廣東省揭陽市揭西縣2023-2024學年高二上學期

期末數學試題

一、選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.）

1.已知集合4={口42%—3|<5},6={-4,1,3,5},則4B=（）

A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}

【答案】D

【解析】對A,—5<2x—3<5n—l<x<4,則4={0,1,2,3},所以AB={1,3}.

故選：D.

2.若直線/經過A（l,0）,3（4,6）兩點，則直線/的傾斜角為（）

71717127r

A.—B.—C.—D.—

6433

【答案】A

【解析】斜率左=3=^=tan，，???傾斜角8=

4-136

故選：A.

3.圖1是第七屆國際數學教育大會（簡稱ICME-7）會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖

2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中。4=44=443=_=44=1,如果把

圖2中的直角三角形繼續作下去,記。vOA,的長度構成的數列為{4},由此

數列的通項公式為4=（)

品D.y/n+1

【答案】B

【解析】由題意知，—4^2—^2A—???—4A=1，且OA^044

都是直角三角形，所以q=1,且〃/=〃3+1，

所以數列｛。,2｝是以1為首項，1為公差的等差數列，所以%2=1+(〃—1)x1=〃,

由＞o.

故選：B.

4.若點P(0,1)在橢圓C：［+J=1上，則該橢圓的離心率為().

A.1B.也C.巫D.B

2422

【答案】C

22

【解析】因點尸(倉1)在橢圓C:則逑匚+二=1,解得/=2,而橢圓長

-%j4b2

半軸長4=2,

所以橢圓離心率e=-="2=交.

aa2

故選：C

5.已知A(l,4),3(8,3),點尸在無軸上，則使|AP|+忸P|取得最小值的點尸的坐標是

()

A.(4,0)B.(5,0)C.(-5,0)D,(-4,0)

【答案】B

【解析】因為A(l,4)關于x軸的對稱點為4(1,-4),

-4-3

所以所在的直線方程為y—3=--(x-8),

1—8

即y=x—5,

令y=0得x=5,所以P(5,0).

故選：B

6.已知圓/+丁+2》—2y—4=0截直線x+y+a=0(a>0)所得弦的長度為4,則實

數。的值是()

A.V2B.2C.2A/2D.4

【答案】B

【解析】圓的方程(x+l)2+(y-l)2=6,

圓心(—1,1),半徑r=,

圓心到直線x+y+a=0的距離d=也，

根據弦長公式可知2,6—；=4,解得：a=2.

故選：B

7.以下四個命題中，正確的是()

A.向量2=(1,—1,3)與向量，=(3,-3,6)平行

B.為直角三角形的充要條件是AC=0

C|R州H那卡|

D.若｛a,6,c｝為空間的一個基底，則a+b，b+c>c+a構成空間的另一基底

【答案】D

【解析】因為｛。,dc｝為空間的一個基底，設a+Z?=4僅+c)+〃(c+a),

2=1

即<〃=1,無解，

〃+X=0

所以a+b，b+c>c+a不共面，貝!Ja+b，b+c>c+a構成空間的另一基底，故D正

確；

3-36

因為］=與彳§,所以.=(1,-1,3)和/?=(3,-3,6)不平行，故A錯誤；

.ABC為直角三角形只需一個角為直角即可，不一定是/A,所以無法推出

ABAC=0'故B錯誤；

\a-by=|<7|-|/?|-|c|-|cosd,Z?|,當gsa同wl時，ya-bjc|tz|-|Z?|-|c|,故C錯誤.

故選：D.

8.過點P(—1,—2)的直線/可表示為m(x+l)+〃(y+2)=0,若直線/與兩坐標軸圍成三

角形的面積為6,則這樣的直線有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】D

【解析】〃z(x+l)+〃(y+2)=0可化為mr+〃y+/w'+2”=。①，

要使/與兩坐標軸能圍成三角形，貝！|/7加w0且加+2〃w0,

由①令％=0得y=

n

A八,曰m+2n

令y=0得%=-------,

m

m+2ri\(m+2n1m+2nm+2n1m2+4Hm+4n2

依題意,二一x------x------二一x

r|(-2nm2mn

1m4na,,m4〃，r—m4〃，y-

=-x—+——+4=6,所以—I----\-4=12或—I----\-4=-12,

2nmnmnm

,m4n仆4n

所以—I---=8或—I---=-16

nmnm

rri44

設.=貝u+—=8或1+—=—16,

ntt

則產―8/+4=0或產+16/+4=0

-16±0256-16

解得"或"

2

即"4±2若或/=-8±2而

即生=4±2&或生=一8土2行，

nn

所以這樣的直線有4條.

故選：D

二、多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.）

9.已知等比數列｛/｝是遞增數列，夕是其公比，下列說法正確的是（）

A.q〉0B.q>Q

C.a｝q>0D.%（4-1）〉0

【答案】BD

【解析】由題意知，

遞增的等比數列包括兩種情況：%>0時4>1或q<0時0<q<l.

故q>0,q（q—l）〉0,

故選：BD

io.已知實數蒼y滿足圓c的方程f+V—2x=o,則下列說法正確的是（）

A.圓心（—1,0）,半徑為1

B.過點（2,0）作圓C的切線，則切線方程為x=2

C.上的最大值是否

X+1

D.f+y2的最大值是4

【答案】BD

【解析】對選項A：%2+y2-2x=0,即（％-1）2+寸=1,圓心為（1,0）,半徑為廠=1，

錯誤；

對選項B：（2,0）在圓上，則（2,0）和圓心均在x軸上，故切線與x軸垂直，為x=2,

正確；

對選項C：上表示圓上的點（x,y）到點4（-1,0）的斜率，如圖所示：

X+1

當AB與圓相切時，斜率最大，止匕時|4。=2,忸。|=1,故

故此時斜率最大為tan30。=迫，錯誤；

3

對選項D：V+y2表示圓上的點（龍,村到原點距離的平方，故最大值為（1+廠『=4,

正確；故選：BD

（、[a（a<b\/、、2）

11.定義min{a,8}=1,/（,設=min{（x-l）,x+l,則下列結論正確的是

>b）（）

（）

A.〃力有最大值，無最小值B.當尤<0,八力的最大值為1

C.不等式的解集為（口,2]D./（%）的單調遞減區間為（0,1）

【答案】BCD

-2

【解析】由題意得/（X）=<，；]；[3+“）’作出函數/（“）的圖象，如圖所示'

根據圖象，可得了（九）無最大值，無最小值，所以A錯誤；

根據圖象得，當xWO,/（尤）的最大值為1,所以B正確；

由/（x）＜l得，（％—解得：0WxW2,結合圖象，得不等式/（x）＜l的解集為

（—8,2],所以C正確；

由圖象得，/（尤）的單調遞減區間為（0』），所以D正確.

故選：BCD.

12.已知棱長為2的正方體ABC。-A4GR的中心為。，用過點。的平面去截正方體,

則（）

A.所得的截面可以是五邊形B.所得的截面可以是六邊形

C,該截面的面積可以為3GD.所得的截面可以是菱形

【答案】BCD

【解析】一個平面去截正方體，考慮從正方體的上底面4月。12開始截入，

不妨設上底面4片。12與截面的交線為線段PQ,截取有兩種情況，

第一種情況是RQ兩點分別在兩對邊上或兩相鄰邊上，如圖，

直線PO與8c相交于點直線。。與相交于點N,

由正方體性質及面面平行性質定理知截面為平行四邊形PQMN.

第二種情況，如圖，

直線PO與相交于點直線。。與相交于點N,直線尸。與A耳相交于點E,

NE與AAj相交于點F,直線MN馬CD相交于點G,GQ與CC,相交于點H,

易知所得截面為六邊形PQKMNF,A錯誤，B正確.

當截面為正六邊形時，正六邊形的邊長為后，它的面積為6x』x(、5)2x立=3百，C

22

正確.

當截面為平行四邊形時，由對稱性可知\P=MC,PD,=BM，GQ=AN,B[Q=DN,

若四邊形PQMN為菱形，則尸N=MN,

可得JM+IATV—APJZAB?+(BM-AN#,可得

(AN-MC)1=(BM-AN)2,

可得AN—同。=5河—AN或AN—MC=AN—,可得2AN=AD或

MC=BM,D正確.

故選：BCD.

三、填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.已知圓。1：/+/=戶，圓。2：必+/-8x—6y+16=0,若圓與圓C2相外

切，貝1Jr=.

【答案】2

22

【解析】由題意知,C2:(x-4)+(y-3)=9,

所以￡(0,0)/=匕。2(4,3)，4=3,

因為兩圓外切，所以r+3=|。02|=5,解得r=2.

故答案為：2.

14.《周髀算經》中有這樣一個問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、

春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣的日影子長依次成等差數列，若冬

至、小寒、大寒的日影子長的和是43.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立春的日影子長

為尺.

【答案】12.5

【解析】從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、

芒種這12個節氣的日影長依次成等差數列｛%｝,

由題意知，｛北渭比1y43.5,解得｛*.5,

所以立春的日影長為%=囚+3d=12.5尺

故答案為：12.5

15.函數/（x）=2sinox,切＞0的部分圖象如圖所示，則/⑴+/（2）+〃3）++/（2024）=

【解析】由圖象可知，函數/（九）的周期7=8,

所以0=生=工，故〃x）=2sin工x,

因為/⑴+/（2）+/（3）++/（8）=0,2024=8x253,

所以/⑴+/（2）+/（3）++/（2024）=0.

故答案為：0.

16.雙曲線的光學性質為①：如圖，從雙曲線右焦點工發出的光線經雙曲線鏡面反射，反

射光線的反向延長線經過左焦點耳.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲

X2

線的這個光學性質.某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分,如圖②，其方程為\

二1,

a"一記

耳，工為其左右焦點，若從右焦點工發出的光線經雙曲線上的點A和點B反射后，滿足

3

Za4D=90°,tanZABC=——,則該雙曲線的離心率為.

4

【解析】由題可知耳,共線，耳,5,C共線,

設二根"A司=〃，則m—〃=2Q,

33

由tanNABC=——得，tanZABF

44

又NGAB=NBAO=90°,

m_34

所以tanZABF1西="M=

所以忸閭=|45|—仙閭=：加_〃，

所以忸制=2a+\BF^=2a+^m-n=4a+^m,

由|AF；「+|AB「=\BF^得m+[g=14a+；相

因為》t〉0,故解得根=3a,

則〃=3a-2a=a,

在△然巴中，療+〃2=（2C）2,即9a2+1=402,

四、解答題（共6小題，滿分70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.在一ABC中，內角A5C所對的邊分別為。，"c.已知sin2C=J§sinC.

⑴求C；

（2）若6=4,且ABC的面積為2月，求，ABC的周長.

解：（1）由sin2C=J§sinC，得2sinCcosC=J§sinC,

在_ABC中，sinCw0,r.cosC=，

jr

在.ABC中，Ce(O,7i),.-.C=-.

6

(2)S鉆。=absinC=；XQX4X：=2^3,/.a=2g,

由余弦定理得片=〃2+/—21/^050=12+16—2x28x4x3=4,

2

。=2,.,.〃+/?+(?=2y/3+4+2=6+2y/3,

A5C的周長為6+2石.

2

Yy

18.已知橢圓u—十l（a〉6〉0）的長軸長為10，焦距為6.

ab2

（1）求C的方程;

㈢

（2）若直線/與C交于A,8兩點，且線段的中點坐標為求/的方程.

解：⑴設C的焦距為2c（c>0）,長軸長為2a,

則2a—10,2c=6,

所以a=5,c=3,所以人2=〃2_/=16,

22

所以C的方程為J+當=1.

⑵設人師立川心必「代入橢圓方程得廣;

%%T

-----1------1

〔2516

兩式相減可得（斗+”）（當一馬）(%+%)(%-%)

2516

即（％+%）（%-%）：16

（%+九2）（西一次2）25

由點為線段A5的中點，

后12

得%+%=5,%+%=不

7y—必16x+x?1654

則I的斜率左=-=--X-~~-------X-=-----

七一%225%+y22545

所以I的方程為=,

即4x+5y-2=0.

19.如圖，在直三棱柱ABC—中,ACIBC,E為8瓦的中點，AB=CC、=2BC=2.

(1)證明：AC±qE.

(2)求二面角A—EQ—§的余弦值.

解：(1)在直三棱柱A3C—中，CCi1平面ABC,ACu平面ABC,

所以CCilAC,

又由題可知，AC1BC,

CG，BCu平面BCC4

且CCicBC=C,

所以AC工平面5CC4,

又因為C,￡u平面BCC&1，所以AC工3E.

(2)以C為坐標原點，CA,CB，CC1分別為xj,z軸建系如圖，

由ACIBC,AB=2BC=2,可得AC=6,

則有A(^,O,O),E(0,1,l),q(0,0,2),

設平面AEC］的一個方向量為m=(x,y,z),

AE=(-"1,1),AC1=(-上,0,2),

AE-m=0-A/3X+V+Z=0LL

所以《,即《，令z=A/3,則％=2,y=A/3,

ACX-m=0-，3x+2z=0

所以冽二(2,6,百)，

因為AC1平面耳，所以C4=(A0,0)為平面EQB的一個法向量,

m-C42GV10

所以，cos<m,CA>=______=______=____

|m|p|V10xV35，

即二面角A—EG—3的余弦值等于半.

2

20.已知各項均不為零的數列｛4｝滿足的=不，且2a”—2a“+i=3a,4+i，〃eN”.

(1)證明：■，為等差數列，并求｛4｝的通項公式;

2〃

（2）令g=—,7；為數列｛c,｝的前九項和，求

an

解：（1）^2an-2an+l=3anan+1,

22*

得---------3,neN,

4+1an

又2=5,

%

2(是首項為5,公差為3的等差數列.

27

-e?一=5+3（〃-1）=3〃+2,故Q=-----,nGN*.

3n+2

2

（2）由（1）知a“=-------，：C=—=（3n.+2）-2"-1,

3n+2-----"an

所以<=5+8x2+11x2?++（3〃—1）.2或2+（3〃+2）-2"T①

27；=5X2+8X22+11X23++（3〃-1>2"T+（3〃+2）2②,

①-②得：

-7；,=5+3X2+3X22++3X2“T—（3"+2"=5+'（1j）—（3〃+2）2

=（l-3n）-2,!-l,

.-.7；=（3ra-l）-2n+l.

21.某校為了解高一學生周末的“閱讀時間”，從高一年級中隨機調查了100名學生進行調

查，獲得了每人的周末“閱讀時間”（單位：小時），按照［0,0.5）,［0.5,1）,…,［4,4.5］分成9

組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

小組距

0.50-----------------

0.30

146

0.08

0.04

00.511.522.533.544.5閱讀時間(小時)

（1）求圖中。的值；

（2）估計該校高一學生周末“閱讀時間”的中位數；

（3）采用分層抽樣的方法從［1,1.5）,［1.5,2）這兩組中抽取7人，再從7人中隨機抽取2

人，求抽取的2人恰好在同一組的概率.

解：⑴由題意，高一學生周末“閱讀時間”在［0,0.5）,［0.5,1）,、［4,4.5］的頻率分別為

0.04,0.08,0.15,0.5a,0.25,0.15,0.07,0.04,0.02.

由1—(0.04+0.08+0.15+0.25+0.15+0.07+0.04+0.02)=0.5a,得a=0.40

（2）設該校高一學生周末“閱讀時間”的中位數為加小時.

因為前5組頻率和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5,前4組頻率和為

0.47<0.5,所以2（機<2.5

由0.50（/“,一2）=0.5—0.47,得利=2.06.

故可估計該校高一學生周末“閱讀時間”的中位數為2.06小時.

（3）由題意得，周末閱讀時間在［1,1.5）,［1.5,2）中的人分別有15人、20人，按分層抽樣的

方法應分別抽取3人、4人，分別記作A5c及a,4Gd.

從7人中隨機抽取2人，這個試驗的樣本空間

Q={AB,AC,Aa,Ab,Ac,Ad,BC,Ba,Bb,Be,Bd,Ca,Cb,Cc,

Cd,ab,ac,ad,be,bd,cd},共包含21個樣本點，且這21個樣本點出現的可能性相等，

抽取的