專題11三角形中的重要模型之等直內接等直模型與等直+高分模型

等腰直角三角形，是初中數學中重要的特殊三角形，性質非常豐富！常見常用的性質大都以“等腰三角

形”、“直角三角形”、“對稱”、“旋轉拼接”、“勾股比1:1:2”、“45°輔助線”、“半個正方形”等角度拓展延伸，

常在選填題中以壓軸的形式出現。今天在解題探究學習中，碰到一道以等腰直角三角形為背景的幾何題，

有些難度，同時獲得一連串等腰直角三角形的“固定性質”，并且具有“思維連貫性”+“思路延展性”，結合常

用條件，可以“伴生”解決好多等腰直角三角形的幾何問題！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.等直內接等直模型..............................................................................................................................1

模型2.等直+高分線模型................................................................................................................................4

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模型1.等直內接等直模型

等直內接等直模型是指在等腰直角三角形斜邊中點作出一個新的等腰直角三角形（該三角形的直角頂點為

原等腰直角三角形的斜邊中點，其他兩頂點落在其直角邊上）。該模型也常以正方形為背景命題。

條件：已知如圖，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P為底邊BC的中點，且∠EPF=90°。

結論：①PE=PF；②PEF為等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④AEAF2AP；

1222

⑤SS；⑥CEBFEF。

AEPF2ABC

（注意題干中的條件：∠EPF=90°，可以和結論③調換，其他結果依然可以證明的哦！）

1

證明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，點P是BC的中點APBPPCBC,APBC

2

APEAPFCPEAPE90APFCPE同理可得：PAFC45，

APFCPE(ASA)AFCE,PEPF，∵AB=AC，∴AE=FB；

又EPF是直角，EPF是等腰直角三角形，同理：易證ABP是等腰直角三角形。

∴AE+AF=FB+AF=AB，∴AEAF2AP。

1

APFCPE(ASA)，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴SS。

AEPF2ABC

∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴CE2BF2AF2AE2EF2

例1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在ABC中，A90，ABAC6，D為邊BC的中點，點E，

F分別在邊AB，AC上，AECF，則四邊形AEDF的面積為（）

A．18B．92C．9D．62

例2．（2024·天津·模擬預測）如圖，已知ABC中，ABAC6，BAC90，直角EPF的頂點P是BC

中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，當EPF在ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重

合），給出下列四個結論：①EPF是等腰三角形；②M為EF中點時，AMPMEF；③EFAB；④△BEP

和PCF的面積之和等于9，上述結論中始終正確的有（）個．

A．1B．2C．3D．4

例3．（23-24九年級上·四川內江·期末）如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∠

MPN為直角，使點P與點O重合，直角邊PM，PN分別與OA，OB重合，然后逆時針旋轉∠MPN，旋轉

角為θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分別交AB，BC于E，F兩點，連接EF交OB于點G，則下列結論：①EF

＝2OE；②S四邊形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；③BE+BF＝2OA；④在旋轉過程中，當BEF與COF的面積

3△△

之和最大時，AE＝；⑤OG?BD＝AE2+CF2．其中結論正確的個數是（）

4

A．2個B．3個C．4個D．5個

例4．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）綜合與探究

問題提出：某興趣小組在綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：在等腰直角三角板ABC中，BAC90，

ABAC，D為BC的中點，用兩根小木棒構建角，將頂點放置于點D上，得到MDN，將MDN繞點D

旋轉，射線DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F兩點，如圖1所示．

(1)操作發現：如圖2，當E，F分別是AB，AC的中點時，試猜想線段DE與DF的數量關系是________，

位置關系是________．

(2)類比探究：如圖3，當E，F不是AB，AC的中點，但滿足BEAF時，判斷DEF形狀，并說明理由．

(3)拓展應用：①如圖4，將MDN繞點D繼續旋轉，射線DM，DN分別與AB，CA的延長線交于E，F

兩點，滿足BEAF，DEF是否仍然具有（2）中的情況？請說明理由；

②若在MDN繞點D旋轉的過程中，射線DM，DN分別與直線AB，CA交于E，F兩點，滿足BEAF，

若AB=a，BEb，則AE________（用含a，b的式子表示）．

模型2.等直+高分線模型

等直+高分線模型模型是指在等腰直角三角形過其中一個角所在頂點作另一個底角平分線的垂線。

條件：如圖，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，與CD相交于點

F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G．

1DF2

結論：①BFAC；②CEBF；③DGF是等腰三角形；④BDDFBC；⑤．

2FC2

證明：CDAB，BEAC，BDCADCAEB90，

AABE90，ABEDFB90，ADFB，

ABC45，BDC=90，DCB904545DBC，BDDC，

BDFCDA

在BDF和CDA中ADFB，ΔBDF≌ΔCDA(AAS)，BFAC．

BDCD

BE平分ABC，ABC=45，ABEEBC22.5

11

∵BEAC，ABCA67.5，BABC，BEAC，AEECACBF，

22

BDC=90，BHHC，BHG90，BDFBHG90，

ABECBE22.5，BGHBFD67.5，DGFDFG67.5，

DGDF，DGF是等腰三角形．ΔBDF≌ΔCDA，DFAD，BCABBDADBDDF，

SBDFBD

BE平分ABC，點F到AB的距離等于點F到BC的距離，，

SBCFBC

SDFBD2DFDFBDDFBD12

∵BDF，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。

SBCFFCBD2FCFCBCFCBC22

例1．（23-24九年級下·浙江金華·階段練習）如圖，在VABC中，ABC45，CDAB于D，BE平分ABC，

且BEAC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G，以下結論中：

①VABC是等腰三角形；②BFAC；③BH:BD:BC1:2:2；④GE2CE2BG2．

正確的結論有（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

例2．（23-24八年級上·山東臨沂·期中）如圖，等腰Rt△ABC中，ABAC,BAC90,ADBC于點D，

ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點，M為EF的中點，AM的延長線交BC于點N，連接DM，

下列結論：①DFDN；②△AFE為等腰三角形；③NAC22.5；④AENC，其中正確結論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

例3．（23-24八年級·浙江杭州·階段練習）已知：如圖，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，

且BEAC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連結DH與BE相交于點G．（1）說明：BFAC；

1

（2）說明：CEBF；（3）試探索CE，GE,BG之間的數量關系，并證明你的結論．

2

例4．（23-24八年級上·廣東東莞·期末）如圖，等腰直角VABC中，CAB90，ACAB，點E為BC上

一點，BDAE于點M，交AC于點D，AHCB于點H，交BD于點G，連接DE，MH．

(1)若BEBA，求證：BD垂直平分AE；(2)若點E在線段CH上運動．

①請判斷CE與AG的數量關系，并說明理由；②求證：MH平分EMB．

1．（23-24山東威海九年級上期中）已知VABC中，ACBC4，ACB90，D是AB邊的中點，點E、

F分別在AC、BC邊上運動，且保持AECF．連接DE、DF、EF得到下列結論：①DEF是等腰直角

三角形；②△CEF面積的最大值是2；③EF的最小值是2．其中正確的結論是（）

A．②③B．①②C．①③D．①②③

2．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，CAB的平分線交BC于點E，將ABE繞點B

順時針旋轉90°得到VCBF，延長AE交CF于點G，連接BG，DG與AC相交于點H．有下列結論：①BEBF；

AE

②ACFF；③BGDG；④2，其中正確的結論有（）個

DH

A．1B．2C．3D．4

3．（2024·山東泰安·模擬預測）如圖，等腰直角VABC中，BAC90，ADBC于點D，ABC的平分

線分別交AC，AD于點E，F，M為EF中點，AM延長線交BC于點N，連接DM，下列結論：①DFDN；

②FMAM2DM；③DM平分BMN；④SABMSDBM；⑤MNBFBDCN，其中正確結論的個數

是（）

A．2B．3C．4D．5

4．（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC，且BE⊥

AC于點E，與CD交于F，H是BC邊△的中點，連接DH與BE交于點G，則下列結論：①BF＝AC；②∠A

＝∠DGE；③CE＜BG；④SADC＝S四邊形CEGH；⑤DG?AE＝DC?EF中，正確結論的個數是（）

△

A．2B．3C．4D．5

5．（2024·湖南長沙·一模）如圖，在ABC中，BAC90，ABAC．點E是AC邊上的中點，連接BE，

將ABE繞A點逆時針旋轉90，得到ACD，延長BE交DC于點G，連接AG，過點A作AFAG，交BG

于點F．現有如下四個結論：①AGD45；②EG:GC:FE1:2:3；③FEEGGC；④S△ADC2S△AEF

中正確的個數為（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

6．（2024·江蘇淮安·三模）如圖，VABC中，ABC45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于

1S△BDFBD

E，與CD相交于點F．下列結論：①BFAC；②CEBF；③BDDFBC；④，其中

2S△BCFBC

正確的結論有（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

7．（2024·遼寧朝陽·模擬預測）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O，點E在BC邊上，

且CE2BE，連接AE交BD于點G，過點B作BFAE于點F，連接OF并延長，交BC于點M，過點O

9GE131035

作OPOF交DC于占N，S四邊形MONC，現給出下列結論：①；②sinBOF；③OF；

4AG3105

④OGBG；其中正確的結論有（）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④

8．（2024·黑龍江·二模）如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC90，ADBC于D，ABC的平分線

分別交AC、AD于E、F兩點，M為EF的中點，延長AM交BC于點N，連接FN，NE．下列結論：①

AEAF；②AB2BMBE；③△AEF是等邊三角形；④BFAN；⑤四邊形AENF是菱形，正確結論的

序號是（）

A．②④⑤B．①②③④⑤C．①③④D．①②④⑤

9．（23-24九年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，已知VABC中，ABAC8，BAC90，直角EPF的

頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，當EPF在VABC內繞頂點P旋轉時（點E

1

不與A、B重合），給出以下四個結論：①AECF；②EPF是等腰直角三角形；③S四邊形S△ABC；

AEPF2

④BECFEF；⑤△BEP與△PFC的面積和無法確定．上述結論中始終正確的有（）

A．①②③B．①②⑤C．①③⑤D．②③④

10.（23-24九年級上·廣東河源·期中）如圖，在正方形ABCD中，AB4，AC，BD相交于點O，E，F分

別為邊BC，CD上的動點（點E，F不與線段BC，CD的端點重合）且BECF，連接OE，OF，EF．在點E，

F運動的過程中，有下列四個結論：①OEF始終是等腰直角三角形；②OEF面積的最小值是2；③至少

存在一個△ECF，使得△ECF的周長是423；④四邊形OECF的面積始終是4．其中結論正確的有（）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④

11．（2024·重慶·中考模擬預測）如圖，在等腰直角ACB90，O是斜邊AB的中點，點D、E分別在直角

邊AC、BC上，且DOE90，DE交OC于點P．則下列結論：

（1）圖形中全等的三角形只有兩對；（2）VABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍；（3）CDCE2OA；

（4）AD2BE22OPOC．其中正確的結論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

12．（23-24九年級上·遼寧丹東·期中）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E在BC邊

上，且CE2BE，連接AE交BD于點G，過點B作BFAE于點F，連接OF并延長，交BC于點M，過

9GE1

點O作ONOF交DC于點N，S四邊形，以下四個結論：①；②正方形ABCD的面積為9；

MONC4AG3

35

③OGBG；④OF，其中正確的結論有（）

5

A．1個B．2個C．3個D．4個

13．（2024·黑龍江·校考一模）如圖，在面積為4的正方形ABCD中，O是對角線AC,BD的交點，過點O作

射線OM,ON分別交BC,CD于點E,F，且EOF90o,OC,EF交于點G．下列結論：①VFOCVEOB；

②VOGE:VFGC；③四邊形CEOF的面積為1;④DF2BE22OGOC．其中結論正確的序號有（）

A．①②③B．①②

C．③④D．①②③④

14．（23-24八年級上·廣東茂名·期中）如圖所示，在等腰直角?ABC中，點D為AC的中點，DEDF，DE

交AB于E，DF交BC于F，若AE=23，EF=4，則FC的長是．

15．（2024廣東九年級模擬（二模））一副三角板按如圖1放置，圖2為簡圖，D為AB中點，E、F分別是

一個三角板與另一個三角板直角邊AC、BC的交點，已知AE=2，CE=5，連接DE，M為BC上一點，且滿

足∠CME=2∠ADE，EM=．

16．（23-24九年級上·陜西榆林·期末）如圖，在正方形ABCD中，AB2，對角線AC、BD交于點O，點E、

F分別為邊BC、CD上的動點（不與端點重合），且BECF，連接OE、OF、EF，則線段EF的最小值

為．

17．（2024