專題12圓周角重難點題型專訓（八大題型）【題型目錄】題型一圓周角的概念辨析題型二圓周角定理題型三同弧或等弧所對的圓周角相等問題題型四半圓所對的圓周角是直角問題題型五90°的圓周角所對的弦是直徑問題題型六已知圓內接四邊形求角度題型七求四邊形外接圓的直徑題型八圓周角綜合問題【經典例題一圓周角的概念辨析】【例1】（2023·湖北武漢·統考一模）如圖，多邊形是由等腰和矩形組成，，若過，，三點，則的半徑是（

）

A． B．3 C． D．4【變式訓練】1．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD的頂點A，B，C在圓上，且邊CD與該圓交于點E，AC，BE交于點F.下列角中，弧AE所對的圓周角是(

)A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，直線經過的圓心，且與交于兩點，點在上，且，點是直線上的一個動點(與圓心不重合)，直線與相交于另一點，如果，則.3．（2023·湖南婁底·校考一模）已知點、、、在圓上，且切圓于點，于點，對于下列說法：①圓上是優弧；②圓上是優弧；③線段是弦；④和都是圓周角；⑤是圓心角，其中正確的說法是．4．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖，是圓的直徑，是延長線上一點，點在圓上，且，的延長線交圓于點，若，求的度數.5．（2023·甘肅酒泉·統考三模）把下面的語句還原成圖形：作圖區域：(1)的半徑為1cm，是的一條弦（不經過M），、分別是劣弧所對應的圓心角和圓周角；(2)是中的一條弧，且．【經典例題二圓周角定理】【例2】（2023·安徽滁州·校考模擬預測）如圖，是的直徑，點在上，，則的大小為（）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023·陜西咸陽·校考一模）如圖，為的直徑，C、D為上的點，，若，則（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·九年級課時練習）如圖，是的直徑，弦于點，則的半徑是．

3．（2022秋·江蘇泰州·九年級校考階段練習）如圖，已知的直徑，為上一點（不與、重合），連接、．弦平分，交于點，過點作于點，交于點，連接，若，則的度數為．

4．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）如圖，是的一條弦，，垂足為點，交于點，點在上．

(1)若，求的度數；(2)若，，求的長．5．（2022秋·浙江金華·九年級校考期中）【概念認識】定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．（1）如圖1，已知在垂等四邊形中，對角線與交于點，若，，，求的長度．【數學理解】（2）在探究如何畫“圓內接垂等四邊形”的活動中，小李與同學討論出了如下方法：如圖2，在中，已知是的弦，只需作、，分別交于點和點，即可得到垂等四邊形，請你寫出證明過程．【問題解決】（3）如圖3，已知A是上一定點，為上一動點，以為一邊作出的內接垂等四邊形（A、不重合且A、、三點不共線），對角線與交于點，的半徑為，當點到的距離為時，求弦的長度．

【經典例題三同弧或等弧所對的圓周角相等問題】【例3】（2023·廣西北海·統考模擬預測）如圖，點是正方形的邊延長線上一點，連接，作于點，連接．則的度數為（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023·陜西西安·西安市第六中學校考模擬預測）如圖，四邊形是的內接四邊形，連接，，其中是的直徑，若，，，則的度數為（）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，是的外接圓，，，則的直徑等于．

3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，是的直徑，點，在上，且，的延長線與的延長線交于點，連接，若，則的度數是．

4．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，四邊形內接于，是的直徑，，延長到點E，使得．(1)若平分，求證：；(2)試探究線段與之間的數量關系．5．（2023·山東濟南·校聯考一模）如圖1，是等腰直角三角形，，點D在的內部，連接，將線段繞點C逆時針旋轉，得到線段，連接、、．

(1)判斷線段與的數量關系并給出證明；(2)如圖2，當B、D、E三點在同一條直線上時，寫出線段、、的數量關系為______；(3)如圖3，若，，點F為線段中點，當E、D、F三點在同一條直線上時，連接，求的長度．【經典例題四半圓所對的圓周角是直角問題】【例4】（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中學校考模擬預測）如圖，是的直徑，C是上的一點，若，于點D，則的長為（）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022秋·江蘇南京·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，．點P是內部的一個動點，且滿足，則線段長的最小值是（

）．

A．5 B． C． D．2．（2022春·江西九江·九年級校考期中）如圖，內接于，連接，若，則的度數為．

3．（2023秋·山西陽泉·九年級統考期末）如圖，在中，，以為直徑的半圓交于點，點為的中點，連接．若，，則的長為．

4．（2023春·浙江杭州·九年級校考階段練習）已知：如圖，點E是邊長為2的正方形中邊上一點（不與A、B重合），以為直徑的分別交和于點F、M，于點H．

(1)求證：(2)猜想與的大小關系，并說明理由．(3)當時，求的面積．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，點B，C為上兩定點，點A為上一動點，過點B作，交于點E，點D為射線上一動點，且平分，連接．(1)求證：；(2)連接，若，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【經典例題五90°的圓周角所對的弦是直徑問題】【例5】（2023春·浙江·九年級專題練習）如圖，在中，，，D為線段上的動點，連接，過點B作交于點E，則在點D的運動過程中，求線段的最小值為（）A．10 B． C．5 D．【變式訓練】1．（2023秋·九年級單元測試）如圖，在等腰直角中，，，，點是上一動點，連接，以為直徑的圓交于點，則線段長度的最小值是（）A．2 B．4 C． D．2．（2022秋·廣東惠州·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，，是平面內一動點，且，取的中點，連接，則線段的最大值為．

3．（2023·山東·統考中考真題）如圖，在四邊形中，，點E在線段上運動，點F在線段上，，則線段的最小值為．

4．（2023·浙江·模擬預測）如圖，正方形中，點是對角線上一點，連接并延長交于點，連接．(1)求證：．(2)若，求的值．5．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，正方形的邊長為6，點、分別在、上，且，與交于點，連接，求的最小值．【經典例題六已知圓內接四邊形求角度】【例6】（2023·湖北黃岡·校考二模）如圖，四邊形內接于，連接，若，則（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023·陜西榆林·校考模擬預測）如圖，內接于，，點D是上一點，連接OA，AD，BD，若，則的度數為（

）

A．110° B．140° C．120° D．130°2．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，E為正方形的邊上一點（不與重合），將沿直線翻折到，延長交于點G，點O是過B、E、G三點的圓劣弧上一點，則．3．（2023·江蘇南京·校考三模）如圖，四邊形內接于，它的3個外角的度數之比為1∶2∶4，則4．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，在中，點D為邊上的一個動點，以為直徑的交于點E，過點C作，交于點F．連接，若是的切線．(1)求證：；(2)若，求直徑的長．5．（2023·浙江杭州·統考二模）如圖，四邊形內接于，點C是弧的中點，延長到點E，使得，連結．

(1)求證：．(2)若，，，求的長【經典例題七求四邊形外接圓的直徑】【例7】．（2021·廣西賀州·統考二模）如圖，四邊形ABCD內接于，，點C為的中點，延長AB、DC交于點E，且，則的面積是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023·四川德陽·統考一模）如圖，半徑為，正方形內接于，點E在上運動，連接作，垂足為F，連接．則長的最小值為（

）A． B．1 C． D．2．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考三模）在菱形中，，，的兩邊分別交邊、于點E、F，且，記的外心為點P，則P、C兩點間的最小距離為．3．（2022秋·廣東廣州·九年級校考期末）如圖，線段的兩個端點分別在x軸和直線l上滑動（均不與原點O重合），，，作軸，，交點為P，設P的坐標為，則．4．（2023·福建龍巖·統考一模）已知菱形中，，點分別在，上，，與交于點．(1)求證：；(2)當，時，求的長？(3)當時，求的最大值？5．（2023秋·江蘇連云港·九年級統考期中）定義：能完全覆蓋平面圖形的最小的圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．(1)如圖①，線段，則線段的最小覆蓋圓的半徑為_________；(2)如圖②，中，，，，請用尺規作圖，作出的最小覆蓋圓（保留作圖痕跡，不寫作法）．此最小覆蓋圓的半徑為_________；(3)如圖③，矩形中，，，則矩形的最小覆蓋圓的半徑為_________；若用兩個等圓完全覆蓋該矩形，那么這兩個等圓的最小半徑為_________．【經典例題八圓周角綜合問題】【例8】（2023春·重慶開州·八年級統考期末）如圖，以直角三角形的斜邊為邊在三角形的同側作正方形，正方形的對角線，相交于點，連接，如果，，則正方形的面積為（

）

A．20 B．22 C．24 D．26【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，正方形中，，點為邊上一個動點，連接，點為上一點，且，在上截取點使，交于點，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．2．（2023·四川眉山·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標為，過點B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點C、點A，直線與交于點D．與y軸交于點E．動點M在線段上，動點N在直線上，若是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，則點M的坐標為

3．（2023春·廣東梅州·九年級校考開學考試）在平面直角坐標系中，已知點和直線m的函數表達式為，動點在A點的右邊，過點B作x軸的垂線交直線m于點C，過點B作直線m的平行