廣東省清遠市清新區(qū)四校2024-2025學年高二上學期11月聯(lián)考數(shù)學

試卷

學校：___________姓名：班級：考號：

一、選擇題

1.化簡PM-PN+MN,所得的結果是（）

A.OB.NPC.MPD.MN

2.已知人/?=6,問=3,可=4,則匕在"上的投影向量為（）

3322

A.—aB.-bC.-aD.-b

8833

7T>

3.如圖，在△ABC中，AB=6,AC=3,ABAC=,BD=2DC,則ABAD=()

C.6D.12

、B是兩個平面,aua,bu/3,p:aIlb,q:all/3,則

“是q的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.在學生身高的調(diào)查中，小明和小華分別獨立進行了簡單隨機抽樣和按比例分層抽樣

調(diào)查，小明調(diào)查的樣本量為200,平均數(shù)為166.2cm,小華調(diào)查的樣本量為100,平均

數(shù)為164.7cm.則下列說法正確的是（）

A.小明抽樣的樣本容量更大，所以166.2cm更接近總體平均數(shù)

B.小華使用的抽樣方法更好，所以164.7cm更接近總體平均數(shù)

C.將兩人得到的樣本平均數(shù)按照抽樣人數(shù)取加權平均數(shù)165.7更接近總體平均數(shù)

D.樣本平均數(shù)具有隨機性，以上說法均不對

6.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sinA=」，b=2sinB,則

3

a=()

23

A.-B.-C.6D.-

326

7.已知向量a=（4,1）,b=（2,對,_l[Q〃(〃+/?),則〃=()

A.-2B.--C.-D.2

22

8.已知單位向量a,B的夾角為弓,貝1a—3()

A.lB.72C.V3D.3

二、多項選擇題

9.如果a,b是兩個單位向量，則下列結論中正確的是()

A.a=bB.a=+bC.a=bD.|a|=|/?|

10.已知虛數(shù)z=3+4i,z2=2-i,則()

AZZ5bz

-II-2|=-—=l2|

D.Z2是方程/_4x+5=0的一個根

11.下列說法中，錯誤的為（）

A.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐;

B.有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺;

C.底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐;

D.棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐不可能是正六棱錐

三、填空題

12.在△ABC中，E是BC邊上一點,且BE=3EC,點R為AE的延長線上一點，寫

出使得A/=+成立的X,〃的一組數(shù)據(jù)（％,//）為.

13.已知。A=（4,3）,08=（2,10）,則A5在。4方向上的投影向量坐標為.

14.直三棱柱ABC—A31cl中，ZABC=90°,AB=BC=BB1=1,則4片與BC1所成角

大小為.

四、解答題

15.已知平面內(nèi)兩點4(6,-6),5(2,2).

(1)求過點P(l,3)且與直線AB垂直的直線I的方程

(2)若AABC是以C為頂點的等腰直角三角形，求直線AC的方程

16.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知〃+/-步=ac,

a=M,cosA=—

3

⑴求3的值；

(2)求人的值；

(3)求sin(2A-5)的值

17.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A4G2中，E,R分別為棱。2，G2的中

⑴求證：4P〃平面ABE;

(2)求直線ByF到平面ABE的距離

18.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面ABCD,ABHCD,/4￡>C=90。且

AD=CD=PD=2AB=2.

⑴求證：AB,平面PAD；

(2)求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值;

(3)在棱Pfi上是否存在點G(G與P,3不重合)，使得。G與平面所成角的正弦

值為2?若存在，求上的值，若不存在，說明理由

3PB

19.在空間直角坐標系。盯z中，這點「(不，%/。)且以“=(a,b,c)為方向向量的直線方

程可表示為士也=上也=三包(“加70),過點Pa。,%/。)且以〃=(a/,c)為法向量

abc

的平面方程可表示為〃%+by+cz=〃%0+6%+CZ。.

(1)已知直線的方程為F=y=-(2-1),直線4的方程為-(x-1)=?=〈.請分別寫

出直線式和直線［的一個方向向量

(2)若直線4:芻^=y=-(z-l)與4：-(x-l)=?=W^都在平面a內(nèi)，求平面a的方

程；

(3)若集合川={(羽%2)||田+|丁|+|2|=2}中所有的點構成了多面體。的各個面，求。

的體積和相鄰兩個面所在平面的夾角的余弦值

參考答案

1.答案：A

解析：PM-PN+MN=NM+MN=NM-NM=0,

故選：A

2.答案：C

解析：B在、上的投影向量為：

??\/同\a\\a\93

故選：C.

3.答案：B

.2—

解析：BD=2DC,:.BD=-BC

3

Q1Q

AD=AB+BD=AB+-(AC-AB]=-AB+-AC,

3、'33

ABAD=AB-^AB+^A。=||AB|2+|ABAC

=-\AB[+-\AB\\AC\COS-=-X36+-X6X3X-=1S.

31131Hl3332

故選：B

4.答案：D

解析：a!lb,則a與，可能重合、平行、相交，p由q；

a///3,則。與6可能平行、異面，c"p；

故p是q的既不充分也不必要條件

故選：D.

5.答案：D

解析：抽樣的樣本容量大但有時不具有代表性，

不能得到樣本平均值更接近總體平均數(shù)，故選項A錯誤：

使用分層的抽樣方法樣本更具有代表性，

但樣本容量太小也不能得到樣本平均值更接近總體平均數(shù)，故選項B錯誤：

兩人得到的樣本平均數(shù)按照抽樣人數(shù)取加權平均數(shù)同樣兼具兩者的不確定性，故選項

C錯誤；

通過對上面三個選項的分析可知樣本平均數(shù)具有隨機性，故選項D正確;

故選：D.

6.答案：A

解析：由正弦定理二=—也，

sinAsinB

整理得a==

sinB33

故選：A.

7.答案：C

解析：因為向量a=（4,l）,b=（2,ni）,

所以a+Z>=（6,l+m）,

又a〃（a+Z?）,

所以4（l+m）-1x6=0,解得"?=；.

故選：C

8.答案：C

解析：由已知有慟=忖=1,

a-b=|a||z?|cos-^=-^.

=yja2+b2-2a-b=,1+1+1=6

故選：C.

9.答案：CD

解析：因為a,b是兩個單位向量，

所以同=網(wǎng)=1,但兩向量的方向不能確定,

/=W川4,

故AB錯誤；CD正確

故選：CD.

10.答案：BCD

解析：對于A選項，因為4―Z2=（3+4i）—（2—i）=l+5i,

所以忖-21=4+52=醫(yī),故人錯；

對于B選項

所以三故B對;

Z2

對于C選項，z；=（2—i）2=3—4i=1,故C對；

對于D選項，由4%+5=0,可得（X—2丫=—1,

解得x=2—i或x=2+i,故D對

故選：BCD.

11.答案：ABC

解析：對于A,有一個面是多邊形，

其余各面都是有一個公共頂點的三角形，

由這些面所圍成的多面體叫棱錐，

而有一個面是多邊形，

其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖，所以A錯誤,

對于B,棱臺是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得，

而有兩個面互相平行，

其余四個面都是等腰梯形的六面體的側棱不一定交于一點，所以B錯誤，

對于C,底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐的頂點不一定在底面的射

影為底面等邊三角形的中心，所以C錯誤，

對于D,若六棱錐的所有棱長都相等，

則底面為正六邊形，由過底面中心和頂點的截面知，

若以正六邊形為底面，則側棱必然大于底面邊長，所以D正確,

故選：ABC

13

12.答案：（若）（答案不唯一）

解析：由題意知=—AB,而BE=3EC,

3

BE=-（AC-AB）,

313

則AE=AB+3E=AB+—(AC—AB)=—AB+—AC,

444

又點R為AE的延長線上一點，故AE=fAE,(r>l)

可取『=2,貝IAb=2(—AB+2AC)=—AB+2AC,

4422

ia

故使得4/=448+〃4。成立的/1,〃的一組數(shù)據(jù)（4//）為（萬,萬）,

故答案為：（g,|）（答案不唯一）.

解析：因為。4=(4,3),05=(2,10),

所以=05—OA=(2,10)-(4,3)=(-2,7),

所以AB.QA=-2x4+3x7=13,|OA|=A/42+32=5,

A5a4OA13(4,3)5239

所以A3在。4方向上的投影向量為

|OA||OA|5525,25

14.答案：60°

解析：設B[C=D,設E是AC的中點，連接BE,DE

則。后//4與，所以AB】與BQ所成角是NBDE或其補角

根據(jù)直棱柱的性質(zhì)以及/ABC=90°

可知做=3。1=AC=VL

所以DE=BD=BE=^,

「2

所以三角形50E是等邊三角形，所以4DE=60。,

所以A片與BCX所成角大小為60°.

故答案為：60°

15.答案：⑴x-2y+5=0

(2)3%—y—24=0或x+3y+12=0

解析：（1）由題意得左AS="--=-2,

6—2

則直線/的斜率為工，

2

所以過點P（l,3）且與直線垂直的直線I的方程為：y-3=1（x

即x—2y+5=0.

（2）A3的中點坐標為（4,-2）,

由（1）可知線段A3垂線的斜率為g,

所以線段AB垂直平分線的方程為y+2=；（x-4）,

即x-2y-8=0.

因為△ABC是以C為頂點的等腰直角三角形，

所以點C在直線x-2y-8=0上，

故設點C為（2a+8,a）,

Q+6a—2

由CBLC4可得:

2。+8—62a+8—2

解得a=0或Q=T,

所以點C坐標為（8,0）或（0,-4）,

則直線AC的方程為3x—y—24=0或x+3y+12=0.

16.答案：（1）5=-

嗚

475-73

（）-18

解析:（1）因為十+。2—=一,

由余弦定理可得cosB="+02—'=必=!

2ac2ac2

又3€（0,兀），所以3=1.

（2）因為cosA=半，AG（0,7i）

2

貝!JsinA=Jl—cosA=—9

3

由正弦定理」b

sinAsinB

.R昂立Q

可得6=°sm3=---------2_=?

sinA24

3

（3）因為cosA=,sinA=g,

,4、R

則sin2A=2sinAcosA=-----

9

cos2A=cos2A-sin2A=—

9

所以sin（2A-5）=sin2Acos5-cos2Asin5.

4611g4A/5-A/3

=---------X------------X-------=---------------------

929218

17.答案：（1）證明見解析

解析：(1)以A為原點，AB,AD,所在直線分別為工，》z軸建立如圖所示空間直

由題意得5(2,0,0),4(。，。，2)，4(2,0,2),磯0,2,1),F[1,2,2).

所以防=(-2,2,1),B\=(-2,0,2),BF=(-1,2,2).

設平面ABE的一個法向量為〃=(x,y,z).

口心fBEn=0f-2x+2y+z=0

易知1八二八,

BA^-n—01—2x+2z=0

令x=2,得y=1,z=2,所以“二(2,1,2).

4萬?〃=—2+2+0=0,

/.B{FLn,

又平面/BE,

男/〃平面ABE；

(2)由(1)可知BRI平面ABE,

故求直線BF到平面“的距離可轉化為點B,到平面ABE的距離，

因為男8=(0,0,—2),由⑴可知平面ABE的一個法向量為"=(2,1,2),

設直線B,F到平面ABE的距離為d.

BQ,n0+0-44

貝1Jd=

\n\3-3

18.答案：(1)證明過程見解析

解析：（1）因為PD，平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以PDLAB,

又因為AB//CD,ZA￡>C=90°

所以ADLAB,而AD「\PD=。，

AD,PDu平面PAD,

所以AB,平面PAD；

（2）因為PD，平面ABC。，

AD,CDu平面ABC。，

所以PDLCD,PD±AD,而CD工AD,

于是建立如圖所示的空間直角坐標系，

￡>（0,0,0）,尸（0,0,2）,4（2,0,0）,5（2,1,0）,C（0,2,0）

由⑴可知：ABL平面PA。，

所以平面PA。的法向量為AB=（0,l,0）,

設平面PBC的法向量為加=(x,y,z),PB=(2,l,-2),PC=(0,2,-2)

m-PB=02%+y-2z=0

則有n加二(1,2,2),

m-PC=02y—2z=0

設平面PAD與平面PBC夾角為，，

\AB-m\72

COSQ=J____L=___

|AB|x|m|lxVl+4+43

（3）設PG=XPB（2w（0,l））,設G（羽y,z）,

于是有（羽y,z-2）=4（2,1,-2）nG（2442-2孫

DG=（2A,A,2-2A）,由（2）可知平面PBC的法向量為〃z=（1,2,2）,

假設。G與平面次所成角的正弦值為j

9DG-m2|22+22+4-42|8

則有丁-------/=A=-或2=0舍去,

DG|x|m|3Vl+4+4x^422+22+（2-22）29

即空遮.

PB9

19.答案：（1乂的一個方向向量4=（2,1,-1）；4的一個方向向量4=（T，4,2）（答案

不唯一，符合題意即可）

（2）2x-y+3z=5

3?1

⑶Q的體積為半，相鄰兩個面所在平面的夾角的余弦值為2

解析：（1）因為直線4的方程為F=y=-（z-l）,

即3=匕2=二，

21-1

可知直線式的一個方向向量4=（2,1,-1）；

直線4的方程為-（x-1）=；=＜，

即皿=，口，

-142

可知直線的一個方向向量4=（T，4,2）.

（2）由題意可知：直線4過點P（l,0,l）,