專題01雙中點（線段）模型與雙角平分線（角）模型

線段與角度是初中幾何的入門知識，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類模型通常由問題出

發，先由線段（角度）和差確定解題方向，然后輔以線段中點（角平分線）來解決。但是，對于有公共部

分的線段雙中點模型和雙角平分線模型，可以寫出的線段（角度）和差種類較多，這就增加了思考的難度。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.線段的雙中點模型..............................................................................................................................1

模型2.線段的多中點模型..............................................................................................................................4

模型3.雙角平分線模型與角n等分線模型..................................................................................................6

.................................................................................................................................................10

模型1.線段的雙中點模型

線段雙中點模型：兩線段在同一直線上且有一個共同的端點，求這兩條線段的中點距離的模型我們稱之為

線段的雙中點模型。

1

條件：點M、N分別為線段AB、BC的中點，結論：MNAC.

2

證明：①當點B在線段AC上，如圖1，

圖1

11

∵M、N分別為AB、BC的中點，∴BMAB（中點定義）；BNBC（中點定義）；

22

1111

∵MN=BM+BN，∴MNABBCABBCAC；

2222

②當點B在線段AC的延長線上，如圖2，

圖2

11

∵M、N分別為AB、BC的中點，∴BMAB（中點定義）；BNBC（中點定義）；

22

1111

∵MN=BM-BN，∴MNABBCABBCAC；

2222

③當點B在線段CA的延長線上

圖3

11

∵M、N分別為AB、BC的中點，∴BMAB（中點定義）；BNBC（中點定義）；

22

1111

∵MN=BN-BM，∴MNBCABBCBAAC；

2222

例1．（23-24七年級上·江蘇揚州·期末）如圖，點C在線段AB上，點M、N分別是AC、BC的中點．

(1)若AB18cm,AM5cm，求CN的長；(2)若MN6cm，求AB的長；

例2．（23-24七年級上·江西贛州·期末）如圖，點C在線段AB上，點M，N分別是線段AC，BC的中點．

(1)若AC10cm，CB6cm，求線段MN的長；(2)若ACCBacm，求線段MN的長度．

例3．（23-24七年級·山東淄博·期末）已知點C是線段AB的中點，點D是線段AC的三等分點．若線段

AB12cm，則線段BD的長為（）

A．10cmB．8cmC．8cm或10cmD．2cm或4cm

例4．（23-24七年級上·安徽黃山·期末）如圖，C，D是線段AB上兩點（點D在點C右側），E，F分別是

線段AD，BC的中點．下列結論：

1

①EFAB；②若AEBF，則ACBD；③ABCD2EF；④ACBDECDF．

2

其中正確的結論是（）

A．①②B．②③C．②④D．③④

例5．（23-24七年級上·貴州遵義·期末）已知線段AB24，點C為線段AB的中點，點D為線段AC上的

三等分點，則線段BD的長的最大值為（）

A．16B．18C．15D．20

例6．（23-24七年級上·遼寧阜新·期末）點A、B在數軸上所表示的數如圖所示，P是數軸上一點：

(1)將點B在數軸上向左移動2個單位長度，再向右移動7個單位長度，得到點P，求出A、P兩點間的距離

是多少個單位長度．

(2)若點B在數軸上移動了m個單位長度到點P，且A、P兩點間的距離是4，求m的值．

(3)若點M為AP的中點，點N為PB的中點，點P在運動過程中，線段MN的長度是否發生變化？若發生變

化，請你說明理由：若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長度．

模型2.線段的多中點模型

條件：如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN2a，第1次操作：分別取線段AM和AN的中點M1、

N1﹔第2次操作：分別取線段AM1和AN1的中點M2，N2﹔第3次操作：分別取線段AM2和AN2的中點M3，

n1

1

N3；…連續這樣操作n次，結論：MnNna．

2

11

證明：∵M、N1是AM和AN的中點，∴AMAM，ANAN，

11212

111

∴MNAMANMNa，∵M、N是AM和AN的中點，

112222211

111111

∴AMAM，ANAN，∴M2N2AM1AN1M1N1a，

2212212222

11

∵M，N是AM和AN的中點，∴AMAM，ANAN，

3322322322

2n1

111111

∴M3N3AM2AN2M2N2aa，……發現規律：MnNna，

222422

例1．（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）如圖，數軸上的點O為原點，點A表示的數為3，動點P從點O

出發，按以下規律跳動：第1次從點O跳動到OA的中點A1處，第2次從點A1跳動到A1A的中點A2處，第3

次從點A2跳動到A2A的中點A3處，…，第n次從點An1跳動到An1A的中點An處，按照這樣的規律繼續跳動

到點A4，A5，A6，…，A2024處，那么點A2024所表示的數為．

例2．（23-24七年級上·河南濮陽·期末）已知：如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN16，第一

次操作：分別取線段AM和AN的中點M1，N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點M2，N2；

第三次操作：分別取線段AM2和AN2的中點M3，N3，連續這樣操作4次，則M4N4．

例3．（23-24七年級上·湖南張家界·期末）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN2，第一次操

作：分別取線段AM和AN的中點M1、N1﹔第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點M2，N2﹔第三次

操作：分別取線段AM2和AN2的中點M3，N3；…連續這樣操作2024次，則每次的兩個中點所形成的所有

線段之和M1N1M2N2M2024N2024．

例4．（23-24七年級上·廣東·期中）學習了線段的中點之后，小明利用數學軟件GeoGebra做了n次取線段中

點實驗：如圖，設線段OP01，第1次，取OP0的中點P1；第2次，取P0P1的中點P2；第3次，取P1P2的中

點P3，第4次，取P2P3的中點P4；…

(1)請完成下列表格數據．

次數Pi1Pi線段OPi的長

11

第1次PPOPOPPP1

01210012

111

第2次PPOPOPPP1

12222112222

1111

第3次PPOPOPPP1

2323322322223

11111

第4次PPOPOPPP1

342443342222324

第5次①______②________

………

(2)小明對線段OP4的表達式進行了如下化簡：

11111111111

因為OP41234，所以2OP42121，

2222222232422223

121

兩式相加，得3OP2，所以OP．

42443324

請你參考小明的化簡方法，化簡OP5的表達式．

(3)類比猜想：Pn1Pn_____，OPn=_____，隨著取中點次數n的不斷增大，OPn的長最終接近的值是____．

模型3.雙角平分線模型與角n等分線模型

雙角平分線模型：共頂點的三條射線組成的三個角中（兩角共一邊），已知任意兩個角的平分線，求角平分

線夾角。下面是最完整的角平分線模型結論的推導過程，推導過程是需要掌握的，也并不難推，同學們自

己嘗試著推導一遍，再去記結論，印象會更加深刻。

圖1圖2圖3圖4

1）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）

1

條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結論：DOEAOC。

2

11

證明：∵OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC，∴DOBAOB，BOEBOC，

22

1111

∴DOBBOEAOBBOCAOC，∴DOEAOC。

2222

2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）

1

條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結論：DOEAOC。

2

11

證明：∵OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC，∴DOBAOB，BOEBOC，

22

1111

∴BOEDOBBOCAOBAOC，∴DOEAOC。

2222

3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）

條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；

1

結論：POP180AOB。

122

11

證明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴POCAOC，POCBOC，

1222

∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，

1111

∴POPPOCPOCAOCBOCAOCBOC180AOB。

12122222

4）角n等分線模型

條件：如圖4，AOB,OA1、OB1分別是AOM和MOB的平分線，OA2、OB2分別是A1OM和MOB1

的平分線，OA3、OB3分別是A2OM和MOB2的平分線…，OAn,OBn分別是An1OM和MOBn1的平分

線；結論：．

證明：QAOB，OA1、OB1分別是AOM和MOB的平分線，

11111

AOMAOM,BOMBOM，AOB(AOMBOM)AOB，

121211222

11

OA、OB2分別是AOM和MOB1的平分線，AOMAOM,BOMBOM，

21221221

1111

AOB(AOMBOM)AOBAOB，

222112112222

11

OA、OB分別是AOM和MOB的平分線，AOMAOM,BOMBOM，

3322322322

1111111

AOB(AOMBOM)AOBAOBAOB，…，

33222222221122223

由此規律得：AOB=。

nn2n

例1．（2023·河南周口·校聯考一模）如圖，點O為直線AB上一點，OE平分BOC，OD平分AOC，

若BOE28，則AOD的度數為（）

A．58B．60C．62D．70

例2．（2023春·遼寧遼陽·七年級統考期末）如圖，射線OC平分AOB，射線OD平分BOC，則下列等

式中成立的有（）

①CODAODBOC；②CODAODBOD；③2COD2AODAOB；④

1

CODAOB．

3

A．①②B．①③C．②③D．②④

例3．（2023春·黑龍江·七年級校考階段練習）如圖，射線OG是AOC的角平分線，射線OM是AOB的

角半分線，射線ON是BOC的角平分線，則下列結論成立的有（）個．

11

①MONCOG；②MOGAOGBOG；③GON(COGBOG)；④

22

1

MON(AOCBOG)；

2

A．0個B．1個C．2個D．3個

例4．（2023·河南·七年級校聯考期末）如圖，AOB,OA1、OB1分別是AOM和MOB的平分線，

OA2、OB2分別是A1OM和MOB1的平分線，OA3、OB3分別是A2OM和MOB2的平分線，…，OAn,OBn

分別是An1OM和MOBn1的平分線，則AnOBn的度數是．

例5．（2022秋·山西太原·七年級統考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內部，OC在∠BOD

的內部，OE是∠AOB的一條三等分線．請從A，B兩題中任選一題作答．

A．當∠BOC＝30°時，∠EOD的度數為．

B．當∠BOC＝α°時，∠EOD的度數為（用含α的代數式表示）．

例6．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統考期末）如圖，點A，O，B在同一條直線上，OD，OE分別平分AOC

和BOC．(1)求DOE的度數；(2)如果COD60．①求AOE的度數；②若AOF20，直接寫出

FOD的度數．

例7．（2023秋·江蘇無錫·七年級校考期末）解答題：(1)如圖，若AOB120°，AOC40，OD、OE

分別平分AOB、AOC，求DOE的度數；

°

(2)若AOB，AOC是平面內兩個角，AOBm°，AOCn°n<m180，OD、OE分別平分AOB、

AOC，求DOE的度數．（用含m、n的代數式表示）

例8．（2023春·山東濟南·七年級統考期末）解答下列問題

如圖1，射線OC在AOB的內部，圖中共有3個角：AOB，AOC和BOC，若其中有一個角的度數

是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是AOB的“巧分線”．(1)一個角的平分線這個角的“巧分線”，（填“是”

或“不是”）．(2)如圖2，若MPN60，且射線PQ是MPN的“巧分線”，則MPQ（表示出所有

可能的結果探索新知）．(3)如圖3，若MPN，且射線PQ是MPN的“巧分線”，則MPQ（用

含α的代數式表示出所有可能的結果）．

1．（2023秋·福建泉州·七年級統考期末）在直線上任取一點A，截取AB6cm，再截取AC14cm，則AB

的中點D與AC的中點E之間的距離為（）

A．4cmB．8cmC．4cm或10cmD．3cm或8cm

2．（2023秋·江西上饒·七年級統考期末）如圖，C、D是線段AB上兩點，M、N分別是線段AD、BC的中

點，下列結論：①若ADBM，則AB3BD；②若ACBD，則AMBN；③ACBD2MCDN；

④2MNABCN．

其中正確的結論是（）

A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④

3．（2023秋·江蘇徐州·七年級?？计谀┤鐖D，點M在線段AN的延長線上，且線段MN10，第一次操作：

分別取線段AM和AN的中點M1、N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點M2，N2；第三次操作：

分別取線段AM2和AN2的中點M3，N3；…連續這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之

和M1N1M2N2M2023N2023（）

5555

A．10B．10C．10D．10

22022220232202222023

4．（2023秋·河南駐馬店·七年級統考期末）如圖，已知AOB130，以點O為頂點作直角COB，以點O

為端點作一條射線OD．通過折疊的方法，使OD與OC重合，點B落在點B處，OE所在的直線為折痕，

若COE15，則AOB（）．

A．30B．25C．20D．15

5．（2023秋·山西大同·七年級統考期末）在AOB的內部作射線OC，射線OC把AOB分成兩個角，分

11

別為AOC和BOC，若AOCAOB或BOCAOB，則稱射線OC為AOB的三等分線．若

33

AOB60，射線OC為AOB的三等分線，則AOC的度數為（）

A．20B．40C．20或40D．20或30

6．（2023春·山東青島·七年級統考開學考試）如圖，有兩根木條，一根AB長為80cm，另一根CD長為130cm，

在它們的中點處各有一個小圓孔M、N（圓孔直徑忽略不計，M、N抽象成兩個點），將它們的一端重合，

放置在同一條直線上，此時兩根木條的小圓孔之間的距離MN是．

7．（23-24七年級上·四川成都·階段練習）如圖所示，已知AB12,C是線段AB上的一個點，M是CA的中

4AN

點，N為BC中點，且滿足ACBMAB，求．

3AM

8．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┮阎€段AB和線段CD在同一直線上，線段AB（A在左，B在右）

的長為a，長度小于AB的線段CD（D在左，C在右）在直線AB上移動，M為AC的中點，N為BD的中

點，線段MN的長為b，則線段CD的長為（用a，b的式子表示）．

9．（2023秋·湖北武漢·七年級統考期末）如圖，點C，D在線段AB上，P，Q分別是AD，BC的中點，若

PC

AB3CD，則．

QD

10．（2023秋·廣東梅州·七年級?？茧A段練習）已知AOB50，由定點O引一條射線，使得BOC30，

OM、ON分別是AOB和BOC的平分線，則MON度．

11．（2024·山東·七年級專題練習）如圖，在∠AOB的內部有3條射線OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠

11

BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，則∠DOE＝°．（用含n的代數式表示）

nn

2

12．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┮阎欣頂礱，b滿足：a2b2b0．如圖，在數軸上，

點O是原點，點A所對應的數是a，線段BC在直線OA上運動（點B在點C的左側），BCb．

下列結論：①a4,b2；②當點B與點O重合時，AC3；

③當點C與點A重合時，若點P是線段BC延長線上的點，則POPA2PB；

④在線段BC運動過程中，若M為線段OB的中點，N為線段AC的中點，則線段MN的長度不變．

所有結論正確的序號是．

13．（2023春·天津濱海新·七年級校考期中）如圖，O為直線AB上一點，COD90，OE平分AOC，

OG平分BOC，OF平分BOD，下列結論：①EOG90；②DOE與BOF互補；

1

③AOCBOD90；④DOGAOC．請你把所有正確結論的序號填寫在橫線上．

2

14．（2023春·安徽合肥·七年級?？奸_學考試）平面內，AOB120，C為AOB內部一點，射線OM平分

AOC，射線ON平分BOC，射線OD平分MON，當AOCCOD30時，BOC的度數是．

15．（2023秋·河南新鄉·七年級統考期末）小明在學習了比較線段的長短時對下面一道題產生了探究的興趣：

如圖1，點C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點．若AB6，AC2，求MN的長．

(1)根據題意，小明求得MN______．

(2)小明在求解（1）的過程中，發現MN的長度具有一個特殊性質，于是他先將題中的條件一般化，并開始

深入探究．設AB=a，C是線段AB上任意一點（不與點A，B重合），小明提出了如下三個問題，請你幫

助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點，則MN______．

11

②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點，即AMAC，BNBC，求MN的長．

33

11

③若M，N分別是AC，BC的nn2等分點，即AMAC，BNBC，則MN______．

nn

16．（2023秋·福建泉州·七年級?？计谀靖拍钆c發現】

AC

當點C在線段AB上，ACnAB時，我們稱n為點C在線段AB上的“點值”，記作dn．

AB

1AC1AC11

例如，點C是AB的中點時，即ACAB，則d；反之，當d時，則有ACAB．

2AB2AB22

AC

因此，我們可以這樣理解：“dn”與“ACnAB”具有相同的含義．

AB

ACAC2

(1)【理解與應用】如圖，點C在線段AB上．若AC3，AB4，則d________；若d，

ABABm

BC

則________．

AB

(2)【拓展與延伸】已知線段AB10cm，點P以1cm/s的速度從點A出發，向點B運動．同時，點