第三章線性系統的時域分析法3.1控制系統的時域指標

所謂時域分析法，就是在時間域內研究控制系統性能的方法，它是通過拉氏變換直接求解系統的微分方程，得到系統的時間響應，然后根據響應表達式和響應曲線分析系統的動態性能和穩態性能。

分析控制系統的第一步是建立模型，數學模型一旦建立，第二步分析控制性能，分析有多種方法，主要有時域分析法，根軌跡法，頻域分析法等。每種方法，各有千秋。均有他們的適用范圍和對象。本章先討論時域法。

為了研究控制系統的輸出響應，必須了解輸入信號的變化形式。在工程實際中，有些系統的輸入信號是已知的（如恒值系統），但對有些控制系統來說，常常不能準確地知道其輸入量是如何變化的（如隨動系統）。

因此，為了方便分析和設計，使各種控制系統有一個比較的基礎，需要選擇一些典型測試信號作為系統輸入，然后比較各種系統對這些測試信號的響應。常用的測試信號在第一章已經介紹，它們是脈沖信號、階躍信號、斜坡信號、拋物線信號及正弦信號。這些信號都是簡單的時間函數，并且易于通過實驗產生，便于數學分析和試驗研究。

如果控制系統的實際輸入大部分是隨時間逐漸增加的信號，選用斜坡函數較合適；如果作用到系統的輸入信號大多具有突變性質時，則選用階躍函數較合適。

需要注意的是，不管采用何種典型輸入型號，對同一系統來說，其過渡過程所反應出的系統特性應是統一的。這樣，便有可能在同一基礎上去比較各種控制系統的性能。此外，在選取測試信號時，除應盡可能簡單，以便于分析處理外，還應選擇那些能使系統工作在最不利的情況下的輸入信號作為典型實驗信號。

本章主要討論控制系統在階躍信號、斜坡信號、加速度信號等輸入信號作用下的輸出響應。1.典型測試信號（1）單位脈沖信號拉氏變換為

單位脈沖函數是對脈沖寬度足夠小的實際脈沖函數的數學抽象，可用于考查系統在脈沖擾動后的恢復運動。拉氏變換為

單位階躍函數是用于考查系統對于恒值信號跟蹤能力時的實驗信號。非單位值情況下，階躍函數的數學表達式為R為常量，是階躍函數的幅值。（2）單位階躍信號（3）單位速度（斜坡）信號拉氏變換為

單位速度函數是用于考查系統對勻速信號跟蹤能力時的實驗信號。（4）單位加速度（拋物線）信號拉氏變換為

勻加速函數是用于考查系統機動跟蹤能力時的實驗信號。（5）正弦信號拉氏變換為A是正弦函數的幅值正弦函數主要用于頻域分析，有時也用于時域分析。2動態過程和穩態過程

（1）動態過程（過渡過程、瞬態過程）：系統在典型輸入信號作用下，系統輸出量從初始狀態到最終狀態的響應過程；根據系統結構和參數選擇的情況，動態過程表現為衰減、發散和等幅振蕩幾種形態。用動態性能指標描述。

（2）穩態過程：系統在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮大時，系統輸出量的表現方式；穩態過程表征系統輸出量最終復現輸入量的程度，提供系統穩態誤差的信息，用穩態性能指標描述。

可見，控制系統在典型輸入信號作用下的時域性能指標由動態性能指標和穩態性能指標兩部分組成。

為便于分析和比較，假定系統在單位階躍輸入信號作用前處于靜止狀態，而且系統輸出量及其各階導數均等于零。對于大多數控制系統來說，這種假設是符合實際情況的。控制系統的典型單位階躍響應曲線如下圖所示。3動態性能和穩態性能0tσ超調量允許誤差±Δ10.90.50.1trtptstdh(t)0.02或0.05)(∞h)(∞h)(∞h)(∞h穩定是系統運行的首要條件，只有當動態過程收斂時，研究其動態性能才有意義。

一般認為，階躍輸入對系統來說是最為嚴峻的工作狀態，如果系統在階躍函數作用下的動態性能滿足要求，在其他輸入形式作用下的動態性能也能滿足要求。因此，通常在階躍函數作用下測定或計算系統的動態性能。而系統的動態性能指標就用其在單位階躍函數作用下的響應，即系統的單位階躍響應的特征量來描述。（1）動態性能指標

上升時間tr

（RisingTime）:響應曲線從穩態值的10%上升到90%所需的時間。上升時間越短，響應速度越快。對于振蕩系統，也可定義為由零開始，首次達到穩態值所需的時間。

峰值時間tp

（PeakTime）：響應曲線達到第一個峰值所需要的時間。

延遲時間td

（DelayTime）：響應曲線第一次達到穩態值的一半所需的時間

調節時間ts（SettlingTime）：響應曲線達到并永遠保持在一個允許誤差范圍內所需的最短時間。允許誤差范圍用穩態值的百分數（通常取5%或2%）表示。

超調量（MaximumOvershoot）：指響應的最大偏離量h(tp)與終值之差的百分比，即（2）穩態性能指標

穩態誤差ess

：期望值與實際值之差。

或評價系統的響應速度；同時反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標，從整體上反映系統的快速性。評價系統的阻尼程度。衡量系統控制精度和抗干擾能力。ess3-2一階系統的時間響應一、一階系統的數學模型由一階微分方程描述的系統稱為一階系統。

在零初始條件下，利用拉氏反變換或直接求解微分方程，可以求得一階系統在典型輸入信號作用下的輸出響應。典型閉環控制一階系統如圖3-1所示.其中1/Ts是積分環節，T是時間常數。圖3-1T是表征系統慣性大小的重要參數R(s)C(s)1/Ts-j0-1/T二、單位階躍響應

設系統的輸入為單位階躍函數r(t)=1(t),其拉氏變換為則輸出的拉氏變換為

對上式進行拉氏反變換，求得單位階躍響應為(3-4)

上式表明，當初始條件為零時，一階系統單位階躍響應的變化曲線是一條單調上升的指數曲線,式中的1為穩態分量，為瞬態分量，當t→∞時，瞬態分量衰減為零。在整個工作時間內，系統的響應都不會超過穩態值。由于該響應曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應。一階系統的單位階躍響應曲線如圖所示。斜率1C(t)0.95T3T0.632圖

一階系統的單位階躍響應圖中指數響應曲線的初始（t=0時）斜率為.因此，如果系統保持初始響應的變化速度不變，則當t=T時，輸出量就能達到穩態值。實際上，響應曲線的斜率是不斷下降的，經過T時間后，輸出量C（T）從零上升到穩態值的63.2%。經過3T～4T時，C（t）將分別達到穩態值的95%～98%。可見，時間常數T反應了系統的響應速度，T越小，輸出響應上升越快，響應過程的快速性也越好。

斜率1C(t)0.95T3T0.632圖3-2一階系統的單位階躍響應C（t）由式（3-4）可知，只有當t趨于無窮大時，響應的瞬態過程才能結束，在實際應用中，常以輸出量達到穩態值的95%或98%的時間作為系統的響應時間（即調節時間），這時輸出量與穩態值之間的偏差為5%或2%。系統單位階躍響應曲線可用實驗的方法確定，將測得的曲線與上圖的曲線作比較，就可以確定該系統是否為一階系統或等效為一階系統。此外，用實驗的方法測定一階系統的輸出響應由零值開始到達穩態值的63.2%所需的時間，就可以確定系統的時間常數T。(3-4)例3.1一階系統的結構圖如圖所示，若kt=0.1,試求系統的調節時間ts;如果要求ts≤0.1秒。試求反饋系數kt應取多大？解：系統的閉環傳遞函數100/sktR(s)C(s)對上式進行拉氏反變換，求得單位脈沖響應為由此可見，系統的單位脈沖響應就是系統閉環傳遞函數的拉氏反變換。一階系統的單位脈沖響應曲線如圖3-4所示。

（t≥0）(3-5)0.368C(t)3T斜率C(t)T2Tt圖3-4一階系統的脈沖響應三、單位脈沖響應

設系統的輸入為單位脈沖函數r(t)=δ(t),其拉氏變換為R(s)=1,則輸出響應的拉氏變換為

一階系統的單位脈沖響應是單調下降的指數曲線，曲線的初始斜率為，輸出量的初始值為。當t趨于∞時，輸出量c(∞)趨于零，所以它不存在穩態分量。在實際中一般認為在t=3T～５T時過渡過程結束，故系統過渡過程的快速性取決于T的值，T越小系統響應的快速性也越好。由上面的分析可見，一階系統的特性由參數T來表述，響應時間為（3-4）T；在t=0時，單位階躍響應的斜率和單位脈沖響應的幅值均為;單位斜坡響應的穩態誤差為T。T值越小，系統響應的快速性越好，精度越高。式中，t-T為穩態分量，為瞬態分量，當t→∞時，瞬態分量衰減到零。一階系統的單位斜坡響應曲線如圖3-5所示。

（t≥0）(3-6)TtTC(t)r(t)=to圖3-5一階系統的單位斜坡響應四、單位斜坡響應

設系統的輸入為單位斜坡函數r(t)=t，其拉氏變換為則輸出的拉氏變換為顯然，系統的響應從t=0時開始跟蹤輸入信號而單調上升，在達到穩態后，它與輸入信號同速增長，但它們之間存在跟隨誤差。即且可見，當t趨于無窮大時，誤差趨近于T，因此系統在進入穩態以后，在任一時刻，輸出量c(t)將小于輸入量r(t)一個T的值，時間常數T越小，系統跟蹤斜坡輸入信號的穩態誤差也越小。輸入信號輸出響應表中各響應說明如下：（1）一階系統只有一個特征參數，即其時間常數T。在一定的輸入信號作用下，其時間響應c（t）由其時間常數唯一確定。下表列出了一階系統對三種典型輸入信號的響應(2)一階系統的響應時間為（3-4）T；在t=0時，單位階躍響應的斜率和單位脈沖響應的幅值均為1/T;單位斜坡響應的穩態誤差為T。T值越小，系統響應的快速性越好，精度越高。輸入信號輸出響應這一關系表明，系統對輸入信號導數的響應等于系統對該輸入信號響應的導數；系統對輸入信號積分的響應等于系統對該輸入信號響應的積分；積分常數由初始條件確定。

這一結論適用于任何線性定常連續控制系統。因此，研究線性定常連續控制系統的時間響應，可以只對其中一種典型輸入信號，如單位階躍信號的時間響應進行計算和測定。（3）因為脈沖函數δ(t)和斜坡函數t1(t)分別是階躍函數1(t)的對時間t的一階微分和積分，故系統的單位脈沖響應和單位斜坡響應分別是系統的單位階躍響應對時間t的一階微分和積分。

由二階微分方程描述的系統稱為二階系統。在控制工程實踐中，二階系統應用極為廣泛，此外，許多高階系統在一定的條件下可以近似為二階系統來研究，因此，詳細討論和分析二階系統的特征具有極為重要的實際意義。C(t)R(t)_C(t)圖3-7二階系統結構圖（3-9）

設一個二階系統的結構圖如圖3-7所示。系統的閉環傳遞函數為

其中K為系統的開環放大系數，T為時間常數。§3-3二階系統的時域響應與式（3-9）相對應的微分方程為

可見，該系統是一個二階系統。為了分析方便，將系統的傳遞函數改寫成如下形式式中，稱為自然頻率，（或無阻尼振蕩頻率），稱為阻尼比（或阻尼系數）。(3-11)系統的閉環特征方程為（3-12）它的兩個根(閉環極點)為（3-13）二階系統特征根（即閉環極點）的形式隨著阻尼比取值的不同而不同。

1.二階系統的單位階躍響應

設系統的輸入為單位階躍函數，則系統輸出響應的拉氏變換表達式為

對上式取拉氏反變換，即可求得二階系統的單位階躍響應。

當阻尼比小于0時，系統具有實部為正的極點，輸出響應是發散的，此時系統已無法正常工作。P85它們在S平面上的位置如圖3-9所示。此時，輸出可寫成[s]o圖3-9欠阻尼時的極點分布當時，系統具有一對共軛復數極點，且在S平面的左半部分，即(1)欠阻尼（）的情況將它們代入上式并將式中的第二項分成兩項得式中，稱為阻尼振蕩頻率。由含共軛復數極點求拉氏反變換的方法，得，，取拉氏反變換得到c(t)，見P32表2-3---序號15、17令,則。于是有

稱阻尼角。系統的穩態響應為1，瞬態分量是一個隨時間t的增大而衰減的正弦振蕩過程。振蕩的角頻率為，它取決于阻尼比和無阻尼自然頻率。衰減速度取決于的大小。此時系統工作在欠阻尼狀態，輸出響應如右圖所示。tC(t)10附圖

欠阻尼響應當時，系統具有兩個相等的負實數極點，，如圖3-9所示。此時有

留數法部分分工展開得：

將代入，并進行拉氏反變換，得o[s]圖3-9臨界阻尼時極點的分布（2）臨界阻尼（）的情況

該式表明，當時，系統的輸出響應由零開始單調上升，最后達到穩態值1，其響應曲線如右圖所示。是輸出響應的單調和振蕩過程的分界，通常稱為臨界阻尼狀態。t1oC(t)附圖

臨界阻尼響應(3-16)（3）過阻尼（>1）的情況

當>1時，系統具有兩個不相等的負實數極點，它們在S平面上的位置如圖3-9所示。此時，輸出可寫成

j0[s]圖3-9過阻尼時極點分布式中將A0、A1、A2代入上式，并進行拉氏反變換，得

（3-17)式(3-11)表明，系統的單位階躍響應由穩態分量和瞬態分量組成，其穩態分量為1，瞬態分量包含兩個衰減指數項，隨著t增加，指數項衰減，響應曲線單調上升，其響應曲線如附圖所示。C(t)to1附圖

過阻尼響應當>>１時，閉環極點比距虛軸遠的多，故比衰減快的多。因此，可以忽略對系統輸出的影響，從而把二階系統近似看作一階系統來處理。在工程上，當時，這種近似處理方法具有足夠的準確度。通常，稱阻尼比時二階系統的運動狀態為過阻尼狀態。C(t)to1圖3-7過阻尼響應

可見，系統的輸出響應是無阻尼的等幅振蕩過程，其振蕩頻率為。響應曲線如圖3–9（b）所示。綜上所述，不難看出頻率和的物理意義。圖3-9無阻尼時的極點分布和響應[s]o(a)C(t)(b)1to（4）無阻尼（）的情況

當時，系統具有一對共軛純虛數極點

,它們在S平面上的位置如圖3-9（a）所示。將代入單位階躍響應式得根據上面的分析可知，在不同的阻尼比時，二階系統的響應具有不同的特點。因此阻尼比是二階系統的重要特征參數。若選取為橫坐標，可以作出不同阻尼比時二階系統單位階躍響應曲線,

——無阻尼自然振蕩頻率，此時系統輸出為等幅振蕩.

——阻尼振蕩頻率。系統輸出為衰減正弦振蕩過程。綜上所述，不難看出頻率和的物理意義。無因次時間如圖3-10所示，此時曲線只和阻尼比有關。由圖可見，越小，響應特性振蕩得越厲害，隨著增大到一定程度后，響應特性變成單調上升的。從過渡過程持續的時間看，當系統無振蕩時，以臨界阻尼時過渡過程的時間最短，此時，系統具有最快的響應速度。當系統在欠阻尼狀態時，若阻尼比在0.4～0.8之間，則系統的過渡過程時間比臨界阻尼時更短，而且此時的振蕩特性也并不嚴重。圖3-10二階系統的階躍響應

一般希望二階系統工作在=0.4～0.8的欠阻尼狀態下，在工程實際中，通常選取作為設計系統的依據。2．欠阻尼二階系統的動態過程分析

在實際應用中，控制系統性能的好壞是通過系統的單位階躍響應的特征量來表示的。為了定量地評價二階系統的控制質量，必須進一步分析和對系統單位階躍響應的影響，并定義二階系統單位階躍響應的一些特征量作為評價系統的性能指標。除了一些不允許產生振蕩的系統外，通常希望二階系統工作在=0.4～0.8的欠阻尼狀態下。在工程實際中，通常選取作為設計系統的依據。

當=0.4～0.8，系統在具有適度振蕩特性的情況下，能有較短的過渡過程時間，因此下面有關性能指標的定義和定量關系的推導，主要是針對二階系統的欠阻尼工作狀態進行的。控制系統的單位階躍響應一般來說是與初始條件有關的，為了便于比較各種系統的控制質量，通常假設系統的初始條件為零。系統在欠阻尼情況下的單位階躍響應為

(3-14)

對應的響應曲線如右圖所示，下面就根據式（3-14）和右圖所示曲線來定義系統的瞬態性能指標，同時討論性能指標與特征量之間的關系。1、上升時間

響應曲線從零開始上升，第一次到達穩態值所需的時間，稱為上升時間。根據上述定義，當時，，，由式（3-14）：超調量C(t)上升時間峰值時間調節時間誤差帶穩態誤差o1.0t附圖

二階系統瞬態性能指標即所以（k=0,1,2……）由于上升時間是c(t)第一次到達穩態值的時間，故取k=1，所以

由式(3-19)可以看出，當一定時，阻尼比越大，上升時間越長，當一定時，越大，越小。(3-19)由定義，將式（3-14）對時間求導，并令其等于零，即得經變換可得所以即（k=1,2，……）因為峰值時間是C(t)到達第一個峰值的時間，故取=1,所以2、峰值時間

響應曲線c(t)從零開始到達第一個峰值所需時間，稱為峰值時間。（3-20）可見，當一定時，越大，越小，反應速度越快。當一定時，越小，也越小。由于是閉環極點虛部的數值，越大，則閉環極點到實軸的距離越遠，因此，也可以說峰值時間與閉環極點到實軸的距離成反比。3、超調量

在響應過程中，輸出量C（t）超出其穩態值的最大差量與穩態值之比稱為超調量。超調量可表示為式中為輸出量的最大值，為輸出量的穩態值。將式（3-20）代入式（3-14）求得輸出量的最大值為所以根據超調量的定義，并考慮到，求得（3-21）由上式：

該式表明，只是的函數，而與無關，越小,則越大。當二階系統的阻尼比確定后，即可求得對應的超調量。反之，如果給出了超調量的要求值，也可求得相應的阻尼比的數值。一般當時，相應的超調量。與關系曲線如圖3-12所示。（3-21）10090807060504030201000.20.40.60.81.0圖3-12欠阻尼二階系統超調與阻尼比關系曲線

4、調節時間響應曲線到達并停留在穩態值的（或)誤差范圍內所需的最小時間稱為調節時間（或過渡過程時間）。根據調節時間的定義應有下式成立式中（或0.02）將式（3-14）及代入上式得為簡單起見，可以采用近似的計算方法，忽略正弦函數的影響，認為指數項衰減到0.05（或0.02）時，過渡過程即進行完畢，于是得到由此可求得若取，則得

若取，則得

在時，上面兩式可分別近似為和該式表明，調節時間近似與成反比。由于是閉環極點實部的數值，越大，則閉環極點到虛軸的距離越遠，因此，可以近似地認為調節時間與閉環極點到虛軸的距離成反比。在設計系統時，通常由要求的超調量所決定，而調節時間則由自然振蕩頻率所決定。也就是說，在不改變超調量的條件下，通過改變的值可以改變調節時間。

(3-23)(3-22)根據定義，振蕩次數式中稱為系統的阻尼振蕩周期。若取，，若取，振蕩次數只與阻尼比有關。阻尼比和無阻尼自振頻率是二階系統兩個重要特征參數，它們對系統的性能具有決定性的影響。當保持不變時，提高使、、下降，從而提高系統的快速性，同時保持和N不變。當保持不變時，增大可使和下降,但使和上升5．振蕩次數N

響應曲線在0～ts

時間內波動的次數稱為振蕩次數。二階系統單位階躍響應的性能指標歸納如下：顯然在系統的振蕩性能和快速性之間是存在矛盾的，例如上升時間（響應速度）和超調量（阻尼程度或相對穩定性）。要使二階系統具有滿意的動態性能，必須選取合適的阻尼比和無阻尼自振蕩率。通常可根據系統對超調量的限制要求選定，然后在根據其它要求來確定。

過阻尼二階系統的動態過程分析

過阻尼系統響應緩慢，對于一般要求時間響應快的系統過阻尼響應是不希望的。但在有些應用場合則需要過阻尼響應特性：例如（1）大慣性的溫度控制系統、壓力控制系統等。（2）指示儀表、記錄儀表系統，既要無超調、時間響應盡可能快。另外，有些高階系統可用過阻尼二階系統近似。過阻尼動態性能指標：延遲時間、上升時間、調節時間因為求上述指標，要解一個超越方程，只能用數值方法求解。利用曲線逆合法給出近似公式（1）延遲時間計算（2）上升時間計算

（3）調節時間計算

例3-2：角度隨動系統如圖所示，設

K

為開環增益，T=0.1s為伺服電動機的時間常數。若要求：單位階躍響應無超調，而且，求K的取值、系統的延遲時間和上升時間.解：因為考慮系統盡量快的無超調響應，則可選阻尼比為臨界阻尼二階系統性能的改善改善二階系統性能的兩種方法：比例-微分控制測速反饋控制（1）比例-微分控制1以角度隨動系統為例(a)比例控制[0，t1)系統阻尼小，修正轉矩過大；輸出超調[t1,t3)轉矩反向，起制動作用，但慣性與制動轉矩不夠大，仍超調[t3,t5)誤差又為正，修正轉矩又為正，力圖使輸出趨勢減小……(b)控制措施：附加誤差的微分量

[0，t2)內減小正向修正轉矩，增大反向制動轉矩；

[t2,t4)內減小反向制動轉矩，增大正向修正轉矩理論分析：比例-微分控制對系統性能的影響1有零點二階系統比例-微分控制不改變系統的自然頻率，但增大了系統的阻尼比。適當選擇開環增益和微分時間常數，既可減小系統斜坡輸入時的穩態誤差，又可使系統具有滿意的階躍響應性能。當輸入為單位階躍函數時:P95給出了：（1）求上升時間的關系曲線；（2）峰值時間；（3）超調量；（4）調節時間

結論：（1）微分控制可增大系統阻尼，減小階躍響應的超調量，縮短調節時間；（2）允許選取較高的開環增益，減小穩態誤差；（3）微分對于噪聲（高頻噪聲）有放大作用，在輸入端噪聲較強時，不用比例-微分控制。（2）測速反饋控制開環增益結論：（1）測速反饋可以增加阻尼比，但不影響系統的自然頻率；（2）測速反饋不增加系統的零點