分析基礎函數極限連續—研究對象—研究方法—研究橋梁函數與極限機動目錄上頁下頁返回結束

第一節機動目錄上頁下頁返回結束函數一、數集與鄰域二、函數的概念三、函數的表示法四、函數的特性五、初等函數六、雙曲函數與反雙曲函數機動目錄上頁下頁返回結束一、數集與鄰域N----自然數集Z----整數集Q----有理數集R----實數集例如：10對于數集,記──正整數集──非零實數集──正實數集20由于實數集中的元素（數）與數軸上的點一一對應，故我們也稱數為“點”．

1.數集——元素都是數的集合注機動目錄上頁下頁返回結束稱為開區間,記作稱為閉區間,記作稱為半開區間,記作稱為半開區間,記作有限區間30區間是一類特殊的數集．數集數集數集數集機動目錄上頁下頁返回結束無限區間機動目錄上頁下頁返回結束──一類特殊的開區間

2.鄰域機動目錄上頁下頁返回結束注機動目錄上頁下頁返回結束定義二、函數的概念1.函數的定義機動目錄上頁下頁返回結束30構成函數的兩要素:定義域與對應法則.①自然定義域（由對應法則（解析式）自然產生）；［約定:自然定義域是使解析式有意義的自變量的一切值］②人為定義域（由人為限定）；③實際定義域（由實際意義確定）．40

定義域的分類:注機動目錄上頁下頁返回結束解(1)不同；(2)相同；(3)不同；(4)相同；機動目錄上頁下頁返回結束2.反函數定義注例1.海倫公式例2.如圖所示,對應陰影部分的面積則在數集自身之間定義了一種映射(滿射)例3.如圖所示,則有(滿射)

(滿射）機動目錄上頁下頁返回結束X(數集或點集

)說明:在不同數學分支中有不同X(≠

)Y(數集)機動目錄上頁下頁返回結束f稱為X上的泛函X(≠

)Xf稱為X上的變換

Rf稱為定義在X上的為函數映射又稱為算子.的慣用名稱.例如,機動目錄上頁下頁返回結束1.解析法（公式法）20分段函數──在定義域的不同范圍內，對應法則用不同的式子表示的函數．2.表格法3.圖形法注10顯函數與隱函數顯函數──因變量由自變量的解析式直接表示出來的函數．隱函數──自變量與因變量的對應關系由一個二元方程來表示的函數．三、函數的表示法機動目錄上頁下頁返回結束(1)符號函數1-1xyo注●幾個特殊的分段函數：機動目錄上頁下頁返回結束12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyoy=[x]([x]表示不超過

的最大整數.)(2)取整函數機動目錄上頁下頁返回結束有理數點無理數點?1xyo(3)狄利克雷函數機動目錄上頁下頁返回結束(4)取最值函數yxoyxo機動目錄上頁下頁返回結束1．函數的有界性四、函數的特性定義機動目錄上頁下頁返回結束30函數f(x)在數集上有界函數f(x)在上既有上界又有下界．10在定義域內有界的函數稱為有界函數．20有界函數的圖形的特征是它被夾在兩條水平直線之間機動目錄上頁下頁返回結束2．函數的單調性定義機動目錄上頁下頁返回結束注oxyxyo機動目錄上頁下頁返回結束3．函數的奇偶性定義機動目錄上頁下頁返回結束偶函數xyxo-xyxox-x奇函數注機動目錄上頁下頁返回結束4．函數的周期性10周期函數的周期通常是指其最小正周期.定義注20并非每個周期函數都有最小正周期.機動目錄上頁下頁返回結束①冪函數1．基本初等函數下列五類函數統稱為基本初等函數：定義②指數函數③對數函數④三角函數⑤反三角函數五、初等函數機動目錄上頁下頁返回結束注在基本初等函數中，以e為底的指數函數與對數函數特別重要，分別稱為基本指數函數與自然對數函數．2．復合函數定義機動目錄上頁下頁返回結束注10并不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數.2030一個復合函數也可由兩個以上的函數復合而成．復合函數的定義域為40相應于復合函數，把基本初函數以及由常數與基本初等函數經過有限次四則運算所構成的函數稱為簡單函數．一個基本初等函數的n次冪（即形如的函數）通常視作復合函數．機動目錄上頁下頁返回結束3．初等函數由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.定義機動目錄上頁下頁返回結束第二節目錄上頁下頁返回結束解解解∴函數的定義域為：奇函數.偶函數.六、雙曲函數與反雙曲函數1.雙曲函數奇函數,有界函數,雙曲函數常用公式2.反雙曲函數是奇函數,上單調增加．上單調增加．奇函數,上單調增加．▲小結數集區間鄰域函數分段函數隱函數有界性單調性奇偶性周期性反函數復合函數基本初等函數初等函數基本概念函數的特性且備用題證明證:令則由消去得時其中a,b,c為常數,且為奇函數.為奇函數.1.

設機動目錄上頁下頁返回結束2.

設函數的圖形與均對稱,求證是周期函數.證:由的對稱性知于是故是周期函數,周期為機動目錄上頁下頁返回結束第二節

機動目錄上頁下頁返回結束數列的極限一、數列的概念二、極限思想概述三、數列極限的定義四、收斂數列的性質劉徽目錄上頁下頁返回結束一、數列的概念定義注1．數列的定義機動目錄上頁下頁返回結束定義2．有界數列的定義機動目錄上頁下頁返回結束定義3．單調數列的定義注機動目錄上頁下頁返回結束定義4．子數列的定義注◎割圓術：播放——劉徽二、極限思想概述極限概念是由于求某些問題的精確解答而產生的．例如，我國古代數學家劉徽（三世紀）發明的“割圓術”

利用圓的內接正多邊形的面積來推算圓面積的方法，就是極限思想在幾何學上的應用．“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”機動目錄上頁下頁返回結束正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積機動目錄上頁下頁返回結束●極限思想:極限是變量的一種變化趨勢，極限是由近似過渡到精確的橋梁．機動目錄上頁下頁返回結束三、數列極限的定義考察下列四個數列：(1)(2)(3)(4)容易看出：當n無限增大時，數列（1）的一般項也無限增大；數列（2）的始終在1和－1兩點上來回跳動；它們都不趨近于一個確定的常數．而數列（3）與（4）的情形就不一樣，數列（3）無限趨近于常數0；數列（4）無限趨近于常數1．我們就稱常數0為數列（3）的極限；常數1為數列（4）的極限．機動目錄上頁下頁返回結束1．數列極限的描述性定義問題:“無限趨近”的實質是什么?如何用數學語言刻畫它.機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束2．數列極限的分析定義（精確定義）注機動目錄上頁下頁返回結束3．數列極限的幾何解釋機動目錄上頁下頁返回結束例1已知證明數列的極限為1.

證欲使即只要因此,取則當時,就有故機動目錄上頁下頁返回結束證明證欲使只要即取則當時,就有故故也可取也可由N與

有關,但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取機動目錄上頁下頁返回結束例2已知證明等比數列證欲使只要即亦即因此,取,則當n>N時,就有故的極限為0.機動目錄上頁下頁返回結束例3設四、收斂數列的性質性質１（數列極限的唯一性）

［簡言之，收斂數列的極限是唯一的．］機動目錄上頁下頁返回結束性質２（收斂數列的有界性）

［簡言之，收斂數列必有界．］注20有界是數列收斂的必要條件而非充分條件，即：有界數列不一定收斂，無界數列一定發散.例如數列：有界，但發散．機動目錄上頁下頁返回結束證由數列極限的定義,對于當時，于是，機動目錄上頁下頁返回結束證從而有性質３（收斂數列的保號性）

不妨設所以對推論如果數列從某項起有因為機動目錄上頁下頁返回結束性質４（收斂數列的子列收斂性）

［簡言之，收斂數列的任一子數列也收斂．且極限相同．］注20發散的數列也可能有收斂的子數列．機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束*********************證設數列是數列的任一子數列.若則當時,有現取正整數K,使于是當時,有從而有由此證得*********************機動目錄上頁下頁返回結束返回劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數學家.他撰寫的《重差》對《九章算術》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數學方法和數學理論上作出了杰出的貢獻.他的“割圓術”求圓周率“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法:第三節

機動目錄上頁下頁返回結束函數的極限一、函數極限的定義二、函數極限的性質自變量變化過程共有兩類六種：對于函數第四節目錄上頁下頁返回結束一、函數極限的定義1.自變量趨于無窮大時函數的極限第四節目錄上頁下頁返回結束(1)定義（定義）第四節目錄上頁下頁返回結束注第四節目錄上頁下頁返回結束(2)的幾何解釋第四節目錄上頁下頁返回結束證證第四節目錄上頁下頁返回結束2.自變量趨向有限值時函數的極限(1)定義（定義）注(2)的幾何解釋例3證（3）雙側極限與單側極限的關系例4設求：解

（1）（2）（3）（4）二、函數極限的性質（以為例）性質1(唯一性)性質2(局部有界性)性質３(局部保號性)

推論性質4(與數列極限的關聯性)

性質5（保序性）例5證（反證法）若存在，設為取數列：則但由性質4知：于是，并記矛盾！思考題思考題解答若極限存在,是否一定有？不一定！

第四節機動目錄上頁下頁返回結束無窮小與無窮大一、無窮小與無窮大的定義二、無窮小與無窮大的關系三、函數極限與無窮小的關系四、無窮小的性質一、無窮小與無窮大的定義定義1定義2例如:注10不能把無窮小理解為很小的數，也不能把無窮大理解為很大的數．無窮小（或無窮大）是一個函數，在自變量的某一變化過程中，其絕對值無限變小（或無限增大）．任何除零外的數都不是無窮小．20數零是任何趨勢下的無窮小．30無窮小（或無窮大）總是與自變量的某一變化過程相聯系．40“無窮大”屬于極限不存在的情形．但為了便于敘述函數的這一性態，我們也說“函數的極限是無窮大”．60對于自變量的其它四種變化趨勢也有類似的定義．50無窮小必是局部有界函數，無窮大必是無界函數．二、無窮小與無窮大的關系定理1三、函數極限與無窮小的關系定理2證必要性充分性例1解四、無窮小的性質性質1性質2推論1推論2有限個無窮小的和仍是無窮小．有界函數與無窮小的乘積仍是無窮小．常數與無窮小的乘積仍是無窮小．有限個無窮小的乘積仍是無窮小．例2求下列極限：思考題思考題解答

第五節機動目錄上頁下頁返回結束極限運算法則一、極限的四則運算法則二、極限的復合運算法則一、極限的四則運算法則定理1注10法則（1）、（2）可推廣到有限個函數的情形．20法則對數列也適用．30使用極限四則運算法則的注意點：①參與運算的每個函數都要存在極限；②只能用于有限次運算；③在商的情形分母的極限不能為零．推論2推論1

運算法則求極限，只能用于次有限，每個函數有極限，分母不為零極限．例如：推論3當時，有無窮小化出法:以分式中自變量的最高次冪除分子與分母,化出無窮小,然后再求極限.例1求：解

無窮小化出法解商的運算法則不能用！由無窮小與無窮大的關系,得例2例3約去無窮小公因子法（約簡分式法）解例4解因為所以且當時，解例5求例6求解有理化分子或分母法無窮小化出法例7設試求：解（1）所以從而（2）因為所以例8例9解解無窮小化出法和式化簡法二、極限的復合運算法則定理2注例10求解令則由于于是，思考題解答不存在．假設存在，存在，故由極限運算法則可知：存在，與已知條件矛盾，故假設錯誤．思考題是否存在?為什么?問機動目錄上頁下頁返回結束極限存在準則兩個重要極限

第六節一、極限存在準則二、兩個重要極限一、極限存在準則1.夾逼準則準則Ⅰ準則Ⅰ′例1解故由夾逼準則得：例2求解因為且故2.單調有界準則準則Ⅱ的幾何解釋:注10準則Ⅱ可推廣為：“廣義單調有界數列必有極限”.準則Ⅱ′

20準則Ⅱ可分解為：單調增且有上界數列必有極限；單調減且有下界數列必有極限．例3證明存在．設證顯然數列單調增加．又即有界．據單調有界準則，存在．所以當n充分大時，數列單調減少．例4證明:證所以數列有下界．據單調有界準則，存在．因為因為令令則由兩邊令得，故二、兩個重要極限1．在單位圓中，取圓心角故此式對于推廣：例5求下列極限：2．推廣：注e為無理數,例6求下列極限：思考與練習填空題第七節目錄上頁下頁返回結束一、無窮小的比較二、等價無窮小的性質

無窮小的比較第七節一、無窮小的比較兩個無窮小的和、差、積都是無窮小，但是兩個無窮小的商卻會出現各種不同的情形．例如,當時，都是無窮小．但兩個無窮小之比的極限的不同情況，反映了不同無窮小趨于0的速度是有快有慢的，為了描述這樣的現象，我們引入無窮小的階的概念．定義例如，記作：記作：證二、等價無窮小的性質定理1例如：當時，所以，當時，有：定理２(等價無窮小代換定理)證注10等價無窮小代換定理表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子和分母都可用其等價無窮小來代替換，使計算簡化．這種求極限的方法稱為等價無窮小代換法．20只能對分子或分母的“無窮小因子”代換，即只能在“乘除”的情形代換．30常用的等價無窮小：例2解因為當時，例1解因為當時，例3解例4解例５解解錯例6解思考題任何兩個無窮小都可以比較嗎？思考題解答不能．都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當時，例：當時，一、函數連續的概念二、連續函數的運算性質三、初等函數的連續性四、函數的間斷點及其分類第八節函數的連續性與間斷點

機動目錄上頁下頁返回結束一、函數連續的概念0.函數的增量(改變量)1．函數在某點連續的定義則(3)10函數在點連續必須具備下列條件:(2)極限存在；(1)在點即有定義,存在；注20函數在某點連續是局部性概念．例1討論處的連續性．解因為從而在處不連續．例2討論處的連續性．解因為故在處不連續．因為故在處不連續．解因為例3設處連續，求常數由在處連續得，故2．左連續與右連續的定義定理13．函數在區間內連續的定義連續函數的圖形是一條連續而不斷開的曲線．注

二、連續函數的運算性質定理2（連續函數的和、差、積、商的連續性）（反函數的連續性）

【簡言之，單調連續函數必有單調連續的反函數.】定理3（復合函數的連續性）

（極限號與函數號換序定理）

定理4定理5例4求下列極限：一般地，則三、初等函數的連續性定理6一切初等函數在其定義區間內都是連續的．注10定義區間──包含在定義域內的區間──定義域中除去＂孤立點＂的部分．20基本初等函數的定義域中沒有孤立點，故30定理6表明：初等函數的連續區間就是其定義區間．40定理6還提供了求極限的一個簡單而又重要的方法：基本初等函數在其定義域內都是連續的．四、函數的間斷點及其分類1．間斷點的定義注2.間斷點的分類:第一類間斷點:及均存在,第二類間斷點:及中至少一個不存在,若稱為可去間斷點.若稱為跳躍間斷點.則稱若其中至少有一個為為無窮間斷點.若其中至少有一個振蕩,則稱為振蕩間斷點.第一類間斷點跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyx可去型oyxoyx.例5解為函數的跳躍間斷點,屬于第一類．例6解為函數的可去間斷點,屬于第一類．注意只要改變或者補充可去間斷點處函數的定義,即可使其變為連續點.例7解為函數的無窮間斷點,屬于第二類．例8解且當時函數值在－1與1之間變動無限多次．為函數的振蕩間斷點,屬于第二類．例9解（1）為初等函數，其定義域為是跳躍間斷點，屬于第一類．例10解（1）為初等函數，其定義域為思考題1思考題1解答且（夾逼準則）但反之不成立.反例:但思考題2思考題2解答一個函數的間斷點是否只有是有限個？不一定．

狄利克雷函數在定義域R內每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.僅在x=0處連續,其余各點處處間斷.例如：

在定義域R內每一點處都間斷,但其絕對值處處連續.

指出下列函數的間斷點的類型:思考題3。一、有界性二、最值性三、介值性四、零點存在性第九節閉區間上連續函數的性質

〇、預備知識1．函數的最值定義12．函數的零點定義2注一、有界性在閉區間上連續的函數必在上有界．定理1（有界性定理）若區間不是閉區間或區間內有間斷點,則結論不一定成立．注二、最值性在閉區間上連續的函數必在上取得它的最大值和最小值．定理2（最值性定理）若不是閉區間或閉區間內有間斷點,則結論不一定成立．注三、介值性定理3（介值定理）MCmabyx四、零點存在性定理4（零點定理）例1證令則在上連續，且由零點定理得：至少存在一點使得即方程至少有一個小于1的正根．例2證由零點定理,則在上連續，且至少存在一點使得上連續,且恒為正,例3

設在對任意的必存在一點證使令使故由零點定理知,存在即當時,取或,則有證明:小結目錄上頁下頁返回結束則在上連續，且思考題1下述命題是否正確？思考題1解答不正確.例如，函數

任給一張面積為A的紙片(如圖),證明必可將它一刀剪為面積相等的兩片.提示:建立坐標系如圖.則面積函數因故由介值定理可知:機動目錄上頁下頁返回結束思考題2在上連續．則證明：使提示:令則易證

設至少存在一點習題課目錄上頁下頁返回結束思考題3在上連續，且在上連續，且備用題

至少有一個不超證證明令且根據零點定理,原命題得證.內至少存在一點在開區間顯然過4的正根.機動目錄上頁下頁返回結束二、連續與間斷一、函數三、極限習題課機動目錄上頁下頁返回結束函數與極限

一、函數1.函數的概念定義:定義域值域圖形:(一般為曲線)設函數為特殊的映射:其中機動目錄上頁下頁返回結束2.函數的特性有界性,單調性,奇偶性,周期性3.反函數設函數為單射,反函數為其逆映射4.復合函數給定函數鏈則復合函數為5.初等函數有限個常數及基本初等函數經有限次四則運算與復復合而成的一個表達式的函數.機動目錄上頁下頁返回結束例1.設函數求解:機動目錄上頁下頁返回結束解:利用函數表示與變量字母的無關的特性.代入原方程得代入上式得設其中求令即即令即畫線三式聯立即例2.機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.下列各組函數是否相同?為什么?相同相同相同機動目錄上頁下頁返回結束2.下列各種關系式表示的y是否為x的函數?

為什么?不是是不是提示:(2)機動目錄上頁下頁返回結束⑶⑵3.下列函數是否為初等函數?為什么?⑷以上各函數都是初等函數.機動目錄上頁下頁返回結束4.設求及其定義域.5.已知,求6.設求由得4.解:機動目錄上頁下頁返回結束5.已知,求解:6.設求解:機動目錄上頁下頁返回結束二、連續與間斷1.函數連續的等價形式有2.函數間斷點第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點機動目錄上頁下頁返回結束有界定理;最值定理;零