專題8.1基本立體圖形【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1簡單幾何體的識別】 4【題型2棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征】 5【題型3旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征】 6【題型4空間幾何體的有關(guān)計算】 7【題型5組合體的結(jié)構(gòu)特征】 9【題型6平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體】 11【題型7空間幾何體的截面問題】 12【題型8多面體與球體內(nèi)切外接問題】 12【知識點1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征】1．空間幾何體的有關(guān)概念(1)空間幾何體的定義

對于空間中的物體，如果只考慮其形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.

例如，一個牛奶包裝箱可以抽象出長方體.(2)定理的實質(zhì)多面體及其相關(guān)概念

①多面體：一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.

②多面體的面：圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，如圖中面BCC'B'等.

③多面體的棱：兩個面的公共邊叫做多面體的棱，如圖中棱AA'，棱BB'等.

④多面體的頂點：棱與棱的公共點叫做多面體的頂點，如圖中頂點A，B，A'等.(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念

①旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.

圖為一個旋轉(zhuǎn)體，它可以看成由平面曲線OAA'O'繞OO'所在的直線旋轉(zhuǎn)而形成的.

②旋轉(zhuǎn)體的軸：平面曲線旋轉(zhuǎn)時所圍繞的定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.如圖中直線OO'是該旋轉(zhuǎn)體的軸.2．棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐棱臺定義有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.相關(guān)概念(1)底面(底)：兩個互相平行的面；

(2)側(cè)面：其余各面；

(3)側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；

(4)頂點：側(cè)面與底面的公共頂點.(1)底面(底):多邊形面；

(2)側(cè)面：有公共頂點的各個三角形面；

(3)側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；

(4)頂點：各側(cè)面的公共頂點.(1)上底面：原棱錐的截面；

(2)下底面：原棱錐的

底面.

(3)側(cè)面：其余各面.

(4)側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；

(5)頂點：側(cè)面與底面的公共頂點.圖形及表示棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

(或六棱柱AD').棱錐S-ABCD(或四棱錐S-AC)棱臺ABCD-A'B'C'D'結(jié)構(gòu)特征(1)底面互相平行且全等；

(2)側(cè)面都是平行四邊形；

(3)側(cè)棱都相等，且互相平行.(1)底面是多邊形；

(2)側(cè)面都是三角形；

(3)側(cè)面有一個公共頂點.(1)上、下底面互相平行，且是相似圖形；

(2)各側(cè)棱的延長線交于一點；(3)各側(cè)面為梯形.分類棱柱的底面是幾邊形就叫幾棱柱，例如，三棱柱、四棱柱……棱錐的底面是幾邊形就叫幾棱錐，例如，三棱錐、四棱錐……由幾棱錐截得的就叫幾棱臺，例如，由三棱錐截得的棱臺叫三棱臺.3．圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征圓柱圓錐圓臺球定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.相關(guān)概念(1)軸：旋轉(zhuǎn)軸.

(2)底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面.

(3)側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面.

(4)母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線.(1)軸：旋轉(zhuǎn)軸.

(2)底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面.

(3)側(cè)面：直角三角形的斜邊繞軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面.

(4)母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊都叫做圓錐的母線

(5)頂點：母線的交點.(1)上底面：原圓錐的截面.

(2)下底面：原圓錐的底面.

(3)軸：上、下底面圓心的連線所在的直線.

(4)側(cè)面：原圓錐的側(cè)面被平面截去后剩余的曲面.

(5)母線：原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分.(1)球心：半圓的圓心.

(2)半徑：連接球心和球面上任意一點的線段.

(3)直徑：連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段.圖形及表示圓柱OO'圓錐SO圓臺OO'球O結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱兩個底面是圓面而不是圓.

(2)圓柱有無數(shù)條母線，圓柱的任意兩條母線互相平行(與軸平行)且相等.

(3)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的矩形.(1)底面是圓面.

(2)有無數(shù)條母線，長度相等且交于頂點.

(3)平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形.(1)上、下底面是互相平行且不相等的圓面.

(2)有無數(shù)條母線，等長且延長線交于一點.

(3)平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過軸

的截面(軸截面)是全等的等腰梯形.(1)球的表面叫做球面，所以球面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面.另外，球面也可看成空間中，到定點(球心)的距離等于定長(半徑)的所有點的集合.

(2)球的截面都是圓面.棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體，棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體，棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體.4．空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.(2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.【題型1簡單幾何體的識別】【例1】（22-23高一下·重慶萬州·階段練習(xí)）下列圖形中，不是棱柱的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-1】（23-24高一下·天津·期中）如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（

）

A．①是棱臺，②不是圓臺 B．②是圓臺，③是棱錐C．③是棱錐，④是棱臺 D．③是棱錐，④是棱柱【變式1-2】（23-24高一下·山西晉城·期中）下面四個幾何體中，是棱臺的是（

）A． B．C． D．【變式1-3】（23-24高一下·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）如圖所示，觀察下面四個幾何體，其中判斷正確的是（

）A．①是圓臺 B．②是圓臺 C．③是圓錐 D．④是圓臺【題型2棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征】【例2】（23-24高一下·廣東湛江·期末）下列說法正確的是（

）A．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺【變式2-1】（23-24高一下·廣東清遠·期末）下列說法中，正確的是（

）A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B．一個多面體至少有4個面C．有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱D．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺【變式2-2】（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）有下列命題：①有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱；②有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱；③有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱；④用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺．⑤有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．其中正確的命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式2-3】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法正確的是（

）A．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐B．有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺C．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫做棱臺D．棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點【題型3旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征】【例3】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期中）下列說法正確的是（

）．A．以直角三角形的一條邊為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C．圓柱、圓錐、圓臺都有兩個底面D．圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，這個扇形的半徑大于圓錐的高【變式3-1】（23-24高一下·天津南開·期末）給出下列命題：①圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線；②兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；③以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；④用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形．其中正確命題是（

）．A．①② B．①③ C．②③ D．②④【變式3-2】（23-24高一下·河南濮陽·階段練習(xí)）下列說法中錯誤的是（

）A．棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形B．用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐可得到圓臺C．直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐D．在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線不一定是圓柱的母線【變式3-3】（24-25高一下·天津和平·階段練習(xí)）下列命題中不正確的是（

）A．圓柱?圓錐?圓臺的底面都是圓面B．正四棱錐的側(cè)面都是正三角形C．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺D．以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，另一腰和兩底邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓臺【題型4空間幾何體的有關(guān)計算】【例4】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）長方體ABCD?A1B1C1DA．2 B．5 C．3 D．2【變式4-1】（23-24高一下·山東青島·期末）如圖，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，一只螞蟻從點P處沿著該圓錐側(cè)面爬行一周后回到點P處，則螞蟻爬行的最短路線長為（

）

A．3 B．3 C．23 D．【變式4-2】（23-24高一下·廣東潮州·期末）正四棱臺ABCD?A1B1C1DA．23 B．3 C．2 D．【變式4-3】（23-24高一下·遼寧·期末）如圖，在圓柱OO′中，AB，CD分別為圓O，O′的直徑，AB//CD，AB=BC=2，E為BC的中點，則一只螞蟻在圓柱表面從A爬到E

A．π2+1 B．4π2+1 C．【知識點2簡單組合體】1．簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征(1)簡單組合體的定義由柱體、錐體、臺體、球等簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.

(2)簡單組合體的構(gòu)成形式

①由簡單幾何體拼接而成，如圖(1)所示.②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，如圖(2)所示.

(3)常見的幾種組合體

①多面體與多面體的組合體：圖(1)中幾何體由一個四棱柱挖去一個三棱柱得到.②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體：圖(2)中幾何體由一個三棱柱挖去一個圓柱得到.

③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體：圖(3)中幾何體由一個球和一個圓柱組合而成.2．正方體的截面形狀的探究通過嘗試、歸納，有如下結(jié)論.

(1)截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形.截面不可能是直角三角形、鈍角三角形.

(2)截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面為四邊形時，這個四邊形中至少有一組對邊平行.

(3)截面可以是五邊形，且此時五邊形必有兩組分別平行的邊，同時有兩個角相等.截面五邊形不可能是正五邊形.

(4)截面可以是六邊形，且此時六邊形必有三組分別平行的邊.截面六邊形可以是正六邊形.

對應(yīng)截面圖形如圖中各圖形所示【題型5組合體的結(jié)構(gòu)特征】【例5】（24-25高一下·河南商丘·階段練習(xí)）某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，如圖，每個石凳都是由正方體截去八個相同的正三棱錐得到的幾何體，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A．該幾何體的面是等邊三角形或正方形B．該幾何體恰有12個面C．該幾何體恰有24條棱D．該幾何體恰有12個頂點【變式5-1】（23-24高一下·廣東深圳·期中）如圖所示的幾何體是數(shù)學(xué)奧林匹克能賽的獎杯，該幾何體由（

）A．一個球、一個四棱柱、一個圓臺構(gòu)成B．一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成C．一個球、一個四棱臺、一個圓臺構(gòu)成D．一個球、一個五棱柱、一個棱臺構(gòu)成【變式5-2】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）如圖，說出圖中兩個幾何體的結(jié)構(gòu)特征.【變式5-3】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）指出如圖所示的圖形是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的．【題型6平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體】【例6】（23-24高一下·陜西榆林·期中）下列給出的圖形中，繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓臺的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式6-1】（24-25高一下·廣東珠?！るA段練習(xí)）銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是（

）A．一個球B．一個球挖去一個圓柱C．一個圓柱D．一個球挖去一個正方體【變式6-2】（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）若將如圖所示的平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，試說出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征．

【變式6-3】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）一直角梯形ABCD如圖所示，分別畫出以AB，BC，CD，DA所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的大致形狀，試說明所得幾何體的特征.【題型7\o"組合體截面的形狀"\t"/gzsx/zj168425/_blank"空間幾何體的截面問題】【例7】（23-24高一下·福建南平·期中）用一個平面截一個幾何體，得到的截面是一個梯形，這個幾何體不可能是（

）A．長方體 B．圓錐 C．棱錐 D．圓臺【變式7-1】（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為A．32 B．62 C．63【變式7-2】（23-24高一下·貴州貴陽·期末）如圖，在正方體ABCD?