25(、T

【詳解］1+-------,....-(neN

n72024n-V2024“-&24、

因?yàn)?42<2024<452,

所以〃<44時(shí)，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，且例>1；〃》45時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增，且%<1.

在數(shù)列｛%｝的前100項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是為5，。44?

故選：B.

6.已知三棱錐尸—48。中，/「=/。=瓦3=5。=2石，48=73。=2啦，則其外接球表面積為()

A.aB.8aliC.871D.24兀

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三棱錐的特征把三棱錐的頂點(diǎn)放在長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)處，結(jié)合長(zhǎng)方體的外接球半徑公式計(jì)算即可.

三棱錐P-45C的特征把三棱錐的頂點(diǎn)放在長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)處，三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球

x2+/=20

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別是％%z,則(z2+/=20,

x2+z2=8

所以x?+「+z?=24,

設(shè)長(zhǎng)方體的外接球半徑為R，則2R=y/x2+y2+z2=276，

所以外接球表面積為4兀&=24兀.

故選：D.

7.已知函數(shù)g(x)的圖象與/(x)=V-mx的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，且g(x)的圖象與直線y=4x—6相

切，則實(shí)數(shù)加=()

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A.2B.-1C.-4D.4

【答案】C

【解析】

【分析】運(yùn)用對(duì)稱性先求出g(x)=-f+(4-加)x-2+2加，再根據(jù)切線性質(zhì)，結(jié)合根的判別式可解.

a+x

------1

2，得＜a-2-x

【詳解】設(shè)g(x)的點(diǎn)(x,y),關(guān)于(1,1)對(duì)稱點(diǎn)為(。*).則＜(*)

0=1[b=2-y^

[2

,6)在/(x)=x—JWC上.則(j~—ma-b.將(*)代入得到(2—x)~—加(2—x)=2—y

整理得y=-x2+(4—7〃)x—2+2加.即g(x)=-x2+(4-m)x-2+2m.

由于g(x)的圖象與直線y=4x—6相切，則聯(lián)立方程組，得到—f+(4—掰)》—2+2加=4x—6,

整理得到x1+mx—4—2m=0.則A=m~-4(-4-2m)=0,即加之+8m+16=0，

解得m=-4.

故選：C.

8.如圖為一款3*3電子觸控?zé)裘姘澹總€(gè)方格中的燈只有“亮”與“不亮”兩種狀態(tài)，觸摸燈一次，將導(dǎo)致自

身和所有相鄰的燈狀態(tài)發(fā)生改變.例如，在面板燈全不亮狀態(tài)下，觸摸E號(hào)燈時(shí)，E號(hào)燈亮起，周圍的3、D、

尸、〃號(hào)燈也發(fā)亮，其他號(hào)燈仍保持“不亮”狀態(tài).如果在面板燈都“不亮”狀態(tài)下，只要N號(hào)燈亮，則需要觸摸

面板燈最少次數(shù)為()

A.5B.7C.1D.9

【答案】A

【解析】

【分析】分析可知，要只改變A的狀態(tài)，則只有在A及周邊按動(dòng)開關(guān)才可以實(shí)現(xiàn)開關(guān)的次數(shù)最少，利用表

格分析即可.

【詳解】根據(jù)題意可知：只有在A及周邊按動(dòng)開關(guān)，才可以使按開關(guān)的次數(shù)最少，具體原因如下：

開始按動(dòng)前所有開關(guān)均為閉合狀態(tài)，要只改變A的狀態(tài)，在按動(dòng)A后，B,。也改變，

下一步可同時(shí)恢復(fù)或逐一恢復(fù)，同時(shí)恢復(fù)需按動(dòng)E,但會(huì)導(dǎo)致周邊的尸，H也改變，因此會(huì)按動(dòng)開關(guān)更多

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的次數(shù)；所以接下來逐一恢復(fù)，至少需按開關(guān)3次；

這樣沿著周邊的開關(guān)再按動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)最少的開關(guān)次數(shù)，即按動(dòng)5次可以滿足要求.

如下表所示：（按順時(shí)針方向開關(guān)，逆時(shí)針也可以）

ABCDEFGHI

按動(dòng)

開開關(guān)開關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)

A

按動(dòng)

開關(guān)開開關(guān)開關(guān)關(guān)關(guān)

C

按動(dòng)

開關(guān)關(guān)開開關(guān)關(guān)關(guān)開

F

按動(dòng)

開關(guān)關(guān)開關(guān)關(guān)開開關(guān)

H

按動(dòng)

開關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)

G

則需按開關(guān)的最少次數(shù)為5.

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.在進(jìn)行歸納推理時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的

聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論；

2.在進(jìn)行類比推理時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過程，然后通過類比，推導(dǎo)出類比對(duì)象的性質(zhì)；

3.歸納推理關(guān)鍵是找規(guī)律，類比推理關(guān)鍵是看共性.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某校高三年級(jí)選考地理科的學(xué)生有100名，現(xiàn)將他們?cè)摽频囊淮慰荚嚪謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分，已知等級(jí)分X

的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為[30,100],若等級(jí)分X?N（80,25）,則（）

參考數(shù)據(jù)：尸（〃一。＜X＜〃+=0.6827；尸（〃一2。＜X4〃+2。）=0.9545；

尸(〃-〃+3CT)=0.9973

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A.這次考試等級(jí)分的標(biāo)準(zhǔn)差為5

B.這次考試等級(jí)分超過80分的約有45人

C.這次考試等級(jí)分在［70,80］內(nèi)的人數(shù)約為48人

D.P(65<X<75)=0.1573

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)X?N(80,25)的含義易判斷A,B兩項(xiàng)，對(duì)于C,D,先把范圍轉(zhuǎn)換成用表示，利用3b概

率值求出相應(yīng)范圍的概率值，再進(jìn)行估算即可.

【詳解】對(duì)于A,因X?N(80,25),則(7=后=5,故A正確；

對(duì)于B,因〃=80,即這次考試等級(jí)分超過80分的學(xué)生約占一半，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因尸(70WXV80)=尸(〃—；尸(〃—2crVXW〃+2b)=gx0.954570.48,

故這次考試等級(jí)分在［70,80］內(nèi)的人數(shù)約為0.48x100=48人，故C正確；

對(duì)于D,因P(65<X<75)=P(〃-3cr<XK〃-cr)

=1［P(/z-3a<X<^+3a)-P^-a<X<ju+a)］=1(0.9973-0.6827)=0.1573,

故D正確.

故選：ACD.

10.函數(shù)/(x)=2sin(ox+03〉O,［9|<兀)圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差］，/(%)的一

條對(duì)稱軸x=-1,且/下列敘述正確的是()

A.函數(shù)/(x)的解析式為/(x)=2sin12x+t］

(SJT\JT2冗

B./(x)的一個(gè)對(duì)稱中心［三",0),且在—上單調(diào)遞減

C./(x)向左平移四個(gè)單位得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且/(0)<0

6

兀兀1/\

D.對(duì)任意xe—,a>'/(x)—cos2x恒成立時(shí)，滿足條件的。值可為1

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【答案】ABD

【解析】

【分析】先利用函數(shù)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差得出周期，再結(jié)合對(duì)稱軸得出解析式判斷A,平移變換

及函數(shù)值判斷C,結(jié)合對(duì)稱性及單調(diào)區(qū)間判斷B,先應(yīng)用恒成立結(jié)合三角函數(shù)最值得出D.

T兀2JT

【詳解】對(duì)于A,由題意可知，一=—,.?.7=兀=——，則0=2,/(x)=2sin(2x+°),

22co

/(X)的一條對(duì)稱軸X=-y(-7r,7r),

兀―5兀

(P——或電=----

66

2sin2xi-T=_2</(1)舍

當(dāng)0、時(shí)/(x)=2sin12x+今］/(習(xí)=2sin(：

2sin(2x^+g=2〉/⑴,

所以f(x)=2sin12x+%

,A選項(xiàng)正確;

=2sin?r=0所以/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為H，0

對(duì)于B,

兀2兀7L兀3兀7L2兀

%￡k，y=2x+—e—/=sin,單調(diào)遞減，在x￡—上單調(diào)遞減,B選項(xiàng)正確;

對(duì)于C,把函數(shù)/(X)的圖象沿x軸向左平移一個(gè)單位，得

6

/1=2sin[2+巳]+今]=2sin[2x+]]=2cos2x,

1

X-

即g(x)=2cos2x,得到的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，f(0)=2sin/=22

對(duì)于D,對(duì)任意xe,a>"(久)一cos2x恒成立時(shí)，滿足條件的a>(1(x)—cos2x)

1232、乙/max

—/(x)-cos2x=sin2x——-cos2x=sin2xx----cos2xx一—cos2x

I6J22

=sin2xx-cos2xx—=欄sin\2x--

22I3

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7171,c兀7171g；故;/(x)-cos2xe

當(dāng)時(shí),2x—￡,sinf2x-jje

125?36?6

所以a〉X二，滿足條件的。值可為1,D選項(xiàng)正確.

2

故選:ABD.

11.已知曲線C上點(diǎn)滿足：到定點(diǎn)（1,0）與定直線y軸的距離的差為定值加，其中4，4分別為曲線C上

的兩點(diǎn)，且點(diǎn)4恒在點(diǎn)4的右側(cè)，選項(xiàng)正確的為（）

A.若加=4,則曲線c的圖像為一條拋物線

4

B.若加=1,則曲線C的方程為/=4x（x>0）

c.當(dāng)加>1時(shí)，對(duì)于任意的4（西,坊）和4（%,%）），都有用<同

D.當(dāng)加<一1時(shí),對(duì)于任意的4（西,％）和4（小，%），都有歸|<網(wǎng)

【答案】AD

【解析】

【分析】設(shè)曲線C上的點(diǎn)P（XJ）,由題意求出x，y的方程，分xNO、x<0化簡(jiǎn)后逐項(xiàng)判斷可得答案.

【詳解】對(duì)于A,若加=；,設(shè)曲線C上的點(diǎn)P（x,y）,由題意可得J（x_l）2+y2_忖=；,

化簡(jiǎn)得y2=2xH—|x|---，當(dāng)x20時(shí)，y1=—x----為拋物線，

216216

3is315

當(dāng)x<0時(shí)，y1——x----,因?yàn)閤<0,所以一x----<0,而J?2o,顯然不成立，

216216/

綜上，若加=’,則曲線c的圖象為一條拋物線，故A正確；

4

對(duì)于B,若加=1,設(shè)曲線C上的點(diǎn)P（x,y）,

由題意可得y/（x-l）2+y2-|x|=b

化簡(jiǎn)得>2=2X+2|X|,當(dāng)x20時(shí)，/=4x為拋物線，

當(dāng)x<0時(shí)，了=0為一條射線，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若加>1,設(shè)曲線C上的點(diǎn)P（x,y）,

由題意可得+、2_|%|=m,

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化簡(jiǎn)得儼=2x+2m\x\+m2-1,

因?yàn)榧印?,

當(dāng)x20時(shí)，J2=2（加+1）［］一^~^］,

為開口向右，頂點(diǎn)為1一,o］的拋物線的一部分，,

當(dāng)x＜0時(shí)，＞2=2（1-掰—,

為開口向左，頂點(diǎn)為匕一,0的拋物線的一部分,,

I］—m、（1+772）1

且亍,0與亍,0關(guān)于x=5對(duì)稱，其圖象大致如下,

因?yàn)?（國(guó),%）,4,%）兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,

根據(jù)對(duì)稱性可得上|＞同，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,若加＜—1,設(shè)曲線c上的點(diǎn)P（x,y）,

由題意可得—+y2_|X|=m,

化簡(jiǎn)得＞2=2x+2加國(guó)+加~—1,因?yàn)榧樱肌?,

當(dāng)x20時(shí)，y2=2（m+l）|1,

為開口向左，頂點(diǎn)為H，o］的拋物線的一部分,

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當(dāng)x<0時(shí)，=2(1一加,

為開口向右，頂點(diǎn)為匕一,0的拋物線的一部分，

(1—m\61+Z7211

且匕一,o與亍,0關(guān)于x=5對(duì)稱，其圖象大致如下,

因?yàn)?(國(guó),及))，4(%,%)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，

根據(jù)對(duì)稱性可得聞<七I,故D正確

故選：AD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)曲線C上的點(diǎn)尸(X/),求出P點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合求出答

案.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

兀

12.若3sin(z—sin￡=1,a+[3=—,則sina=.

3

【答案】三或0

【解析】

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)，再應(yīng)用一元二次不等式求解.

【詳解】因?yàn)?sina-sin￡=1,所以3sin(z-1=sin/?,3sina-1=sin--a=cosa

左右兩邊平方得(3sina-l)”=cos2(z,

所以9sin2a-6sina+1=1—sin2a,1Osin2a-6sina=0-sina（5sina-3）=0,

所以sina=—或sina=0.

5

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3

故答案為：巳或0

13.已知函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)橛驍?shù)列｛%｝滿足/=/(〃),已知兩個(gè)條件:①函數(shù)/(x)在［1,+co)是減

函數(shù)；②｛冊(cè)｝是遞減數(shù)列.寫出一個(gè)滿足①和②的函數(shù)/(X)解析式：;寫出一個(gè)滿足②但不滿足①的

函數(shù)/(X)解析式：.

【答案】①./(X)=g］(答案不唯一)②.f(x)=-x3+2x2(答案不唯一)

【解析】

【分析】第一個(gè)空，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，可構(gòu)造指數(shù)函數(shù)/(》)=1；］,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；

第二個(gè)空令/(x)=-/+加加〉0),利用導(dǎo)數(shù)研究其在［1,+8)不單調(diào)遞減情況下加的范圍，且保證

/(〃)在〃eN*上遞減，即可寫出一個(gè)函數(shù)解析式.

【詳解】由題意可知：函數(shù)/(x)在［1,+8)是減函數(shù)，數(shù)列｛冊(cè)｝滿足%=/(")且5｝是遞減數(shù)列，

可根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性及函數(shù)特性可取：/(x)=］￡|，

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)=在［1,+8)是減函數(shù)，是遞減數(shù)列.

設(shè)/(')=一/+mx2(m〉0),則f\x)--3x2+2mx=x(2m-3x),

2m3

要滿足題設(shè)條件則2>——>1,即一<加<3,

32

此時(shí)，工三)上/'(x)〉0,/(x)遞增；(手,+s)上廣(x)<0,〃x)遞減；

44

不妨令加=2,貝U/(x)=——+2/，則〃x)在［1,?上單調(diào)遞增；(§,+8)上單調(diào)遞減；

由/(1)=1>/(2)=0,當(dāng)〃〉2時(shí)/(x)遞減，故｛%｝是遞減數(shù)列.

綜上，滿足條件的一個(gè)函數(shù)有/(x)=-/+2/.

故答案為：=(答案不唯一)，f(x)=-x3+2x2(答案不唯一)

14.某填空題有兩小問，按目前掌握信息：十個(gè)人中有四人能夠答對(duì)第一問；在第一問答錯(cuò)情況下，第二問

答對(duì)的概率僅為0.05；第一問答對(duì)的情況下，第二問答錯(cuò)的概率為0.7.用頻率估計(jì)概率，選擇有效信息估

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計(jì)該題兩小問均答錯(cuò)的概率：.

【答案】0.57

【解析】

【分析】設(shè)相應(yīng)事件，由題意可得尸（2）,尸「（萬M）,根據(jù)對(duì)立事件結(jié)合條件概率公式分析求解.

【詳解】設(shè)“第一問做出”為事件4“第二問做出”為事件8,

由題意可得：P（A）=[=0.4,|A）=0.05,P（B\A）=0.7,

則尸⑷=0.6,P（B|A）=0.95,P（B\A）=0.3,

所以尸（四）=P（1）P0,=O57.

故答案為：0.57

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

27TJT3

15.在五邊形48CDE中，/BCD=NBAE=——，ZCBD=—,cosZDBE=~,CD=2瓜DE=8.

345

（1）求BE的長(zhǎng)度；

（2）求三角形周長(zhǎng)的最大值為多少？

【答案】（1）10

【解析】

【分析】（1）在△BCD中，利用正弦定理，可求得8。=6,在中，由余弦定理可得關(guān)于BE的方

程，解之即可；

（2）在AASE中，結(jié)合余弦定理和基本不等式求得84+/￡的最大值為也8,即可得解.

3

【小問1詳解】

第12頁/共21頁

BDCDBD_276

在△BCD中，由正弦定理知---------=-----------,所以—2^~一充，解得80=6,

smZBCDsinZCBDsm——sm—

34

在VBOE中，由余弦定理知cosN￡)B￡=BD'BE'DE2,所以3=魚坐*1,

2BDBE52x6xBE

14

化簡(jiǎn)得58￡2—368E—140=0,解得8￡=10或—不(舍負(fù))，

故BE的長(zhǎng)度為8￡=10；

【小問2詳解】

在A48E中，由余弦定理知，BE2=BA2+AE2-2BA-AE-cosZBAE，

所以100=3Z2+ZE2+8N-ZE，所以(BZ+ZE)2—8Z-ZE=100,

即(BA+AE)?一I。。=?ZEw("十的,當(dāng)且僅當(dāng)氏4=ZE=Ub8時(shí)，等號(hào)成立，

43

此時(shí)3(8Z+ZE)2=100,84+NE的最大值為也8,

43

所以三角形周長(zhǎng)的最大值為迎8+10.

3

16.已知橢圓C:《+，=l(a>6>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4,8,點(diǎn)1,|■在該橢圓上，且該橢圓的右焦

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0).

(2)如圖，過點(diǎn)下且斜率為左的直線/與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，記直線4W的斜率為后一直線3N的斜率

為左2，求證：左1=；左2.

22

【答案】(1)土+匕=1

43

第13頁/共21頁

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓的半焦距和橢圓上的已知點(diǎn)列出方程組，計(jì)算即得橢圓方程；

（2）先考慮直線斜率為0時(shí)滿足，再設(shè)直線的橫截距式方程，與橢圓方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程，

3

寫出韋達(dá)定理，并發(fā)現(xiàn)內(nèi)在關(guān)系%?%=…（％+%），計(jì)算3左一左2并消去修，》2，得其分子為

2m

2叼丁2一3%-3%，代入前式，計(jì)算即得分子為0,則得證.

【小問1詳解】

12

a=b+1a=2

依題意，可得，＜19，解得,

b=M'

[a24b-

22

故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+^=1;

43

如圖，當(dāng)直線/的斜率左=0時(shí)，可得左=&=0,顯然滿足勺=；勾;

x=my+1

2222

當(dāng)左w0時(shí)，不妨設(shè)直線/：x=wy+l,由＜xv，消去x,整理得，（3m+4）j+6/nv-9=0,

—+—=1

[43

6m

%+%=一々2,/o

3m+4,,5,、

顯然A〉0,設(shè)M（X］，M）,N（＞2，%）則由韋達(dá)定理，＜，故切?%=丁（％+%），

92m

3m+4

因4—2,0）,8（2,0）,則左=。,k2=上不，

再+2x2-2

E”，7.3%%3%（々—2）—%（西+2）3%（加了2-1）一了2（加%+3）

12

%1+2X2-23+2）（々一2）（占+2）（%—2）

第14頁/共21頁

止匕式的分子為：3%(my2-l)-y2(myl+3)=2my,y2-3%—=3(%+%)-3(%+%)=0,

故得3々=內(nèi)，即勺=；⑥，得證?

17.多面體E-ABCD的底面為梯形，ABI/CD,AB=2CD=272，EA=ED=BC,

ZBCD=2ZCBD=90°,且四邊形為矩形，點(diǎn)尸為線段EN上一點(diǎn)（異于點(diǎn)區(qū)N）.

（1）若點(diǎn)尸為線段￡N中點(diǎn)，求證：CP//平面D4E；

（2）是否存在點(diǎn)尸，使直線BE與平面所成的角的正弦值為逅？若存在，求|￡月；若不存在，請(qǐng)

3

說明理由.

【答案】（1）證明見解析

4

（2）存在，一

3

【解析】

【分析】（1）先用余弦定理證明4408為等腰直角三角形，取AD的中點(diǎn)尸，證明CR//D4,結(jié)合條件可

判定面面平行，再證線面平行即可；

（2）取的中點(diǎn)O,利用勾股定理及逆定理結(jié)合線面垂直的判定先證底面/BCD,建立合適的空

間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算線面夾角即可.

【小問1詳解】

由條件可知ZCBD=ZABD=45°,:.BC=CD=也,BD=2,

則AD=^AB2+BD2-2AB-BDcosAABD=2=^AB2-BD2

即AADB為等腰直角三角形，所以N4DC=135°，

取AD的中點(diǎn)F,連接CF,ZDCF=45°^CF//AD,

因?yàn)?Du平面D4E,CPU平面D4E,

所以C尸〃平面D4E,

第15頁/共21頁

又因?yàn)樗倪呅蜛DEN為矩形，點(diǎn)尸為線段￡N中點(diǎn)，所以PF//DE,

同理有尸尸//平面D4E,

而PFCCF=F,PF、CFu平面CEP,

所以平面CFP//平面D4E,

因?yàn)镃Pu平面CFP,所以CP//平面D4E；

取40的中點(diǎn)。，連接￡0,08,

根據(jù)題意知=E/2+￡Q2,即VZDE為等腰直角三角形，

E01AD,B0=#,E0=1,BE=^BD2+DE2=而=^BO2+EO2，

則

因?yàn)?0口40=0,03、40u底面48CD,所以￡0,底面48CD,

過。作0LZ。，易知0yl/BDI/EN,

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，易知^（1,0,0）,￡＞（-1,0,0）,5（-1,2,0）,￡（0,0,1）,

設(shè)尸（0,九1乂2e（0,2）），則刀=（1,2,1）,^4=（2,0,0）,礪=（-1,2,-1）,

設(shè)平面尸4D的一個(gè)法向量為萬=（x,，z）,

n-DA=2x=0/、

則《一一，令z=—%,則x=0/=l,即力=（0,1,—%）,

n-AP=x+4y+z=0

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設(shè)直線BE與平面尸40所成的角為&,sintz=1\cosn,EB\=一?_,==—,

?同?網(wǎng)心(1+陰3

解之得X=即|EP|=g.

18.為提高我國(guó)公民整體健康水平，2022年1月，由國(guó)家衛(wèi)生健康委疾控局指導(dǎo)、中國(guó)疾病預(yù)防控制中心

和國(guó)家體育總局體育科學(xué)研究所牽頭組織編制的《中國(guó)人群身體活動(dòng)指南(2021)》(以下簡(jiǎn)稱《指南》)正

式發(fā)布.《指南》建議18-64歲的成年人每周進(jìn)行150-300分鐘中等強(qiáng)度或75-150分鐘高強(qiáng)度的有氧運(yùn)動(dòng)(以

下簡(jiǎn)稱為“達(dá)標(biāo)成年人”).經(jīng)過兩年的宣傳，某體育健康機(jī)構(gòu)為制作一期《達(dá)標(biāo)成年人》的紀(jì)錄片，采取街

頭采訪的方式進(jìn)行拍攝，當(dāng)采訪到第二位“達(dá)標(biāo)成年人”時(shí)，停止當(dāng)天采訪.記采訪的18-64歲的市民數(shù)為隨

機(jī)變量X(X?2),且該市隨機(jī)抽取的18-64歲的市民是達(dá)標(biāo)成年人的概率為:，抽查結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求某天采訪剛好到第五位可停止當(dāng)天采訪的概率；

2

(2)若抽取的18-64歲的市民數(shù)X不超過"的概率大于一，求整數(shù)〃的最小值.

3

【答案】(1)匚32

243

(2)7

【解析】

【分析】(1)依題意，可判斷隨機(jī)變量X(XN2)服從二項(xiàng)分布，應(yīng)用概率公式計(jì)算即得；

(2)由題意，列出隨機(jī)變量X(X?2)的分布列，則得

(―)2+C；X(-)2X]+C；X(―)2X(―)2+--1-X(p2X,利用錯(cuò)位相減法求和將其轉(zhuǎn)化成

2?

(2?+4)x(-)n-2<3,判斷數(shù)列4=(2〃+4)x(?”2,的單調(diào)性，代值驗(yàn)證即得整數(shù)〃的最小值.

【小問1詳解】

依題意，采訪的前四位中有一位是達(dá)標(biāo)成年人，第五位必是達(dá)標(biāo)成年人，

因抽取的市民只有“是達(dá)標(biāo)成年人”或“不是達(dá)標(biāo)成年人”兩個(gè)結(jié)果，且抽查結(jié)果相互獨(dú)立，故這是個(gè)〃重伯

努利概型.

故“這一天采訪剛好到第五位可停止當(dāng)天采訪”的概率為C：x；x($3xg=急；

【小問2詳解】

依題意，可列出隨機(jī)變量X(X22)的分布列：

X2345Ln

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C；x(1)2x(|)2CLx(j)2x(|)?-2

P鏟Cd漳L

于是(§)2+C；X(？2X^+C；X(,)2X(—)2+…+C；TX(JX(

i2222

化簡(jiǎn)得，—[l+2x—+3x(—)2+—l-(—1)x(—)772]>—,

即l+2xg+3x(1)2+-..+(〃—i)x(|y-2〉6(*)

222

不妨記S=1+2X]+3><(1)2+-+(〃_1)><(,)"-2①

22222

則]S=lX]+2><(?2+3><(])3+-+(〃_i)><(p"T②

由①-②，可得，；S=l+|+(|y+(§3+…+(|y-2_(〃_i)x(|yT,

11-(；尸2222

即[S=——(〃—l)x(/i=3—3x(/1—(〃—1)X(/T=3—(〃+2)x(/i,

3]，3333

-3

2?

故得，s=9—(2〃+4)X(I)-2,代入(*)整理得，(2,+4)義(§)1<3.

2

設(shè)%=(2"+4)x(?"-2,(“22,〃eN*),

7

1

a('2M+6/)X'(-“)?-4.〃+|2

由‘包=---------W-=-~—<1可知，｛a,,｝是遞減數(shù)列，

%(2〃+4)x(；尸6〃+12

又名=16'(1)4=等〉3,而%=18x(g)5=：|<3,故整數(shù)〃的最小值為7.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)分布的概率公式應(yīng)用和錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于較難題.

解題關(guān)鍵在于，把握題意，準(zhǔn)確判斷概率模型，列出隨機(jī)變量的分布列；在求解多項(xiàng)和時(shí)，要觀察其特征,

符合等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的通項(xiàng)求和時(shí)，應(yīng)運(yùn)用錯(cuò)位相減法.

19.懸鏈線的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.通過建立坐標(biāo)系，懸鏈線可表示為雙

曲余弦函數(shù)ch(x)=e"藍(lán)-的圖象,現(xiàn)定義雙曲正弦函數(shù)sh(x)=e%~e%,回答以下問題：

⑴類比三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系：(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx,寫出sh(x)與ch(x)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系式，

并證明；

(2)對(duì)任意x〉0,恒有sh(x)>at成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

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(3)求/(x)=ch(x